20. ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা । কষে দেখি 20 | Exercise 20 solution | গণিত প্রকাশ X সমাধান | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
কষে দেখি 20 সমাধান
1. নিম্নলিখিত ডিগ্রি, মিনিট ও সেকেন্ডে প্রকাশ করিঃ
(i) 832’
সমাধানঃ
(ii) 6312’’
সমাধানঃ
∴ 6312’’ =1°45’12’’
(iii) 375’’
সমাধানঃ
(iv) \(27\frac{1}{12}°\)
সমাধানঃ
\(27\frac{1}{12}°\)
=\(27°+\frac{1}{12}°\)
=\(27°+(60×\frac{1}{12})'\)
=27°+5'
=27°5'
সমাধানঃ
72.04°
=72°+.04°
=72°+.04×60'
=72°+2.4'
=72°+2'+.4×60''
=72°+2'+24'
=72°2'24''
∆ABC এর AC=BC
ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের \(\angle\ ABC=45°\)
2. নিম্নলিখিতগুলির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করিঃ
(i) 60°
সমাধানঃ
যেহেতু, 180°=π
∴ 60° এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{\pi}{180}\times60=\frac{\pi}{3}\)
(ii) 135°
সমাধানঃ
যেহেতু, 180°=π
∴ 135° এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{\pi}{180}\times 135=\frac{3\pi}{4}\)
(iii) -150°
সমাধানঃ
যেহেতু, 180°=π
∴ -150° এর বৃত্তীয় মান
\(=-\frac{\pi}{180}\times 150=-\frac{5\pi}{6}\)
(iv) 72°
সমাধানঃ
যেহেতু, 180°=π
∴ 72° এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{\pi}{180}\times72=\frac{2\pi}{5}\)
(v) 22°30’
সমাধানঃ
22°30’
=22°+30’
= 22°+\(\frac{30}{60}°\) [∵ 1°=60’ ]
= 22°+\(\frac{1}{2}°\)
= \((\frac{44+1}{2})°\)
=\(\frac{45}{2}°\)
যেহেতু, 180°=π
∴ \(\frac{45}{2}°\) এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{\pi}{180}\times \frac{45}{2}=\frac{\pi}{8}\)
(vi) -62°30’
সমাধানঃ
-62°30’
= \(-(62°+30’)\)
= \(-(62°+\frac{30}{60})°\) [∵1°=60’]
= \(-(62°+\frac{1}{2}°)\)
= \(-(\frac{124+1}{2})°\)
=\(-\frac{125}{2}°\)
যেহেতু, 180°=π
∴ \(-\frac{125}{2}°\) এর বৃত্তীয় মান
\(=-\frac{\pi}{180}\times \frac{125}{2}=-\frac{25\pi}{72}\)
(vii) 52°52’30’’
সমাধানঃ
52°52’30’’
=52°+52’+30’’
\(=52°+52’+\frac{30}{60}'\)
\(=52°+52’+\frac{1}{2}'\)
\(=52°+\frac{104+1}{2}'\)
\(=52°+\frac{105}{2}×60°\)
\(=(52+\frac{7}{8})°\)
\(=\frac{416+7}{8}°\)
\(=\frac{423}{8}°\)
যেহেতু, 180°=π
∴ \(\frac{423}{8}°\) এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{\pi}{180}\times \frac{423}{8}=\frac{47\pi}{160}\)
(viii) 40°16’24’’
সমাধানঃ
40°16’24’’
=40°+16’+24’’
\(=40°+16’+\frac{24}{60}'\)
\(=40°+16’+\frac{2}{5}'\)
\(=40°+\frac{80+2}{5}'\)
\(=40°+\frac{82}{5×60}°\)
\(=(40+\frac{41}{150})°\)
\(=(\frac{6000+41}{150})°\)
\(=\frac{6041}{150}°\)
যেহেতু, 180°=π
∴ \(\frac{6041}{150}°\) এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{\pi}{180}\times \frac{6041}{150}=\frac{6041\pi}{27000}\)
3. ∆ABC এর AC=BC এবং BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। যদি \(\angle\ ACD=144°\) হয়, তবে ABC ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
∴ \(\angle\ ABC=\angle\ ACB\)
যেহেতু, \(\angle\ ACB+\angle\ ACD=180°\)
∴ \(\angle\ ACB=180°-∠ACD\)
\(=180°-144°=36°\)
∴ \(\angle\ ABC=\angle\ ACB=36°\)
∆ABC থেকে পাই,
\(\angle\ BAC=180°-36°-36°=108°\)
36° এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{π}{180}×36°=\frac{π}{5}\)
108° এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{π}{180}×108°=\frac{3π}{5}\)
∴ ABC ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের বৃত্তীয়্ মান \(\frac{3\pi}{5}\), \(\frac{\pi}{5}\), \(\frac{\pi}{5}\)
4. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর \(\frac{2\pi}{5}\) হলে, ষষ্টিক পদ্ধতিতে ওই কোণদ্বয়ের মান লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, কোণ দুটির ষষ্টিক মান x° ও y°, যেখানে x>y
\(\frac{2\pi}{5}\) এর ষষ্টিক মান
\(=\frac{180°}{\pi}\times \frac{2\pi}{5}\)
\(=72°\)
শর্তানুসারে,
x+y=90 (1)
এবং x-y=72 (2)
(1)+(2) করে পাই,
2x=162
∴ x= 81
(1)নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
81+y=90 ∴ y=9
∴ কোণ দুটির ষষ্টিক মান 81° ও 9°
5. একটি ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাপ 65° এবং দ্বিতীয়টির পরিমাপ \(\frac{\pi}{12}\); তৃতীয় কোণটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান নির্ণয় হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(\frac{\pi}{12}\) এর ষষ্টিক মান
\(=\frac{180°}{\pi}\times \frac{\pi}{12}\)
\(=15°\)
∴ তৃতীয় কোণটির পরিমাপ
=180°-65°-15° = 100°
100° এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{π}{180}×100°=\frac{5π}{9}\)
∴ তৃতীয় কোণটির ষষ্টিক মান 100° এবং বৃত্তীয় মান \(\frac{5\pi}{9}\)
6. দুটি কোণের সমষ্টি 135° এবং তাদের অন্তর \(\frac{\pi}{12}\) হলে, কোণ দুটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, কোণ দুটির ষষ্টিক মান x° ও y°, যেখানে x>y
\(\frac{\pi}{12}\) এর ষষ্টিক মান
\(=\frac{180°}{\pi}\times \frac{\pi}{12}\)
\(=15°\)
শর্তানুসারে,
x+y=135 (1)
এবং x-y=15 (2)
(1)+(2) করে পাই,
2x=150
∴ x=75
(1)নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
75+y=135 ∴ y=135-75=60
75° এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{π}{180}×75°=\frac{5π}{12}\)
60° এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{π}{180}×60°=\frac{π}{3}\)
∴ কোণদুটির ষষ্টিক মান 75° ও 60°
এবং বৃত্তীয় মান \(\frac{5\pi}{12}\) ও \(\frac{\pi}{3}\)
7. একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 2:3:4 হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
মনে করি, কোণগুলির মান 2x, 3x ও 4x রেডিয়ান।
যেখানে x সাধারণ গুণিতক এবং x>0
∴ \(2x+3x+4x=\pi\) [∵ 180°=π]
বা, \(9x=\pi\)
বা, \(9x=\frac{\pi}{9}\)
∴ \(4x=\frac{4\pi}{9}\)
∴ ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান \(\frac{4\pi}{9}\)
8. একটি বৃত্তের ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য 28 সেমি.। এই বৃত্তে 5.5 সেমি. দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ দ্বারা ধৃত কেন্দ্রীয় কোণটির বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
এখানে, r=28 সেমি. এবং s=5.5 সেমি.
ধরি, 5.5 সেমি. বৃত্তচাপ দ্বারা ধৃত কেন্দ্রস্থ কোণের বৃত্তীয় মান \(=\theta\)
যেহেতু, \(s=r\theta\)
∴ \(5.5=28\times\theta\)
বা, \(\theta=\frac{5.5}{28}=\frac{11}{56}\)
∴ নির্ণেয় কোণটির বৃত্তীয় মান
\(=\frac{11}{56}\) রেডিয়ান
\(=\frac{11}{56}\times \frac{7}{22}\times \pi\) রেডিয়ান
\(\left[\because\pi\approx\frac{22}{7}\right]\)
\({=\frac{\pi}{16}}^c\)
9. একটি বৃত্তের অসমান দৈর্ঘ্যের দুটি চাপ কেন্দ্রে যে কোণ ধারণ করে আছে তাঁর অনুপাত 5:2 এবং দ্বিতীয় কোণটির ষষ্টিক মান 30° হলে, প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
মনে করি, প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান \(\theta°\)
∴ \(\frac{θ°}{30°}=\frac{5}{2}\)
বা, \(\theta°=52×30°=75°\)
যেহেতু, \(180°=π^c\)
সুতরাং, \(75°=\frac{π^c}{180}×75=\frac{5}{12}π^c\)
∴ প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান 75°
এবং বৃত্তীয় মান \(\frac{5}{12}\pi^c\)
10. একটি ঘূর্ণায়মান রশ্মি \(-5\frac{1}{12}\pi\) কোণ উৎপন্ন করেছে। রশ্মিটি কোনদিকে কতবার পূর্ণ আবর্তন করেছে এবং তারপরে আরও কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করেছে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(-5\frac{1}{12}\pi\)
\(=-\frac{61\pi}{12}\)
\(=-(\frac{180°}{\pi}\times \frac{61\pi}{12})\)
\(=-915°\)
\(=-(2×360°+195°)\)
∴ ঘূর্ণায়মান রশ্মিটি ঘড়ির কাঁটার দিকে 2 বার পূর্ণ আবর্তন করেছে এবং তারপরে 195° কোণ উৎপন্ন করেছে।
11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার সমান বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\angle\ ABC=45°\); ∠ABC এর সমদ্বিখন্ডক AC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। \(\angle\ ABD\),\(\angle\ BAD,\ \angle\ CBD\) এবং \(\angle\ BCD\) এর বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
এবং AB=BC
∴ \(\angle\ BAC=\angle\ ACB=\frac{180°-45°}{2}=\frac{135°}{2}\)
∴ \(\angle\ BAD=\angle\ BCD=\frac{135°}{2}\)
\(BD, \angle\ ABC\) এর সমদ্বিখণ্ডক
∴ \(\angle\ ABD=\angle\ CBD=\frac{45°}{2}\)
\(\frac{135}{2}°\) এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{\pi}{180}\times \frac{135}{2}=\frac{3\pi}{8}\)
\(\frac{45}{2}°\) এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{\pi}{180}\times \frac{45}{2}=\frac{\pi}{8}\)
সুতরাং, \(\angle\ ABD=\frac{\pi}{8},\)
\(\angle\ BAD=\frac{3\pi}{8},\)
\(\angle\ CBD=\frac{\pi}{8}\)
এবং \(\angle\ BCD=\frac{3\pi}{8}\)
12. ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC ভূমিকে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন CE=BC হয়। A, E যুক্ত করে ACE ত্রিভুজের কোণগুলির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ABC সমবাহু ত্রিভুজের AB=BC=CA
আবার CE=BC
∴ CE=CA
আবার সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান 60°
60° এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{π}{180}×60°=\frac{π}{3}\)
∴ \(\angle\ ABC=\angle\ ACB=\angle\ BAC=\frac{\pi}{3}\)
ABC সমবাহু ত্রিভুজের
বহিঃস্থ কোণ \(\angle\ ACE=\angle\ ABC+\angle\ ACB\)
\(=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{2\pi}{3}\)
∆ACE এর CE=CA
∴ \(\angle\ CAE\)
\(=\angle\ CEA\)
\(=\frac{\pi-\frac{2\pi}{3}}{2}\)
\(=\frac{\frac{\pi}{3}}{2}\)
\(=\frac{\pi}{6}\)
সুতরাং, ∆ACE এর
\(\angle\ ACE=\frac{2\pi}{3}\), \(\angle\ CAE=\frac{\pi}{6}\)
এবং \(∠CEA=\frac{π}{6}\)
13. কোনো চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{5\pi}{6}\) ও 90° হলে, চতুর্থ কোণটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(\frac{\pi}{3}\) এর ষষ্টিক মান
\(=\frac{180°}{\pi}\times \frac{\pi}{3}\)
\(=60°\)
\(\frac{5\pi}{6}\) এর ষষ্টিক মান
\(=\frac{180°}{\pi}\times \frac{5\pi}{6}\)
\(=150°\)
∴ চতুর্থ কোণটির ষষ্টিক মান
= 360°-60°-150°-90°
= 60°
60° এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{π}{180}×60°=\frac{π}{3}\)
∴ চতুর্থ কোণটির ষষ্টিক মান 60° এবং বৃত্তীয় মান \(\frac{\pi}{3}\)
14. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘন্টায় আবর্তন করে
(a) \(\frac{\pi}{4}\) রেডিয়ান (b) \(\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান
(c) \(\pi\) রেডিয়ান (d) \(2\pi\) রেডিয়ান
সমাধানঃ
মিনিটের কাঁটা 1 ঘন্টায় আবর্তন করে 360°
360° এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{π}{180}×360=2π\)
উত্তরঃ (d) \(2\pi\) রেডিয়ান
(ii) \(\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান সমান
(a) 60° (b) 45° (c) 90° (d) 30°
\(\frac{\pi}{6}\) এর ষষ্টিক মান
\(=\frac{180°}{\pi}\times \frac{\pi}{6}\)
\(=30°\)
উত্তরঃ (d) 30°
(iii) একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের বৃত্তীয় মান
(a)\(\frac{\pi}{3}\) (b) \(\frac{2\pi}{3}\) (c) \(\frac{\pi}{6}\) (d) \(\frac{\pi}{4}\)
সুষম ষড়ভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি
=2(6-2) সমকোণ
\(=8\times90°=720°\)
720° এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{π}{180}×720=4π\)
∴ সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের বৃত্তীয় মান
\(=\frac{4\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}\)
উত্তরঃ (b) \(\frac{2\pi}{3}\)
(iv) \(s=r\theta\) সম্পর্কে \(\theta\) এর পরিমাপ করা হয়
(a) ষষ্টিক পদ্ধতিতে (b) বৃত্তীয় পদ্ধতিতে
(c) ওই দুই পদ্ধতিতে (d) ওই দুই পদ্ধতির কোনোটিতেই নয়
উত্তরঃ (b) বৃত্তীয় পদ্ধতিতে
(v) ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের \(\angle\ A=120°\) হলে, \(\angle\ C\) এর বৃত্তীয় মান
(a)\(\frac{\pi}{3}\) (b)\(\frac{\pi}{6}\)
(c)\(\frac{\pi}{2}\) (d)\(\frac{2\pi}{3}\)
যেহেতু, ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
∴ \(\angle\ A+\angle\ C=180°\)
বা, \(\angle\ C\ =\ 180°-∠A\)
∴ \(\angle\ C=180°-120°=60°\)
যেহেতু, 180°=π
∴ \(60°=\frac{π}{180}×60=\frac{π}{3}\)
উত্তরঃ (a) \(\frac{\pi}{3}\)
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে রশ্মিটির ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরার জন্য উৎপন্ন কোনটি ধনাত্মক।
উত্তরঃ সত্য
(ii) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে রশ্মিটির ঘড়ির কাঁটার দিকে দুবার পূর্ণ আবর্তনের জন্য 720° কোণ উৎপন্ন হয়।
উত্তরঃ মিথ্যা
** ঘড়ির কাঁটার দিকে দুবার পূর্ণ আবর্তনের জন্য উৎপন্ন কোণ হবে –(2×360°)=-720°
(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) \(\pi\) রেডিয়ান একটি _________কোণ।
উত্তরঃ ধ্রুবক
(ii) ষষ্টিক পদ্ধতিতে 1 রেডিয়ান সমান _________(প্রায়)।
সমাধানঃ
1 রেডিয়ান \(=\frac{180°}{π}\)
\(=\frac{180°}{\frac{22}{7}}=180°×\frac{7}{22}=\frac{630°}{11}\)
\(\frac{630°}{11}\)
\(=57\frac{3}{11}°\)
\(=57°+\frac{3×60}{11}'\)
\(=57°+\frac{180}{11}'\)
\(=57°+16\frac{4}{11}'\)
\(=57°+16'+\frac{240}{11}''\)
= 57°+16'+22'' (প্রায়)
= 57°16'22'' (প্রায়)
উত্তরঃ 57°16'22''(প্রায়)
(iii)\(\frac{3\pi}{8}\) পরিমাপের কোণটির সম্পূরক কোণের বৃত্তীয় মান _____।
সমাধানঃ
\(\frac{3\pi}{8}\) কোণটির সম্পূরক কোণের বৃত্তীয় মান
= \(\left(\pi-\frac{3\pi}{8}\right)=\frac{5\pi}{8}\)
উত্তরঃ \(\frac{5\pi}{8}\)
15. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(i) একটি কোণের ডিগ্রিতে মান D এবং এই কোণের রেডিয়ানে মান R হলে, \(\frac{R}{D}\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, কোণটির ষষ্টিক মান x° ∴ D=x
∴ x° এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{π}{180}×x=\frac{πx}{180}\)
∴ \(R=\frac{πx}{180}\)
\(\frac{R}{D}=\frac{\frac{πx}{180}}{x}\)
\(=\frac{\pi}{180}\)
(ii) 63°35’15’’ পরিমাপের কোণটির পূরক কোণের মান লিখি।
সমাধানঃ
90° = 89°60’ = 89°59’60’’
∴ 63°35’15’’ পরিমাপের কোণটির পূরক কোণের মান
= 89°59’60’’ - 63°35’15’’
= 26°24’45’’
(iii) একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাপ 65°56’55’’ এবং 64°3’5’’ হলে, তৃতীয় কোণটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ত্রিভুজের কোণ দুটির সমষ্টি
=65°56’55’’ + 64°3’5’’
=129°59°60’’
=129°60’
=130°
∴ তৃতীয় কোণটির ষষ্টিক মান =(180°-130°)=50°
∴ 50° এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{π}{180}×50=\frac{5π}{18}\)
(iv) একটি বৃত্তে 220 সেমি. দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে 63° পরিমাপের কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
এখানে, s=220 সেমি.
এবং \(\theta=63\times\frac{\pi}{180}=63\times\frac{22}{7\times180}=\frac{11}{10}\)
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি.
যেহেতু, \(s=r\theta\)
∴ \(r=\frac{s}{\theta}\)
\(=\frac{220}{\frac{11}{10}}\)
\(=220\times\frac{10}{11}\)
\(=200\)
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 200 সেমি.
(v) একটি ঘড়ির ঘন্টার কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘন্টা আবর্তনে যে পরিমাণ কোণ উৎপন্ন করে তার বৃত্তীয় মান লিখি।
সমাধানঃ
ঘড়ির ঘন্টার কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘন্টা আবর্তনে যে
কোণ উৎপন্ন করে তার ষষ্টিক মান \(=\frac{360°}{12}=30°\)
যেহেতু, 180°=π
∴ 30° এর বৃত্তীয় মান
\(=\frac{π}{180}×30=\frac{π}{6}\)
0 Comments