22. পিথাগোরাসের উপপাদ্য । কষে দেখি 22 | Exercise 22 solution | গণিত প্রকাশ X সমাধান | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
কষে দেখি 22 সমাধান
1. যদি কোনো ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য নিম্নরূপ হয়, তবে কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে হিসাব করে লিখিঃ
(i) 8 সেমি., 15 সেমি., ও 17 সেমি.
(ii) 9 সেমি., 11 সেমি., ও 6 সেমি.
সমাধানঃ
(i)
\(8^2+{15}^2=64+225=289={17}^2\)
∴ \(8^2+{15}^2={17}^2\)
সুতরাং, ত্রিভুজটির অতিভুজের বর্গ অপর বাহু দুটির সমষ্টির সমান।
তাই এক্ষেত্রে ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
(ii)
\(9^2+6^2=81+36=117\neq{11}^2\)
∴ \(9^2+6^2\neq{11}^2\)
সুতরাং, ত্রিভুজটির অতিভুজের বর্গ অপর বাহু দুটির সমষ্টির সমান হচ্ছে না।
তাই এক্ষেত্রে ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে না।
2. আমাদের পাড়ার রাস্তায় একটি 15 মিটার লম্বা মই এমনভাবে রাখা আছে যে মইটি ভূমি থেকে 9 মিটার উঁচুতে অবস্থিত মিলিদের জানালা স্পর্শ করেছে। এবার ওই রাস্তার একই বিন্দুতে মইটির পাদদেশ রেখে মইটিকে ঘুরিয়ে এমনভাবে রাখা হলো যে মইটি রাস্তার অপর প্রান্তে অবস্থিত আমাদের জানালা স্পর্শ করল। আমাদের জানালা যদি ভূমি থেকে 12 মিটার উপরে থাকে, তবে পাড়ার ওই রাস্তাটি কত চওড়া হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
∴ AB=9 মিটার এবং CD=12 মিটার
মইটির দৈর্ঘ্য AP=CP=15 মিটার
ধরি, AP=x মিটার এবং PD=y মিটার
ABP সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের সূত্র থেকে পাই,
\(AB^2+BP^2=AP^2\)
বা, \(9^2+x^2=15^2\)
বা, \(x^2=15^2-9^2\)
বা, \(x^2=225-81\)
বা, \(x^2=144\)
∴ \(x=12\)
CDP সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের সূত্র থেকে পাই,
\(CD^2+DP^2=CP^2\)
বা, \(12^2+y^2=15^2\)
বা, \(y^2=15^2-12^2\)
বা, \(y^2=225-144\)
বা, \(y^2=81\)
∴ \(y=9\)
∴ রাস্তার দৈর্ঘ্য , BD=BP+DP
= x+y
= (12+9) মিটার
= 21 মিটার
3. 10 সেমি. বাহুবিশিষ্ট কোনো রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি. হলে, রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
রম্বসটির AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
AC=12 সেমি.
যেহেতু রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ AOB একটি সমকোণী ত্রিভুজ
AOB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(AO^2+BO^2=AB^2\)
[পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই]
বা, \(\left(\frac{12}{2}\right)^2+BO^2=\left(10\right)^2\)
বা, \(36+\ BO^2=100\)
বা, \(BO^2=100-36\)
বা, \(BO^2=64\)
∴ \(BO = 8\)
∴ \(BD=2\times8\) সেমি. = 16 সেমি.
∴ রম্বসটির ওপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 16 সেমি.
4. একটি ত্রিভুজ PQR অঙ্কন করেছি যার \(\angle Q\) সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে কোনো একটি বিন্দু হলে,
প্রমাণ করি যে, \(PS^2+QR^2=PR^2+QS^2\)
সমাধানঃ
সমকোণী ∆PQR থেকে পাই,
\({PQ}^2+{QR}^2={PR}^2\)
বা, \({PQ}^2={PR}^2-{QR}^2\) (i)
সমকোণী ∆PQS থেকে পাই,
\({PQ}^2+{QS}^2={PS}^2\)
বা, \({PQ}^2={PS}^2-{QS}^2\) (ii)
(i) নং ও (ii) নং থেকে পাই,
\({PS}^2-{QS}^2={PR}^2-{QR}^2\)
∴ \({PS}^2+{QR}^2{=PR}^2+{QS}^2\) [প্রমাণিত]
5. প্রমাণ করি, যে-কোনো রম্বসের বাহুগুলির উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টি কর্ণ দুটির উপর অঙ্কিত বর্গ দুটির সমষ্টির সমান হবে।
প্রদত্তঃ ধরি, ABCD একটি রম্বস যার AC ও BD কর্ণদুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
\({AB}^2+{BC}^2+{CD}^2+{AD}^2={AC}^2+{BD}^2\)
প্রমাণঃ
যেহেতু, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ ∆AOB,∆BOC,∆COD ও ∆AOD প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ।
সমকোণী ত্রিভুজ AOB থেকে পাই,
\({AO}^2+{BO}^2={AB}^2\) (i)
সমকোণী ত্রিভুজ BOC থেকে পাই,
\({BO}^2+{CO}^2={BC}^2\) (ii)
সমকোণী ত্রিভুজ COD থেকে পাই,
\({CO}^2+{DO}^2={CD}^2\) (iii)
সমকোণী ত্রিভুজ AOD থেকে পাই,
\({AO}^2+{DO}^2={AD}^2\) (iv)
(i)+(ii)+(iii)+(iv) করে পাই,
\(2{AO}^2+{2BO}^2+2{CO}^2+2{DO}^2\)
\(={AB}^2+{BC}^2+{CD}^2+{AD}^2\)
বা, \({AB}^2+{BC}^2+{CD}^2+{AD}^2\)
\(=4{AO}^2+4{BO}^2\) [∵ AO=CO এবং BO=DO]
বা, \({AB}^2+{BC}^2+{CD}^2+{AD}^2\)
\(=\left(2AO\right)^2+\left(2BO\right)^2\)
∴ \({AB}^2+{BC}^2+{CD}^2+{AD}^2\)
\(={AC}^2+{BD}^2\) [প্রমাণিত]
6. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC বাহুর উপর লম্ব হলে,
প্রমাণ করি যে, \(AB^2+BC^2+CA^2=4AD^2\)
প্রদত্তঃ ধরি, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC বাহুর উপর লম্ব।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ \(AB^2+BC^2+CA^2=4AD^2\)
প্রমাণঃ
যেহেতু, \(AD\bot BC\)
∴ ∆ABD একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
ABD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\({AD}^2+{BD}^2={AB}^2\)
বা, \({AD}^2+\left(\frac{1}{2}BC\right)^2={AB}^2\)
বা, \({AD}^2+{\frac{1}{4}BC}^2={AB}^2\)
বা, \(\frac{{4AD}^2+{BC}^2}{4}={AB}^2\)
বা, \({4AD}^2+{BC}^2={4AB}^2\)
বা, \({4AD}^2+{AB}^2={4AB}^2\) [∵ AB = BC]
বা, \(-{4AB}^2+{AB}^2=-{4AD}^2\)
বা, \(-{3AB}^2=-{4AD}^2\)
বা, \({AB}^2{+AB}^2{+AB}^2={4AD}^2\)
∴ \({AB}^2{+BC}^2{+CA}^2={4AD}^2\) [∵ AB = BC = CA]
[প্রমাণিত]
প্রমাণ করি যে, \(BQ^2+PC^2=BC^2+PQ^2\)
প্রদত্তঃ ধরি, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার \(\angle A\) সমকোণ। AB ও AC বাহুর উপর P ও Q দুটি বিন্দু। P, Q; B, Q ও C, P যুক্ত করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
\(BQ^2+PC^2=BC^2+DA^2\)
প্রমাণঃ
ABC সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({BC}^2={AB}^2+{AC}^2\) (i)
APC সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({PC}^2={AP}^2+{AC}^2\) (ii)
ABQ সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({BQ}^2={AB}^2+{AQ}^2\) (iii)
APQ সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({PQ}^2={AP}^2+{AQ}^2\) (iv)
(ii) + (iii) করে পাই,
\({PC}^2+{BQ}^2\)
\(={AP}^2+{AC}^2+{AB}^2+{AQ}^2\)
\(={AP}^2+{AQ}^2+{AB}^2+{AC}^2\)
\(={PQ}^2+{BC}^2\) [(i) নং ও (iv) নং থেকে পাই]
∴ \({PC}^2+{BQ}^2={BC}^2+{PQ}^2\) [প্রমাণিত]
8. ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে,
\(AB^2+CD^2=BC^2+DA^2\)
প্রদত্তঃ ধরি, ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ AC ও BD পরস্পরকে লম্বভাবে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে: \(AB^2+CD^2=BC^2+DA^2\)
প্রমাণঃ
AOB সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({AB}^2={AO}^2+{BO}^2\) (i)
BOC সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({BC}^2={BO}^2+{CO}^2\) (ii)
COD সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({CD}^2={CO}^2+{DO}^2\) (iii)
DOA সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({DA}^2={AO}^2+{DO}^2\) (iv)
(i) নং ও (iii) নং যোগ করে পাই,
\({AB}^2{+CD}^2\)
\(={AO}^2+{BO}^2{+CO}^2+{DO}^2\)
\(={{BO}^2{+CO}^2+AO}^2+{DO}^2\)
\(={BC}^2+{DA}^2\) [(ii)নং ও (iv)নং থেকে পাই]
∴ \({AB}^2{+CD}^2={BC}^2+{DA}^2\) [প্রমাণিত]
9. একটি ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করেছি যার উচ্চতা AD;\ AB>AC হলে, প্রমাণ করি যে,
\(AB^2-AC^2=BD^2-CD^2\)
প্রদত্তঃ ধরি, ABC ত্রিভুজের উচ্চতা AD, AB>AC
প্রমাণ করতে হবে যে: \(AB^2-AC^2=BD^2-CD^2\)
প্রমাণঃ
যেহেতু, \(AD\bot BC\)
∴ ∆ADC এবং ∆ADB উভয়েই সমকোণী ত্রিভুজ
ADC সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({AD}^2+{CD}^2={AC}^2\)
বা, \({AD}^2={AC}^2-{CD}^2\) (i)
ADB সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({AD}^2+{BD}^2={AB}^2\)
বা, \({AD}^2={AB}^2-{BD}^2\) (ii)
(i) নং ও (ii) নং থেকে পাই,
\({AC}^2-{CD}^2={AB}^2-{BD}^2\)
বা, \({BD}^2-{CD}^2={AB}^2-{AC}^2\)
∴ \({AB}^2-{AC}^2={BD}^2-{CD}^2\) [প্রমাণিত]
10. ∆ABC এর শির্ষবিন্দু B ও C থেকে AC ও AB(AC>AB) বাহুদুটির উপর লম্ব অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে,
\(AC^2+BP^2=AB^2+CP^2\)
প্রদত্তঃ ধরি, ABC ত্রিভুজের শির্ষবিন্দু B ও C থেকে AC ও AB (AC>AB) বাহুদুটির উপর লম্ব যথাক্রমে BM ও CN পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে:
\(AC^2+BP^2=AB^2+CP^2\)
অঙ্কনঃ A, P যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ
BNC সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({BC}^2={BN}^2+{CN}^2\) (i)
BMC সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({BC}^2={BM}^2+{CM}^2\) (ii)
(i) নং ও (ii) নং থেকে পাই,
\({BN}^2+{CN}^2={BM}^2+{CM}^2\) (iii)
ANP সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({AP}^2={AN}^2+{PN\ }^2\) (iv)
AMP সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({AP}^2={AM}^2+{PM}^2\) (v)
(iv) নং ও (v) নং থেকে পাই,
\({AN}^2+{PN\ }^2={AM}^2+{PM}^2\) (vi)
∆ANC থেকে পাই,
\({AC}^2={AN}^2+{CN}^2\) (vii)
এবং ∆BNP থেকে পাই,
\({BP}^2={BN}^2+{PN\ }^2\) (viii)
(vii) + (viii) করে পাই,
\({AC}^2+{BP}^2\)
\(={AN}^2+{CN}^2+{BN}^2+{PN}^2\)
\(={AN}^2+{PN}^2+{CN}^2+{BN}^2\)
\(= {AM}^2+{PM}^2+{BM}^2+{CM}^2\)
\(={AM}^2+{BM}^2+{PM}^2+{CM}^2\)
\(={AB}^2+{CP}^2\)
[ ∵ ∆AMB থেকে পাই, \({AB}^2={AM}^2+{BM}^2\)
এবং ∆CMP থেকে পাই, \({CP}^2={PM}^2+{CM}^2\) ]
∴ \({AC}^2+{BP}^2={AB}^2+{CP}^2\) [প্রমাণিত]
11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ∠C সমকোণ। D, AB এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে,
\(AD^2+DB^2=2CD^2\)
প্রদত্তঃ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের \(\angle C\) সমকোণ
এবং AC=BC
প্রমাণ করতে হবে যেঃ \(AD^2+DB^2=2CD^2\)
অঙ্কনঃ D বিন্দু থেকে AC ও BC বাহুর উপর
DE ও DF লম্ব অঙ্কন করলাম।
প্রমাণঃ CEDF চতুর্ভুজের \(\angle CED=\angle CFD=1\) সমকোণ
এবং \(\angle ACB=1\) সমকোণ
∴ CEDF চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
∆AED এর \(\angle ADE=\angle ABC\)
আবার \(\angle ABC=\angle BAC\)
∴ ∆AED এর \(\angle ADE=\angle DAE\)
সুতরাং, AE=ED (i)
একইরকমভাবে প্রমাণ করতে পারি যে, BF=FD (ii)
AED সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({AD}^2={AE}^2+{ED}^2\) (iii)
BFD সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({BD}^2={BF}^2+{FD}^2\) (iv)
(iii) নং ও (iv) নং যোগ করে পাই,
\({AD}^2+{BD}^2\)
\(={AE}^2+{ED}^2+{BF}^2+{FD}^2\)
\(={ED}^2+{ED}^2+{FD}^2+{FD}^2\)
\(={2ED}^2+{2FD}^2\)
\(={2(ED}^2+{FD}^2)\)
\(={2(ED}^2+{CE}^2\) [∵ CE=FD]
\(=2{CD}^2\)
[∵ ∆CED ত্রিভুজের \({CD}^2={ED}^2+{CE}^2\)]
∴ \({AD}^2+{BD}^2=2{CD}^2\) [প্রমাণিত]
12. ABC ত্রিভুজের \(\angle A\) সমকোণ। CD মধ্যমা হলে, প্রমাণ করি যে,
\(BC^2=CD^2+3AD^2\)
প্রমাণ করতে হবে যেঃ \(BC^2=CD^2+3AD^2\)
প্রমাণঃ
CAD সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({AC}^2+{AD}^2={CD}^2\)
বা, \({AC}^2={CD}^2-{AD}^2\) (i)
BAC সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({BC}^2={AC}^2+{AB}^2\)
\(={CD}^2-{AD}^2+{AB}^2\)
\(={CD}^2-{AD}^2+\left(2AD\right)^2\) [∵ D, AB এর মধ্যবিন্দু]
\(=\ {CD}^2-{AD}^2+{4AD}^2\)
\(=\ {CD}^2+{3AD}^2\)
∴ \({BC}^2={CD}^2+{3AD}^2\) [প্রমাণিত]
13. ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু O থেকে BC, CA ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে OX, OY ও OZ লম্ব অঙ্কন করেছি। প্রমাণ করি যে,
\(AZ^2+BX^2+CY^2=AY^2+CX^2+BZ^2\)
প্রদত্তঃ ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু O থেকে BC, CA ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে OX, OY ও OZ লম্ব।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
\(AZ^2+BX^2+CY^2=AY^2+CX^2+BZ^2\)
অঙ্কনঃ O, A; O, B ও O, C যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ
AOZ সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({AZ}^2+{OZ}^2={AO}^2\)
∴ \({AZ}^2={AO}^2-{OZ}^2\) (i)
BOX সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({BX}^2+{OX}^2={BO}^2\)
∴ \({BX}^2={BO}^2-{OX}^2\) (ii)
COY সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({CY}^2+{OY}^2={CO}^2\)
∴ \({CY}^2={CO}^2-{OY}^2\) (iii)
(i) নং, (ii) নং ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
\({AZ}^2+{BX}^2+{CY}^2\)
\(={AO}^2-{OZ}^2+{BO}^2-{OX}^2+{CO}^2-{OY}^2\)
\(={AO}^2-{OY}^2+{CO}^2-{OX}^2+{BO}^2-{OZ}^2\)
\(={AY}^2+{CX}^2+{BZ}^2\)
[∵ ∆AOY থেকে পাই, \({AY}^2={AO}^2-{OY}^2\)
∆COX থেকে পাই,
\({CX}^2={CO}^2-{OX}^2\)
∆BOZ থেকে পাই,
\({BZ}^2={BO}^2-{OZ}^2\)
∴ \({AZ}^2+{BX}^2+{CY}^2={AY}^2+{CX}^2+{BZ}^2\) [প্রমাণিত]
14. RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ। RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y; প্রমাণ করি যে,
\(RY^2+XT^2=5XY^2\)
বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
\(RY^2+XT^2=5XY^2\)
প্রমাণঃ
RSY সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({RY}^2={RS}^2+{SY}^2\) (i)
TSX সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({XT}^2={TS}^2+{SX}^2\) (ii)
XSY সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({XY}^2={XS}^2+{SY}^2\) (iii)
(i) নং ও (ii) নং যোগ করে পাই,
\({RY}^2+{XT}^2\)
\(={RS}^2+{SY}^2+{TS}^2+{SX}^2\)
\(=\left(2SX\right)^2+{SY}^2+\left(2SY\right)^2+{SX}^2\)
[∵ RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y]
\(=4{SX}^2+{SY}^2+{4SY}^2+{SX}^2\)
\(=5{SX}^2+{5SY}^2\)
\(=5({SX}^2+{SY}^2\)
\(=5{XY}^2\) [(iii) নং থেকে পাই]
∴ \({RY}^2+{XT}^2=5{XY}^2\) [প্রমাণিত]
15. অতিসংক্ষিপ্ত প্রশ্ন (V.S.A.)
(A)বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) এক ব্যক্তি একটি স্থান থেকে 24 মিটার পশ্চিমদিকে যান এবং তারপর 10 মিটার উত্তর দিকে যান। যাত্রাস্থান থেকে ব্যক্তির দূরত্ব
(a) 34 মিটার (b) 17 মিটার
(c) 26 মিটার (d) 25 মিটার
সমাধানঃ
\({AC}^2={AB}^2+{BC}^2\)
\(=(24)^2+(10)^2\)
=576+100 =676
∴ \(AC=\sqrt{676}\) মিটার =26 মিটার
উত্তরঃ (c) 26 মিটার
(ii) ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং \(AD\bot\ BC\) হলে, \(AD^2=\)
(a) \(\frac{3}{2}DC^2\) (b) \(2DC^2\) (c) \(3DC^2\) (d) \(4DC^2\)
\({AD}^2={AC}^2-{DC}^2\)
\(={BC}^2-{DC}^2\)
\(=\left(2DC\right)^2-{DC}^2\)
\(={4DC}^2-{DC}^2\)
\(={3DC}^2\)
উত্তরঃ (c) \({3DC}^2\)
(iii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে AC=BC এবং \(AB^2=2AC^2\) হলে,
∠C এর পরিমাপ
(a) 30° (b) 90° (c) 45° (d) 60°
\(AB^2=2{AC}^2={AC}^2+{AC}^2\)
\(={AC}^2+{BC}^2\) [∵ AC= BC]
∴ \(AB^2={AC}^2+{BC}^2\)
∴ \(\angle\ C=90°\)
উত্তরঃ (b) 90°
(iv) 13 মিটার ও 7 মিটার উচ্চ দুটি দন্ড ভূমিতলে লম্বভাবে অবস্থিত এবং তাদের পাদদেশের মধ্যে দূরত্ব 8 মিটার। তাদের শীর্ষদেশের মধ্যে দূরত্ব
(a) 9 মিটার (b) 10 মিটার (c) 11 মিটার (d) 12 মিটার
ধরি, AB=13 মিটার, CD=7 মিটার
এবং BD=8 মিটার
AE=AB– BE
=(13–7) মিটার
[∵ CD=BE=7 মিটার ]
=6 মিটার
AEC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\({AC}^2={AE}^2+{CE}^2\)
\(=6^2+8^2\)
\(=36+64=100\)
∴ AC=10 মিটার
উত্তরঃ (b) 10 মিটার
(v)একটি রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 24 সেমি. এবং 10 সেমি. হলে, রম্বসটির পরিসীমা
(a) 13 সেমি. (b) 26 সেমি. (c) 52 সেমি. (d) 25 সেমি.
ABCD রম্বসের AC ও BD কর্ণদুটি
পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
ধরি, AC=10 সেমি.
এবং BD=24 সেমি.
AOB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\({AB}^2={AO}^2+{BO}^2\)
\(=5^2+{12}^2\)
\(=25+144=169\)
∴ AB=13 সেমি.
∴ রম্বসটির পরিসীমা \(=4\times13\) সেমি. =52 সেমি.
উত্তরঃ (c) 52 সেমি.
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4:5 হলে, ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভুজ হবে।
ধরি, ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3x একক, 4x একক এবং 5x একক
\(\left(3x\right)^2+\left(4x\right)^2\)
\(=9x^2+16x^2=25x^2={(5x)}^2\)
∴ ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভুজ হবে।
উত্তরঃ সত্য
(ii) 10 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ্যবিশিষ্ট একটি বৃত্তে কোনো জ্যা কেন্দ্রে সমকোণ উৎপন্ন করলে জ্যাটির দৈর্ঘ্য 5 সেমি. হবে।
\(\angle\ AOB\ =\ 90°\)
AO=OB= বৃত্তের ব্যাসার্ধ =10 সেমি.
AOB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\({AB}^2={AO}^2+{OB}^2\)
\(={10}^2+{10}^2=100+100\)
=200
∴ \(AB=\sqrt{200}\) সেমি.
\(=10\sqrt2\) সেমি.
উত্তরঃ মিথ্যা
(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের _______সমান।
উত্তরঃ সমষ্টির
(ii) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য \(4\sqrt2\) সেমি. হলে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য _______সেমি.।
অতিভুজের দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{\left(4\sqrt2\right)^2+\left(4\sqrt2\right)^2}\) সেমি.
= \(\sqrt{32+32}\) সেমি.
= \(\sqrt{64}\) সেমি.
= 8 সেমি.
উত্তরঃ 8 সেমি.
(iii) ABCD আয়তকার চিত্রের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। AB=12সেমি. AO=6.5সেমি. হলে, BC এর দৈর্ঘ্য ________ সেমি.।
ABCD আয়তকার চিত্রের AC ও BD কর্ণদ্বয়
পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
AB=12 সেমি. এবং AO=6.5 সেমি.
∴ \(AC=2AO=2\times6.5\) সেমি. =13 সেমি.
ABC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\({BC}^2={AC}^2-{AB}^2\)
\(={13}^2-{12}^2\)
\(=169-144=25\)
∴ \(BC=\sqrt{25}\) সেমি. =5 সেমি.
উত্তরঃ 5
16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন(S.A.)
(i) ABC ত্রিভুজের \(AB=(2a-1)\) সেমি., \(AC=2\sqrt{2a}\) সেমি. এবং \(BC=(2a+1)\) সেমি. হলে \(\angle\ BAC\) এর মান লিখি।
সমাধানঃ
সমাধানঃ
\({AB}^2+{AC}^2\)
\(={(2a-1)}^2+\left(2\sqrt{2a}\right)^2\)
\(={(2a-1)}^2+8a\)
\(={(2a-1)}^2+4.2a.1\)
\(={(2a+1)}^2\)
\(={BC}^2\)
∴ BAC ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ
যার \(\angle\ BAC=90°\)
(ii) 
পাশের চিত্রে PQR ত্রিভুজের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে \(\angle\ POQ=90°\), OP=6 সেমি. এবং OQ=8 সেমি.। যদি PR=24 সেমি. এবং \(\angle\ QPR=90°\) হয়, তাহলে QR বাহুর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
পাশের চিত্রে PQR ত্রিভুজের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে \(\angle\ POQ=90°\), OP=6 সেমি. এবং OQ=8 সেমি.। যদি PR=24 সেমি. এবং \(\angle\ QPR=90°\) হয়, তাহলে QR বাহুর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধানঃ
∆POQ এর \(\angle\ POQ=90°\)
∴ POQ সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({PQ}^2\)
\(={OP}^2+{OQ}^2\)
\(=6^2+8^2\)
\(=36+64=100\)
∴ \(PQ=\sqrt{100}\) সেমি. =10 সেমি.
আবার, ∆PQR এর \(\angle\ QPR=90°\)
∴ PQR সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\({QR}^2={PQ}^2+{PR}^2\)
=\(\left(10\right)^2+\left(24\right)^2\)
\(=100+576=676\)
∴ \(QR=\sqrt{676}\) সেমি. =26 সেমি.
(iii) ABCD আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OB=6 সেমি., OD=8 সেমি. এবং OA=5 সেমি.। OC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে O যে কোনো একটি বিন্দু।
∴ \({OA}^2+{OC}^2={OB}^2+{OD}^2\)
বা, \(5^2+{OC}^2=8^2+6^2\)
বা, \(25+{OC}^2=64+36\)
বা, \({OC}^2=100-25\)
বা, \(OC=\sqrt{75}\)
∴ \(OC=5\sqrt3\) সেমি.
∴ OC এর দৈর্ঘ্য \(5\sqrt3\) সেমি.।
(iv) ABC ত্রিভুজের A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব BC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয়। যদি BD=8 সেমি., DC=2 সেমি. এবং AD=4 সেমি. হয়, তাহলে \(\angle\ BAC\) এর পরিমাপ কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ADB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\({AB}^2={AD}^2+{BD}^2\)
\(=4^2+8^2\)
=16+64=80
∴ \(AB=\sqrt{80}\) সেমি. = \(4\sqrt5\) সেমি.
ADC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\({AC}^2={AD}^2+{DC}^2\)
\(=4^2+2^2\)
\(=16+4=20\)
∴ \(AC=\sqrt{20}\) সেমি. = \(2\sqrt5\) সেমি.
\(BC=\left(BD+DC\right)\)
\(=(8+2)\) সেমি. = 10 সেমি.
\({AB}^2+{AC}^2\)
\(=\left(4\sqrt5\right)^2+\left(2\sqrt5\right)^2\)
=80+20
=100
\(={10}^2={BC}^2\)
∴ BAC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার \(\angle\ BAC=90°\)
(v) ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC=90°, AB=3সেমি., BC=4সেমি. এবং B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপর লম্ব BD যা AC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয়। BD-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ABC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\({AC}^2={AB}^2+{BC}^2\)
\(=3^2+4^2\)
\(=9+16=25\)
∴ \(AC=\sqrt{25}\) সেমি. =5 সেমি.
ধরি, AD=x সেমি.
∴ DC=(5-x) সেমি.
ADB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\({BD}^2={AB}^2-{AD}^2\)
\(=3^2-x^2=9-x^2\)
∴ \(BD=\sqrt{9-x^2}\) সেমি.
BDC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\({BD}^2={BC}^2-{CD}^2\)
\(=4^2-\left(5-x\right)^2\)
∴ \(BD=\sqrt{4^2-\left(5-x\right)^2}\) সেমি.
∴ \(\sqrt{9-x^2}=\sqrt{4^2-\left(5-x\right)^2}\)
বা, \(9-x^2=16-(25-10x+x^2)\ \)
বা, \(9-x^2=16-25+10x-x^2\)
বা, \(9-x^2+x^2=-9+10x\)
বা, \(9+9=+10x\)
বা, \(10x=18\)
∴ \(x=1.8\)
∴ \(BD=\sqrt{9-\left(1.8\right)^2}\) সেমি.
=\(\sqrt{9-3.24}\) সেমি.
\(=\sqrt{5.76}\) সেমি.
=2.4 সেমি.
∴ BD -এর দৈর্ঘ্য 2.4 সেমি.
0 Comments