9. ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণের সম্পর্ক | কষে দেখি 9 | Exercise 9 | Ganit Prabha Class VIII math solution | WBBSE Class 8 Math Solution in Bengali
গণিত প্রভা VIII কষে দেখি 9 সমাধান
1. নীচের সমদ্বিবাহু ত্রিভুজগুলি দেখি ও না মেপে প্রতিটি ত্রিভুজের কোন দুটি বাহু সমান হবে লিখিঃ
প্রথম চিত্রে, \(ABC\) ত্রিভুজের \(\angle BAC=70°\)এবং \(\angle ACB=70°\)
∴ \(\angle ACB=\angle BAC\)
∴ \(AB=BC\)
দ্বিতীয় চিত্রে, \(PQR\) ত্রিভুজের \(\angle RPQ=45°\) এবং \(\angle PRQ=45°\)
∴ \(\angle PRQ=\angle RPQ\)
∴ \(PQ=QR\)
তৃতীয় চিত্রে, \(XYZ\) ত্রিভুজের \(\angle YXZ=35°\) এবং \(\angle XZY=35°\)
∴ \(\angle XZY=\angle YXZ\)
∴ \(XY=YZ\)
2. নীচের সমদ্বিবাহু ত্রিভুজগুলি দেখি ও না মেপে প্রতিটি ত্রিভুজের কোন কোণগুলি সমান হবে লিখিঃ
প্রথম চিত্রে, \(ABC\) ত্রিভুজের \(AB=5\) সেমি. এবং \(BC=5\) সেমি.
∴ \(AB=BC\)
∴ \(\angle BCA=\angle BAC\)
দ্বিতীয় চিত্রে, \(PQR\) ত্রিভুজের \(PQ=8\)\ সেমি. এবং \(PR=8\) সেমি.
∴ \(PR=PQ\)
∴ \(\angle PQR=\angle PRQ\)
3. AB ও CD সরলরেখাংশ দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করে।প্রমান করি যে AC ও BD সরলরেখাংশ দুটি পরস্পর সমান্তরাল। ABCD চতুর্ভুজটি কী ধরনের চতুর্ভুজ তা লিখি।
প্রদত্তঃ AB ও CD সরলরেখাংশ দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করেছে।
অর্থাৎ AO=OB এবং CO=OD
প্রামাণ্যঃ AC||BD
প্রমাণঃ ∆AOC এবং ∆BOD এর মধ্যে,
AO=OB [প্রদত্ত]
\(\angle AOC=\angle BOD\) [বিপ্রতীপ কোণ]
CO=OD [প্রদত্ত]
∴ ∆AOC≅∆BOD [S-A-S সর্বসমতার শর্তানুসারে]
∴ \(\angle CAO=\angle OBD\) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]
∴ \(\angle CAB=\angle ABD\)
কিন্তু এরা একান্তর কোণ ∴ AC||BD [প্রমাণিত]
একইরকম ভাবে,
∆AOD ও ∆BOC সর্বসম ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রমাণ করতে পারি যে, AD||BC
ABCD চতুর্ভুজের AC||BD এবং AD||BC
∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
4. AB এবং CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখার উপর E ও F দুটি বিন্দু। EF সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু O; O বিন্দু দিয়ে যেকোনো সরলরেখাংশ টানা হলো যা AB ও CD সরলরেখাকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PQ সরলরেখাংশ O বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়।
প্রদত্তঃ AB এবং CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখার উপর E ও F দুটি বিন্দু। EF সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু O। অর্থাৎ, EO=OF
O বিন্দু দিয়ে PQ সরলরেখা টানা হল যা AB ও CD সরলরেখাকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্যঃ PO=OQ
প্রমাণঃ
∆EOP এবং ∆FOQ এর মধ্যে
\(\angle EOP=\angle FOQ\) [ বিপ্রতীপ কোণ ]
\(\angle OEP=\angle OFQ\) [ ∵ \(\angle FEP=\) একান্তর \(\angle EFQ\) ]
EO=OF [প্রদত্ত]
∴ ∆EOP≅∆FOQ [সর্বসমতার A-A-S শর্তানুসারে]
∴ PO=OQ [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] [প্রমাণিত]
5. প্রমাণ করি যে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমিকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে যে দুটি বহিঃকোণ উৎপন্ন হয় তাদের পরিমাপ সমান।
প্রদত্তঃ ধরি, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=AC এবং BC বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করায় দুটি বহিঃকোণ \(\angle ABD\) ও \(\angle ACE\) উৎপন্ন হল।
প্রামাণ্যঃ \(\angle ABD=\angle ACE\)
প্রমাণঃ
ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AC=AB
∴ \(\angle ABC=\angle ACB\)
DC বাহুর উপর\ BA দন্ডায়মান
∴ \(\angle ABC+\angle ABD=180°\) (1)
BE বাহুর উপর CA দন্ডায়মান
∴ \(\angle ACB+\angle ACE=180°\) (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
\(\angle ABC+\angle ABD=\angle ACB+\angle ACE\)
বা, \(\angle ACB+\angle ABD=\angle ACB+\angle ACE\)
[\(\because\) \(\angle ABC=\angle ACB\)]
∴ \(\angle ABD=\angle ACE\) [প্রমাণিত]
6. প্রমাণ করি যে, সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটির দৈর্ঘ্য সমান।
প্রদত্তঃ ABC সমবাহু ত্রিভুজের AD, BE ও CF হল তিনটি মধ্যমা।
প্রমাণ্যঃ AD=BE=CF
প্রমাণঃ ∆FBC এবং ∆ECB এর মধ্যে
\(\angle FBC=\angle ECB\)
[ ∵ সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ 60°]
BF=CE
[ ∵ D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু, E, AC বাহুর মধ্যবিন্দু]
আবার, AB=AC \(\therefore\) BF=CE]
BC সাধারণ বাহু
∴ ∆FBC≅∆ECB [সর্বসমতার S-S-S শর্তানুসারে]
∴ BE=CF [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] (1)
একইরকম ভাবে,
∆AFC ও ∆CDA ত্রিভুজদুটি সর্বসম প্রমাণ করে দেখাতে পারি যে,
AD=CF (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
AD=BE=CF [প্রমাণিত]
7. ABCD ট্রাপিজিয়ামের AD||BC এবং \(\angle ABC=\angle BCD\); প্রমাণ করি যে, ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।
প্রদত্তঃ ABCD ট্রাপিজিয়ামের AD||BC এবং \(\angle ABC=\angle BCD\)
প্রামাণ্যঃ ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।
অর্থাৎ, AB=DC
অঙ্কনঃ A ও\ D বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর যথাক্রমে AE ও DF লম্ব অঙ্কন করলাম।
প্রমাণঃ
∆AEB ও ∆DFC এর মধ্যে
\(\angle ABE=\angle DCF\) [প্রদত্ত]
\(\angle AEB=\angle DFC\) [∵ AE ও DF, BC বাহুর উপর লম্ব]
AE=DF [∵ AD||BC ∴ AD ও BC বাহুর মধ্যে লম্ব দূরত্ব সমান]
∴ ∆AEB≅∆DFC [সর্বসমতার A-A-S শর্তানুসারে]
∴ AB=DC [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] [প্রমাণিত]
8. ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB অতিভুজ। \(\angle BAC\) এর সমদ্বিখন্ডক AD, BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, AC+CD=AB
প্রদত্তঃ ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB অতিভুজ।
\(\angle BAC\) এর সমদ্বিখন্ডক AD, BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্যঃ AC+CD=AB
অঙ্কনঃ D বিন্দু থেকে AB বাহুর উপর DE লম্ব অঙ্কন করলাম।
প্রমাণঃ যেহেতু, ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB অতিভুজ।
সুতরাং, \(\angle ACB=90°\)
∆ACD ও ∆AED এর মধ্যে
\(\angle ACD=\angle AED=90°\) [ ∵ \(DE\bot AB\) ]
\(\angle CAD=\angle EAD\) [ ∵ \(\angle BAC\) এর সমদ্বিখন্ডক AD ]
AD সাধারণ বাহু
∴ ∆ACD≅∆AED [সর্বসমতার A-A-S শর্তানুসারে]
∴ AC=AE এবং CD=DE (1)
ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
∴ AC=BC
সুতরাং, \(\angle CAB=\angle ABC=\frac{90°}{2}=45°\)
∴ BDE সমকোণী ত্রিভুজের \(\angle EBD=45°\)
[∵ \(\angle ABC=45°\)]
\(\angle EDB=90°-45° =45°\)
∴ ∆BDE এর \(\angle EBD=\angle EDB\)
∴ DE=EB (2)
(1) ও (2) থেকে পাই
DE=EB (3)
AC+CD
=AE+DE [ (1) নং থেকে পাই]
=AE+EB [(3) নং থেকে পাই]
=AB
∴ AC+CD=AB [প্রমাণিত]
9. ABC এবং DBC দুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যাদের AB=AC ও DB=DC এবং তারা BC বাহুর বিপরীত পাশে অবস্থিত। প্রমাণ করি যে, AD, BC বাহুকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
প্রদত্তঃ ABC এবং DBC দুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যাদের AB=AC ও DB=DC
ধরি, AD, BC কে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্যঃ AD, BC বাহুকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
অর্থাৎ, BO=OD এবং \(AD\bot BC\)
প্রমাণঃ ∆ABD ও ∆ACD এর মধ্যে
AB=AC [প্রদত্ত]
BD=DC [প্রদত্ত]
AD সাধারণ বাহু
∴ ∆ABD≅∆ACD [সর্বসমতার S-S-S শর্তানুসারে]
∴ \(\angle BAD=\angle CAD\) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]
∆ABO ও ∆ACO এর মধ্যে
AB=AC [প্রদত্ত]
\(\angle BAO=\angle CAO\) [∵ \(\angle BAD=\angle CAD\)]
AO সাধারণ বাহু
∴ ∆ABO≅∆ACO [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
∴ BO=OC [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
এবং \(\angle AOB=\angle AOC\) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]
আবার, BC বাহুর উপর OA দন্ডায়মান
∴ \(\angle AOB+\angle AOC=180°\)
বা, \(\angle AOB+\angle AOB=180°\)
বা, \(2\angle AOB\ =180°\)
∴ \(\angle AOB\ =90°\)
∴ \(AD\bot BC\)
সুতরাং, BO=OC এবং \(AD\bot BC\) [প্রমাণিত]
10. দুটি সরলরেখাংশ PQ ও RS পরস্পরকে X বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করে যাতে XP=XR এবং \(\angle PSX=\angle RQX\) হয়। প্রমাণ করি যে, ∆PXS≅∆RQX
প্রদত্তঃ PQ ও RS সরলরেখা দুটি পরস্পরকে X বিন্দুতে ছেদ করে এবং XP=XR এবং \(\angle PSX=\angle RQX\)
প্রামাণ্যঃ ∆PXS≅∆RQX
প্রমাণঃ ∆PXS ও ∆RQX এর মধ্যে
\(\angle PSX=\angle RQX\) [প্রদত্ত]
\(\angle PXS=\angle RXQ\) [বিপ্রতীপ কোণ]
XP=XR [প্রদত্ত]
∴ ∆PXS≅∆RQX [সর্বসমতার A-A-S শর্তানুসারে]
[ প্রমাণিত ]
0 Comments