24. পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত । কষে দেখি 24 | Exercise 24 solution | গণিত প্রকাশ X সমাধান | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
কষে দেখি 24 সমাধান
1. মান নির্ণয় করিঃ
(i)\(\frac{sin38°}{cos52°}\)
সমাধানঃ
আমরা জানি, sin(90°-θ)=cosθ
sin38°=sin(90°-52°)=cos52°
∴ \(\frac{sin38°}{cos52°}=\frac{cos52°}{cos52°}=1\)
(ii) \(\frac{cosec79°}{sec11°}\)
সমাধানঃ
আমরা জানি, cosec(90°-θ)=secθ
cosec79°=cosec(90°-11°)=sec11°
∴ \(\frac{cosec79°}{sec11°}=\frac{sec11°}{sec11°}=1\)
(iii) \(\frac{tan27°}{cot63°}\)
সমাধানঃ
আমরা জানি, tan(90°-θ)=cotθ
tan27°=tan(90°-63°)=cot63°
∴ \(\frac{tan27°}{cot63°}=\frac{cot63°}{cot63°}=1\)
2. দেখাই যেঃ
(i) sin66°-cos24°=0
সমাধানঃ
sin66°-cos24°
=sin(90°-24°)-cos24°
=cos24°-cos24°
=0 [প্রমাণিত]
2. দেখাই যেঃ
(ii) \(cos^2 57°+cos^2 33°=1\)
সমাধানঃ
\({cos}^2 57°+cos^2 33°\)
\(={cos}^2 (90°-33°)+cos^2 33°\)
\(={sin}^2 33°+cos^2 33°\)
\(=1\) [প্রমাণিত]
2. দেখাই যেঃ
(iii) \({cos}^2 75°-sin2 15°=0\)
সমাধানঃ
\({cos}^275°-sin215°\)
\(={cos}^2(90°-15°)-sin215°\)
\(={sin}^215°-sin215°\)
\(=0\) [প্রমাণিত]
2. দেখাই যেঃ
(iv) \(cosec^248°-tan^242°=1\)
সমাধানঃ
\({cosec}^248°-tan^242°\)
\(={cosec}^2(90°-42°)-tan^242°\)
\(={sec}^242°-tan^242°\)
\(=1+{tan}^242°-tan^242°\)
\(=1\) [প্রমাণিত]
2. দেখাই যেঃ
(v) sec70°sin20°+cos20°cosec70°=2
সমাধানঃ
sec70°sin20°+cos20°cosec70°
=sec(90°-20°)sin20°+cos20°cosec(90°-20°)
=cosec20°sin20°+cos20°sec20°
\(=\frac{1}{sin20°}sin20°+cos20°\frac{1}{cos20°}\)
=1+1
=2 [প্রমাণিত]
3. যদি \(\alpha\) ও \(\beta\) কোণ দুটি পরস্পর পূরক কোণ হয়, তাহলে দেখাই যে,
(i) \(sin^2\alpha+sin^2\beta=1\)
সমাধানঃ
যেহেতু, \(\alpha\) ও \(\beta\) পরস্পর পূরক কোণ
∴ \(\alpha+\beta=90°\)
বা, \(\alpha=90°-β\)
\({sin}^2\alpha+{sin}^2\beta\)
\(={sin}^2(90°-β)+sin2β\)
\(={cos}^2\beta+{sin}^2\beta\)
\(=1\) [প্রমাণিত]
(ii) \(cot\beta+cos\beta=\frac{cos\beta}{cos\alpha}(1+sin\beta)\)
সমাধানঃ
যেহেতু, \(\alpha\) ও \(\beta\) পরস্পর পূরক কোণ
∴ \(\alpha+\beta=90°\) বা, \(\alpha=90°-β\)
ডানপক্ষ \(=\frac{cos\beta}{cos\alpha}(1+sin\beta)\)
\(=cosβcos90°-β(1+sinβ)\)
\(=\frac{cos\beta}{sin\beta}(1+sin\beta)\)
\(=\frac{cos\beta}{sin\beta}+\frac{cos\beta}{sin\beta}\times\ sin\beta\)
\(=cot\beta+cos\beta=\) বামপক্ষ
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
(iii) \(\frac{sec\alpha}{cos\alpha}-cot^2\beta=1\)
সমাধানঃ
যেহেতু, \(\alpha\) ও \(\beta\) পরস্পর পূরক কোণ
∴ \(\alpha+\beta=90°\) বা, \(\beta=90°-α\)
\(\frac{sec\alpha}{cos\alpha}-{cot}^2\beta\)
\(=sec\alpha\times\ sec\alpha-{cot}^290°-α\)
\(={sec}^2\alpha-{tan}^2\alpha\)
\(=1+{tan}^2\alpha-{tan}^2\alpha\)
\(=1\) [প্রমাণিত]
4. যদি \(sin17°=\frac{x}{y}\) হয়, তাহলে দেখাই যে,
\(sec17°-sin73°=\frac{x^2}{y\sqrt(y^2-x^2)}\)
সমাধানঃ
যেহেতু, \({sin}^217°+cos217°=1\)
∴ \(cos17°=\sqrt{(1-sin^217°)}\)
\(=\sqrt{1-\left(\frac{x}{y}\right)^2}\)
\(=\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{y^2-x^2}{y^2}}=\frac{\sqrt{y^2-x^2}}{y}\)
\(sec17°-sin73°\)
\(=\frac{1}{cos17°}-sin(90°-17°)\)
\(=\frac{1}{\frac{\sqrt{y^2-x^2}}{y}}-cos17°\)
\(=\frac{y}{\sqrt{y^2-x^2}}-\frac{\sqrt{y^2-x^2}}{y}\)
\(=\frac{y^2-(y^2-x^2)}{y\sqrt{y^2-x^2}}\)
\(=\frac{y^2-y^2+x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}\)
\(=\frac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}\) [প্রমাণিত]
5. দেখাই যে, \(sec^212°-\frac{1}{tan^278°}=1\)
সমাধানঃ
\({sec}^212°-\frac{1}{tan^278°}\)
\(={sec}^212°-cot^278°\)
\(={sec}^212°-cot^2(90°-12°)\)
\(={sec}^212°-tan^212°\)
\(=1+{tan}^212°-tan^212°\)
\(=1\) [প্রমাণিত]
6. \(\angle\ A+\angle\ B=90°\) হলে, দেখাই যে, \(1+\frac{tanA}{tanB}=sec^2A\)
সমাধানঃ
\(\angle\ A+\angle\ B=90°\)
∴ \(\angle\ B=90°-∠A\)
\(1+\frac{tanA}{tanB}\)
\(=1+tanAtan(90°-A)\)
\(=1+\frac{tanA}{cotA}\)
\(=1+tanA\times\ tanA\)
\(=1+{tan}^2A\)
\(={sec}^2A\) [প্রমাণিত]
7. দেখাই যে, \(cosec^222°cot^268°\)
\(=sin^222°+sin^268°+cot^268°\)
সমাধানঃ
বামপক্ষ
\(={cosec}^222°cot^268°\)
\(={cosec}^2(90°-68°)cot^268°\)
\(={sec}^268°cot^268°\)
\(=\frac{1}{cos^268°}×\frac{cos^268°}{sin^268°}\)
\(=\frac{1}{sin^268°}\)
\(={cosec}^268°\)
ডানপক্ষ
\(={sin}^222°+sin268°+cot^268°\)
\(={sin}^2(90°-68°)+sin268°+cot^268°\)
\(={cos}^268°+sin^268°+cot^268°\)
\(=1+{cot}^268°\)
\(={cosec}^268°\)
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
8. যদি \(\angle\ P+\angle\ Q=90°\) হয়, তবে দেখাই যে,
\(\sqrt{\frac{sinP}{cosQ}-sinPsinQ}=cosP\)
সমাধানঃ
\(\angle\ P+\angle\ Q=90°\)
∴ \(\angle\ Q=90°-∠P\)
\(\sqrt{\frac{sinP}{cosQ}-sinPcosQ}\)
\(=\sqrt{\frac{sinP}{cos(90°-P)}-sinPcos(90°-P)}\)
\(=\sqrt{\frac{sinP}{sin{P}}-sinPsinP}\)
\(=\sqrt{1-{sin}^2P}\)
\(=\sqrt{{cos}^2P}\)
\(=cosP\) [প্রমাণিত]
9. প্রমাণ করি যে, cot12°cot38°cot52°cot78°cot60°=13
সমাধানঃ
cot12°cot38°cot52°cot78°cot60°
=cot(90°-78°)cot(90°-52°)cot52°cot78°cot60°
=tan78°tan52°cot52°cot78°cot60°
=tan78°×cot78°×tan52°×cot52°×cot60°
\(=1\times1\times\frac{1}{\sqrt3}\)
\(=\frac{1}{\sqrt3}\) [প্রমাণিত]
10. O কেন্দ্রীয় যে কোনো একটি বৃত্তের AOB একটি ব্যাস এবং বৃত্তের উপর C যে কোনো একটি বিন্দু। এবার A, C; B, C এবং O, C যুক্ত করে দেখাই যে,
(i) \(tan\angle\ ABC=cot\angle\ ACO\)
(ii) \(sin^2\angle\ BCO+sin^2\angle\ ACO=1\)
(iii) \(cosec^2\angle\ CAB-1=tan^2\angle\ ABC\)
সমাধানঃ
(i) ∆OBC এর OB=OC
∴ \(\angle\ OCB=\angle\ OBC\)
যেহেতু, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ
∴ \(\angle\ ACB=90°\)
বা, \(\angle\ OCB+\angle\ ACO=90°\)
বা, \(\angle\ OBC+\angle\ ACO=90°\)
[∵ \(\angle\ OCB=\angle\ OBC\)]
বা, \(\angle\ OBC=90°-∠ACO\)
∴ \(\angle\ ABC=90°-∠ACO\)
∴ \(tan\angle\ ABC\)
\(=tan(90°-∠ACO)=cot∠ACO\) [প্রমাণিত]
(ii)
যেহেতু, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ
∴ \(\angle\ ACB=90°\)
বা, \(\angle\ BCO+\angle\ ACO=90°\)
∴ \(\angle\ BCO=90°-∠ACO\)
\({sin}^2\angle\ BCO+{sin}^2\angle\ ACO\)
\(={sin}^290°-∠ACO+sin^2∠BCO\)
\(={cos}^2\angle\ BCO+{sin}^2\angle\ BCO\)
\(=1\) [প্রমাণিত]
(iii)
∆OAC এর OA=OC
∴ \(\angle\ ACO=\angle\ OAC\) (i)
∆OBC এর OB=OC
∴ \(\angle\ OCB=\angle\ OBC\) (ii)
যেহেতু, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ
∴ \(\angle\ ACB=90°\)
বা, \(\angle\ OCB+\angle\ ACO=90°\)
বা, \(\angle\ OBC+\angle\ OAC=90°\)
[ (i) নং ও (ii) নং থেকে পাই ]
বা, \(\angle\ ABC+\angle\ CAB=90°\)
∴ \(\angle\ CAB=90°-∠ABC\)
\({cosec}^2\angle\ CAB-1\)
\(={cosec}^2(90°-∠ABC)-1\)
\(={sec}^2\angle\ ABC-1\)
\(=1+{tan}^2\angle\ ABC-1\)
\(={tan}^2\angle\ ABC\) [প্রমাণিত]
11. ABCD একটি আয়তকার চিত্র। A, C যুক্ত করে প্রমাণ করি যে,
(i) \(tan\angle\ ACD=cot\angle\ ACB\)
(ii) \(\tan^2{\angle CAD}+1=\frac{1}{sin^2\angle B\ A\ C}\)
সমাধানঃ
(i)
যেহেতু, আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কোণ সমকোণ
∴ \(\angle\ BCD=90°\)
বা, \(\angle\ ACD+\angle\ ACB=90°\)
∴ \(\angle\ ACD=90°-∠ACB\)
\(tan\angle\ ACD\)
\(=tan(90°-∠ACB)=cot∠ACB\) [প্রমাণিত]
(ii)
যেহেতু, আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কোণ সমকোণ
∴ \(\angle\ BAD=90°\)
বা, \(\angle\ CAD+\angle\ BAC=90°\)
∴ \(\angle\ CAD=90°-∠BAC\)
\({tan}^2\angle\ CAD+1\)
\(={tan}^2(90°-∠BAC)+1\)
\(={cot}^2\angle\ BAC+1\)
\(={cosec}^2\angle\ BAC\)
\(=\frac{1}{{sin}^2\angle B\ A\ C}\) [প্রমাণিত]
12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) (sin43°cos47°+cos43°sin47°) এর মান
(a) 0 (b) 1 (c) sin4° (d) cos4°
সমাধানঃ
sin43°cos47°+cos43°sin47°
=sin43°cos(90°-43°)+cos43°sin(90°-43°)
=sin43°×sin43°+cos43°×cos43°
={sin}^243°+cos243°
=1
উত্তরঃ (b) 1
(ii) \(\frac{tan35°}{cot55°}+\frac{cot78°}{tan12°}\) এর মান
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 1
সমাধানঃ
\(\frac{tan35°}{cot55°}+\frac{cot78°}{tan12°}\)
\(=\frac{tan35°}{cot(90°-35°)}+\frac{cot78°}{tan(90°-78°)}\)
\(=\frac{tan35°}{tan35°}+\frac{cot78°}{cot78°}\)
= 1+1
= 2
উত্তরঃ (c) 2
(iii) {cos(40°+θ)-sin(50°-θ)} এর মান
(a) 2cosθ (b) 7sinθ (c) 0 (d) 1
সমাধানঃ
cos(40°+θ)-sin(50°-θ)
=cos(90°-50°+θ)-sin(50°-θ)
=cos{90°-(50°-θ)}-sin(50°-θ)
=sin(50°-θ)-sin(50°-θ)
=0
উত্তরঃ (c) 0
(iv) ABC একটি ত্রিভুজ। \(sin\left(\frac{B+C}{2}\right)=\)
(a) \(sin\frac{A}{2}\) (b) \(cos\frac{A}{2}\) (c) sinA (d) cosA
সমাধানঃ
ABC ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\angle\ A+\angle\ B+\angle\ C=180°\)
∴ \(\angle\ B+\angle\ C=180°-∠A\)
\(sin\left(\frac{B+C}{2}\right)\)
\(=sin(\frac{180°-A}{2})\)
\(=sin(90°-\frac{A}{2})=cos\frac{A}{2}\)
উত্তরঃ (b) \(cos\frac{A}{2}\)
(v) A+B=90° এবং \(tanA=\frac{3}{4}\) হলে, cotB এর মান
(a) \(\frac{3}{4}\) (b) \(\frac{4}{3}\) (c) \(\frac{3}{5}\) (d) \(\frac{4}{5}\)
সমাধানঃ
A+B=90°
∴ A=90°-B
\(tanA=\frac{3}{4}\)
বা, \(tan(90°-B)=\frac{3}{4}\)
বা, \(cotB=\frac{3}{4}\)
উত্তরঃ (a) \(\frac{3}{4}\)
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) cos54° এবং sin36° এর মান সমান।
উত্তরঃ সত্য
[cos54°=cos90°-36°=sin36°]
(ii) (sin12°-cos78°) এর সরলতম মান 1.
উত্তরঃ মিথ্যা
sin12°-cos78°
=sin12°-cos(90°-12°)
=sin12°-sin12°
=0
(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) (tan15°×tan45°×tan60°×tan75°) এর মান_______
tan15°×tan45°×tan60°×tan75°
=tan(90°-15°)×1×√3×tan75°
=cot75°×tan75°×√3
=1×√3
=√3
উত্তরঃ √3
(ii) (sin12°×cos18°×sec78°×cosec72°) এর মান _______
sin12°×cos18°×sec78°×cosec72°
=sin(90°-78°)×cos(90°-72°)×sec78°×cosec72°
=cos78°×sin72°×sec78°×cosec72°
=cos78°×sec78°×sin72°×cosec72°
=1×1=1
উত্তরঃ 1
(iii) A এবং B পরস্পর পূরক কোণ হলে, sinA=_______
A ও B পরস্পর পূরক কোণ
∴ A+B=90°
বা, A=90°-B
sinA=sin90°-B=cosB
উত্তরঃ cosB
13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন(S.A.):
(i) \(sin10\theta=cos8\theta\) এবং \(10\theta\) ধনাত্মক সুক্ষ্মকোণ হলে, \(tan9\theta\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(sin10\theta=cos8\theta\)
বা, \(cos(90°-10θ)=cos8θ\)
বা, \(90°-10θ=8θ\)
বা, \(-10\theta-8\theta=-90°\)
বা, \(-18\theta=-90°\)
বা, \(18\theta=90°\)
বা, \(\theta=\frac{90°}{18}\)
∴ \(\theta=5°\)
∴ \(tan9\theta\)
\(=tan(9×5°)=tan45°=1\)
(ii) \(tan4\theta\times\ tan6\theta=1\) এবং 6θ ধনাত্মক সুক্ষ্মকোণ হলে, θ এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(tan4\theta\times\ tan6\theta=1\)
বা, \(tan4\theta=\frac{1}{tan6\theta}\)
বা, \(tan4\theta=cot6\theta\)
বা, \(tan4\theta=tan(90°-6θ)\)
বা, \(4\theta=90°-6θ\)
বা, \(4\theta+6\theta=90°\)
বা, \(10\theta=90°\)
বা, \(\theta=\frac{90°}{10°}\)
∴ \(\theta=9°\)
(iii) \(\frac{2sin^263°+1+2sin^227°}{3cos^217°-2+3cos^273°}\) এর মান নির্নয় করি।
সমাধানঃ
\(\frac{2sin^263°+1+2sin^227°}{3cos^217°-2+3cos^273°}\)
\(=\frac{2sin^263°+1+2sin^2(90°-63°)}{3cos^217°-2+3cos^2(90°-17°)}\)
\(=\frac{2sin^263°+1+2cos^263°}{3cos^217°-2+3sin^217°}\)
\(=\frac{2(sin263°+cos263°)+1}{3(cos217°+sin217°)-2}\)
\(=\frac{2+1}{3-2}\)
\(=\frac{3}{1}=3\)
(iv) (tan1°×tan2°×tan3°………tan89°) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
tan1°×tan2°×tan3°………tan89°
=tan1°×tan89°×tan2°×tan88°………tan45°
=tan1°×tan(90°-1°)×tan2°×tan(90°-2°)………×1
=tan1°×cot1°×tan2°×cot2°………×1
=1×1.....1
=1
(v) sec5A=cosec(A+36°) এবং 5A ধনাত্মক সুক্ষ্মকোণ হলে, A এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
sec5A=cosec(A+36°)
বা, cosec(90°-5A)=cosec(A+36°)
বা, cosec(90°-5A)=cosec(A+36°)
বা, 90°-5A=A+36°
বা, -5A-A=36°-90°
বা, -6A=54°
∴ A=9°
0 Comments