13. ভেদ (Variation) | কষে দেখি 13 | Exercise 13 | Part 4 | Ganit Prakash Class X math solution | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
👉Exercise 13 Part 4 ( Q16 & Q17 )
Exercise 13 Part 4 (Q16 to Q17) Solution
16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) x∝1/y হলে,
(a) x=1/y (b) y=1/x
(c) xy=1 (d) xy= অশূণ্য ধ্রুবক
সমাধানঃ
x∝1/y
∴ x=k/y যেখানে, k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
বা, xy=k= অশূণ্য ধ্রুবক
উত্তরঃ (d) xy=অশূণ্য ধ্রুবক
(ii) যদি x∝y হয়, তখন
(a) \(x^2∝y^3\) (b) \(x^3∝y^2\)
(c) \(x∝y^3\) (d) \(x^2∝y^2\)
সমাধানঃ
x∝y
∴ x=ky [যেখানে, k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, \(x^2=(ky)^2\)
বা, \(x^2=k^2 y^2\)
∴ \(x^2∝y^2\) [যেহেতু, \(k^2\) অশূণ্য ধ্রুবক]
উত্তরঃ (d) \(x^2∝y^2\)
(iii) x∝y এবং y=8 যখন x=2; y=16 হলে, x এর মান
(a) 2 (b) 4
(c) 6 (d) 8
সমাধানঃ
x∝y
∴ x=ky [যেখানে, k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক]
y=8 হলে x=2
∴ 2=k.8
বা, \(k=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\)
∴ \(x=\frac{y}{4}\)
y=16 হলে, \(x=\frac{16}{4}=4\)
উত্তরঃ (b) 4
(iv) \(x∝y^2\) এবং y=4 যখন x=8; x=32 হলে, y এর ধনাত্মক মান
(a) 4 (b) 8
(c) 16 (d) 32
সমাধানঃ
\(x∝y^2\)
∴ \(x=ky^2\) [যেখানে, k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক]
y=4 হলে x=8
∴ \(8=k.4^2\)
বা, \(k=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\)
∴ x=\(x=\frac{y^2}{2}\)
বা, \(y^2=2x\)
x=32 হলে, \(y^2=2×32=64\)
∴ y=8
উত্তরঃ (b) 8
(v) যদি \(y-z∝\frac{1}{x}, z-x∝\frac{1}{y}, x-y∝\frac{1}{z}\) হয়, তাহলে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি
(a) 0 (b) 1
(c) -1 (d) 2
সমাধানঃ
\(y-z∝\frac{1}{x}\)
∴ \(y-z=\frac{k_1}{x}\), যেখানে, \(k_1\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
বা, \(k_1=x(y-z)\) (I)
\(z-x∝\frac{1}{y}\)
∴ \(z-x=\frac{k_2}{y}\), যেখানে, \(k_2\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
বা, \(k_2=y(z-x)\) (II)
\(x-y∝\frac{1}{z}\)
∴ \(x-y=\frac{k_2}{z}\), যেখানে, \(k_3\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
বা, \(k_2=z(x-y)\) (III)
(I)+(II)+(III) করে পাই,
\(k_1+k_2+k_3=x(y-z)+y(z-x)+z(x-y)\)
= xy-xz+yz-xy+xz-yz
= 0
উত্তরঃ (a) 0
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) \(y∝\frac{1}{x}\) হলে, \(\frac{y}{x}\) = অশূণ্য ধ্রুবক
সমাধানঃ
\(y∝\frac{1}{x}\)
∴ \(y=\frac{k}{x}\) যেখানে, k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক।
বা, xy=k= অশূণ্য ধ্রুবক
উত্তরঃ মিথ্যা
(ii) x∝z এবং y∝z হলে, xy∝z
সমাধানঃ
x∝z হলে, z∝x
আবার y∝z ∴ z∝y
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে, z∝xy
∴ xy∝z
উত্তরঃ সত্য
(C) শূণ্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) \(x∝\frac{1}{y}\) এবং \(y∝\frac{1}{z}\) হলে, x∝ _________
সমাধানঃ
\(x∝\frac{1}{y}\) এবং \(y∝\frac{1}{z}\)
∴ \(x=\frac{k_1}{y}\) এবং \(y=\frac{k_2}{z}\) [\(k_1\) এবং \(k_2\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, \(x=\frac{k_1}{\frac{k_2}{z}}\)
বা, \(x=\frac{k_1}{k_2} .z\)
∴ x∝z
উত্তরঃ z
(ii) x∝y হলে \(x^n=\)_____
সমাধানঃ
x∝y
∴ x=ky [যেখানে, k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, \(x^n=(ky)^n\)
বা, \(x^n=k^n y^n\)
∴ \(x^n∝y^n\) [যেহেতু, \(k^n\) অশূণ্য ধ্রুবক]
উত্তরঃ \(y^n\)
(iii) x∝y এবং x∝z হলে (y+z) ∝ ________
সমাধানঃ
x∝y এবং x∝z
∴ \(x=k_1 y\) বা, \(y=\frac{x}{k_1}\)
এবং \(x=k_2 z\) বা, \(z=\frac{x}{k_2}\) [\(k_1\) এবং \(k_2\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক]
\(y+z=\frac{x}{k_1} +\frac{x}{k_2}\)
বা, \(y+z=x(\frac{1}{k_1} +\frac{1}{k_2})\)
∴ y+z∝x
উত্তরঃ x
17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) \(x∝y^2\) এবং y=2a যখন x=a; x ও y এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(x∝y^2\) ∴ \(x=ky^2\) (1)
যেখানে, k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক।
y=2a এবং x=a হলে, \(a=k.(2a)^2\)
∴ \(k=\frac{1}{4a}\)
(1) নং থেকে পাই,
\(x=\frac{y^2}{4a}\)
বা, \(y^2=4ax\)
ইহাই হল নির্ণেয় সম্পর্ক।
(ii) x∝y,y∝z এবং z∝x হলে, অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুনফল নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
x∝y সুতরাং, \(x=k_1 y\) (I)
y∝z সুতরাং, \(y=k_2 z\) (II)
z∝x সুতরাং, \(z=k_3 x\) (III)
যেখানে \(k_1,k_2\), ও \(k_3\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
(I)×(II)×(III) করে পাই,
\(x×y×z=k_1 y×k_2 z×k_3 x\)
বা, \(xyz=k_1 k_2 k_3×xyz\)
∴ \(k_1 k_2 k_3=1\)
∴ ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুনফল =1
(iii) \(x∝\frac{1}{y}\) এবং \(y∝\frac{1}{z}\) হলে, x,z এর সঙ্গে সরলভেদে না ব্যস্তভেদে আছে তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(x∝\frac{1}{y}\) এবং \(y∝\frac{1}{z}\)
∴ \(x=\frac{k_1}{y}\) এবং \(y=\frac{k_2}{z}\) [ \(k_1\) এবং \(k_2\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, \(x=\frac{k_1}{\frac{k_2}{z}}\)
বা, \(x=\frac{k_1}{k_2} .z\)
∴ x∝z
∴ x,z এর সঙ্গে সরলভেদে আছে।
(iv) x∝yz এবং y∝zx হলে, দেখাই যে, z একটি অশূন্য ধ্রুবক।
সমাধানঃ
x∝yz এবং y∝zx
∴ \(x=k_1 yz\) (1)
এবং \(y=k_2 zx\) (2)
যেখানে \(k_1\) এবং \(k_2\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
(1) নং ও (2) নং সমীকরণদ্বয় গুন করে পাই
\(x.y= k_1 yz.k_2 zx\)
বা, \(xy= k_1 k_2 z^2 xy\)
বা, \(k_1 k_2 z^2=1\)
বা, \(z^2=\frac{1}{k_1 k_2}\)
বা, \(z=\sqrt{\frac{1}{k_1 k_2}}\) = অশূণ্য ধ্রুবক
∴ z= অশূণ্য ধ্রুবক
(v) যদি \(b∝a^3\) হয় এবং a এর বৃদ্ধি হয় 2:3 অনুপাতে, তাহলে b এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(b∝a^3\)
∴ \(b=ka^3\), যেখানে k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
ধরি, a এর মান 2p থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 3p হল।
যখন \(a=2k,b=k.(2p)^3=8kp^3\)
যখন a=3k, \(b=k.(3p)^3=27kp^3\)
∴ b এর বৃদ্ধির অনুপাত \(=8kp^3: 27kp^3=8:27\)
👉Exercise 13 Part 4 ( Q16 & Q17 )
 | WBBSE Board Class 10 Math Solution | Part 4 (Q16 to Q17)){kind=link}
0 Comments