4. স্থানাঙ্ক জ্যামিতিঃ দূরত্ব নির্ণয় (Co-Ordinate Geometry: Distance Formula) | কষে দেখি 4 | Exercise 4 | Part 1 | Ganit Prabha Class IX math solution | WBBSE Class 9 Math Solution in Bengali
কষে দেখি 4 সমাধান । Part 1 (Q1 to Q6)
1. মূলবিন্দু থেকে নীচের বিন্দুগুলির দূরত্ব নির্ণয় করোঃ
(i) (7, -24) (b) (3, -4) (c) (a+b, a-b)
সমাধানঃ
(i) মূলবিন্দু থেকে (7, -24) বিন্দুর দূরত্ব
=\(\sqrt{\left(7\right)^2+\left(-24\right)^2}\)একক
= \(\sqrt{49+576}\) একক
= \(\sqrt{625}\) একক
= 25 একক
(ii) মূলবিন্দু থেকে (3, -4) বিন্দুর দূরত্ব
= \(\sqrt{\left(3\right)^2+\left(-4\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{9+16}\) একক
= \(\sqrt{25}\) একক
= 5 একক
কষে দেখি 4 সমাধান । Part 1 (Q1 to Q6)
1. মূলবিন্দু থেকে নীচের বিন্দুগুলির দূরত্ব নির্ণয় করোঃ
(i) (7, -24) (b) (3, -4) (c) (a+b, a-b)
সমাধানঃ
(i) মূলবিন্দু থেকে (7, -24) বিন্দুর দূরত্ব
=\(\sqrt{\left(7\right)^2+\left(-24\right)^2}\)একক
= \(\sqrt{49+576}\) একক
= \(\sqrt{625}\) একক
= 25 একক
(ii) মূলবিন্দু থেকে (3, -4) বিন্দুর দূরত্ব
= \(\sqrt{\left(3\right)^2+\left(-4\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{9+16}\) একক
= \(\sqrt{25}\) একক
= 5 একক
(iii) মূলবিন্দু থেকে (a+b, a-b) বিন্দুর দূরত্ব
= \(\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\) একক
2. নীচের বিন্দুযুগলগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করো।
(i) (5, 7) এবং (8, 3)
(5,7) এবং (8,3) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব
= \(\sqrt{\left(5-8\right)^2+\left(7-3\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{\left(\mathrm{-3}\right)^2+\left(4\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{9+16}\) একক
= \(\sqrt{25}\) একক
= 5 একক
(ii) (7, 0) এবং (2, -12)
(7, 0) এবং (2, -12) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব
= \(\sqrt{\left(7-2\right)^2+\left(0+12\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{\left(5\right)^2+\left(\mathrm{12}\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{25+144}\) একক
= \(\sqrt{169}\) একক
= 13 একক
(iii) \(\left(-\frac{3}{2},0\right)\) এবং (0, -2)
\(\left(-\frac{3}{2},0\right)\) এবং (0,-2) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব
= \(\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\mathrm{-0}\ \right)^2+\left(0+2\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{\frac{9}{4}+4}\) একক
= \(\sqrt{\frac{9+16}{4}}\) একক
= \(\sqrt{\frac{25}{4}}\) একক
= \(\frac{5}{2}\) একক
(iv) (3,6) এবং (-2,-6)
(3, 6) এবং (-2, -6) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব
=\(\sqrt{\left(3+2\right)^2+\left(6+6\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(5\right)^2+\left(\mathrm{12}\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{25+144}\) একক
= \(\sqrt{169}\) একক
= 13 একক
(v) (1, -3) এবং (8, 3)
(1, -3) এবং (8, 3) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব
=\(\sqrt{\left(1-8\right)^2+\left(-3-3\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-6\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{49+36}\) একক
=\(\sqrt{85}\) একক
(vi) (5,7) এবং (8,3)
(5,7) এবং (8,3) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব
= \(\sqrt{\left(5-8\right)^2+\left(7-3\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{\left(\mathrm{-3}\right)^2+\left(4\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{9+16}\) একক
= \(\sqrt{25}\) একক
= 5 একক
3. প্রমাণ করি যে, (-2, -11) বিন্দুটি (-3, 7) ও (4, 6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী।
(-2, -11) এবং (-3, 7) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব
=\(\sqrt{\left(-2+3\right)^2+\left(-11-7\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(1\right)^2+\left(-18\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{1+324}\) একক
=\(\sqrt{325}\) একক
(-2, -11) এবং (4, 6) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব
=\(\sqrt{\left(-2-4\right)^2+\left(-11-6\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-6\right)^2+\left(-17\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{36+289}\) একক
= \(\sqrt{325}\) একক
∴ (-2, -11) বিন্দুটি (-3, 7) ও (4, 6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী।
4. হিসাব করে দেখাই যে, (7, 9), (3, -7) ও (-3, 3) বিন্দুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
মনে করি, A(7, 9), B(3, -7) ও C(-3, 3) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু
AB এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(7-3\right)^2+\left(9+7\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{4^2+16^2}\) একক
=\(\sqrt{16+256}\) একক
= \(\sqrt{272}\) একক
BC এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(3+3\right)^2+\left(-7-3\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{6^2+\left(-10\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{36+100}\) একক
=\(\sqrt{136}\) একক
CA এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(-3-7\right)^2+\left(3-9\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-10\right)^2+\left(-6\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{100+36}\) একক
=\(\sqrt{136}\) একক
ABC ত্রিভুজের
\({BC}^2+CA^2=\left(\sqrt{136}\right)^2+\left(\sqrt{136}\right)^2\)
= 136+136
= 272
=\(\left(\sqrt{272}\right)^2=\mathrm{\mathrm{AB^2}}\)
∴ (7, 9), (3, -7) ও (-3, 3) বিন্দুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
5. প্রমাণ করি যে, উভয়ক্ষেত্রে নীচের বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুঃ
(i) (1, 4), (4, 1) ও (8, 8)
সমাধানঃ
মনে করি, A(1, 4), B(4, 1) ও C(8, 8) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু
AB এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(1-4\right)^2+\left(4-1\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(3\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{9+9}\) একক
= \(\sqrt{18}\) একক
BC এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(4-8\right)^2+\left(1-8\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-7\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{16+49}\) একক
=\(\sqrt{65}\) একক
CA এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(8-1\right)^2+\left(8-4\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{\left(7\right)^2+\left(4\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{49+16}\) একক
= \(\sqrt{65}\) একক
ABC ত্রিভুজের BC=CA
∴ ∆ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
∴ (1, 4), (4, 1) ও (8, 8) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
5. প্রমাণ করি যে, উভয়ক্ষেত্রে নীচের বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুঃ
(ii) (-2, -2), (2, 2) ও (4, -4)
সমাধানঃ
মনে করি, A(-2, -2), B(2, 2) ও C(4, -4) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ।
AB এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(-2-2\right)^2+\left(-2-2\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-4\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{16+16}\) একক
=\(\sqrt{32}\) একক
BC এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(2-4\right)^2+\left(2+4\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(6\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{4+36}\) একক
= \(\sqrt{40}\) একক
CA এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(4+2\right)^2+\left(-4+2\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(6\right)^2+\left(-2\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{36+4}\) একক
= \(\sqrt{40}\) একক
ABC ত্রিভুজের BC=CA
∴ ∆ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
∴ (-2, -2), (2, 2) ও (4, -4) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু
6. প্রমাণ করি যে, A(3, 3), B(8, -2) ও C(-2, -2) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। ∆ABC এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
AB এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(3-8\right)^2+\left(3+2\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-5\right)^2+\left(5\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{25+25}\) একক
=\(\sqrt{50}\) একক
BC এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(8+2\right)^2+\left(-2+2\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(10\right)^2+0}\) একক
=\(\sqrt{100}\) একক
= 10 একক
CA এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(-2-3\right)^2+\left(-2-3\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-5\right)^2+\left(-5\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{25+25}\) একক
=\(\sqrt{50}\) একক
ABC ত্রিভুজের AB=CA
∴ ∆ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
আবার, ABC ত্রিভুজের
\(AB^2+CA^2=\left(\sqrt{50}\right)^2+\left(\sqrt{50}\right)^2\)
=50+50
=100
=\(\left(10\right)^2=BC^2\)
∴ ∆ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ
∴ A (3,3), B(8,-2) ও C(-2,-2) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু
এবং ∆ABC এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য, BC = 10 একক
 | Part 1 | WBBSE Board Class 9 Math Solution){kind=link}
0 Comments