4. স্থানাঙ্ক জ্যামিতিঃ দূরত্ব নির্ণয় (Co-Ordinate Geometry: Distance Formula) | কষে দেখি 4 | Exercise 4 | Part 2 | Ganit Prabha Class IX math solution | WBBSE Class 9 Math Solution in Bengali
7. হিসাব করে দেখাও যে, (2,1), (0,0), (-1,2) এবং (1,3) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌনিক বিন্দু।
মনে করি, A(2,1), B(0,0), C(-1,2) এবং D(1,3) বিন্দুগুলি একটি চতুর্ভুজের চারটি কৌনিক বিন্দু।
AB এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(2-0\right)^2+\left(1-0\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(2\right)^2+1}\) একক
=\(\sqrt{4+1}\) একক
=\(\sqrt5\) একক
BC এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(0+1\right)^2+\left(0-2\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(1\right)^2+(-2)^2}\) একক
=\(\sqrt{1+4}\) একক
= \(\sqrt5\) একক
CD এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(-1-1\right)^2+\left(2-3\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{4+1} \)একক
=\(\sqrt5\) একক
DA এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(1-2\right)^2+\left(3-1\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(2\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{1+4}\) একক
=\(\sqrt5\) একক
AC এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(2+1\right)^2+\left(1-2\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(3\right)^2+\left(-1\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{9+1}\) একক
=\(\sqrt{10}\) একক
BD এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(0-3\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-3\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{1+9}\) একক
=\(\sqrt{10}\) একক
ABCD চতুর্ভুজের "AB"=BC=CD=DA
এবং কর্ণ "AC= কর্ণ BD"
∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি বর্গক্ষেত্র
∴ (2,1), (0,0), (-1,2) এবং (1,3) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌনিক বিন্দু।
8. হিসাব করে দেখি, y এর মান কত হলে (2,y) এবং (10,-9) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব 10 একক হবে।
সমাধানঃ
(2,y) এবং (10,-9) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব
= \(\sqrt{\left(2-10\right)^2+\left(y+9\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{\left(-8\right)^2+y^2+18y+81}\) একক
= \(\sqrt{64+y^2+18y+81}\) একক
= \(\sqrt{y^2+18y+145}\) একক
শর্তানুসারে,
\(\sqrt{y^2+18y+145}=10\)
বা, \(y^2+18y+145={10}^2\)
বা, \(y^2+18y+145-100=0\)
বা, \(y^2+18y+45=0\)
বা, \(y^2+15y+3y+45=0\)
বা, y(y+15)+3(y+15)=0
বা, (y+15)(y+3)=0
হয় y+15=0 অথবা, y+3=0
বা, y=-15 বা, y=-3
∴ y= -15 বা, -3 হলে (2,y) এবং (10,-9)
বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব 10 একক হবে।
9. x অক্ষের উপর এমন একটি বিন্দু খুঁজি যা (3,5) ও (1,3) বিন্দু দুটি থেকে সমদূরবর্তী।
মনে করি, x অক্ষের উপর নির্ণেয় বিন্দুটি হল (p,0)
(p,0) এবং (3,5) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব
=\(\sqrt{\left(p-3\right)^2+\left(0-5\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{p^2-6p{+}9+25}\) একক
=\(\sqrt{p^2-\mathrm{6p} +\mathrm{34} }\) একক
(p,0) এবং (1,3) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব
= \(\sqrt{\left(p-1\right)^2+\left(0-3\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{p^2-2p{+}1+9}\)একক
= \(\sqrt{p^2-\mathrm{2p} +10}\) একক
শর্তানুসারে,
\(\sqrt{p^2-\mathrm{6p} +\mathrm{34} }=\sqrt{p^2-\mathrm{2p} +10}\)
বা, \(p^2-6p+34=p^2-2p+10\)
বা, \(p^2-6p+34-p^2+2p-10=0\)
বা, -4p+24=0
বা, -4p=-24
বা, p=6
∴ নির্ণেয় বিন্দুটি হল (6, 0)
10. O(0, 0), A(4, 3) এবং B(8, 6) বিন্দু তিনটি সমরেখ কিনা হিসাব করে লিখি।
OA = \(\sqrt{\left(0-4\right)^2+\left(0-3\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-3\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{16+9}\)একক
=\(\sqrt{25}\) একক
= 5 একক
AB = \(\sqrt{\left(4-8\right)^2+\left(3-6\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-3\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{16+9}\) একক
=\(\sqrt{25}\) একক
= 5 একক
OB = \(\sqrt{\left(0-8\right)^2+\left(0-6\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-8\right)^2+\left(-6\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{64+36}\) একক
=\(\sqrt{100}\) একক
= 10 একক
OA+AB
=5+5
=10=OB
∴ O(0,0), A(4,3) এবং B(8,6) বিন্দু তিনটি সমরেখ।
11. দেখাই যে, (2, 2), (-2, -2) এবং \((-2\sqrt3,2\sqrt3\)) বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
মনে করি, A(2, 2), B(-2, -2) ও C(-2√3, 2√3) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
AB এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(2+2\right)^2+\left(2+2\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(4\right)^2+\left(4\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{16+16}\) একক
= \(\sqrt{32}\) একক
BC এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(-2+2\sqrt3\right)^2+\left(-2-2\sqrt3\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{2\left\{\left(-2\right)^2+\left(2\sqrt3\right)^2\right\}}\) একক
=\(\sqrt{2(4+12)}\) একক
=\(\sqrt{2\times16}\) একক
=\(\sqrt{32}\) একক
CA এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(-2\sqrt3-2\right)^2+\left(2\sqrt3-2\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-2-2\sqrt3\right)^2+\left(-2+2\sqrt3\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{2\left\{\left(-2\right)^2+\left(2\sqrt3\right)^2\right\}}\) একক
=\(\sqrt{2(4+12)}\) একক
= \(\sqrt{2\times16}\) একক
= \(\sqrt{32}\) একক
ABC ত্রিভুজের AB=BC=CA
∴ ∆ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ
∴ (2, 2), (-2, -2) এবং (-2√3, 2√3) বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
12. দেখাই যে, (-7,12), (19,18), (15, -6) এবং (-11, -12) বিন্দুগুলি পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়।
মনে করি, A(-7, 12), B(19, 18), C(15, -6) এবং D(-11, -12) বিন্দুগুলি একটি চতুর্ভুজের চারটি কৌনিক বিন্দু।
AB এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(-7-19\right)^2+\left(12-18\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-26\right)^2+\left(-6\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{676+36}\) একক
= \(\sqrt{712}\) একক
BC এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(19-15\right)^2+\left(18+6\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(4\right)^2+(24)^2}\) একক
=\(\sqrt{16+576}\) একক
= \(\sqrt{592}\) একক
CD এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(15+11\right)^2+\left(-6+12\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(26\right)^2+\left(6\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{676+36}\) একক
= \(\sqrt{712}\) একক
DA এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(-11+7\right)^2+\left(-12-12\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-24\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{16+576}\) একক
= \(\sqrt{592}\) একক
AC এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(-7-15\right)^2+\left(12+6\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-22\right)^2+\left(18\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{484+324}\) একক
= \(\sqrt{808}\) একক
BD এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(19+11\right)^2+\left(18+12\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(30\right)^2+\left(30\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{900+900}\) একক
= l একক
ABCD চতুর্ভুজের AB=CD, BC=AD
এবং কর্ণ AC≠ কর্ণ BD
∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক
∴ (-7,12), (19,18), (15,-6) এবং (-11,-12) বিন্দুগুলি পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়।
13. দেখাই যে, (2,-2), (8,4), (5,7) এবং (-1,1) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।
মনে করি, A(2,-2), B(8,4), C(5,7) এবং D(-1,1) বিন্দুগুলি একটি চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু
AB এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(2-8\right)^2+\left(-2-4\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-6\right)^2+\left(-6\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{36+36}\) একক
= \(\sqrt{72}\) একক
BC এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(8-5\right)^2+\left(4-7\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(3\right)^2+(-3)^2}\) একক
=\(\sqrt{9+9}\) একক
= \(\sqrt{18}\) একক
CD এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(5+1\right)^2+\left(7-1\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(6\right)^2+\left(6\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{36+36}\) একক
= \(\sqrt{72}\) একক
DA এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(-1-2\right)^2+\left(1+2\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(3\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{9+9}\) একক
= \(\sqrt{18}\) একক
AC এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(2-5\right)^2+\left(-2-7\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(-9\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{9+81}\) একক
=\(\sqrt{90}\) একক
BD এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(8+1\right)^2+\left(4-1\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(9\right)^2+\left(3\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{81+9}\) একক
=\(\sqrt{90}\) একক
ABCD চতুর্ভুজের AB=CD, BC=DA
এবং কর্ণ AC= কর্ণ BD
∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র ।
∴ (2,-2),(8,4),(5,7) এবং (-1,1) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।
14. দেখাই যে, (2,5), (5,9), (9,12) এবং (6,8) বিন্দুগুলি পরস্পর যোগ করলে একটি রম্বস উৎপন্ন হয়।
মনে করি, A(2,5), B(5,9), C(9,12) এবং D(6,8) বিন্দুগুলি পরস্পর যোগ করলে একটি রম্বস উৎপন্ন হয়।
AB এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(2-5\right)^2+\left(5-9\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(-4\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{9+16}\) একক
= \(\sqrt{25}\) একক
= 5 একক
BC এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(5-9\right)^2+\left(9-12\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-4\right)^2+(-3)^2}\) একক
=\(\sqrt{16+9}\) একক
= \(\sqrt{25}\) একক
= 5 একক
CD এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(9-6\right)^2+\left(12-8\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(3\right)^2+\left(4\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{9+16}\) একক
=\(\sqrt{25}\) একক
= 5 একক
DA এর দৈর্ঘ্য
=\(\sqrt{\left(6-2\right)^2+\left(8-5\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(4\right)^2+\left(3\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{16+9}\) একক
=\(\sqrt{25}\) একক
= 5 একক
AC এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(2-9\right)^2+\left(5-12\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-7\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{49+49}\) একক
= \(\sqrt{98}\) একক
BD এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(5-6\right)^2+\left(9-8\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(1\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{1+1}\) একক
=\(\sqrt2\) একক
ABCD চতুর্ভুজের AB=BC=CD=DA
এবং কর্ণ AC≠কর্ণ BD
∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি রম্বস।
∴ (2,5), (5,9), (9,12) এবং (6,8) বিন্দুগুলি পরস্পর যোগ করলে একটি রম্বস উৎপন্ন হয়।
 | Part 2 | WBBSE Board Class 9 Math Solution){kind=link}
0 Comments