10. বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সম্পর্কিত উপপাদ্য | কষে দেখি 10 | Exercise 10 solution | গণিত প্রকাশ X সমাধান | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
কষে দেখি 10 সমাধান
1.
পাশের ছবির PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে X বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করেছে যে ∠PRS=65° এবং ∠RQS=45°; ∠SQP ও ∠RSP এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
QS বৃত্তচাপের উপর দুটি বৃত্তস্থ কোণ ∠PQS ও ∠PRS
∴ ∠PQS=∠PRS=65°
∠PQR=∠PQS+∠RQS=65°+45°=110°
যেহেতু, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।
∴ ∠RSP+∠PQR=180°
বা, ∠RSP+110°=180°
∴ ∠RSP=180°-110°=70°
∴ ∠SQP=65° এবং ∠RSP=70°
2. ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB বাহুকে X বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম এবং মেপে দেখছি ∠XBC=82° এবং ∠ADB=47°; ∠BAC এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
∠ABC=180°-∠XBC
=180°-82°=98°
∠ACB এবং ∠ADB একই বৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ACB=∠ADB=47°
∆ABC থেকে পাই,
∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC
=180°-47°-98°=35°
∴ ∠BAC=35°
3. PQRS বৃত্তস্থ চুতুর্ভুজের PQ,SR বাহু দুটি বর্ধিত করায় T বিন্দুতে মিলিত হলো। বৃত্তের কেন্দ্র O; ∠POQ=110°, ∠QOR=60°, ∠ROS=80° হলে ∠RQS ও ∠QTR এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
∠POS=360°-(110°+60°+80°)
=360°-250°
=110°
RS বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ
∠ROS এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠RQS
∴ ∠RQS=1/2∠ROS
=1/2×80°=40°
∠POR=∠POQ+∠QOR=110°+60°=170°
PR বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠POR এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠PSR
∴ ∠PSR=1/2∠POR = 1/2×170° = 85°
∴ ∠PST=85°
∠QOS=QOR+∠ROS=60°+80°=140°
QS বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠QOS এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠QPS
∴ ∠QPS=1/2∠QOS = 1/2×140° = 70°
∴ ∠SPT=70°
∆PST থেকে পাই, ∠PTS=180°-∠PST-∠SPT
=180°-85°-70°=25°
∴ ∠QTR=25°
4. দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও C এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে B ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AC||BD
প্রদত্তঃ দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে
ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দুগামী দুটি
সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও
C এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে B ও
D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ AC||BD
প্রমাণঃ যেহেতু ACQP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
∴ ∠ACQ+∠APQ=180°
বা, ∠APQ=180°-∠ACQ (I)
আবার BDQP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
∴ ∠BDQ+∠BPQ=180°
বা, ∠BPQ=180°-∠BDQ (II)
AB সরলরেখার উপর PQ দন্ডায়মান
∴ ∠APQ+∠BPQ=180°
বা, 180°-∠ACQ+180°-∠BDQ=180°
[ (I) নং ও (II) নং থেকে পাই]
বা, -(∠ACQ+∠BDQ) =180°-180°-180°
বা, -(∠ACD+∠BDC) =-180°
∴ ∠ACD+∠BDC=180°
AC ও BD সরলরেখাকে CD ছেদ করেছে এবং একই দিকের অন্তঃস্থ কোণদ্বয় ∠ACD ও ∠BDC এর সমষ্টি 180°
সুতরাং, AC||BD [প্রমাণিত]
5. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ অঙ্কন করেছি এবং এর BC বাহুকে E বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। প্রমাণ করি যে, ∠BAD ও ∠DCE এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় বৃত্তের উপর মিলিত হবে।
প্রদত্তঃ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের BC বাহুকে E
পর্যন্ত বর্ধিত করা হল। ∠BAD এর
সমদ্বিখন্ডক বৃত্তকে F বিন্দুতে ছেদ
করেছে। C,F যুক্ত করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
CF,∠DCE এর সমদ্বিখন্ডক।
প্রমাণঃ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
∴ ∠BAF+∠BCF=180°
আবার ∠ECF+∠BCF=180°
∴ ∠BAF+∠BCF=∠ECF+∠BCF
সুতরাং, ∠BAF=∠ECF (I)
DF বৃত্তচাপের উপর ∠DAF ও ∠DCF বৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠DAF=∠DCF (II)
AF,∠BAD এর সমদ্বিখন্ডক
∴ ∠DAF=∠BAF
বা, ∠DCF=∠ECF [ (I) নং ও (II) নং থেকে পাই]
∴ CF, ∠DCE এর সমদ্বিখন্ডক।
6. মোহিত একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু X দিয়ে দুটি সরলরেখা অঙ্কন করেছে যারা বৃত্তটিকে যথাক্রমে A,B বিন্দু ও C,D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে, ∆XAC ও ∆XBD এর দুটি করে কোণ সমান।
প্রদত্তঃ বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু X দিয়ে দুটি
সরলরেখা বৃত্তটিকে যথাক্রমে A,B বিন্দু
ও C,D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
∆XAC ও ∆XBD এর দুটি করে কোণ সমান।
প্রমাণঃ ACDB একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
∴ ∠ABD+∠ACD=180°
আবার ∠ACD+∠ACX=180° [∵ BE এর উপর CF দন্ডায়মান]
∴ ∠ABD+∠ACD=∠ACD+∠ACX
বা, ∠ABD=∠ACX
∴ ∠XBD=∠ACX
∠BDC+∠BAC=180°
আবার ∠BAC+∠XAC=180° [∵ BE এর উপর CF দন্ডায়মান]
∴ ∠BDC+∠BAC=∠BAC+∠XAC
বা, ∠BDC=∠XAC
∴ ∠BDX=∠XAC
∆XAC ও ∆XBD এর মধ্যে
∠XBD=∠ACX এবং ∠BDX=∠XAC [প্রমাণিত]
7. দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে G ও H বিন্দুতে ছেদ করেছে। এবার G বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যেটি বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে এবং H বিন্দুগামী PQ এর সমান্তরাল অপর একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা বৃত্তদুটিকে R ও S বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে, PQ=RS
প্রদত্তঃ দুটি বৃত্ত পরস্পরকে G ও H বিন্দুতে
ছেদ করেছে। G বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত
দুটিকে P ও Q বিন্দুতে এবং H বিন্দুগামী
PQ এর সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্তদুটিকে
R ও S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ PQ=RS
অঙ্কনঃ P,R; G,H এবং Q,S যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ PRHG বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
∴ ∠PRH+∠PGH=180°
∠PGH+∠QGH=180° [∵ PQ এর উপর GH দন্ডায়মান]
∴ ∠PGH+∠QGH=∠PRH+∠PGH
সুতরাং, ∠QGH=∠PRH
GHSQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
∴ ∠QSH+∠QGH=180°
বা, ∠QSH+∠PRH=180° [∵ ∠QGH=∠PRH]
বা, ∠QSR+∠PRS=180°
PR ও QS সরলরেখাকে RS ছেদ করায় একই দিকের অন্তঃস্থ কোণদুটি হল ∠QSR ও ∠PRS এবং কোণদুটির সমষ্টি 180°
সুতরাং, PR||QS
PRSQ চতুর্ভুজের PQ||RS এবং PR||QS
∴ PRSQ চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
∴ PQ=RS [∵ সামান্তরিকের বিপরীত বাহু সমান] (প্রমাণিত)
8. ABC একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার AB=AC এবং বর্ধিত BC এর উপর E যে-কোনো একটি বিন্দু। ∆ABC এর পরিবৃত্ত AE কে D বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করি যে, ∠ACD=∠AEC
প্রদত্তঃ ABC ত্রিভুজের AB=AC
বর্ধিত BC এর উপর E যে-কোনো একটি
বিন্দু। ∆ABC এর পরিবৃত্ত AE কে D
বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ ∠ACD=∠AEC
প্রমাণঃ
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠CDE
এবং অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ ∠ABC
∴ ∠CDE=∠ABC
∆ABC এর AB=AC
∴ ∠ABC=∠ACB
সুতরাং, ∠CDE=∠ACB
∆CDE এর বহিঃস্থ কোণ ∠BCD=∠CDE+∠CED
বা, ∠ACB +∠ACD=∠CDE+∠CED
বা, ∠ACB +∠ACD=∠ACB+∠CED
[∵ ∠CDE=∠ACB]
∴ ∠ACD=∠AEC [প্রমাণিত]
9. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC এর বহির্দ্বিখন্ডক। প্রমাণ করি যে, AE (বা বর্ধিত AE) ∠BAC এর বহির্দ্বিখন্ডক।
প্রদত্তঃ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC এর বহির্দ্বিখন্ডক ।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ AE,∠BAC এর বহির্দ্বিখন্ডক।
অঙ্কনঃ CD কে P পর্যন্ত এবং BA কে Q পর্যন্ত বর্ধিত করা হল।
প্রমাণঃ DE জ্যা ∠BDC এর বহির্দ্বিখন্ডক।
∴ ∠BDE=∠PDE
ACDE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠PDE
এবং বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠EAC
∴ ∠PDE=∠EAC
সুতরাং, ∠BDE=∠EAC (I)
আবার, ABDE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠QAE
এবং বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠BDE
∴ ∠QAE=∠BDE
বা, ∠QAE=∠EAC [ (I) নং থেকে পাই]
∴ AE,∠QAD এর সমদ্বিখণ্ডক
সুতরাং, AE ∠BAC এর বহির্দ্বিখন্ডক। [প্রমাণিত]
10. ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর BE ও CF যথাক্রমে লম্ব। প্রমাণ করি যে, B,C,E,F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। এর থেকে প্রমাণ করি যে, ∆AEF ও ∆ABC এর দুটি করে কোণ সমান।
প্রদত্তঃ ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর
উপর BE ও CF যথাক্রমে লম্ব।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ B,C,E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ এবং ∆AEF ও ∆ABC এর দুটি করে কোণ সমান।
অঙ্কনঃ E,F যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ যেহেতু, AC⊥BE এবং AB⊥CF
∴ ∠CEB=∠CFB=1 সমকোণ
অর্থাৎ, BC কে কোনো বৃত্তের ব্যাস ধরা হলে BC ব্যাসের উপর উৎপন্ন দুটি কোণ ∠CEB ও ∠CFB এবং কোণদুটির প্রত্যেকটি 1 সমকোণ।
আবার অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হয়।
∴ B,C,E ও F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। [প্রমাণিত]
BCEF বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠AFE
এবং বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠BCE
∴ ∠AFE=∠BCE
বা, ∠AFE=∠BCA
আবার, BCEF বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠AEF
এবং বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠FBC
∴ ∠AEF=∠FBC
বা, ∠AEF=∠ABC
∆AEF এবং ∆ABC এর
∠AFE=∠BCA এবং ∠AEF=∠ABC
∴ ∆AEF ও ∆ABC এর দুটি করে কোণ সমান। [প্রমাণিত]
11. ABCD একটি সামান্তরিক। A ও B বিন্দুগামী একটি বৃত্ত AD ও BC কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, E,F,C,D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
প্রদত্তঃ ABCD একটি সামান্তরিক।
A ও B বিন্দুগামী একটি বৃত্ত AD ও BC
কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ E,F,C,D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
অঙ্কনঃ EF যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ ABFE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠DEF
এবং বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠ABF
∴ ∠DEF=∠ABF (I)
যেহেতু ABCD সামান্তরিকের AD||BC এবং AB ভেদক
∴ ∠BAD+∠ABC=180°
বা, ∠BCD+∠ABF=180°
[∵ সামান্তরিকের বিপরীত কোণ পরস্পর সমান]
বা, ∠DCF+∠DEF=180° [ (I) নং থেকে পাই]
∴ DCFE চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদুটির সমষ্টি 180°
সুতরাং, DCFE চতুর্ভুজটি একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
∴ E,F,C,D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। [প্রমাণিত]
12. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। AB ও DC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে এবং AD ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে R বিন্দুতে মিলিত হয়। ∆BCP এবং ∆CDR এর পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে P,T,R সমরেখ।
প্রদত্তঃ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। বর্ধিত AB ও DC বাহুদ্বয় পরস্পরকে P বিন্দুতে এবং বর্ধিত AD ও BC বাহুদ্বয় পরস্পরকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∆BCP এবং ∆CDR এর পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ P,T,R সমরেখ।
অঙ্কনঃ RT,PT ও CT যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ CTBP বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠CDA
এবং বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠CTR
∴ ∠CBA=∠CTP (I)
আবার, CTRD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠CDA
এবং বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠CTR
∴ ∠CDA=∠CTR (II)
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ থেকে পাই,
∠CBA+∠CDA=180°
বা, ∠CTP+∠CTR=180° [ (I) নং ও (II) নং থেকে পাই]
∴ ∠CTP ও ∠CTR সন্নিহিত কোণদুটির সমষ্টি 180°
সুতরাং, P,T ও R সমরেখ। [প্রমাণিত]
13. ABC ত্রিভুজের লম্ববিন্দু O; প্রমাণ করি যে O বিন্দুটি পাদত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।
প্রদত্তঃ ABC ত্রিভুজের AB,BC এবং CA
বাহুগুলির উপর লম্ব যথাক্রমে CF,AD এবং BE
পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
O বিন্দুটি পাদত্রিভুজ DEF এর অন্তঃকেন্দ্র।
প্রমাণঃ O,∆ABC এর লম্ববিন্দু।
AD,∠FDE কে; BE,∠DEF কে এবং CF,∠DFE কে সমদ্বিখন্ডিত করে।
[∵ সুক্ষকোণী ত্রিভুজের শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব তার পাদ ত্রিভুজের কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।]
সুতরাং, ∆DEF এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডক তিনটি পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
∴ O,∆DEF এর অন্তঃকেন্দ্র। [প্রমাণিত]
14. ABCD এমন একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এঁকেছি যে AC,∠BAD কে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। এবার AD কে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন DE=AB হয়। প্রমাণ করি যে, CE=CA
প্রদত্তঃ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AC,
∠BAD কে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। AD
কে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত
কর হল যাতে DE=AB হয়।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ CE=CA
অঙ্কনঃ BD যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ BC বৃত্তচাপের উপর বৃত্তস্থ কোণদ্বয় ∠BAC এবং ∠BDC
∴ ∠BAC=∠BDC (I)
আবার CD বৃত্তচাপের উপর বৃত্তস্থ কোণদ্বয় ∠CAD এবং ∠CBD
∴ ∠CAD=∠CBD (II)
AC,∠BAD এর সমদ্বিখন্ডক
∴ ∠CAD=∠BAC
বা, ∠CBD=∠BDC [ (I) নং ও (II) নং থেকে পাই]
∆BCD এর ∠CBD=∠BDC ∴ CD=BC
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠CDE
এবং বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠ABC ∴ ∠CDE=∠ABC
∆ABC এবং ∆EDC এর মধ্যে DE=AB [প্রদত্ত]
∠CDE=∠ABC এবং CD=BC
∴ ∆ABC≅∆EDC [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
∴ AC=CE [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] (প্রমাণিত)
15. দুটি বৃত্তের একটি অপরটির কেন্দ্র O বিন্দুগামী এবং বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা O বিন্দুগামী বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে। P,B ও R,B যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে PR=PB
প্রদত্তঃ দুটি বৃত্তের একটি অপরটির কেন্দ্র O
বিন্দুগামী এবং বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B
বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী
সরলরেখা O বিন্দুগামী বৃত্তকে P বিন্দুতে
এবং O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ PR=PB
অঙ্কনঃ O,A; O,R এবং O,B যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ AOBP বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠OAR
এবং বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠OBP ∴ ∠OAR=∠OBP (I)
∆OAR এর OA=OR [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OAR=∠ORA
বা, ∠OBP=∠ORA [ (I) নং থেকে পাই]
বা, ∠OBP=∠ORP (II)
∆OBR এর OB=OR [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OBR=∠ORB (III)
(II) নং ও (III) নং যোগ করে পাই,
∠OBP+∠OBR=∠ORP+∠ORB
∴ ∠PBR=∠PRB
∆PBR এর ∠PBR=∠PRB ∴ PB=PR [প্রমাণিত]
16. প্রমাণ করি যে একটি সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।
প্রদত্তঃ ABCD একটি সুষম পঞ্চভুজ।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ ABCDE পঞ্চভুজের যেকোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ ।
অঙ্কনঃ AD যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ ABCD একটি সুষম পঞ্চভুজ
∴ পঞ্চভুজটির প্রতিটি অন্তঃকোণের মান
(2(5-2))/5×90°=108°
∆ADE এর AE=DE [যেহেতু ABCDE সুষম পঞ্চভুজ]
∴ ∠EAD=∠EDA
যেহেতু, ∠AED=108° ∴ ∠EAD=(180°-108°)/2=36°
∠BAD=∠BAE-∠EAD=108°-36°=72°
ABCD চতুর্ভুজের ∠BAD+∠BCD=72°+108°=180°
∴ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
সুতরাং, একটি সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।
[প্রমাণিত]
17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) 
পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ADC=120° হলে, ∠BAC এর মান
(a) 50° (b) 60° (c) 30° (d) 40°
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ থেকে পাই,
∠ABC=180°-∠ADC=180°-120°=60°
∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ACB=90°
∆ABC থেকে পাই,
∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC
=180°-90°-60° =30°
উত্তরঃ (c) 30°
(ii) 
পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ABC=65°, ∠DAC=40° হলে, ∠BCD এর মান
(a) 75° (b) 105° (c) 115° (d) 80°
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ থেকে পাই,
∠ADC=180°-∠ABC=180°-65°=115°
∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ACB=90°
∆ABC থেকে পাই,
∠ACD=180°-∠ADC-∠DAC
=180°-115°-40° =25°
∴ ∠BCD=∠ACD+∠ACB=25°+90°=115°
উত্তরঃ (c) 115°
(iii) 
পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB বৃত্তের ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার AB||CD এবং ∠BAC=25° হলে, ∠DAC এর মান
(a) 50° (b) 25° (c) 130° (d) 40°
∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ACB=90°
∆ABC থেকে পাই,
∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC
=180°-90°-25°=65°
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ থেকে পাই,
∠ADC=180°-∠ABC=180°-65°=115°
∠ACD= একান্তর ∠BAC=25°
∆ADC থেকে পাই,
∠DAC=180°-∠ADC-∠ACD
=180°-115°-25°=40°
উত্তরঃ (d) 40°
(iv). 
পাশের চিত্রে ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। BA কে F বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। AE||CD, ∠ABC=92° এবং ∠FAE=20° হলে, ∠BCD এর মান
(a) 20° (b) 88° (c) 108° (d) 72°
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ থেকে পাই,
∠ADC=180°-∠ABC=180°-92°=88°
∠EAD= একান্তর ∠ADC=88°
∠DAF=∠DAE+∠EAF=88°+20°=108°
ABCD চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠DAF
এবং বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠BCD
∴ ∠BCD=∠DAF=108°
উত্তরঃ (c) 108°
(v). 
পাশের চিত্রে দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। D ও C বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। ∠DAB=75° হলে, ∠DEF এর মান
(a) 75° (b) 70° (c) 60° (d) 105°
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠DCF
এবং বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠BAD
∴ ∠DCF=∠BAD=75°
DCFE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ থেকে পাই,
∠DEF=180°-∠DCF
=180°-75°=105°
উত্তরঃ (d) 105°
(B) সত্য/মিথ্যা লিখিঃ
(i). একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরস্পর পূরক।
উত্তরঃ মিথ্যা
[বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরস্পর সম্পূরক হয়]
(ii). একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়।
উত্তরঃ সত্য
(C). শূণ্যস্থান পূরণ করিঃ
(i). একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক হলে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি_________।
উত্তরঃ সমবৃত্তস্থ
(ii). একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি __________ চিত্র।
উত্তরঃ আয়তকার
(iii). একটি বর্গাকার চিত্রের শীর্ষবিন্দুগুলি __________।
উত্তরঃ সমবৃত্তস্থ
18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্নঃ
(i). 
পাশের চিত্রে P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদুটি B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে। ACD একটি সরলরেখাংশ।∠ARB=150°, ∠BQD=x° হলে, x এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
P কেন্দ্রীয় বৃত্তের ARBC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠BCD
এবং বিপরীত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ARB
∴ ∠BCD=∠ARB=150°
Q কেন্দ্রীয় বৃত্তের BD বৃত্তচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠BQD
এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD
∴ প্রবৃদ্ধ ∠BQD=2×∠BCD
বা, 360°-∠BQD =2×150°
বা, -∠BQD =300°-360°
বা, -x° =-60°
∴ x=60
(ii). 
পাশের চিত্রে দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। ∠QAD=80° এবং ∠PDA=84° হলে, ∠QBC ও ∠BCP এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ADPQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠CPQ ও ∠BQP বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ যথাক্রমে ∠DAQ ও ∠ADP
সুতরাং, ∠CPQ=∠DAQ=80°
এবং ∠BQP=∠ADP=84°
BCPQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ থেকে পাই
∠QBC=180°-∠CPQ=180°-80°=100°
এবং ∠BCP=180°-∠BQP=180°-84°=96°
∴ ∠QBC=100° এবং ∠BCP=96°
(iii)
পাশের চিত্রে ∠BAD=60°, ∠ABC=80° হলে, ∠DPC এবং ∠BQC এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ থেকে পাই
∠ADC=180°-∠ABC
=180°-80°=100°
∴ ∠ADQ=100°
∆ABP থেকে পাই,
∠APB=180°-∠BAP-∠ABP
= 180°-60°-80°=40°
∴ ∠DPC=40°
∆ADQ থেকে পাই,
∠AQD=180°-∠ADQ-∠DAQ
=180°-100°-60°=20°
∴ ∠BQC=20°
(iv) 
পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AC ব্যাস। ∠AOB=80° এবং ∠ACE=10° হলে, ∠BED এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
AC সরলরেখার উপর OB দন্ডায়মান
∴ ∠BOC=180°-∠AOB=180°-80°=100°
BC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BEC
∴ ∠BEC = 1/2×100°=50°
যেহেতু BE||CD এবং CE ছেদক
∴ ∠DCE= একান্তর ∠BEC = 50°
∆OBC এর OB=OC
∴ ∠OBC=∠OCB=(180°-∠BOC)/2
=(180°-100°)/2=40°
∠BCD=∠BCO+∠ACE+∠DCE
= 40°+10°+50°=100°
EBCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ থেকে পাই,
∠BED =180°-∠BCD = 180°-100° = 80°
∴ ∠BED = 80°
(v) 
পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB বৃত্তের ব্যাস। ∠AOD=140° এবং ∠CAB=50° হলে, ∠BED এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
AD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ACD
∴ ∠ACD=1/2×"প্রবৃদ্ধ " ∠AOD
=1/2×(360°-∠AOD)
=1/2×(360°-140°)
=1/2×220°=110°
∆AEC থেকে পাই,
∠AEC=180°-∠ACE-∠CAE
=180°-∠ACD-∠CAB
=180°-110°-50°=20°
∴ ∠BED=20°
0 Comments