14. বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. | কষে দেখি 14 | Exercise 14 | Ganit Prabha Class VIII math solution | WBBSE Class 8 Math Solution in Bengali
গণিত প্রভা VIII কষে দেখি 14 সমাধান
1. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গ.সা.গু. নির্ণয় করি-
(i) \(4a^2b^2,\ 20ab^2\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=4a^2b^2\)
\(=2\times2\times a\times a\times b\times b\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা,
\(=20ab^2\)
\(=2\times2\times5\times a\times b\times b\)
∴ নির্ণেয় গ.সা .গু.
\(=2×2×a×b×b\)
\(=4ab^2\)
(ii) \(5p^2q^2,\ 10p^2q^2,\ 25p^4q^3\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=5p^2q^2\)
\(=5\times p\times p\times q\times q\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=10p^2q^2\)
\(=5\times2\times p\times p\times q\times q\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=25p^4q^3\)
\(=5\times5\times p\times p\times p\times p\times q\times q\times q\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু.
\(=5\times p\times p\times q\times q\)
\(=5p^2q^2\)
(iii) \(7y^3z^6,\ 21y^2,\ 14z^2\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=7y^3z^6\)
\(=7\times y\times y\times y\times z\times z\times z\)
\(\times z\times z\times z\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=21y^2\)
\(=7\times3\times y\times y\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=14z^2\)
\(=7\times2\times z\times z\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = 7
(iv) \(3a^2b^2c,\ 12a^2b^4c^2,\ 9a^5b^4\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=3a^2b^2c\)
\(=3\times a\times a\times b\times b\times c\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=12a^2b^4c^2\)
\(=3\times2\times2\times a\times a\)
\(\times b\times b\times b\times b\times c\times c\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=9a^5b^4\)
\(=3\times3\times a\times a\times a\times a\times a\)
\(\times b\times b\times b\times b\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু.
\(=3\times a\times a\times b\times b\)
\(=3a^2b^2\)
2. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলির ল.সা.গু. নির্ণয় করি-
(i) \(2x^2y^3,\ 10x^3y\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=2x^2y^3\)
\(=2\times x\times x\times y\times y\times y\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=10x^3y\)
\(=2\times5\times x\times x\times x\times y\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু.
\(=2\times5\times x\times x\times x\times y\times y\times y\)
\(=\ 10x^3y^3\)
(ii) \(7p^2q^3,\ 35p^3q,\ 42pq^4\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=7p^2q^3\)
\(=7\times p\times p\times q\times q\times q\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=35p^3q\)
\(=7\times5\times p\times q\times p\times q\)\
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=42pq^4\)
\(=7\times2\times3\times p\times q\times q\times q\times q\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু.
\(=7\times5\times2\times3\times p\times p\times p\)
\(\times q\times q\times q\times q\)
\(=210p^3q^4\)
(iii) \(5a^5b,\ 15ab^2c,\ 25a^2b^2c^2\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=5a^5b\)
\(=5\times a\times a\times a\times a\times a\times b\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=15a^2bc\)
\(=5\times3\times a\times a\times b\times c\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=25a^2b^2c^2\)
\(=5\times5\times a\times a\times b\times b\times c\times c\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু.
\(=\ 5\times3\times5\times a\times a\times a\times a\times a\)
\(\times b\times b\times c\times c\)
\(=75a^5b^2c^2\)
(iv) \(11a^2bc^2,\ 33a^2b^2c,\ 55a^2bc^2\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=11a^2bc^2\)
\(=11\times a\times a\times b\times c\times c\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=33a^2b^2c\)
\(=11\times3\times a\times a\times b\times b\times c\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=55a^2bc^2\)
\(=11\times5\times a\times a\times b\times c\times c\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু.
\(=11\times3\times5\times a\times a\times b\times b\ \times c\times c\)
\(=165a^2b^2c^2\)
3. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলির গ.সা.গু. নির্ণয় করি-
(i) \(5x(x+y),\ x^3-xy^2\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
= 5x(x+y)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=x^3-xy^2\)
\(=x\left(x^2-y^2\right)\)
\(=x(x+y)(x-y)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = x(x+y)
(ii) \(x^3-3x^2y\ ,\ x^2-9y^2\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=x^3-3x^2y\)
\(=x^2\left(x-3y\right)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=x^2-9y^2\)
\(=x^2-\left(3y\right)^2\)
\(=(x+3y)(x-3y)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = (x-3y)
(iii) \(2ax\left(a-x\right)^2,\ 4a^2x\left(a-x\right)^3\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=2ax\left(a-x\right)^2\)
\(=2ax(a-x)(a-x)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=4a^2x\left(a-x\right)^3\)
\(=2^2.a^2.x(a-x)(a-x)(a-x)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু.
\(=2ax(a-x)(a-x)\)
\(=2ax\left(a-x\right)^2\)
(iv) \(x^2-1,\ x^2-2x+1,\ x^3+x^2-2x\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=x^2-1\)
\(=x^2-1^2\)
\(=(x+1)(x-1)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=x^2-2x+1\)
\(=x^2-2.x.1+1^2\)
\(=\left(x-1\right)^2\)
\(=\left(x-1\right)\left(x-1\right)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=x^3+x^2-2x\)
\(=x(x^2+x-2)\)
\(=x(x^2+2x-x-2)\)
\(=x\{x(x+2)-1(x+2)\}\)
\(=x(x+2)(x-1)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. \(=(x-1)\)
(v) \(a^2-1,\ a^3-1,\ a^2+a-2\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=a^2-1\)
\(=a^2-1^2\)
\(=(a+1)(a-1)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=a^3-1\)
\(=a^3-1^3\)
\(=(a-1)(a^2+a+1)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=a^2+a-2\)
\(=a^2+2a-a-2\)
\(=a(a+2)-1(a+2)\)
\(=(a+2)(a-1)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. \(=(a-1)\)
(vi) \(x^2+3x+2,\ \ x^2+4x+3,\ x^2+5x+6\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=x^2+3x+2\)
\(=x^2+2x+x+2\)
\(=x(x+2)+1(x+2)\)
\(=(x+2)(x+1)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=x^2+4x+3\)
\(=x^2+3x+x+3\)
\(=x(x+3)+1(x+3)\)
\(=(x+3)(x+1)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=x^2+5x+6\)
\(=x^2+2x+3x+6\)
\(=x(x+2)+3(x+2)\)
\(=(x+2)(x+3)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = 1
(vii) \(x^2+xy,\ xz+yz,\ x^2+2xy+y^2\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=x^2+xy\)
\(=x(x+y)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=xz+yz\)
\(=z(x+y)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=x^2+2xy+y^2\)
\(=\left(x+y\right)^2\)
\(=(x+y)(x+y)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = (x+y)
(viii) \(8(x^2-4),\ 12(x^3+8),\ 36(x^2-3x-10)\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=8(x^2-4)\)
\(=2\times2\times2\times\left\{\left(x\right)^2-\left(2\right)^2\right\}\)
\(=2\times2\times2\times(x+2)(x-2)\)
দ্বিতীয় সংখামালা
\(=12(x^2+8)\)
\(=12\left\{x^2+\left(2\right)^3\right\}\)
\(=12\left(x+2\right)\left(x^2-x.2+2^2\right)\)
\(=2\times2\times3\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=36\left(x^2-3x-10\right)\)
\(=3\times3\times2\times2(x^2-5x+2x-10)\)
\(=3\times3\times2\times2\left\{x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)\right\}\)
\(=3\times3\times2\times2(x+5)(x+2)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু.
\(=2\times2\times(x+2)\)
\(=4(x+2)\)
(ix) \(a^2-b^2-c^2+2bc,\ b^2-c^2-a^2+2ac,\)
\(\ c^2-a^2-b^2+2ab\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=a^2-b^2-c^2+2bc\)
\(=a^2-(b^2-2bc+c^2)\)
\(=a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)\)
\(=\left(a\right)^2-\left(b-c\right)^2\)
\(=\left(a+b-c\right)\times(a-b+c)\)
দ্বিতীয় সংখামালা
\(=b^2-c^2-\ a^2+2ac\)
\(=b^2-\left(c^2-2ac+a^2\right)\)
\(=\left(b\right)^2-\left(c-a\right)^2\)
\(=(b+c-a)(b-c+a)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=c^2-a^2-b^2+2ab\)
\(=c^2-\left(a^2+b^2-2ab\right)\)
\(=\left(c\right)^2-\left(a-b\right)^2\)
\(=\left(c+a-b\right)\times(c-a+b)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = 1
(x) \(x^3-16x,\ 2x^3+9x^2+4x,\)
\( 2x^3+x^2-28x\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=x^3-16x\)
\(=x\left(x^2-16\right)\)
\(=x\left(x^2-4^2\right)\)
\(=x(x+4)(x-4)\)
দ্বিতীয় সংখামালা
\(=2x^3+9x^2+4x\)
\(=x(2x^2+9+4)\)
\(=x(2x^2+8x+x+4)\)
\(=x{2x(x+4)+1(x+4)}\)
\(=x(x+4)(2x+1)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=2x^3+x^2-28x\)
\(=x\left(2x^2+x-28\right)\)
\(=x(2x^2+8x-7x-28)\)
\(=x{2x(x+4)-7(x+4)}\)
\(=x(x+4)(2x-7)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = x(x+4)
(xi) \(4x^2-1,\ 8x^3-1,\ 4x^2-4x+1\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=4x^2-1\)
\(=\left(2x\right)^2-\left(1\right)^2\)
\(=(2x+1)(2x-1)\)
দ্বিতীয় সংখামালা
\(=8x^3-1\)
\(=\left(2x\right)^3-\left(1\right)^3\)
\(=(2x-1)(2x^2+2x.1+1^2)\)
\(=(2x-1)(4x^2+2x+1)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=4x^2-4x+1\)
\(=\left(2x\right)^2-2.2x.1+1^2\)
\(=\left(2x-1\right)^2\)
\(=(2x-1)(2x-1)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. \(=(2x-1)\)
(xii) \(x^3-3x^2-10x,\ x^3+6x^2+8x,\)
\( x^4-5x^3-14x^2\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=x^3-3x^2-10x\)
\(=x(x^2-3x-10)\)
\(=x(x^2-5x+2x-10)\)
\(=x{x(x-5)+2(x-5)}\)
\(=x(x-5)(x+2)\)
দ্বিতীয় সংখামালা
\(=x^3+6x^2+8x\)
\(=x\left(x^2+6x+8\right)\)
\(=x(x^2+4x+2x+8)\)
\(=x{x(x+4)+2(x+4)}\)
\(=x(x+2)(x+4)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=x^4-5x^3-14x^2\)
\(=x^2(x^2-5x-14)\)
\(=x^2(x^2-7x+2x-14)\)
\(=x^2{x^2(x-7)+2(x-7)}\)
\(=x^2(x-7)(x+2)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = x(x+2)
(xiii) \(6x^2-13xa+6a^2,\ 6x^2+11xa-10a^2,\)
\( 6x^2+2xa-4a^2\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=6x^2-13xa+6a^2\)
\(=6x^2-9xa-4xa+6a^2\)
\(=3x\left(2x-3a\right)-2a(2x-3a)\)
\(=\left(2x-3a\right)\left(3x-2a\right)\)
দ্বিতীয় সংখামালা
\(=6a^2+11xa-10a^2\)
\(=6x^2+15xa-4xa-10a^2\)
\(=3x\left(2x+5a\right)-2a(2x+5a)\)
\(=(2a+5a)(3x-2a)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=6x^2+2xa-4a^2\)
\(=2\left(3x^2+xa-2a^2\right)\)
\(=2(3x^2+3xa-2xa-2a^2)\)
\(=2{3x(x+a)-2a(x+a)}\)
\(=2(x+a)(3x-2a)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = (3x-2a)
4. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলির ল.সা.গু. নির্ণয় করি-
(i) \(p^2-q^2,\ \left(p+q\right)^2\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(p^2-q^2\)
\(=(p+q)(p-q)\)
দ্বিতীয় সংখামালা
\(\left(p+q\right)^2\)
\(=(p+q)(p+q)\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু.
\(=(p+q)(p-q)(p+q)\)
\(=(p+q)^2(p-q)\)
(ii) \((x^2y^2-x^2),\ (xy^2-2xy+x)\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(\left(x^2y^2-x^2\right)\)
\(=x^2\left(y^2-1\right)\)
\(=x^2\left(y^2-1^2\right)\)
\(=x^2(y+1)(y-1)\)
দ্বিতীয় সংখামালা
\(=xy^2-2xy+x\)
\(=x(y^2-2y+1)\)
\(=x\left(y-1\right)^2\)
\(=x(y-1)(y-1)\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু.
\(=x^2\ (y+1)(y-1)(y-1)\)
\(=x^2(y+1)(y-1)^2\)
(iii) (p+q)(q+r), (q+r)(r+p), (r+p)(p+q)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা =(p+q)(q+r)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা =(q+r)(r+p)
তৃতীয় সংখ্যামালা =(r+p)(p+q)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু. =(p+q)(p+r)(q+r)
(iv) \(ab^4-8ab,\ a^2b^4+8a^2b,\ ab^4-4ab^2\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=ab^4-8ab\)
\(=ab(b^3-8)\)
\(=ab\left\{\left(b\right)^3-\left(2\right)^3\right\}\)
\(=ab\left(b-2\right)\left(b^2+b.2+2^2\right)\)
\(=ab(b-2)(b^2+2b+4)\)
দ্বিতীয় সংখামালা
\(=a^2b+8a^2b\)
\(=a^2b(b^3+8)\)
\(=a^2b\left\{\left(b\right)^3+\left(2\right)^3\right\}\)
\(=a^2b(b+2)(b^2-b.2+2^2)\)
\(=a^2b(b+2)(b^2-2b+4)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=ab^4-4ab^2\)
\(=ab^2\left(b^2-4\right)\)
\(=ab^2\left\{\left(b\right)^2-\left(2\right)^2\right\}\)
\(=ab^2(b+2)(b-2)\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু.
\(=a^2b^2(b-2)(b^2+2b+4)\)
\(\times(b+2)(b^2-2b+4)\)
\(=a^2b^2(b-2)(b+2)\)
\(\times(b^2-2b+4)\ (b^2+2b+4)\)
(v) \(x^4+x^2y^2+y^4,\ x^3y+y^4,\ \left(x^2-xy\right)^3\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=x^4+x^2y^2+y^4\)
\(=x^4+2x^2y^2+y^4-x^2y^2\)
\(=\left(x^2+y^2\right)^2-\left(xy\right)^2\)
\(=(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)\)
দ্বিতীয় সংখামালা
\(=x^3y+y^4\)
\(=y\left(x^3+y^3\right)\)
\(=y(x+y)(x^2-xy+y^2)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=(\left(x^2-xy\right)^3\)
\(=\left\{x\left(-y\right)\right\}^3\)
\(=x^3\left(x-y\right)^3\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু.
\(=x^3y\left(x+y\right)\left(x-y\right)^3\)
\(\times(x^2-xy+y)(x^2+xy+y^2)\)
(vi) \(p^2+2p,\ 2p^4+3p^3-2p^2,\)
\( 2p^3-3p^2-14p\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=p^2+2p\)
\(=p(p+2)\)
দ্বিতীয় সংখামালা
\(=2p^4+3p^3-p^2\)
\(=p^2(2p^2+3p-2)\)
\(=p^2(2p^2+4p-p-2)\)
\(=p^2\{2p(p+2)-1(p+2)\}\)
\(=p^2(p+2)(2p-1)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=2p^3-3p^2-14p\)
\(=p(2p^2-3p-14)\)
\(=p(2p^2-7p+4p-14)\)
\(=\{p(2p-7)+2.(2p-7)\}\)
\(=p(2p-7)(p+2)\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু. \(=p^2(p+2)(2p-1)(2p-7)\)
(vii) \(x^2-y^2+z^2-2xz,\ x^2-y^2-z^2+2yz,\)
\( xy+zx+y^2-z^2\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=x^2-y^2+z^2-2xz\)
\(=x^2-2xz+z^2-y^2\)
\(=\left(x-z\right)^2-y^2\)
\(=\left(x-z+y\right)\times(x-z-y)\)
দ্বিতীয় সংখামালা
\(=x^2-y^2-z^2+2yz\)
\(=x^2-(y^2-2yz+z^2)\)
\(=x^2-\left(y-z\right)^2\)
\(=\left(x+y-z\right)\times(x-y+z\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(xy+zx+y^2-z^2\)
\(=x\left(y+z\right)+(y-z)(y+z)\)
\(=(y+z)(x+y-z)\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু. =(y+z)(x+y-z)(x-y-z)(x-y+z)
(viii) \(x^2-xy-2y^2,\ 2x^2-5xy+2y^2,\)
\( 2x^2+xy-y^2\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=x^2-xy-2y^2\)
\(=x^2-2xy+xy-2y^2\)
\(=x\left(x-2y\right)+y(x-2y)\)
\(=(x-2y)(x+y)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=2x^2-5xy+2y^2\)
\(=2x^2-4xy-xy+2y^2\)
\(=2x\left(x-2y\right)-y(x-2y)\)
\(=(x-2y)(2x-y)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=2x^2+xy-y^2\)
\(=2x^2+2xy-xy-y^2\)
\(=2x(x+y)-y(x+y)\)
\(=(x+y)(2x-y)\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু. =(x+y)(x-2y)(2x-y)
(ix) \(3x^2-15x+18,\ 2x^2+2x-24,\)
\( 4x^2+36x+80\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=3x^2-15x+18\)
\(=3(x^2-5x+6)\)
\(=3(x^2-2x-3x+6)\)
\(=3\{x(x-2)-3(x-2)\}\)
\(=3(x-2)(x-3)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=2x^2+2x-24\)
\(=2(x^2+x-12)\)
\(=2(x^2+4x-3x-12)\)
\(=2\{x(x+4)-3(x+4)\}\)
\(=2(x+4)(x-3)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=4x^2+36x+80\)
\(=4(x^2+9x+20)\)
\(=2^2(x^2+4x+5x+20)\)
\(=2^2\{x(x+4)+5(x+4)\}\)
\(=2^2(x+4)(x+5)\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু.
\(=\{3.2\}^2.(x-2)(x-3)(x+4)(x+5)\)
\(=12(x-2)(x-3)(x+4)(x+5)\)
(x) \(\left(a^2+2a\right)^2,\ 2a^3+3a^2-2a,\)
\( 2a^4-3a^3-14a^2\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=\left(a^2+2a\right)^2\)
\(=\{\left(a\left(a+2\right)\right\}^2\)
\(=a^2\left(a+2\right)^2\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=2a^3+3a^2-2a\)
\(=a(2a^2+3a-2)\)
\(=a(2a^2+4a-a-2)\)
\(=a\{2a(a+2)-1(a+2)\}\)
\(=a(a+2)(2a-1)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=a^4-3a^3-14a^2\)
=\(=a^2(2a^2-3a-14)\)
=\(=a^2(2a^2-7a+4a-14)\)
=\(=a^2\{a(2a-7)+2(2a-7)\}\)
\(=a^2(2a-7)(a+2)\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু.
\(=a^2(a+2)^2(2a-1)(2a-7)\)
(xi) \(3a^2-5ab-12b^2,\ a^5-27a^2b^3,\)
\( 9a^2+24ab+16b^2\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=3a^2-5ab-12b^2\)
\(=3a^2-9ab+4ab-12b^2\)
\(=3a\left(a-3b\right)+4b(a-3b)\)
\(=(a-3b)(3a+4b)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=a^5-27a^2b^3\)
\(=a^2\left(a^3-27b^3\right)\)
\(=a^2\left\{\left(a\right)^3-\left(3b\right)^3\right\}\)
=\(=a^2\left(a-3b\right)\times(a^2+3ab+9b^2)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=9a^2+24ab+16b^2\)
\(=\left(3a\right)^2+2.3a.4b+\left(4b\right)^2\)
\(=\left(3a+4b\right)^2\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু.
\(=a^2\left(a-3b\right)\left(3a+4b\right)^2(a^2+3ab+9b^2)\)
5. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলির গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. নির্ণয় করি-
(i) \(x^3-8,x^2+3x-10,x^3+2x^2-8x\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=x^3-8\)
\(=x^3-2^3\)
\(=(x-2)(x^2+2x+4)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=x^2+3x-10\)
\(=x^2+5x-2x-10\)
\(=x(x+5)-2(x+5)\)
\(=(x+5)(x-2)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=x^3+2x^2-8x\)
\(=x(x^2+2x-8)\)
\(=x(x^2+4x-2x-8)\)
\(=x\{x(x+4)-2(x+4)\}\)
\(=x(x+4)(x-2)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. =(x-2)
এবং ল.সা.গু. \(=x(x-2)(x+4)(x+5)(x^2+2x+4)\)
(ii) \(3y^2-15y+18,2y^2+2y-24,\)
\(4y^2+36y+80\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=3y^2-15y+18\)
\(=3(y^2-5y+6)\)
\(=3(y^2-2y-3y+6)\)
\(=3\{y(y-2)-3(y-2)\}\)
\(=3(y-2)(y-3)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=2y^2+2y-24\)
\(=2\left(y^2+y-12\right)\)
\(=2(y^2+4y-3y-12)\)
\(=2\{y(y+4)-3(y+4)\}\)
\(=2(y+4)(y-3)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=4y^2+36y+80\)
\(=4(y^2+9x-20)\)
\(=4(y^2+4y+5y+20)\)
\(=4{y(y+4)+5(y+4)}\)
\(=4(y+4)(y+5)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = 1
এবং ল.সা.গু. \(=3\times2\times4(y-2)(y-3)\ (y+4)(y+5)\)
\(=12(y-2)(y-3)\ (y+4)(y+5)\)
(iii) \(a^3-4a^2+4a,\ a^2+a-6,\ a^3-8\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=a^3-4a^2+4a\)
\(=a(a^2-4a+4)\)
\(=a\{\left(a\right)^2-2.a.2+\left(2\right)^2\}\)
\(=a\left(a-2\right)^2\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=a^2+a-6\)
\(=a^2+3a-2a-6\)
\(=a\left(a+3\right)-2(a+3)\)
\(=(a+3)(a-2)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=a^3-8\)
\(=a^3-2^3\)
\(=\left(a-2\right)\times(a^2+2a+4)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. \(=(a-2)\)
এবং ল.সা.গু. \(=a\left(a-2\right)^2(a+3)(a^2+2a+4)\)
(iv) \(a^2+b^2-c^2+2ab,\ c^2+a^2-b^2+2ca,\)
\( b^2+c^2-a^2+2bc\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=a^2+b^2-c^2+2ab\)
\(=a^2+2ab+b^2-c^2\)
\(=\left(a+b\right)^2-c^2\)
\(=\left(a+b+c\right)\times(a+b-c)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=c^2+a^2-b^2-2ca\)
\(=c^2+2ca\ +a^2-b^2\)
\(=\left(c+a\right)^2-b^2\)
\(=\left(c+a+b\right)\times(c+a-b)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=b^2+c^2-a^2+2bc\)
\(=b^2+2bc+c^2-a^2\)
\(=\left(b+c\right)^2-a^2\)
\(=\left(b+c+a\right)\times(b+c-a)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = (a+b+c)
এবং ল.সা.গু. = (a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(b+c-a)
(v) \(x^3-4x,\ 4(x^2-5x+6),\ (x^2-4x+4)\)
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যামালা
\(=x^3-4x\)
\(=x\left(x^2-4\right)\)
\(=x\left(x^2-2^2\right)\)
\(=x(x+2)(x-2)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা
\(=4\left(x^2-5x+6\right)\)
\(=2^2(x^2-2x-3x+6)\)
\(=2^2{x(x-2)-3(x-2)}\)
\(=2^2(x-2)(x-3)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা
\(=x^2-4x+4\)
\(=x^2-2.x.2+2^2\)
\(=\left(x-2\right)^2\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. \(=(x+2)\)
এবং ল.সা.গু.
\(=x.2^2\ \left(x-2\right)^2(x+2)\ (x-3)\)
\(=4x\left(x-2\right)^2(x+2)\ (x-3)\)
0 Comments