1. ভাগ না করে নীচের কোন সংখ্যাগুলির দশমিকে বিস্তার সসীম হবে লিখি।
(i) \(\frac{17}{80}\)
সমাধানঃ
\(\frac{17}{80}\) ভগ্নাংশের হর 80
এবং \(80=2^4\times5\)
∴ 80 এর 2 ও 5 ছাড়া অন্য কোনো মৌলিক উৎপাদক নেই।
∴ \(\frac{17}{80}\) কে দশমিকে প্রকাশ করলে একটি সসীম দশমিক সংখ্যা হবে।
(ii) \(\frac{13}{24}\)
সমাধানঃ
\(\frac{13}{24}\) ভগ্নাংশের হর 24
এবং \(24=2^3\times3\)
∴ 24 এর 2 ছাড়াও অন্য কোনো একটি মৌলিক উৎপাদক 3 আছে।
∴ \(\frac{13}{24}\) কে দশমিকে প্রকাশ করলে একটি সসীম দশমিক সংখ্যা হবে না। আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা হবে।
(iii) \(\frac{17}{12}\)
সমাধানঃ
\(\frac{17}{12}\) ভগ্নাংশের হর 12
এবং \(12=2^2\times3\)
∴ 12 এর 2 ছাড়াও অন্য কোনো একটি মৌলিক উৎপাদক 3 আছে।
∴ \(\frac{17}{12}\) কে দশমিকে প্রকাশ করলে একটি সসীম দশমিক সংখ্যা হবে না। আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা হবে।
(iv) \(\frac{16}{125}\)
সমাধানঃ
\(\frac{16}{125}\) ভগ্নাংশের হর 125
এবং \(125=5^3\)
∴ 125 এর 5 ছাড়া অন্য কোনো মৌলিক উৎপাদক নেই
∴ \(\frac{16}{125}\) কে দশমিকে প্রকাশ করলে একটি সসীম দশমিক সংখ্যা হবে।
(v) \(\frac{4}{35}\)
সমাধানঃ
\(\frac{4}{35}\) ভগ্নাংশের হর 35
এবং \(35=5\times7\)
∴ 35 এর 5 ছাড়াও অন্য কোনো একটি মৌলিক উৎপাদক 7 আছে।
∴ \(\frac{4}{35}\) কে দশমিকে প্রকাশ করলে একটি সসীম দশমিক সংখ্যা হবে না। আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা হবে।
2. নীচের প্রত্যেক সংখ্যার দশমিকে বিস্তার করি ও কী ধরনের দশমিকে বিস্তার পাব লিখি।
(i) \(\frac{1}{11}\)
সমাধানঃ
\(\frac{1}{11}\)
\(=0.0909\ldots\ldots\)
\(=0.\dot{0}\dot{9}\)
∴ \(\frac{1}{11}\) এর দশমিকে প্রকাশ একটি আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা ।
(ii) \(\frac{5}{8}\)
সমাধানঃ
\(\frac{5}{8}=0.625\)
∴ \(\frac{5}{8}\) এর দশমিকে প্রকাশ একটি সসীম দশমিক সংখ্যা ।
(iii) \(\frac{3}{13}\)
সমাধানঃ
\(\frac{3}{13}=0.\dot{2}3076\dot{9}\)
∴ \(\frac{3}{13}\) এর দশমিকে প্রকাশ একটি আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা ।
(iv) \(3\frac{1}{8}\)
সমাধানঃ
\(3\frac{1}{8}=\frac{25}{8}\)
\(\frac{25}{8}=3.125\)
∴ \(3\frac{1}{8}\) এর দশমিকে প্রকাশ একটি সসীম দশমিক সংখ্যা
(v) \(\frac{2}{11}\)
সমাধানঃ
\(\frac{2}{11}=0.\dot{1}\dot{8}\)
∴ \(\frac{2}{11}\) এর দশমিকে প্রকাশ একটি আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা ।
(vi) \(\frac{7}{25}\)
সমাধানঃ
\(\frac{7}{25}=0.28\)
∴ \(\frac{7}{25}\) এর দশমিকে প্রকাশ একটি সসীম দশমিক সংখ্যা ।
3. নীচের প্রতিটি সংখ্যা \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করি, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং \(q\neq0\)
(i) \(0.\dot{3}\) (ii) \(1.\dot{3}\) (iii)\(0.5\dot{4}\)
(iv) \(0.\dot{3}\dot{4}\) (v) \(3.\dot{1}\dot{4}\) (vi) \(0.1\dot{7}\)
(vii) \(0.4\dot{7}\) (viii) \(0.\dot{5}\dot{4}\) (ix) \(0.\dot{0}0\dot{1}\)
(x) \(0.\dot{1}6\dot{3}\)
সমাধানঃ
(i)
\(0.\dot{3}\)
\(=\frac{3}{9}\)
\(=\frac{1}{3}\)
(ii)
\(1.\dot{3}\)
\(=1+\frac{3}{9}\)
\(=1+\frac{1}{3}\)
\(=\frac{3+1}{3}\)
\(=\frac{4}{3}\)
(iii)
\(0.5\dot{4}\)
\(=0.5+0.0\dot{4}\)
\(=\frac{5}{10}+\frac{4}{90}\)
\(=\frac{45+4}{90}\)
\(=\frac{49}{90}\)
(iv)
\(0.\dot{3\dot{4}}\)
\(=\frac{34}{99}\)
(v)
\(3.\dot{1\dot{4}}\)
\(=3+0.\dot{1\dot{4}}\)
\(=3+\frac{14}{99}\)
\(=\frac{297+14}{99}\)
\(=\frac{311}{99}\)
(vi)
\(0.1\dot{7}\)
\(=0.1+0.0\dot{7}\)
\(=\frac{1}{10}+\frac{7}{90}\)
\(=\frac{9+7}{90}\)
\(=\frac{16}{90}\)
\(=\frac{8}{45}\)
(vii)
\(0.4\dot{7}\)
\(=0.4+0.0\dot{7}\)
\(=\frac{4}{10}+\frac{7}{90}\)
\(=\frac{36+7}{90}\)
\(=\frac{43}{90}\)
(viii)
\(0.\dot{5\dot{4}}\)
\(=\frac{54}{99}\)
\(=\frac{6}{11}\)
(ix)
\(0.\dot{0}0\dot{1}\)
\(=\frac{1}{999}\)
(x)
\(0.\dot{1}6\dot{3}\)
\(=\frac{163}{999}\)
4. 4 টি সংখ্যা লিখি যাদের দশমিকে বিস্তার অসীম ও অনাবৃত্ত [Nonterminating and non-recurring]
সমাধানঃ
\(\sqrt3\), \(\sqrt{7}\), \(\sqrt{11}\), 0.12122122212222 এই চারটি সংখ্যার দশমিকে বিস্তার অসীম এবং অনাবৃত্ত।
[Note: যে কোনো অমূলদ সংখ্যার দশমিকে বিস্তার অসীম ও অনাবৃত্ত। তাই এখানে যেকোনো চারটি অমূলদ সংখ্যা লিখতে হবে।]
5. \(\frac{5}{7}\) ও \(\frac{9}{7}\) এর মধ্যে 3টি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা লিখি।
সমাধানঃ
\(\frac{5}{7}=0.\dot{7}1428\dot{5}\)
\(\frac{9}{7}=1.\dot{2}8571\dot{4}\)
∴ \(\frac{5}{7}\) ও \(\frac{9}{7}\) এর মধ্যে 3 টি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা হল
\(0.808008000800008\ldots\ldots\) ,
\(0.909009000900009\ldots\ldots\) ,
\(0.959559555955559\ldots\ldots\)
6. \(\frac{3}{7}\) ও \(\frac{1}{11}\) এর মধ্যে 2\ টি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা লিখি।
সমাধানঃ
\(\frac{5}{7}=0.\dot{4}2857\dot{1}\)
\(\frac{9}{7}=0.\dot{0\dot{9}}\)
∴ \(\frac{3}{7}\) ও \(\frac{1}{11}\) এর মধ্যে 2টি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা হল
\(0.202002000200002\ldots\ldots\) ,
\(0.303003000300003\ldots\ldots\)
7. নিচের সংখ্যাগুলির মধ্যে কোনটি মূলদ সংখ্যা এবং কোনটি অমূলদ সংখ্যা।
(i) \(\sqrt{47}\) (ii) \(\sqrt{625}\) (iii) \(6.5757\ldots\)
(iv) \(1.1010010001\ldots\)
সমাধানঃ
(i) \(\sqrt{47}\) একটি অমূলদ সংখ্যা
(ii) \(\sqrt{625}=\sqrt{25\times25}=25\)
∴ \(\sqrt{625}\) একটি মূলদ সংখ্যা
(iii) \(6.5757\ldots\)\(=6.\dot{5}\dot{7}\)
\(=6+0.\dot{5}\dot{7}\)
\(=6+\frac{57}{99}\)\(=\frac{594+57}{99}\)\(=\frac{651}{99}\)
∴ \(6.5757\ldots\) একটি মূলদ সংখ্যা
(iv) \(1.1010010001\ldots\) এটি অমূলদ সংখ্যা
8. সংখ্যারেখায় নীচের সংখ্যাগুলি স্থাপন করিঃ
(i) 5.762
সমাধানঃ
(ii) 2.321
সমাধানঃ
(iii) 1.052
সমাধানঃ
(iv) 4.178
সমাধানঃ
9. \(2.\dot{2}\dot{6}\) ও \(5.5\dot{4}\) সংখ্যাদুটি 4 দশমিক স্থান পর্যন্ত সংখ্যারেখায় স্থাপন করি।
সমাধানঃ
\(2.\dot{2}\dot{6}\) সংখ্যাকে 4 দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্নমান করলে সংখ্যাটি হবে 2.2626
∴ সংখ্যারেখায় 2.2626 সংখ্যাটি স্থাপন করে P বিন্দু পেলাম।
\(5.5\dot{4}\0 সংখ্যাকে 4 দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্নমান করলে সংখ্যাটি হবে 5.5444
∴ সংখ্যারেখায় 5.5444 সংখ্যাটি স্থাপন করে P বিন্দু পেলাম।
10. \(0.232332333233332\ldots\) এবং \(0.212112111211112\ldots\) সংখ্যা দুটির মধ্যে দুটি মূলদ সংখ্যা লিখি।
সমাধানঃ
\(0.232332333233332\ldots\) এবং \(0.212112111211112\ldots\) সংখ্যা দুটির মধ্যে দুটি মূলদ সংখ্যা হল 0.22, 0.225
11. 0.2101 এবং \(0.2222\ldots\) বা \(0.\dot{2}\) এর মধ্যে দুটি মূলদ সংখ্যা লিখি।
সমাধানঃ
0.2101 এবং \(0.\dot{2}\) এর মধ্যে দুটি মূলদ সংখ্যা হল 0.215, 0.220
12. স্বাভাবিক সংখ্যা, অখন্ড সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ সংখ্যা, অমূলদ সংখ্যা ও বাস্তব সংখ্যা নিয়ে দশটি সত্য বক্তব্য ও দশটি মিথ্যা বক্তব্য লিখি।
সমাধানঃ
সত্য বক্তব্যঃ
i. প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যাই বাস্তব সংখ্যা
ii. প্রতিটি অখন্ড সংখ্যাই বাস্তব সংখ্যা
iii. প্রতিটি মূলদ সংখ্যাই বাস্তব সংখ্যা
iv. প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা সংখ্যাই বাস্তব সংখ্যা
v. দুটি মূলদ সংখ্যার যোগফল, বিয়োগফল মূলদ সংখ্যা
vi. দুটি পূর্ণসংখ্যার সংখ্যার যোগফল, বিয়োগফল মূলদ সংখ্যা
vii. 0 একটি মূলদ সংখ্যা
viii. দুটি মূলদ সংখ্যার গুনফল সর্বদা মূলদ সংখ্যা
ix. 0 স্বাভাবিক সংখ্যা নয়
x. প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা সর্বদাই মূলদ সংখ্যা
মিথ্যা বক্তব্যঃ
i. দুটি অমূলদ সংখ্যার গুনফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা
ii. দুটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল, বিয়োগফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা
iii. \(\sqrt9\) একটি অমূলদ সংখ্যা
iv. প্রতিটি বাস্তব সংখ্যাই মূলদ সংখ্যা
v. 0 হল একটি স্বাভাবিক সংখ্যা
vi. দুটি অমূলদ সংখ্যার মধ্যে একটিমাত্র অমূলদ সংখ্যা থাকে
vii. দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে একটিমাত্র মূলদ সংখ্যা থাকে
viii. -1 হল একটি অখন্ড সংখ্যা।
ix. প্রতিটি বাস্তব সংখ্যাই অমূলদ সংখ্যা
x. প্রতিটি বাস্তব সংখ্যাই পূর্ণসংখ্যা সংখ্যা
13. একটি গুন করতে 2 টাকা ও একটি যোগ করতে 1 টাকা লাগলে নীচের সংখ্যামালাগুলির মান নির্ণয় করতে কত টাকা লাগবে দেখি এবং কী নিয়ম ব্যবহার করে সবচেয়ে কম কত টাকায় সংখ্যামালাটির মান বার করা যায় দেখিঃ
(i) \(3x^2+2x+1\), যখন x=5
সমাধানঃ
যখন x=5
\(3x^2+2x+1\)
\(=3\times5^2+2\times5+1\)
\(=3\times5\times5+2\times5+1\)
সংখ্যামালাটির মান নির্ণয় করতে 3 টি গুন ও 2 টি যোগ করতে হবে।
∴ মোট \(3\times2+2\times1=8\) টাকা লাগবে।
বিচ্ছেদ নিয়ম ব্যবহার করা হলে,
\(3x^2+2x+1\)
\(=3x\left(x+2\right)+1\)
যখন x=5,
\(3x^2+2x+1\)
\(=3\times5\times\left(5+2\right)+1\)
সংখ্যামালাটির মান নির্ণয় করতে 2 টি গুন ও 2 টি যোগ করতে হবে।
∴ মোট \(2\times2+2\times1=6\) টাকা লাগবে।
∴ বিচ্ছেদ নিয়ম ব্যবহার করা হলে সবচেয়ে কম টাকায় সংখ্যামালাটির মান নির্ণয় করা যায়।
(ii) \(2x^3+3x^2+2x+3\), যখন x=7
সমাধানঃ
যখন x=7,
\(2x^3+3x^2+2x+3\)
\(=2\times7^3+3\times7^2+2\times7+1\)
\(=3\times7\times7\times7+3\times7\times7+2\times7+1\)
সংখ্যামালাটির মান নির্ণয় করতে 6 টি গুন ও 3 টি যোগ করতে হবে।
∴ মোট \(6\times2+3\times1=15\) টাকা লাগবে।
বিচ্ছেদ নিয়ম ব্যবহার করা হলে,
\(2x^3+3x^2+2x+3\)
\(=x^2\left(2x+3\right)+1\left(2x+3\right)\)
\(=\left(2x+3\right)\left(x^2+1\right)\)
যখন x=7,
\(2x^3+3x^2+2x+3\)
\(=\left(2\times7+3\right)\left(7^2+1\right)\)
\(=\left(2\times7+3\right)\times\left(7\times7+1\right)\)
সংখ্যামালাটির মান নির্ণয় করতে 3 টি গুন ও 2 টি যোগ করতে হবে।
∴ মোট \(3\times2+2\times1=8\) টাকা লাগবে।
∴ বিচ্ছেদ নিয়ম ব্যবহার করা হলে সবচেয়ে কম টাকায় সংখ্যামালাটির মান নির্ণয় করা যায়।
14. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন(M.C.Q):
(i) \(\sqrt5\) এর দশমিক বিস্তার
(a) একটি সসীম দশমিক
(b) একটি সসীম অথবা আবৃত্ত দশমিক
(c) একটি অসীম অথবা অনাবৃত্ত দশমিক
(d) কোনোটিই নয়।
উত্তরঃ (c) একটি অসীম অথবা অনাবৃত্ত দশমিক
(ii) দুটি অমূলদ সংখ্যার গুণফল
(a) সর্বদাই অমূলদ সংখ্যা
(b) সর্বদাই মূলদ সংখ্যা
(c) সর্বদা একটি পূর্ণসংখ্যা
(d) মূলদ কিংবা অমূলদ সংখ্যা
উত্তরঃ (d) মূলদ কিংবা অমূলদ সংখ্যা
(iii) \(\pi\) এবং \(\frac{22}{7}\)
(a) দুটি মূলদ সংখ্যা
(b) দুটিই অমূলদ সংখ্যা
(c) \(\pi\) মূলদ সংখ্যা এবং \(\frac{22}{7}\) অমূলদ সংখ্যা
(d) \(\pi\) অমূলদ সংখ্যা এবং \(\frac{22}{7}\) মূলদ সংখ্যা
উত্তরঃ (d) \(\pi\) অমূলদ সংখ্যা এবং \(\frac{22}{7}\) মূলদ সংখ্যা
(iv) দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে
(a) কোনো মূলদ সংখ্যা নেই
(b) একটি মাত্র অমূলদ সংখ্যা আছে
(c) অসংখ্য মূলদ সংখ্যা আছে
(d) কোনো অমূলদ সংখ্যা নেই
উত্তরঃ (c) অসংখ্য মূলদ সংখ্যা আছে
(v) দুটি অমূলদ সংখ্যার মধ্যে
(a) কোনো মূলদ সংখ্যা নেই
(b) একটি মাত্র অমূলদ সংখ্যা আছে
(c) অসংখ্য মূলদ সংখ্যা আছে
(d) কোনো অমূলদ সংখ্যা নেই
উত্তরঃ (c) অসংখ্য মূলদ সংখ্যা আছে
(vi) 0 সংখ্যাটি
(a) অখন্ড সংখ্যা কিন্তু পূর্ণসংখ্যা নয়।
(b) পূর্ণসংখ্যা কিন্তু মূলদ সংখ্যা নয়।
(c) মূলদ সংখ্যা কিন্তু বাস্তব সংখ্যা নয়।
(d) অখন্ড সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ সংখা এবং বাস্তব সংখ্যা কিন্তু অমূলদ সংখ্যা নয়।
উত্তরঃ (d) অখন্ড সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ সংখা এবং বাস্তব সংখ্যা কিন্তু অমূলদ সংখ্যা নয়।
15. সংক্ষিপ্ত প্রশ্নঃ
(i) একটি উদাহরণ লিখি যেখানে দুটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল একটি মূলদ সংখ্যা ।
সমাধানঃ
দুটি অমূলদ সংখ্যা \(\sqrt3\) এবং \(-\sqrt3\)
\(\sqrt3\) এবং \(-\sqrt3\) সংখ্যাদুটির যোগফল
\(=\sqrt3\ +\left(-\sqrt3\right)\)
\(=\sqrt3-\sqrt3\)
=0
দুটি অমূলদ সংখ্যা হল \(\sqrt3\) এবং \(-\sqrt3\)
এবং এই সংখ্যাদুটির যোগফল 0 যা একটি মূলদ সংখ্যা ।
(ii) একটি উদাহরণ লিখি যেখানে দুটি অমূলদ সংখ্যার বিয়োগফল একটি মূলদ সংখ্যা ।
সমাধানঃ
দুটি অমূলদ সংখ্যা \(\sqrt3\) এবং \(\sqrt3\)
\(\sqrt3\) এবং \(\sqrt3\) সংখ্যাদুটির বিয়োগফল
\(=\sqrt3-\sqrt3\)
=0
দুটি অমূলদ সংখ্যা হল \(\sqrt3\) এবং \(\sqrt3\) এবং
এই সংখ্যাদুটির বিয়োগফল 0 যা একটি মূলদ সংখ্যা ।
(iii) \(\frac{1}{7}\) এবং \(\frac{2}{7}\) এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা লিখি ।
সমাধানঃ
\(\frac{1}{7}=\frac{1\times2}{7\times2}=\frac{2}{14}\)
\(\frac{2}{7}=\frac{2\times2}{7\times2}=\frac{4}{14}\)
∴ \(\frac{1}{7}\) এবং \(\frac{2}{7}\) এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা হল \(\frac{3}{14}\)
(iv) \(\frac{1}{7}\) এবং \(\frac{2}{7}\) এর মধ্যে একটি অমূলদ সংখ্যা লিখি।
সমাধানঃ
\(\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\)
\(\frac{2}{7}=0.\dot{2}8571\dot{4}\)
∴ \(\frac{1}{7}\) এবং \(\frac{2}{7}\) এর মধ্যে একটি অমূলদ সংখ্যা হল
\(0.151551555155551\ldots\ldots\)
(v) \(0.12\dot{3}\) আবৃত্ত দশমিক সংখ্যাকে সামান্য ভগ্নাংশে লিখি।
সমাধানঃ
\(.012\dot{3}\)
\(=0.012+0.000\dot{3}\)
\(=\frac{12}{1000}+\frac{3}{9000}\)
\(=\frac{108+3}{9000}\)
\(=\frac{108+3}{9000}\)
\(=\frac{111}{9000}\)
\(=\frac{37}{3000}\)
 || WBBSE Class 9 Math Solution){kind=link}
0 Comments