5. ঘনফল নির্ণয় | কষে দেখি 5.2 | Exercise 5.2 | Ganit Prabha Class VIII math solution | WBBSE Class 8 Math Solution in Bengali
গণিত প্রভা VIII কষে দেখি 5.2 সমাধান 👇
1.
| ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য (একক) |
ঘন্কের আয়তন (ঘনএকক) |
| (i) \(p^2+q^2\) |
|
| (ii) \(\frac{x}{3}+\frac{4}{y}\) |
|
| (iii) \(x^y-z^2\) |
|
| (iv) \(l+b-2c\) |
|
| (v) |
\((2.89)^3+(2.11)^3\)
\(+15\times2.89\times2.11\) |
| (vi) |
\((2m+3n)^3+(2m-3n)^3\)
\(+12m(4m^2-9n^2 )\)
|
| (vii) |
\((a+b)^3-(a-b)^3-6b(a^2-b^2)\) |
| (viii) 2x-3y-4z |
|
| (ix) |
\(x^6-15x^4+75x^2-125\) |
| (x) |
\(1000+30x\left(10+x\right)+x^3\) |
সমাধানঃ(i) ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য \(\left(p^2+q^2\right)\) একক
∴ ঘনকের আয়তন
\(=\left(p^2+q^2\right)^3\) ঘনএকক
\(=[(p^2)+3\left(p^2\right)^2(q^2)+3\left(p^2\right)\left(q^2\right)^2+\left(q^2\right)^3]\) ঘনএকক
\(=\left(p^6+3p^4q^2+3p^2q^4+q^6\right)\) ঘনএকক
(ii) ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য \(\left(\frac{x}{3}+\frac{4}{y}\right)\) একক
∴ ঘনকের আয়তন
\(=\left(\frac{x}{3}+\frac{4}{y}\right)^3\) ঘনএকক
\(=[(\frac{x}{3})^3+3.(\frac{x}{3})^2.(\frac{4}{y})\)
\(+3.(\frac{x}{3}).(\frac{4}{y})^2+(\frac{4}{y})^3]\) ঘনএকক
\(=\left(\frac{x^3}{27}+\frac{{4x}^2}{3y}+\frac{16x}{y^2}+\frac{64}{y^3}\right)\) ঘনএকক
(iii) ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য \(\left(x^2y-z^2\right)\) একক
∴ ঘনকের আয়তন
\(=\left(x^2y-z^2\right)^3\) ঘনএকক
\(=[\left(x^2y\right)^3-3.\left(x^2y\right)^2.(z^2)\)
\(+3.(x^2y).\left(z^2\right)^2-\left(z^2\right)^3]\) ঘনএকক
\(=(x^6y^3-3x^4y^2z^2+3x^2yz^4-z^6)\) ঘনএকক
(iv) ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য \((l+b-2c)\) একক
ঘনকের আয়তন
\(=\ {(l+b-2c)}^3\) ঘনএকক
\(=\{\left(l+b\right)^3-3.\left(l+b\right)^2.2c\)
\(+3.\left(l+b\right).\left(2c\right)^2-\left(2c\right)^3\}\) ঘনএকক
\(=\ [{\left(l\right)^3+3l^2.b+3.\ l.b^2+\left(b\right)^3}\)
\(-3.\left\{\left(\ l\right)^2+2.\ l.b+b^2\right\}.2c\)
\(+3(l+b).4c^2-{(2c)}^3]\) ঘনএকক
\(=\ (l^3+3l^2b\ +3lb^2+b^3-6cl^2-12lcb-6b^2c\)
\(+12lc^2+12bc^2-8c^3)\) ঘনএকক
\(=\ (l^3+b^3-8c^3+3l^2b\ +3lb^2-6cl^2-12lcb\)
\(-6b^2c\ +12lc^2+12bc^2)\) ঘনএকক
(v)
ঘনকের আয়তন
\(=[\left(2.89\right)^3+\left(2.11\right)^3+15\times2.89\times2.11]\) ঘনএকক
\(=[\left(2.89\right)^3+\left(2.11\right)^3\)
\(+3\times2.89\times2.11\ \times\ (2.89+2.11)]\) ঘনএকক
\(=\left(2.89+2.11\right)^3\) ঘনএকক
\(=5^3\) ঘনএকক
∴ ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 একক
(vi)
ঘনকের আয়তন
\(=[\left(2m+3n\right)^3+\left(2m-3n\right)^3\)
\(+12m(4m^2-9n^2)]\) ঘনএকক
\(=[\left(2m+3n\right)^3+\left(2m-3n\right)^3\)
\(+3.4m\left\{\left(2m\right)^2-\left(3n\right)^2\right\}]\) ঘনএকক
\(=[\left(2m+3n\right)^3+\left(2m-3n\right)^3\)
\(+3(2m+3n)(2m-3n)\)
\(\times{(2m+3n)+(2m-3n)}]\) ঘনএকক
\(=\left\{\left(2m+3n\right)+\left(2m-3n\right)\right\}^3\) ঘনএকক
\(=\left(4m\right)^3\) ঘনএকক
(vii)
ঘনকের আয়তন
\(=[\left(a+b\right)^3-\left(a-b\right)^3-6b(a^2-b^2)]\) ঘনএকক
\(=[\left(a+b\right)^3-\left(a-b\right)^3\)
\(-3.2b(a+b)(a-b)]\) ঘনএকক
\(=[\left(a+b\right)^3-\left(a-b\right)^3\)
\(-3(a+b)(a-b){(a+b)-(a-b)}]\) ঘনএকক
\(=\left\{\left(a+b\right)-\left(a-b\right)\right\}^3\) ঘনএকক
\(=\left(2b\right)^3\) ঘনএকক
∴ ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 2b একক
(viii)
ঘনকের বাহুর দৈঘ্য \(=(2x-3y-4z)\) একক
ঘনকের আয়তন
\(=\left(2x-3y-4z\right)^3\) ঘনএকক
\(=[\left(2x-3y\right)^3-3.\left(2x-3y\right)^2.4z\)
\(+3.\left(2x-3y\right)\left(4z\right)^2-\left(4z\right)^3]\) ঘনএকক
\(=[\left(2x\right)^3-3.\ \left(2x\right)^2.3y+3.2x.\left(3y\right)^2-\left(3y\right)^3\)
\(-3(4x^2-12xy+9y^2).4z\)
\(+3.\left(2x-3y\right)16z^2-16z^3]\) ঘনএকক
\(=[8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3\)
\(-48x^2z+144xyz-108y^2z\)
\(+96xz^2-144yz^2-64z^3]\) ঘনএকক
\(=[8x^3-27y^3-64z^3-36x^2y\)
\(+54xy^2-48x^2z+144xyz\)
\(-108y^2z+96xz^2-144yz^2]\) ঘনএকক
(ix)
ঘনকের আয়তন
\(=(x^6-15x^4+75x^2-125)\) ঘনএকক
\(=[(x^2)^3-3.(x^2)2.5+3.x^2\left(5\right)^2-\left(5\right)^3]\) ঘনএকক
\(=\left(x^2-5\right)^3\) ঘনএকক
∴ ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য \((x^2-5)\) একক
(x)
ঘনকের আয়তন
\(=1000+30x\ (10+x)+x^3\) ঘনএকক
\(=[\left(10\right)^3+x^3+3.10.x.(10+x)]\) ঘনএকক
\(=\left(10+x\right)^3\) ঘনএকক
∴ ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য \((10+x)\) একক
2. I থেকে IVনং অভেদের সাহায্যে নীচের প্রশ্নগুলি সমাধান করি।
(a) x-y=2 হলে \(x^3-y^3-6xy\) এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(x-y=2\)
বা, \(\left(x-y\right)^3\ =2^3\) [উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই]
বা, \(x^3-y^3-3xy(x-y)=8\)
[(IV)নং অভেদ থেকে পাই]
বা, \(x^3-y^3-3xy.2=8\) [∵x-y=2]
∴ \(x^3-y^3-6xy=8\)
(b) \(a+b=-\frac{1}{3}\) হলে প্রমাণ করার চেষ্টা করি \(a^3+b^3-ab=-\frac{1}{27}\)
সমাধানঃ
\(a+b=-\frac{1}{3}\)
বা, \(\left(a+b\right)^3\ =\ \left(-\frac{1}{3}\right)^3\)
[উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই]
বা, \(a^3+b^3+3ab(a+b)=-\frac{1}{27}\)
[(II)নং অভেদ থেকে পাই]
বা, \(a^3+b^3+3ab\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{27}\)
∴ \(a^3+b^3-ab\ =-\frac{1}{27}\) [প্রমাণিত]
(c) x+y=2 এবং \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\) হলে \(x^3+y^3\) এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\)
বা, \(\frac{y+x}{xy}=2\)
বা, \(\frac{2}{xy}=2\) [x+y=2]
∴ \(xy=1\)
(II) নং অভেদের সাহায্যে পাই
\(\left(x+y\right)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)\)
বা, \(\left(2\right)^3\ =\ x^3+y^3+3.1.2\)
বা, \(8\ =\ x^3+y^3+6\)
বা, \(x^3+y^3=8-6\)
∴ \(x^3+y^3=2\)
(d) \(\frac{x^2-1}{x}=2\) হলে \(\frac{x^6-1}{x^3}\) এর মান হিসাব করে লেখার চেষ্টা করি।
সমাধানঃ
\(\frac{x^2-1}{x}=2\)
বা, \(\frac{\left(x^2-1\right)^3}{x^3}=2^3\)
[উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই]
বা, \(\frac{x^6-1-3x^2(x^2-1)}{x^3}=8\)
[(IV)নং অভেদ থেকে পাই]
বা, \(\frac{x^6-1}{x^3}-\frac{3(x^2-1)}{x}=8\)
বা, \(\frac{x^6-1}{x^3}-3.2=8\)
[∵\(\frac{x^2-1}{x}=2\)]
বা, \(\frac{x^6-1}{x^3}=8+6\)
∴ \(\frac{x^6-1}{x^3}=14\)
(e) \(x+\frac{1}{x}=5\) হলে \(x^3+\frac{1}{x^3}\) এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(x+\frac{1}{x}=5\)
বা, \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^3=5^3\)
[উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই]
বা, \(x^3+\frac{1}{x^3}+3.x.\frac{1}{x}\left(x+\frac{1}{x}\right)=125\)
[(II)নং অভেদ থেকে পাই]
বা, \(x^3+\frac{1}{x^3}+3.5=125\)
[∵\(x+\frac{1}{x}=5\)]
বা, \(x^3+\frac{1}{x^3}=125-15\)
∴ \(x^3+\frac{1}{x^3}=110\)
(f) x=y+z হলে \(x^3-y^3-z^3-3xyz\) এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(x=y+z\)
বা, \(x^3=\left(y+z\right)^3\) [উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই]
বা, \(x^3=y^3+z^3+3yz(y+z)\) [(II)নং অভেদ থেকে পাই]
বা, \(x^3=y^3+z^3+3xyz\) [ ∵ x=y+z]
∴ \(x^3-y^3-z^3-3xyz=0\)
(g) \(xy(x+y)=m\) হলে \(x^3+y^3+3m=\frac{m^3}{x^3y^3}\) প্রমাণ করার চেষ্টা করি।
সমাধানঃ
\(xy(x+y)\ =\ m\)
বা, \(x+y\ =\ \frac{m}{xy}\)
বা, \(\left(x+y\right)^3=\left(\frac{m}{xy}\right)^3\)
[উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই]
বা, \(x^3+y^3+3xy(x+y)=\frac{m^3}{x^3y^3}\)
[(II)নং অভেদ থেকে পাই]
বা, \(x^3+y^3+3m\ =\frac{m^3}{x^3y^3}\) [ ∵ \(xy(x+y)\ =\ m\)]
∴ \(x^3+y^3+3m=\frac{m^3}{x^3y^3}\) [প্রমাণিত]
(h) \(2x+\frac{1}{3x}=4\) হলে প্রমাণ করার চেষ্টা করি \(27x^3+\frac{1}{8x^3}=189\)
সমাধানঃ
\(2x+\frac{1}{3x}=4\)
বা, \(\frac{3}{2}\left(2x+\frac{1}{3x}\right)=\frac{3}{2}.4\)
[ উভয়পক্ষকে \(\frac{3}{2}\)\ দিয়ে গুন করে পাই]
বা, \(3x+\frac{1}{2x}=6\)
বা, \(\left(3x+\frac{1}{2x}\right)^3=6^3\)
[ উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই]
বা, \(27x^3+\frac{1}{8x^3}+3.3x.\ \frac{1}{2x}\left(3x+\frac{1}{2x}\right)=216\)
[ (II)নং অভেদ থেকে পাই]
বা, \(27x^3+\frac{1}{8x^3}+\ \frac{9}{2}.6=216\)
[∵\(3x+\frac{1}{2x}=6\)]
বা, \(27x^3+\frac{1}{8x^3}+\ 27=216\)
বা, \(27x^3+\frac{1}{8x^3}=216-27\)
∴ \(27x^3+\frac{1}{8x^3}=189\) [প্রমাণিত]
(i) \(2a-\frac{2}{a}+1=0\) হলে, \(a^3-\frac{1}{a^3}+2\) এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(2a-\frac{2}{a}+1=0\)
বা, \(\left(a-\frac{1}{a}\right)=-1\)
বা, \(\left(a-\frac{1}{a}\right)=-\frac{1}{2}\)
বা, \(\left(a-\frac{1}{a}\right)^3=\left(-\frac{1}{2}\right)^3\)\)
[উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই]
বা, \(a^3-\frac{1}{a^3}-3.a.\frac{1}{a}.\left(a-\frac{1}{a}\right)=-\frac{1}{8}\)
[(IV)নং অভেদ থেকে পাই]
বা, \(a^3-\frac{1}{a^3}-3\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{8}\)
[∵\(\left(a-\frac{1}{a}\right)=-\frac{1}{2}]\)
বা, \(a^3-\frac{1}{a^3}+\frac{3}{2}=-\frac{1}{8}\)
বা, \(a^3-\frac{1}{a^3}=-\frac{3}{2}-\frac{1}{8}\)
বা, \(a^3-\frac{1}{a^3}=-\frac{12+1}{8}\)
বা, \(a^3-\frac{1}{a^3}+2=-\frac{13}{8}+2\)
বা, \(a^3-\frac{1}{a^3}+2=\frac{-13+16}{8}\)
∴ \(a^3-\frac{1}{a^3}+2=\frac{3}{8}\)
(j) \(a^3+b^3+c^3=3abc\) হলে \((a+b+c)\) এর মান হিসাব করে লিখি। \((a\neq\ b\neq\ c)\)
সমাধানঃ
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
বা, \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
বা, \((a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0\)
হয় a+b+c=0
অথবা, \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
বা, \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
বা, \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
বা, \(a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2\)
\(-2ab-2bc-2ca=0\)
বা, \(a^2+2ab+b^2+b^2+2bc+c^2\)
\(+c^2-2ca+a^2=0\)
বা, \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
∴ a-b=0, b-c=0, c-a=0
বা a=b, b=c, c=a
কিন্তু, \(a\neq\ b\neq\ c\)
∴ \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\neq0\)
সুতরাং, a+b+c=0
(k) যদি m+n=5 এবং mn=6 হয় তবে \((m^2+n^2)(m^3+n^3)\) এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
m+n=5, mn=6
\((m^2+n^2)(m^3+n^3)\)
\(={\left(m+n\right)^2-2mn}\ {\left(m+n\right)^3-3mm(m+n)}\)
\(=(52-2\times6)\ (5-3\times6\times5)\)
\(=(25-12)\ (125-90)\)
\(=13\times35\)
\(=455\)
0 Comments