17. সময় ও কার্য | কষে দেখি 17.2 | Exercise 17.2 | Ganit Prabha Class VIII math solution | WBBSE Class 8 Math Solution in Bengali
গণিত প্রভা VIII কষে দেখি 17.2 সমাধান
1. প্রিয়া ও দেবু প্রত্যেকে আলাদাভাবে একটি কাজ যথাক্রমে 10 ঘন্টায় ও 12 ঘন্টায় করতে পারে। তারা যদি একসঙ্গে ওই কাজটি করে তবে কত ঘন্টায় কাজটি শেষ করবে হিসাব করি।
সমাধানঃ
প্রিয়া একটি কাজ করে 10 ঘন্টায়
প্রিয়া 1 ঘন্টায় করে মোট কাজের \(\frac{1}{10}\) অংশ
দেবু একটি কাজ করে 12 ঘন্টায়
দেবু 1 ঘন্টায় করে মোট কাজের \(\frac{1}{12}\) অংশ
∴ প্রিয়া ও দেবু একসঙ্গে 1 ঘন্টায় করে
\(=\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{12}\right)\) অংশ
\(=\left(\frac{6+5}{60}\right)\) অংশ
\(=\frac{11}{60}\) অংশ
∴ প্রিয়া ও দেবু একসঙ্গে 1 ঘন্টায় করে \(\frac{11}{60}\) অংশ
দুজনে একসঙ্গে \(\frac{11}{60}\) অংশ করেন 1 ঘন্টায়
∴ দুজনে একসঙ্গে সম্পূর্ণ কাজটি করেন \(\frac{60}{11}\) ঘন্টায়
\(=5\frac{5}{11}\) ঘন্টায়
2. আমি, আমার দাদা ও আমার দিদি তিনজনে মিলে বাড়ির জানালাগুলি রঙ করব। আমার দাদা, দিদি ও আমি আলাদাভাবে এই কাজটি যথাক্রমে 12, 4 ও 6 দিনে করতে পারি। আমরা তিনজনে যদি একসাথে কাজটি করি তবে কতদিনে কাজটি শেষ করতে পারব হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
আমি 1 দিনে করি সম্পূর্ণ কাজের \(\frac{1}{12}\)অংশ
আমার দাদা 1 দিনে করে সম্পূর্ণ কাজের \(\frac{1}{4}\) অংশ
আমার দিদি 1 দিনে করে সম্পূর্ণ কাজের \(\frac{1}{6}\)অংশ
∴ আমরা তিনজনে 1 দিনে করি সম্পূর্ণ কাজের
\(\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)\) অংশ
\(=\left(\frac{1+3+2}{12}\right)\) অংশ
\(=\frac{6}{12}\) অংশ
\(=\frac{1}{2}\) অংশ
∴ আমরা তিনজনে 1 দিনে করি সম্পূর্ণ কাজের \(\frac{1}{2}\) অংশ
তিনজনে সম্পূর্ণ কাজের \(\frac{1}{2}\) অংশ করি 1 দিনে
∴ তিনজনে সম্পূর্ণ কাজটি শেষ করি 2 দিনে ।
3. কোনো একটি কাজ অবনী ও আনোয়ার আলাদাভাবে যথাক্রমে 20 ও 25 দিনে করতে পারে। তারা একসঙ্গে কাজ শুরু করার 10 দিন পর দুজনেই চলে গেল। সুখেন এসে বাকি কাজটি 3 দিনে শেষ করল। যদি সুখেন পুরো কাজটি একা করত তবে কতদিনে কাজটি একা করত তবে কতদিনে কাজটি শেষ করতে পারত হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
অবনী 1 দিনে করে সম্পূর্ণ কাজটির \(\frac{1}{20}\) অংশ
আনোয়ার 1 দিনে করে সম্পূর্ণ কাজটির \(\frac{1}{25}\) অংশ
অবনী ও আনোয়ার একসঙ্গে 1 দিনে করে মোট কাজের
\(\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{25}\right)\) অংশ
\(=\left(\frac{5+4}{100}\right)\) অংশ
\(=\frac{9}{100}\) অংশ
অবনী ও আনোয়ার একসঙ্গে 10 দিনে করে মোট কাজের
\(\frac{9}{100}\times10\) অংশ
\(=\frac{9}{10}\) অংশ
বাকি কাজ \(=\left(1-\frac{9}{10}\right)\) অংশ \(=\frac{10-9}{10}\) অংশ \(=\frac{1}{10}\) অংশ
∴ সুখেন 3 দিনে করে কাজটির \(\frac{1}{10}\) অংশ
সুখেন \(\frac{1}{10}\) অংশ কাজ করে 3 দিনে
∴ সুখেন 1 অংশ বা সম্পূর্ণ কাজ করে \(=3\times10\) দিনে = 30 দিনে
4. পৌরসভার একটি জলের ট্যাঙ্ক থেকে জল নেওয়ার দুটি নল আছে। নলদুটি দিয়ে আলাদাভাবে 4 ঘণ্টায় ট্যাঙ্কটি খালি করা যায়। দুটি নলকে একই সঙ্গে খুলে রাখলে কতক্ষনে জলপূর্ণ ট্যাঙ্কটি খালি হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
একটি নল 4 ঘন্টায় ট্যাঙ্কটি খালি করে
একটি নল 1 ঘন্টায় খালি করে ট্যাঙ্কের \(\frac{1}{4}\) অংশ
দুটি নল একসঙ্গে খোলা থাকলে,
2 টি নল 1 ঘন্টায় খালি করে ট্যাঙ্কের \(\frac{2}{4}\) অংশ \(=\frac{1}{2}\) অংশ
দুটি নল \(\frac{1}{2}\) অংশ খালি করে 1 ঘন্টায়
∴ দুটি নল 1 অংশ বা সম্পূর্ণ ট্যাঙ্কটি খালি করে 2 ঘন্টায়
∴ দুটি নলকে একই সঙ্গে খুলে রাখলে 2 ঘন্টায় জলপূর্ণ ট্যাঙ্কটি খালি হবে।
5. আমাদের চৌবাচ্চায় 3টি নল আছে। ওই তিনটি নল দিয়ে আলাদা আলাদা ভাবে যথাক্রমে 18, 21 ও 24 ঘন্টায় চৌবাচ্চা পূর্ণ করা যায়।
(a) একসাথে তিনটি নল খোলা থাকলে কতক্ষনে চৌবাচ্চাটি জলপূর্ণ হবে সমানুপাত তৈরি করি ও হিসাব করে লিখি।
(b) যদি প্রথম দুটি নল খোলা থাকত তাহলে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে কত সময় লাগত হিসাব করি।
(c) যদি শেষের দুটি নল খোলা থাকত তাহলে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে কত সময় লাগত হিসাব করি।
সমাধানঃ
প্রথম নলটি 1 ঘন্টায় জলপূর্ণ করে চৌবাচ্চাটির \(\frac{1}{18}\) অংশ
দ্বিতীয় নলটি 1 ঘন্টায় জলপূর্ণ করে চৌবাচ্চাটির \(\frac{1}{21}\) অংশ
তৃতীয় নলটি 1 ঘন্টায় জলপূর্ণ করে চৌবাচ্চাটির \(\frac{1}{24}\) অংশ
∴ তিনটি নল একত্রে 1 ঘন্টায় জলপূর্ণ করে
\(\left(\frac{1}{18}+\frac{1}{21}+\frac{1}{24}\right)\) অংশ
\(=\left(\frac{1}{18}+\frac{1}{21}+\frac{1}{24}\right)\) অংশ
\(=\frac{28+24+21}{504}\) অংশ
\(=\frac{73}{504}\) অংশ
(a)
জলপূর্ণের পরিমাণ (অংশ) সময় (ঘন্টা)
\(\frac{73}{504}\) 1
1 ?
জলপূর্ণের পরিমাণ ও সময় সরল সমানুপাতে আছে।
সরল সমানুপাতটি হল, \(\frac{73}{504}:1:1:?\ \)
∴ নির্ণেয় সময়
\(=\frac{1\times1}{\frac{73}{504}}\) ঘন্টা
\(=\frac{504}{73}\) ঘন্টা
\(=6\frac{66}{73}\) ঘন্টা
(b)
প্রথম দুটি নল একত্রে 1 ঘন্টায় জলপূর্ণ করে
\(\left(\frac{1}{18}+\frac{1}{21}\right)\) অংশ
\(=\frac{7+6}{126}\) অংশ
\(=\frac{13}{126}\) অংশ
∴ প্রথম দুটি নল \(\frac{13}{126}\) অংশ পূর্ণ করে 1 ঘন্টায়
প্রথম দুটি নল একত্রে চৌবাচ্চাটি জলপূর্ণ করে
\(\frac{126}{13}\) ঘন্টায় \(=9\frac{9}{13}\) ঘন্টায়
(c)
শেষের দুটি নল একত্রে 1 ঘন্টায় জলপূর্ণ করে
\(\left(\frac{1}{21}+\frac{1}{24}\right)\) অংশ
\(=\frac{8+7}{168}\) অংশ
\(=\frac{15}{168}\) অংশ \(=\frac{5}{56}\) অংশ
∴ প্রথম দুটি নল \(\frac{5}{56}\) অংশ পূর্ণ করে 1 ঘন্টায়
প্রথম দুটি নল একত্রে চৌবাচ্চাটি জলপূর্ণ করে
\(\frac{56}{5}\) ঘন্টায় \(=11\frac{1}{5}\) ঘন্টায়
6. পৌরসভার জল সরবরাহের নলটি দিয়ে রেহানাদের বাড়ির চৌবাচ্চাটি 30 মিনিটে পূর্ণ করা যায়। ওদের বাড়ির সব নলের কল খুলে ওরা 4 ঘন্টায় ওই পূর্ণ চৌবাচ্চার সমস্ত জল দিয়ে কাজ করতে পারে। কোনো একদিন যদি জল সরবরাহের নলটি মাত্র 25 মিনিট খোলা থাকে তাহলে ওই জল দিয়ে কতক্ষন ওরা বাড়ির কাজ করতে পারবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
পৌরসভার নলটি চৌবাচ্চাটিকে জলপূর্ণ করে 30 মিনিটে
নলটি 1 মিনিটে জলপূর্ণ করে \(\frac{1}{30}\) অংশ
নলটি 25 মিনিটে জলপূর্ণ করে \(\frac{25}{30}\) অংশ \(=\frac{5}{6}\) অংশ
রেহানাদের বাড়ির সব নল দিয়ে চৌবাচ্চাটি খালি হয় 4 ঘন্টায়
∴ বাড়ির নলগুলি সম্পূর্ণ অংশ খালি করে 4 ঘন্টায়
বাড়ির নলগুলি \(\frac{5}{6}\) অংশ খালি করে \(4\times\frac{5}{6}\) ঘন্টায়
\(=4\times\frac{5}{6}\times60\) মিণিটে
=200 মিনিটে
=3 ঘন্টা 20 মিনিটে
7. কোনো একটি কাজ রমা ও রোহিত 20 দিনে, রোহিত ও সাব্বা 15 দিনে এবং রমা ও সাব্বা 20 দিনে করতে পারে। হিসাব করে লিখি তিনজনে একত্রে কতদিনে কাজটি শেষ করবে। রমা, রোহিত ও সাব্বা প্রত্যেকে আলাদা আলাদা কাজ করলে কে কতদিনে কাজটি করতে পারবে হিসাব করি।
সমাধানঃ
(রমা+রোহিত) 1 দিনে করে মোট কাজের \(\frac{1}{20}\) অংশ
(রোহিত+সাব্বা) 1 দিনে করে মোট কাজের \(\frac{1}{15}\) অংশ
(রমা+সাব্বা) 1 দিনে করে মোট কাজের \(\frac{1}{20}\) অংশ
যোগ করে পাই,
2 (রমা+রোহিত+সাব্বা) 1 দিনে করে \(\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20}\right)\)অংশ
\(=\frac{3+4+3}{60}\) অংশ
\(=\frac{10}{60}\)অংশ
\(=\frac{1}{6}\) অংশ
∴ (রমা+রোহিত+সাব্বা) 1 দিনে করে \(\frac{1}{6\times2}\) অংশ
\(=\frac{1}{12}\) অংশ
রমা একা 1 দিনে করে
\(\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{15}\right)\) অংশ
\(=\left(\frac{5-4}{60}\right)\) অংশ
\(=\frac{1}{60}\) অংশ
∴ রমা একা সম্পূর্ণ কাজটি করে \(1\times\frac{60}{1}\) দিনে =60 দিনে
রোহিত একা 1 দিনে করে
\(\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{20}\right)\) অংশ
\(=\left(\frac{5-3}{60}\right)\)অংশ
\(=\frac{2}{60}\)অংশ
\(=\frac{1}{30}\)অংশ
∴ রোহিত একা সম্পূর্ণ কাজটি করে \(1\times\frac{30}{1}\) দিনে =30 দিনে
সাব্বা একা 1 দিনে করে
\(\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{20}\right)\)অংশ
\(=\left(\frac{5-3}{60}\right)\) অংশ
\(=\frac{2}{60}\) অংশ
\(=\frac{1}{30}\) অংশ
∴ সাব্বা একা সম্পূর্ণ কাজটি করে \(1\times\frac{30}{1}\) দিনে =30 দিনে
8. অলোক, কালাম ও জোসেফ প্রত্যেকে কোন একটি কাজ যথাক্রমে 10, 12 ও 15 দিনে করতে পারে। তারা একসাথে কাজটি শুরু করল। 3 দিন পরে কালামকে চলে যেতে হলো। বাকি কাজটি অলোক ও জোসেফ কতদিনে শেষ করতে পারবে সমানুপাত তৈরি করে হিসাব করি।
সমাধানঃ
আলোক 1 দিনে করে কাজটির \(\frac{1}{10}\) অংশ
কালাম 1 দিনে করে কাজটির \(\frac{1}{12}\) অংশ
জোসেফ 1 দিনে করে কাজটির \(\frac{1}{15}\) অংশ
∴ তিনজনে একত্রে 1 দিনে করে
\(\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}\right)\) অংশ
\(=\frac{6+5+4}{60}\) অংশ
\(=\frac{15}{60}\) অংশ
\(=\frac{1}{4}\) অংশ
তিনজনে একত্রে 3 দিনে করে \(\frac{3}{4}\) অংশ
বাকি কাজ
\(=\left(1-\frac{3}{4}\right)\) অংশ
\(=\frac{1}{4}\) অংশ
3 দিন পরে কালাম চলে যাওয়ায় বাকি কাজটি আলোক ও জোসেফ মিলে করবে।
আলোক ও জোসেফ একত্রে 1 দিনে করে
\(\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\right)\) অংশ
\(=\frac{3+2}{30}\) অংশ
\(=\frac{5}{30}\) অংশ
\(=\frac{1}{6}\) অংশ
আলোক ও জোসেফ একত্রে \(\frac{1}{6}\) অংশ করে 1 দিনে
আলোক ও জোসেফ একত্রে 1 অংশ করে \(\frac{6}{1}\) দিনে
∴ আলোক ও জোসেফ একত্রে \(\frac{1}{4}\) অংশ করে
\(=6\times\frac{1}{4}\) দিনে
\(=\frac{3}{2}\) দিনে
\(=1\frac{1}{2}\) দিনে
∴ বাকি কাজটি অলোক ও জোসেফ \(1\frac{1}{2}\) দিনে শেষ করতে পারবে।
9. একটি কাজ মেরি ও ডেভিড একা একা যথাক্রমে 10 দিন ও 15 দিনে করতে পারে। প্রথমে মেরি একা 4 দিন ও পরে ডেভিড একা 5 দিন কাজ করে চলে গেল। মারিয়া এসে একা বাকি কাজটি 4 দিনে শেষ করল। যদি মেরি, ডেভিড ও মারিয়া একসাথে কাজটি করত তবে কতদিনে কাজটি শেষ করত হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
মেরি একা 1 দিনে করে কাজের \(\frac{1}{10}\) অংশ
মেরি একা 4 দিনে করে কাজের \(\frac{4}{10}\) অংশ \(=\frac{2}{5}\) অংশ
ডেভিড একা 1 দিনে করে কাজের \(\frac{1}{15}\) অংশ
ডেভিড একা 5 দিনে করে কাজের \(\frac{5}{15}\) অংশ \(=\frac{1}{3}\) অংশ
মেরি 4 দিন ও ডেভিড 5 দিন কাজ করার পর চলে
যাওয়ায় অবশিষ্ট কাজ
\(=\left(1-\frac{2}{5}-\frac{1}{3}\right)\) অংশ
\(=\left(\frac{15-6-5}{15}\right)\) অংশ
\(=\frac{4}{15}\) অংশ
মারিয়া বাকি কাজটি 4 দিনে সম্পন্ন করে।
∴ মারিয়া \(\frac{4}{15}\) অংশ কাজ করেছে 4 দিনে
মারিয়া সম্পূর্ণ কাজটি করে \(4\times\frac{15}{4}\) দিনে =15 দিনে
মারিয়া 1 দিনে করে \(\frac{1}{15}\) অংশ
∴ মেরি, ডেভিড ও মারিয়া একসাথে 1 দিনে করে
\(\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}\right)\) অংশ
\(=\left(\frac{3+2+2}{30}\right)\)অংশ
\(=\frac{7}{30}\) অংশ
∴ তিনজনে সম্পূর্ণ কাজটি করে
\(=1\times\frac{30}{7}\) দিনে
\(=4\frac{2}{7}\) দিনে
10. একটি পৌরসভা ও পানীয় জল সংরক্ষনের জন্য একটি জলাধার নির্মাণ করে তাতে পাম্প যুক্ত করেছে। পাম্পগুলি আলাদা ভাবে যথাক্রমে 16, 20, 30 ঘণ্টায় খালি জলাধারটি পূর্ণ করতে পারে। আজ সকাল 7 টায় তিনটি পাম্প যখন একসঙ্গে চালু ওরা হলো, তখন জলাধারটির \(\frac{1}{3}\) অংশ জলপূর্ণ ছিল। 1 ঘন্টা 36 মিনিট পর প্রথম পাম্পটি এবং তারও 2 ঘন্টা পর তৃতীয় পাম্পটি বন্ধ হয়ে যায়।
(a) হিসাব করে দেখি জলাধারটি কখন জলপূর্ণ হয়েছিল।
(b) হিসাব করে দেখি দ্বিতীয় পাম্পটি জলাধারের কত অংশ পূর্ণ করেছিল।
(c) তৃতীয় পাম্পটি যখন বন্ধ হয়, তখন জলাধারটির কত অংশ জলপূর্ণ ছিল হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
প্রথম পাম্পটি 1 ঘন্টায় খালি করে \(\frac{1}{16}\) অংশ
দ্বিতীয় পাম্পটি 1 ঘন্টায় খালি করে \(\frac{1}{20}\) অংশ
তৃতীয় পাম্পটি 1 ঘন্টায় খালি করে \(\frac{1}{30}\) অংশ
∴ তিনটি পাম্প একত্রে 1 ঘন্টায় খালি করে
\(\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}\right)\) অংশ
\(=\frac{15+12+8}{240}\) অংশ
\(=\frac{35}{240}\) অংশ
\(=\frac{7}{48}\) অংশ
1 ঘন্টা 36 মিনিট
\(=\left(1+\frac{36}{60}\right)\) ঘন্টা
\(=\left(1+\frac{3}{5}\right)\) ঘন্টা
\(=\frac{8}{5}\) ঘন্টা
তিনটি পাম্প একত্রে \(\frac{8}{5}\) ঘন্টায় খালি করে
\(\frac{8}{5}\times\frac{7}{48}\)অংশ
\(=\frac{7}{30}\ \) অংশ
দ্বিতীয় ও তৃতীয় পাম্প মিলে একত্রে 1 ঘন্টায় খালি করে
\(\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}\right)\) অংশ
\(=\frac{3+2}{60}\) অংশ
\(=\frac{5}{600}\) অংশ
\(=\frac{1}{12}\) অংশ
∴ দ্বিতীয় ও তৃতীয় পাম্প মিলে একত্রে 2 ঘন্টায় খালি করে
\(\frac{1}{12}\times2\) অংশ
\(=\frac{1}{6}\) অংশ
তৃতীয় পাম্প বন্ধ হওয়ার সময় জলাধারটি জলপূর্ন হয়
\(\left(\frac{1}{3}+\frac{7}{30}+\frac{1}{6}\right)\) অংশ
\(=\left(\frac{10+7+5}{30}\right)\) অংশ
\(=\frac{22}{30}\) অংশ
\(=\frac{11}{15}\) অংশ
অবশিষ্ট অংশ
\(=\left(1-\frac{11}{15}\right)\) অংশ
\(=\frac{4}{15}\) অংশ
দ্বিতীয় পাম্পটির বাকি অংশ ভরতি করতে সময় লাগবে
\(=20\times\frac{4}{15}\) দিন
\(=\frac{16}{3}\) ঘন্টা
(a) জলাধারটি জলপূর্ণ হতে সময় লাগে
\(=\left(\frac{8}{5}+2+\frac{16}{3}\right)\) ঘন্টা
\(=\frac{24+30+80}{15}\) ঘন্টা
\(=\frac{134}{15}\) ঘন্টা
\(=\left(8+\frac{14}{15}\right)\) ঘন্টা
=8 ঘন্টা +\(\left(\frac{14}{15}\times60\right)\) মিনিট
=8 ঘন্টা 56 মিনিট
∴ জলাধারটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ হয়েছিল
সকাল 7 টা + 8 ঘন্টা 56 মিনিটে
= 15 ঘন্টা 56 মিনিটে
= বিকেল 3 টা বেজে 56 মিনিটে
(b)
দ্বিতীয় পাম্পটি 1 ঘন্টায় জলপূর্ণ করে \(\frac{1}{20}\) অংশ
∴ দ্বিতীয় পাম্পটি \(\frac{134}{15}\) ঘন্টা জলপূর্ণ করে
\(=\frac{1}{20}\times\frac{134}{15}\) অংশ
\(=\frac{67}{150}\)অংশ
(c)
তৃতীয় পাম্প বন্ধ হওয়ার সময় জলাধারটি জলপূর্ন ছিল
\(\left(\frac{1}{3}+\frac{7}{30}+\frac{1}{6}\right)\) অংশ
\(=\left(\frac{10+7+5}{30}\right)\) অংশ
\(=\frac{22}{30}\) অংশ
\(=\frac{11}{15}\) অংশ
11. আমার বন্ধু রীণা বাগানের কাজ একা 4 ঘন্টায় করতে পারে। আমি ওই কাজ একা_____ঘন্টায় করতে পারি। কিন্তু দু-জনে একসাথে বাগানের ওই কাজ করলে কত সময় লাগবে হিসাব করে লিখি। (ফাঁপা ঘরে নিজে সংখ্যা বসাই)
[আমি ফাঁকা ঘরে 3 বসিয়ে পাই]
সমাধানঃ
রীণা 1 ঘন্টায় করে মোট কাজের \(\frac{1}{4}\) অংশ
আমি 1 ঘন্টায় করি মোট কাজের \(\frac{1}{3}\) অংশ
দুজনে একসাথে 1 ঘন্টায় করি
\(\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right)\) অংশ
\(=\frac{3+4}{12}\) অংশ
\(=\frac{7}{12}\)অংশ
∴ দুজনে একসঙ্গে সম্পূর্ণ কাজটি করে
\(=\frac{12}{7}\) ঘন্টায়
\(=1\frac{5}{7}\) ঘন্টায়
0 Comments