1.একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ || কষে দেখি 1.2 || WBBSE Math Solution

1.   নীচের প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত মানগুলি প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ কিনা যাচাই করে লিখিঃ  

(i) x²+x+1=0, 1 ও -1

উত্তরঃ

x²+x+1=0---------(1)

(1)নং সমীকরণের বামপক্ষে x=1 বসিয়ে পাই,

1²+1+1=1+1+1=3≠0

∴ x=1, (I)নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে না।

∴ 1, (I)নং দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ নয়।

(1)নং সমীকরণের বামপক্ষে x=-1 বসিয়ে পাই,

(-1)²+(-1)+1=1-1+1=1≠0

∴ x=-1, (I)নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে না।

∴ -1, (I)নং দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ নয়।

সুতরাং, 1, -1 উভয়েই x²+x+1=0 সমীকরণের বীজ নয়। 

(ii) 8x²+7x=0, 0 ও -2

উত্তরঃ

8x²+7x=0---------(1)

(1)নং সমীকরণের বামপক্ষে x=1 বসিয়ে পাই,

8.0²+7.0=0+0=0

∴ x=0, (I)নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

∴ 0, (I)নং দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ।

(1)নং সমীকরণের বামপক্ষে x=-2 বসিয়ে পাই,

8.(-2)²+7(-2)=32-14=18≠0

∴ x=-2, (I)নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে না।

∴ -2, (I)নং দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ নয়।

সুতরাং, 0, 8x²+7x=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 

কিন্তু -2, 8x²+7x=0 দ্বিঘাত সমীকরণের  একটি বীজ নয়। 

(iii) \(x+{1 \over x}={13 \over 6}, {5 \over 6}\) ও \({ 4 \over 3}\)

উত্তরঃ

 \(x+{1 \over x}={13 \over 6}\)

বা,  \({{x^2+1}\over x}={13 \over 6}\)

বা, 6(x²+1)=13x

বা, 6x²+6-13x=0

বা, 6x²-13x+6=0---------(1)

(1)নং সমীকরণের বামপক্ষে \(x={5 \over 6}\) বসিয়ে পাই,

\(6 \times ({5 \over 6})^2-13 \times {5 \over 6}+6\)

\(=6 \times {25 \over 36}-{65 \over 6}+6\)

\(= {25 \over 66}-{65 \over 6}+6\)

\(= {{25-65+36} \over 6}\)

\(= -{4\over 6} \ne 0\)

∴  \({5 \over 6}\), (I)নং দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ নয়।

(1)নং সমীকরণের বামপক্ষে \(x={4 \over 3}\) বসিয়ে পাই,

\(6 \times ({4 \over 3})^2-13 \times {4 \over 3}+6\)

\(=6 \times {16 \over 9}-{52 \over 3}+6\)

\(= {32 \over3}-{52 \over 3}+6\)

\(= {{32-52+18} \over 6}\)

\(= -{2\over 3} \ne 0\)

∴  \({4 \over 3}\), (I)নং দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ নয়।

সুতরাং, \({5 \over 6}\), \({4 \over 3}\) উভয়েই  \(x+{1 \over x}={13 \over 6}\) সমীকরণের বীজ নয়। 

(iv) x²-√3x-6=0, -√3 ও 2√3

উত্তরঃ

x²-√3x-6=0----------(1)

(1)নং সমীকরণের বামপক্ষে x=-√3 বসিয়ে পাই,

(-√3 )²-√3.(-√3) -6=3+3-6=0

∴ -√3, (I)নং দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ।

(1)নং সমীকরণের বামপক্ষে x=2√3 বসিয়ে পাই,

(2√3 )²-√3.(2√3) -6=12-6-6=0

∴ 2√3, (I)নং দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ।

সুতরাং, -√3, 2√3 উভয়েই x²-√3x-6=0 সমীকরণের বীজ নয়। 

2. (i) k -এর কোন মানের জন্য 7x²+kx-3=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \({2 \over 3}\) হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

যেহেতু,  7x²+kx-3=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \({2 \over 3}\) 

সুতরাং, \(7 \times ({2 \over 3})^2+{k \times {2 \over 3}}-3=0\)

বা, \(7 \times {4 \over 9}+ {2k \over 3}-3=0\)

বা, \( {28 \over 9}+ {2k \over 3}-3=0\)

বা, \( {{28+6k-27} \over 9}=0\)

বা, \( 6k+1=0\)

বা, \( 6k=-1\)

∴ \( k=-{1 \over 6}\)

∴  \( k=-{1 \over 6}\) হলে 7x²+kx-3=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \({2 \over 3}\) হবে। 

 (ii) k -এর কোন মানের জন্য x²+3ax+k=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ -a হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

যেহেতু,  x²+3ax+k=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ -a

 সুতরাং, (-a)²+3a.(-a)+k=0

বা, a²-3a²+k=0

বা, -2a²+k=0

∴ k=2a²

∴  k=2a² হলে x²+3ax+k=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ -a হবে। 

3.    যদি ax²+7x+b=0  দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ \({2 \over 3}\) এবং -3 হয় তবে a ও b -এর মান নির্ণয় করি।

উত্তরঃ 

যেহেতু,  ax²+7x+b=0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ \({2 \over 3}\) এবং -3

সুতরাং,  \(a \times ({2 \over 3})^2+{7 \times {2 \over 3}}+b=0\)

বা, \({4a \over 9}+{14 \over 3} +b=0\)

বা, \( {{4a+42+9b} \over 9}=0\)

বা, 4a+9b+42=0-----------(1)

আবার, a.(-3)²+7.(-3)+b=0

বা, 9a-21+b=0

বা, b=21-9a -------------(2)

(1)নং সমীকরণে b এর পরিবর্তে 21-9a বসিয়ে পাই,

4a+9(21-9a)+42=0

বা, 4a+189-81a+42=0

বা, -77a+231=0

বা, -77a=-231

বা, 77a=231

∴ \(a={231 \over 77}=3\)

(2)নং সমীকরণে a এর মান বসিয়ে পাই,

b=21-9.3=21-27=-6

∴ a=3 এবং b=-6

4. সমাধান করিঃ

  (i) 3y²-20=160-2y²

^{উত্তরঃ} 

^{3y2-20=160-2y2}

বা, 3y²+2y²=160+20

বা, 5y²=180

বা, \(y^2={180 \over5}\)

বা, y²=36

∴ y=±6

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান y=6 এবং y=-6

 (ii) (2x+1)²+(x+1)²=6x+47

উত্তরঃ 

(2x+1)²+(x+1)²=6x+47

বা, 4x²+4x+1+x²+2x+1=6x+47

বা, 5x²+6x+2-6x-47=0

বা, 5x²-45=0

বা, \(x^2={45 \over5}\)

বা, x²=9

∴ x=±3

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান x=3 এবং x=-3

 (iii) (x-7)(x-9)=195

উত্তরঃ 

(x-7)(x-9)=195

বা, x²-7x-9x+63=195

বা, x²-16x+63-195=0

বা, x²-16x-132=0

বা, x²-22x+6x-132=0

বা, x(x-22)-22(x-6)=0

বা, (x-6)(x-22)=0

হয়, x-6=0    ∴ x=6

অথবা x-22=0 ∴ x=22

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান x=6 এবং x=22

 (iv) \(3x-{24 \over x}={x \over 3}, x\ne0\)

উত্তরঃ 

\(3x-{24 \over x}={x \over 3}\)

বা, \({{3x^2-24} \over x}={x \over 3}\)

বা, \(3(3x^2-24)=x^2\)

বা, 9x²-72-x²=0

বা, 8x²=72

বা, x²=9

∴ x=±3

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান x=3 এবং x=-3

  (v)\({x \over 3}+{3 \over x}={15 \over x}, x\ne 0\)

উত্তরঃ 

\({x \over 3}+{3 \over x}={15 \over x}\)

বা, \({x \over 3}={ 15 \over x}-{ 3 \over x}\)

বা, \({x \over 3}={{15-3} \over x }\)

বা, \({x \over 3}={{12} \over x }\)

বা, x²=36

∴ x=±6

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান x=6 এবং x=-6

 (vi) \(10x-{1 \over x}=3, x\ne0\)

উত্তরঃ 

\(10x-{1 \over x}=3\)

বা, \({{10x^2-1} \over x}=3\)

বা, 10x²-1=3x

বা, 10x²-3x-1=0

বা, 10x²-5x+2x-1=0

বা, 5x(2x-1)+1(2x-1)=0

বা, (2x-1)(5x+1)=0

হয়, 2x-1=0  ∴ \(x= {1 \over 2}\)

অথবা, 5x+1=0  ∴ \(x= -{1 \over 5}\)

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান \(x= {1 \over 2}\) এবং \(x= -{1 \over 5}\)

 (vii)\({2 \over x^2}-{5\over x}+2=0, x\ne0\)

উত্তরঃ 

\({2 \over x^2}-{5\over x}+2=0\)

বা, \({{2-5x+2x^2} \over x^2}=0\)

বা, 2-5x+2x²=0

বা, 2-4x-x+2x²=0

বা, 2(1-2x)-x(1-2x)=0

বা, (1-2x)(1-x)=0

হয়, 1-2x=0 ∴ \(x= {1 \over 2}\)

অথবা, 1-x=0    ∴ x=1

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান \(x= {1 \over 2}\) এবং x=1

 (viii) \({(x-2) \over (x+2)}+6({{x-2}\over{x-6}})=1,x\ne-2, 6\)

উত্তরঃ 

\({(x-2) \over (x+2)}+6({{x-2}\over{x-6}})=1\)

বা, \(6({{x-2}\over{x-6}})=1-{(x-2) \over (x+2)}\)

বা, \(6({{x-2}\over{x-6}})={{(x+2)-(x-2)} \over (x+2)}\)

বা, \(6({{x-2}\over{x-6}})={{(x+2-x+2)} \over (x+2)}\)

বা, \(6({{x-2}\over{x-6}})={4 \over (x+2)}\)

বা, 6(x-2)(x+2)=4(x-6)

বা, 6(x²-2²)=4x-24

বা, 6(x²-4)=4x-24

বা, 6x²-24-4x+24=0

বা,  6x²-4x=0

বা, 2x(3x-2)=0

হয়, 2x=0 ∴ x=0

অথবা, 3x-2=0  ∴ \(x= {2 \over 3}\)

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান x=0 এবং \(x= {2 \over 3}\)

 (ix) \({1 \over {x-3}}-{1 \over {x+5}}={1 \over 6}, x\ne3, -5\)

উত্তরঃ

\({1 \over {x-3}}-{1 \over {x+5}}={1 \over 6}\)

বা, \({{(x+5)-(x-3)} \over (x-3)(x+5)}={1 \over 6}\)

বা, \({{x+5-x+3} \over (x^2-3x+5x-15)}={1 \over 6}\)

বা, x²-3x+5x-15=48

বা, x²+2x-15-48=0

বা, x²+2x-63=0

বা,  x²+9x-7x-63=0

বা, x(x+9)-7(x+9)=0

বা, (x+9)(x-7)=0

হয়, x+9=0 ∴ x=-9

অথবা, x-7=.0 ∴ x=7

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান x=-9 এবং x=7

 (x) \({x \over {x+1}}-{{x+1} \over x}=2{1 \over 12}, x\ne0, -1\)

উত্তরঃ 

\({x \over {x+1}}-{{x+1} \over x}=2{1 \over 12}\)

বা, \({{x^2+(x+1})^2 \over {x(x+1)}}={25 \over 12}\)

বা, 25x(x+1)=12{x²+(x+1)²}

বা, 25x²+25x=12(x²+x²+2x+1)

বা, 25x²+25x=12(2x²+2x+1)

বা, 25x²+25x=24x²+24x+12

বা, 25x²+25x-24x²-24x-12=0

বা, x²+x-12=0

বা, x²+4x-3x-12=0

বা, x(x+4)-3(x+4)=0

বা, (x+4)(x-3)=0

হয়, x+4=0 ∴ x=-4

অথবা, x-3=0 ∴ x=3

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান x=-4 এবং x=3

 (xi) \({{ax+b} \over {a+bx}}={{cx+d} \over {c+dx}} [a\ne b,c\ne d]\)

\(,x\ne-{a \over b}, x\ne {-c \over d}\)

উত্তরঃ

\({{ax+b} \over {a+bx}}={{cx+d} \over {c+dx}} [a\ne b,c\ne d]\)

বা, (ax+b)(c+dx)=(a+bx)(cx+d)

বা, acx+bc+adx²+bdx=acx+bcx²+ad+bdx

বা, acx+bc+adx²+bdx-acx-bcx²-ad-bdx=0

বা, x²(ad-bc)-(ad-bc)=0

বা, (ad-bc)(x²-1)=0

বা, x²-1=0

বা, x²=1

∴ x=±1

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান x=1 এবং x=-1

 (xii) \((2x+1)+{3 \over{2x+1}}=4, x\ne -{1 \over 2}\)

উত্তরঃ 

\((2x+1)+{3 \over{2x+1}}=4\)

বা, \({{(2x+1)^2+3} \over{2x+1}}=4\)

বা, 4x²+4x+1+3=4(2x+1)

বা, 4x²+4x+4=8x+4

বা, 4x²+4x+4-8x-4=0

বা, 4x²-4x=0

বা, 4x(x-1)=0

হয়, 4x=0 ∴ x=0

অথবা, x-1=0  ∴ x=1

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান x=0 এবং x=1

 (xiii) \({{x+1}\over {2}}+{{2}\over {x+1}}={{x+1}\over {3}}+{{3}\over {x+1}}+{5 \over 6}\)

\(, x\ne -1\)

উত্তরঃ 

\({{x+1}\over {2}}+{{2}\over {x+1}}={{x+1}\over {3}}+{{3}\over {x+1}}+{5 \over 6}\)

বা, \({{x+1}\over {2}}-{(x+1) \over 3}+{5 \over 6}={{3}\over {x+1}}-{{2}\over {x+1}}\)

বা, \({{3(x+1)-2(x+1)+5} \over 6} ={{3-2} \over (x+1)}\)

বা, \({{3x+3-2x-2+5} \over 6} ={1 \over (x+1)}\)

বা, \({{x+6} \over 6} ={1 \over {x+1}}\)

বা, (x+6)(x+1)=6

বা,  x²+6x+x+6-6=0

বা, x²+7x=0

বা, x(x+7)=0

হয়, x=0 

অথবা, x+7=0  ∴ x=-7

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান x=0 এবং x=-7

 (xiv) \({{12x+17}\over {3x+1}}-{{2x+15}\over {x+7}}=3{{1}\over {5}}\)

\(, x\ne -{1 \over 3}, -7\)

উত্তরঃ 

\({{12x+17}\over {3x+1}}-{{2x+15}\over {x+7}}=3{{1}\over {5}}\)

বা, \({{(12x+17)(x+7)-(2x+15)(3x+1)} \over (3x+1)(x+7)}={ 16 \over 5}\)

বা, \({{(12x^2+17x+84x+119)-(6x^2+45x+2x+15)} \over {3x^2+x+21x+7}}= {16 \over 5}\)

বা, \({{12x^2+17x+84x+119-6x^2-45x-2x-15} \over {3x^2+22x+7}}= {16 \over 5}\)

বা, \({{6x^2+54x+104} \over {3x^2+22x+7}}= {16 \over 5}\)

বা, 16(3x²+22x+7)=5(6x²+54x+104)

বা, 48x²+352x+112=30x²+270x+520

বা, 48x²+352x+112-30x²-270x-520=0

বা, 18x²+82x-408=0

বা, 2(9x²+41x+204)=0

বা, 9x²+41x+204=0

বা, 9x²+68x-27x+204=0

বা, x(9x+68)-3(9x+68)=0

বা, (9x+68)(x-3)=0

হয়, 9x+68=0 ∴ \(x=-{68 \over 9}\)

অথবা, x-3=.0 ∴ x=3

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান \(x=-{68 \over 9}\) এবং x=3

 (xv) \({(x+3) \over (x-3)}+6({{x-3}\over{x+3}})=5,x\ne3, -3\)

উত্তরঃ 

\({(x+3) \over (x-3)}+6({{x-3}\over{x+3}})=5\)

বা, \({{(x+3)^2+6(x-3)^2} \over (x-3)(x+3)}=5\)

বা, (x+3)²+6(x-3)²=5(x-3)(x+3)

বা, x²+6x+9+6(x²-6x+9)=5(x²-9)

বা, x²+6x+9+6x²-36x+54=5x²-45

বা, x²+6x+9+6x²-36x+54-5x²+45=0

বা, 2x²-30x+108=0

বা, 2(9x²-15x+54)=0

বা, x²-15x+54=0

বা, x²-6x-9x+54=0

বা, x(x-6)-9(x-6)=0

বা, (x-6)(x-9)=0

হয়, x-6=0 ∴ x=6

অথবা, x-9=.0 ∴ x=9

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান x=6 এবং x=9

 (xvi) \({1 \over {a+b+x}}={1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over x}, x\ne0, -(a+b)\)

উত্তরঃ 

\({1 \over {a+b+x}}={1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over x}\)

বা, \({1 \over {a+b+x}}-{1 \over x}={1 \over a}+{1 \over b}\)

বা, \({{x-(a+b+x)} \over x(a+b+x)}={(b+a)\over ab}\)

বা, \({-(a+b) \over x(a+b+x)}={(a+b)\over ab}\)

বা, \({-1\over (ax+bx+x^2)}={1\over ab}\)

বা, ax+bx+x²=-ab

বা, x²+ax+bx+ab=0

বা, x(x+a)+b(x+a)=0

বা, (x+a)(x+b)=0

হয়, x+a=0 ∴ x=-a

অথবা, x+b=.0 ∴ x=-b

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান x=-a এবং x=-b

 (xvii) \(({{x+a} \over{x-a}})^2-5({{x+a} \over {x-a}})+6=0, x\ne a\)

উত্তরঃ 

\(({{x+a} \over{x-a}})^2-5({{x+a} \over {x-a}})+6=0\)

বা,\({{(x+a)^2-5(x+a)(x-a)+6(x-a)^2}\over (x-a)^2}=0\)

বা,\({{(x+a)^2-5(x+a)(x-a)+6(x-a)^2}\over (x-a)^2}=0\)

বা, (x+a)²-5(x+a)(x-a)+6(x-a)²=0

বা, x²+2ax+a²-5(x²-a²)+6(x²-2ax+a²)=0

বা, x²+2ax+a²-5x²+5a²+6x²-12ax+6a²=0

বা, 2x²-10ax+12a²=0

বা, 2(x²-5ax+6a²)=0

বা, x²-5ax+6a²=0

বা, x²-2ax-3ax+6a²=0

বা, x(x-2a)-3a(x-2a)=0

বা, (x-2a)(x-3a)=0

হয়, x-2a=0 ∴ x=2a

অথবা, x-3a=0 ∴ x=3a

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান x=2a এবং x=3a

 (xviii) \({1 \over x} - {1 \over {x+b}}={1 \over a} - {1 \over {a+b}}, x\ne0, -b\)

উত্তরঃ 

\({1 \over x} - {1 \over {x+b}}={1 \over a} - {1 \over {a+b}}\)

বা, \({{x+b-x}\over x(x+b)}={{a+b-a}\over a(a+b)}\)

বা, \({{b}\over x(x+b)}={{b}\over a(a+b)}\)

বা, \({{1}\over {x^2+bx}}={{1}\over {a^2+ab}}\)

বা,  x²+bx=a²+ab

বা, x²-a²+bx-ab=0

বা, (x+a)(x-a)+b(x-a)=0

বা, (x+a)(x+b)=0

হয়, x+a=0 ∴ x=-a

অথবা, x+b=0 ∴ x=-b

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান x=-a এবং x=-b

 (xix) 

\({1 \over {(x-1)(x-2)}}+{1 \over {(x-2)(x-3)}}+{1 \over {(x-3)(x-4)}}={1 \over 6}\)

\(, x\ne1,2,3,4\)

উত্তরঃ 

\({1 \over {(x-1)(x-2)}}+{1 \over {(x-2)(x-3)}}+{1 \over {(x-3)(x-4)}}={1 \over 6}\)

বা, \({{(x-3)(x-4)+(x-1)(x-4)+(x-1)(x-2)} \over {(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}}={1 \over 6}\)

বা, \({{x^2-7x+12+x^2-5x+4+x^2-3x+2} \over {(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}}={1 \over 6}\)

বা, \({{3x^2-15x+18} \over {(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}}={1 \over 6}\)

বা, \({{3(x^2-5x+6)} \over {(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}}={1 \over 6}\)

বা, \({{3(x^2-2x-3x+6)} \over {(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}}={1 \over 6}\)

বা, \({{3\{x(x-2)-3(x-2)\}} \over {(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}}={1 \over 6}\)

বা, \({{3(x-2)(x-3)} \over {(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}}={1 \over 6}\)

বা, \({3 \over {(x-1)(x-4)}}={1 \over 6}\)

বা, (x-1)(x-4)=18

বা, x²-x-4x+4-18=0

বা, x²-5x-14=0

বা, x²-7x+2x-14=0

বা, x(x-7)+2(x-7)=0

বা, (x-7)(x+2)=0

হয়, x-7=0 ∴ x=7

অথবা, x+2=0 ∴ x=-2

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান x=7 এবং x=-2

 (xx) \({a \over {x-a}}+{b \over {x-b}}={2c \over {x-c}}, x\ne a,b,c\)

উত্তরঃ 

\({a \over {x-a}}+{b \over {x-b}}={2c \over {x-c}}\)

বা, \({a \over {x-a}}+{b \over {x-b}}={c \over {x-c}}+{c \over (x-c)}\)

বা, \({a \over {x-a}}-{c \over {x-c}}={c \over {x-c}}-{b \over {x-b}}\)

বা, \({a \over {x-a}}-{c \over {x-c}}={c \over {x-c}}-{b \over {x-b}}\)

বা, \({{a(x-c)-c(x-a)} \over {(x-a)(x-c)}}={{c(x-b)-b(x-c)} \over (x-c)(x-b)}\)

বা, \({{ax-ac-cx+ac} \over {(x-a)}}={{cx-bc-bx+bc} \over (x-b)}\) [∵ x≠c]

বা, \({{ax-cx} \over {(x-a)}}={{cx-bx} \over (x-b)}\)

বা, \({{x(a-c)} \over {(x-a)}}={{x(c-b)} \over (x-b)}\)

বা, \({{x(a-c)} \over {(x-a)}}-{{x(c-b)} \over (x-b)}=0\)

বা, \(x({{a-c}\over {x-a}}-{{c-b}\over {x-b}})=0\)

হয়, x=0

অথবা, \({{a-c}\over {x-a}}-{{c-b}\over {x-b}}=0\)

বা, \({{a-c}\over {x-a}}={{c-b}\over {x-b}}\)

বা, (a-c)(x-b)=(c-b)(x-a)

বা, ax-cx-ab+bc=cx-bx-ac+ab

বা, ax-cx-cx+bx=ab-ac+ab-bc

বা, ax-2cx+bx=2ab-ac-bc

বা, x(a-2c+b)=2ab-ac-bc

∴ \(x={(2ab-ac-bc) \over (a+b-2c)}\)

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান x=0 এবং \(x={(2ab-ac-bc) \over (a+b-2c)}\)

 (xxi) x²-(√3+2)x+2√3=0

উত্তরঃ 

x²-(√3+2)x+2√3=0

বা, x²-√3x-2x+2√3=0

বা, x(x-√3)-2(x-√3)=0

বা, (x-√3)(x-2)=0

হয়, x-√3=0 ∴ x=√3

অথবা, x-2=0 ∴ x=2

∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান x=√3 এবং x=2