18. সদৃশতা (Similarity) | Exercise 18.2 all solution | Ganit Prakash Class X math solution | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali |
1. নীচের কোন ত্রিভুজ জোড়া সদৃশ হিসাব করে লিখি।
\(\frac{AB}{RQ}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\ \ \frac{BC}{QP}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}\)
এবং \(\frac{AC}{RP}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
∴ ∆ABC এবং ∆RQP এর
\(\frac{AB}{RQ}=\frac{BC}{QP}=\frac{AC}{RP}=\frac{1}{2}\)
∴ ∆ABC এবং ∆RQP পরস্পর সদৃশ।
--------------------------------------------------------------
\(\frac{AB}{RP}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}\) এবং \(\frac{AC}{RQ}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
∴ ∆ABC এবং ∆RPQ এর
\(\angle\ A=\angle\ R=80°\) এবং \(\frac{AB}{RP}\neq\frac{AC}{RQ}\)
∴ ∆ABC এবং ∆RPQ পরস্পর সদৃশ নয়।
2. নীচের ত্রিভুজ জোড়া দেখি ও \(\angle A\) এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(\frac{XY}{CB}=\frac{4.2}{8.4}=\frac{1}{2}\), \(\frac{YZ}{BA}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}\)
এবং \(\frac{ZX}{AC}=\frac{5.2}{10.4}=\frac{1}{2}\)
∴ ∆XYZ এবং ∆CBA এর \(\frac{XY}{CB}=\frac{YZ}{BA}=\frac{ZX}{AC}=\frac{1}{2}\)
∴ ∆XYZ এবং ∆CBA পরস্পর সদৃশ।
সুতরাং, \(\angle\ X=\angle\ C,\ \angle\ Y=\angle\ B\) এবং \(\angle\ Z=\angle\ A\)
∆XYZ থেকে পাই, \(\angle\ Z=180°-65°-75°=40°\)
∴ \(\angle\ A=\angle\ Z=40°\)
প্রদত্তঃ ∆ABC এর AB বাহুর মধ্যবিন্দু D
প্রদত্তঃ
প্রদত্তঃ বৃত্তের PQ ও RS দুটি জ্যা বৃত্তের অভ্যন্তরে
এবং \(\frac{ZX}{AC}=\frac{5.2}{10.4}=\frac{1}{2}\)
∴ ∆XYZ এবং ∆CBA এর \(\frac{XY}{CB}=\frac{YZ}{BA}=\frac{ZX}{AC}=\frac{1}{2}\)
∴ ∆XYZ এবং ∆CBA পরস্পর সদৃশ।
সুতরাং, \(\angle\ X=\angle\ C,\ \angle\ Y=\angle\ B\) এবং \(\angle\ Z=\angle\ A\)
∆XYZ থেকে পাই, \(\angle\ Z=180°-65°-75°=40°\)
∴ \(\angle\ A=\angle\ Z=40°\)
3. আমাদের মাঠে 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের একটি কাঠির 4 সেমি. দৈর্ঘ্যের ছায়া মাটিতে পড়েছে। ওই একই সময়ে যদি একটি উঁচু টাওয়ারের ছায়ার দৈর্ঘ্য 28 মিটার হয়, তবে টাওয়ারের উচ্চতা কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, PQ টাওয়ার এবং AB কাঠি
∴ BC=4 সেমি., QC=28 মি.
∆PQC এবং ∆ABC সদৃশকোণী।
সুতরাং, ∆PQC এবং ∆ABC সদৃশ।
∴ \(\frac{PQ}{AB}=\frac{QC}{BC}\)
বা, \(\frac{PQ}{6}=\frac{280}{4}\) [∵ 28 মি. = 280 সেমি.]
বা, \(PQ=\frac{280\times6}{4}\) সেমি. = 420 সেমি.
∴ PQ=42 মি.
4. প্রমাণ করি যে, কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।
এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু E
প্রমাণ করতে হবে যেঃ (i) DE||BC (ii) \(DE=\frac{1}{2}BC\)
প্রমাণঃ AB বাহুর মধ্যবিন্দু D
∴ \(AD=\frac{1}{2}AB\)
বা, \(\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}\)
AC বাহুর মধ্যবিন্দু E
∴ \(AE=\frac{1}{2}AC\)
বা, \(\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}\)
∴ \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}\)
∆ABC এর \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই,
DE||BC [(i)নং প্রমাণিত]
∆ADE এবং ∆ABC এর মধ্যে
\(\angle\ A\) সাধারণ কোণ এবং \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)
∴ ∆ADE এবং ∆ABC সদৃশ
∴ \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\)
আবার \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}\)
∴ \(\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}\)
∴ \(DE=\frac{1}{2}BC\) [(ii)নং প্রমাণিত]
5. তিনটি সমবিন্দু সরলরেখাকে দুটি সমান্তরাল সরলরেখা যথাক্রমে A, B,C ও X, Y, Z বিন্দুতে ছেদ করেছে,
প্রমাণ করতে হবে যে, AB: BC=XY: YZ
প্রদত্তঃ
ধরি, P সমবিন্দু থেকে PX, PY ও PZ তিনটি সমবিন্দু
সরলরেখা AC এবং XZ পরস্পর দুটি সমান্তরাল
সরলরেখাকে যথাক্রমে A, B, C ও X, Y, Z বিন্দুতে
ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ AB: BC=XY: YZ
প্রমাণঃ
∆PXY এর AB||XY [∵ AC||XZ]
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই, \(\frac{PA}{AX}=\frac{PB}{BY}\)
∆PXY এবং ∆PAB এর মধ্যে
\(\angle\ P\) সাধারণ কোণ এবং \(\frac{PA}{AX}=\frac{PB}{BY}\)
∴ ∆PXY এবং ∆PAB সদৃশ।
সুতরাং, \(\frac{PA}{AX}=\frac{PB}{BY}=\frac{AB}{XY}\) (I)
একইরকমভাবে প্রমাণ করতে পারি যে
∆PYZ এবং ∆PBC সদৃশ।
∴ \(\frac{PB}{BY}=\frac{PC}{CZ}=\frac{BC}{YZ}\) (II)
(I) নং ও (II) নং থেকে পাই, \(\frac{PA}{AX}=\frac{PB}{BY}=\frac{AB}{XY}=\frac{PC}{CZ}=\frac{BC}{YZ}\)
∴ \(\frac{AB}{XY}=\frac{BC}{YZ}\)
বা, \(\frac{AB}{BC}=\frac{XY}{YZ}\)
∴ AB: BC=XY: YZ [প্রমাণিত]
6. PQRS একটি ট্রাপিজিয়াম অঙ্কন করেছি যার PQ||SR; PR ও QS কর্ণ দুটি O বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, OP:OR=OQ:OS; যদি SR=2PQ হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, O বিন্দু কর্ণ দুটির প্রত্যেকটির সমত্রিখন্ডক বিন্দুর একটি বিন্দু হবে।
প্রদত্তঃ PQRS ট্রাপিজিয়ামের PQ||SR;
PR ও QS কর্ণ দুটি O বিন্দুতে পরস্পরকে
ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ OP:OR=OQ:OS
আবার SR=2PQ হলে প্রমাণ করতে হবে যে O বিন্দু কর্ণ দুটির প্রত্যেকটির সমত্রিখন্ডক বিন্দুর একটি বিন্দু ।
প্রমাণঃ ∆POQ এবং ∆ROS এর মধ্যে,
\(\angle\ OPQ=\) একান্তর \(\angle\ ORS\) [∵ PQ||SR এবং PR ছেদক]
\(\angle\ OQP=\) একান্তর \(\angle\ OSR\) [∵ PQ||SR এবং SQ ছেদক]
এবং \(\angle\ POQ=\) বিপ্রতীপ \(\angle\ SOR\)
∴ ∆POQ এবং ∆ROS সদৃশকোণী
∴ \(\frac{OP}{OR}=\frac{OQ}{OS}=\frac{PQ}{RS}\)
∴ \(\frac{OP}{OR}=\frac{OQ}{OS}\)
সুতরাং, OP:OR=OQ:OS [প্রমাণিত]
SR=2PQ বা, \(\frac{PQ}{SR}=\frac{1}{2}\) হলে, \(\frac{OP}{OR}=\frac{OQ}{OS}=\frac{PQ}{RS}=\frac{1}{2}\)
∴ OR=2OP এবং OS=2OQ
বা, OR:OP=2:1 বা, OS:OQ=2:1
∴ O বিন্দু কর্ণ দুটির প্রত্যেকটির সমত্রিখন্ডক বিন্দুর একটি বিন্দু হবে। [প্রমাণিত]
7. PQRS একটি সামান্তরিক। S বিন্দুগামী একটি সরলরেখা PQ এবং বর্ধিত RQ কে যথাক্রমে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, PS:PX=QY:QX=RY:RS.
প্রদত্তঃ PQRS একটি সামান্তরিক।
S বিন্দুগামী একটি সরলরেখা PQ এবং বর্ধিত
RQ কে যথাক্রমে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
PS:PX=QY:QX=RY:RS
প্রমাণঃ ∆PXS এবং ∆QXY এর মধ্যে,
\(\angle\ XPS=\) একান্তর \(\angle\ XQY\) [∵ PS||YR এবং PQ ছেদক]
\(\angle\ PSX=\) একান্তর \(\angle\ QYX\) [∵ PS||YR এবং SY ছেদক]
এবং \(\angle\ PXS=\) বিপ্রতীপ \(\angle\ QXY\)
∴ ∆PXS এবং ∆QXY সদৃশকোণী
∴ \(\frac{PS}{QY}=\frac{PX}{QX}=\frac{SX}{YX}\)
∴ \(\frac{PS}{QY}=\frac{PX}{QX}\)
বা, \(\frac{PS}{PX}=\frac{QY}{QX}\) (I)
∆PXS এবং ∆RSY এর মধ্যে,
\(\angle\ XPS=\angle\ SRY\) [∵ সামান্তরিকের বিপরীত কোণ পরস্পর সমান]
\(\angle\ PSX=\) একান্তর \(\angle\ RYS\) [∵ PS||YR এবং SY ছেদক]
এবং \(\angle\ PXS=\) একান্তর \(\angle\ RSY\) [∵ PQ||SR এবং SX ছেদক]
∴ ∆PXS এবং ∆RSY সদৃশকোণী
∴ \(\frac{PS}{RY}=\frac{PX}{RS}=\frac{SX}{YS}\)
∴ \(\frac{PS}{RY}=\frac{PX}{RS}\)
বা, \(\frac{PS}{PX}=\frac{RY}{RS}\) (II)
(I) নং ও (II) নং থেকে পাই, \(\frac{PS}{PX}=\frac{QY}{QX}=\frac{RY}{RS}\)
∴ PS:PX=QY:QX=RY:RS [প্রমাণিত]
8. দুটি সুক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ ∆ABC ও ∆PQR সদৃশকোণী। তাদের পরিকেন্দ্র যথাক্রমে X ও Y; BC ও QR অনুরূপ বাহু হলে, প্রমাণ করি যে, BX:QY=BC:QR.
∆ABC ও ∆PQR সদৃশকোণী
ত্রিভুজদুটির পরিবৃত্ত যথাক্রমে
X ও Y; BC ও QR অনুরূপ বাহু।
প্রমাণ করতে হবে যে: BX:QY=BC:QR
প্রমাণঃ ∆ABC ও ∆PQR সদৃশকোণী
∴ \(\angle\ BAC=\angle\ QPR\)\
এবং \(\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{CA}{RP}\) [∵ BC ও QR অনুরূপ বাহু]
X কেন্দ্রীয় বৃত্তের থেকে পাই \(\angle\ BXC=2\angle\ BAC\)
Y কেন্দ্রীয় বৃত্তের থেকে পাই \(\angle\ QYR=2\angle\ QPR\)
যেহেতু, \(\angle\ BAC=\angle\ QPR\)
∴ \(\angle\ BXC=\angle\ QYR\)
∆XBC এর XB=XC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ \(\angle\ XBC=\angle XCB=\frac{180°-\angle BXC}{2}=90°-\frac{\angle BXC}{2}\)
একইরকমভাবে, \(\angle\ YQR=\angle\ YRQ=90°-∠QYR2\)
যেহেতু \(\angle\ BXC=\angle\ QYR\)
∴ \(\angle\ XBC=\angle\ XCB=\angle\ YQR=\angle\ YRQ\)
∆XBC এবং ∆YQR এর \(\angle\ BXC=\angle\ QYR\)
\(\angle\ XBC=\angle YQR\) এবং \(\angle\ XCB=\angle\ YRQ\)
∴ ∆XBC এবং ∆YQR সদৃশকোণী
∴ \(\frac{BX}{QY}=\frac{BC}{QR}=\frac{CX}{RY}\)
সুতরাং, \(\frac{BX}{QY}=\frac{BC}{QR}\)
∴ BX:QY=BC:QR [প্রমাণিত]
9. কোনো বৃত্তের PQ ও RS দুটি জ্যা বৃত্তের অভ্যন্তরে X বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে। P, S ও R, Q যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে, ∆PXS ও ∆RSQ সদৃশকোণী। এর থেকে প্রমাণ করি যে, PX.XQ=RX.XS
অথবা,
একটি বৃত্তে দুটি জ্যা পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে ছেদ করলে একটির অংশদ্বয়ের আয়তক্ষেত্র অপরটির অংশদ্বয়ের আয়তক্ষেত্রের সমান হবে।
X বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
∆PXS ও ∆RSQ সদৃশকোণী
এবং PX.XQ=RX.XS
প্রমাণঃ
∆PXS ও ∆RSQ এর মধ্যে
\(\angle\ PXS=\angle\ RXQ\) [পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ]
\(\angle\ SPQ=\angle\ SRQ\) [একই বৃত্তচাপ দ্বারা বৃত্তস্থ কোণ]
∴ \(\angle\ SPX=\angle\ XRQ\)
\(\angle\ PSR=\angle\ PQR\) [একই বৃত্তচাপ দ্বারা বৃত্তস্থ কোণ]
∴ \(\angle\ PSX=\angle\ XQR\)
∴ ∆PXS ও ∆RSQ সদৃশকোণী
সুতরাং, \(\frac{PS}{RQ}=\frac{PX}{RX}=\frac{XS}{XQ}\)
∴ \(\frac{PX}{RX}=\frac{XS}{XQ}\)
বা, PX.XQ=RX.XS [প্রমাণিত]
10. একটি সরলরেখার উপর P এবং Q দুটি বিন্দু। P এবং Q বিন্দুতে সরলরেখাটির উপর যথাক্রমে PR এবং QS লম্ব। PS এবং QR পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। OT, PQ এর উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে, \(\frac{1}{OT}=\frac{1}{PR}+\frac{1}{QS}\)
প্রদত্তঃ
AB সরলরেখার উপর P এবং Q দুটি
বিন্দু। P এবং Q বিন্দুতে সরলরেখাটির
উপর যথাক্রমে PR এবং QS লম্ব।
PS এবং QR পরস্পরকে O বিন্দুতে
ছেদ করে। OT, PQ এর উপর লম্ব।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ \(\frac{1}{OT}=\frac{1}{PR}+\frac{1}{QS}\)
প্রমাণঃ
যেহেতু, PR, QS এবং OT প্রত্যেকেই PQ এর উপর লম্ব।
∴ RP||OT||SQ
∆QRP ও ∆QOT এর \(\angle\ OQT=\angle\ RQP\) [সাধারণ কোণ]
\(\angle\ OQT=\) অনুরূপ \(\angle\ PQR\) [∵ RP||OT এবং RQ ভেদক]
∴ ∆QRP ও ∆QOT সদৃশকোণী
সুতরাং, ∆QRP ও ∆QOT সদৃশ।
∴ \(\frac{OT}{PR}=\frac{QT}{PQ}\) (I)
∆PSQ ও ∆POT থেকে অনুরূপে প্রমাণ করা যায়, \(\frac{OT}{QS}=\frac{PT}{PQ}\) (II)
(I) নং ও (II) নং যোগ করে পাই,
\(\frac{OT}{PR}+\frac{OT}{QS}=\frac{QT}{PQ}+\frac{PT}{PQ}\)
বা, \(OT\left(\frac{1}{PR}+\frac{1}{QS}\right)=\frac{QT+PT}{PQ}\)
বা, \(OT\left(\frac{1}{PR}+\frac{1}{QS}\right)=\frac{PQ}{PQ}\)
বা, \(OT\left(\frac{1}{PR}+\frac{1}{QS}\right)=1\)
বা, \(\frac{1}{PR}+\frac{1}{QS}=\frac{1}{OT}\)
∴ \(\frac{1}{OT}=\frac{1}{PR}+\frac{1}{QS}\) [প্রমাণিত]
11. একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত ∆ABC; বৃত্তের ব্যাস AD এবং AE, BC বাহুর উপর লম্ব যা BC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, ∆AEB এবং ∆ACD সদৃশকোণী। এর থেকে প্রমাণ করি যে,
AB.AC=AE.AD.
প্রদত্তঃ ∆ABC বৃত্তে অন্তর্লিখিত; বৃত্তের ব্যাস AD
এবং AE, BC বাহুর উপর লম্ব যা BC বাহুকে E
বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
∆AEB এবং ∆ACD সদৃশকোণী
এবং AB.AC=AE.AD
প্রমাণঃ
\(\angle\ ACD\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ \(\angle\ ACD=90°\)
AE, BC বাহুর উপর লম্ব
∴ \(\angle\ AEB=90°\)
∆AEB এবং ∆ACD এর \(\angle\ ACD=\angle\ AEB\)
\(\angle\ ADC=\angle\ ABC\) [একই বৃত্তস্থ কোণ]
∴ \(\angle\ ADC=\angle\ ABE\)
∴ ∆AEB এবং ∆ACD সদৃশকোণী
সুতরাং, ∆AEB এবং ∆ACD সদৃশ
∴ \(\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}\)
∴ AB.AC=AE.AD [প্রমাণিত]
0 Comments