18. সদৃশতা(Similarity) | Exercise 18.2 all solution | Ganit Prakash Class X math solution | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali |
1. ∆ABC এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
(i) PB=AQ, AP=9 একক, QC=4 একক হলে, PB -এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
∆ABC এর BC∥PQ
\(\therefore \frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পেলাম]
বা,\(\frac{9}{PB}=\frac{PB}{4}\)
বা, \({PB}^2=36\)
বা, PB=6
∴ PB=6 একক
(ii) PB এর দৈর্ঘ্য AP এর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুন এবং QC এর দৈর্ঘ্য AQ এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 3 একক বেশি হলে, AC এর দৈর্ঘ্য কত হবে, হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
PB=2AP এবং QC=AQ+3
∆ABC এর BC∥PQ
\(\therefore \frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পেলাম]
বা, \(\frac{AP}{2AP}=\frac{AQ}{AQ+3}\)
বা, \(\frac{1}{2}=\frac{AQ}{AQ+3}\)
বা, AQ+3=2AQ
বা, 2AQ-AQ=3
বা, AQ= 3
∴ QC= (3+3) একক = 6 একক
∴ AC=AQ+QC= (3+6) একক = 9 একক
(iii) যদি AP=QC, AB এর দৈর্ঘ্য 12 একক এবং AQ এর দৈর্ঘ্য 2 একক হয়, তবে CQ এর দৈর্ঘ্য কত হবে, হিসাব করে লিখি।
(i) PB=AQ, AP=9 একক, QC=4 একক হলে, PB -এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
∆ABC এর BC∥PQ
\(\therefore \frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পেলাম]
বা,\(\frac{9}{PB}=\frac{PB}{4}\)
বা, \({PB}^2=36\)
বা, PB=6
∴ PB=6 একক
(ii) PB এর দৈর্ঘ্য AP এর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুন এবং QC এর দৈর্ঘ্য AQ এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 3 একক বেশি হলে, AC এর দৈর্ঘ্য কত হবে, হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
PB=2AP এবং QC=AQ+3
∆ABC এর BC∥PQ
\(\therefore \frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পেলাম]
বা, \(\frac{AP}{2AP}=\frac{AQ}{AQ+3}\)
বা, \(\frac{1}{2}=\frac{AQ}{AQ+3}\)
বা, AQ+3=2AQ
বা, 2AQ-AQ=3
বা, AQ= 3
∴ QC= (3+3) একক = 6 একক
∴ AC=AQ+QC= (3+6) একক = 9 একক
(iii) যদি AP=QC, AB এর দৈর্ঘ্য 12 একক এবং AQ এর দৈর্ঘ্য 2 একক হয়, তবে CQ এর দৈর্ঘ্য কত হবে, হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
AP=QC, AB=12 একক এবং AQ=2 একক
∆ABC এর BC∥PQ
\(\therefore \frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পেলাম]
বা, \(\frac{QC}{AB-AP}=\frac{2}{QC}\)
বা, \(\frac{QC}{12-QC}=\frac{2}{QC}\)
বা, \({QC}^2=24-2.QC\)
বা, \({QC}^2+2.QC-24=0\)
বা, \({QC}^2+6.QC-4.QC-24=0\)
বা, \(QC\left(QC+6\right)-4(QC+6)=0\)
বা, \(\left(QC+6\right)\left(QC-4\right)=0\)
হয়, QC+6=0 অথবা, QC-4=0
বা, QC=-6 বা, QC=4
যেহেতু, দৈর্ঘ্য কখনও ঋনাত্মক হতে পারে না,
∴ QC=4 একক
2. ∆PQR এর PQ ও PR বাহুর উপর যথাক্রমে X, Y দুটি বিন্দু নিলাম।
(i) PX=2 একক, XQ=3.5 একক, YR=7 একক এবং PY=4.25 একক হলে, XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল হবে কিনা যুক্তি দিয়ে লিখি।
সমাধানঃ
∆PQR এর \(\frac{PX}{XQ}=\frac{2}{3.5}=\frac{2\times10}{35}=\frac{4}{7}\)
এবং \(\frac{PY}{YR}=\frac{4.25}{7}=\frac{425}{7\times100}=\frac{17}{28}\)
∆PQR এর \(\frac{PX}{XQ}=\frac{PY}{YR}\) হলে
থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পেতাম, XY∥QR
কিন্তু এক্ষেত্রে \(\frac{PX}{XQ}\neq\frac{PY}{YR}\)
∴ XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল নয়।
2. ∆PQR এর PQ ও PR বাহুর উপর যথাক্রমে X, Y দুটি বিন্দু নিলাম।
(ii) PQ=8 একক, YR=12 একক, PY=4 একক এবং PY এর দৈর্ঘ্য XQ এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 2 একক কম হলে, XY ও QR সমান্তরাল হবে কিনা যুক্তি দিয়ে লিখি।
∆PQR এর \(\frac{PX}{XQ}=\frac{2}{3.5}=\frac{2\times10}{35}=\frac{4}{7}\)
এবং \(\frac{PY}{YR}=\frac{4.25}{7}=\frac{425}{7\times100}=\frac{17}{28}\)
∆PQR এর \(\frac{PX}{XQ}=\frac{PY}{YR}\) হলে
থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পেতাম, XY∥QR
কিন্তু এক্ষেত্রে \(\frac{PX}{XQ}\neq\frac{PY}{YR}\)
∴ XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল নয়।
2. ∆PQR এর PQ ও PR বাহুর উপর যথাক্রমে X, Y দুটি বিন্দু নিলাম।
(ii) PQ=8 একক, YR=12 একক, PY=4 একক এবং PY এর দৈর্ঘ্য XQ এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 2 একক কম হলে, XY ও QR সমান্তরাল হবে কিনা যুক্তি দিয়ে লিখি।
সমাধানঃ
PY=XQ-2
বা, XQ=PY+2
বা, XQ= (4+2) একক = 6 একক
PX=PQ-XQ= (8-6) একক = 2 একক
∆PQR এর \(\frac{PX}{XQ}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
এবং \(\frac{PY}{YR}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\)
∆PQR এর \(\frac{PX}{XQ}=\frac{PY}{YR}\)
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই, XY∥QR
∴ XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল।
3. প্রমাণ করি যে, কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখন্ডিত করে। [থ্যালেসের উপপাদ্যের সাহায্যে প্রমাণ করি]
সাধারন নির্বচনঃ কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
বিশেষ নির্বচনঃ ∆ABC এর AB বাহুর মধ্যবিন্দু P
এবং P বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় বাহু BC এর
সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহু AC কে Q বিন্দুতে
ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, Q, AC বাহুর মধ্যবিন্দু।
প্রমাণঃ ∆ABC এর PQ||BC
∴\(\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পেলাম]
বা, \(\frac{AP}{AP}=\frac{AQ}{QC}\) [∵P, AB বাহুর মধ্যবিন্দু ∴ AP=PB]
বা, \(1=\frac{AQ}{QC}\)
বা, AQ=QC
∴ Q, AC বাহুর মধ্যবিন্দু [প্রমাণিত]
PY=XQ-2
বা, XQ=PY+2
বা, XQ= (4+2) একক = 6 একক
PX=PQ-XQ= (8-6) একক = 2 একক
∆PQR এর \(\frac{PX}{XQ}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
এবং \(\frac{PY}{YR}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\)
∆PQR এর \(\frac{PX}{XQ}=\frac{PY}{YR}\)
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই, XY∥QR
∴ XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল।
3. প্রমাণ করি যে, কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখন্ডিত করে। [থ্যালেসের উপপাদ্যের সাহায্যে প্রমাণ করি]
সাধারন নির্বচনঃ কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
বিশেষ নির্বচনঃ ∆ABC এর AB বাহুর মধ্যবিন্দু P
এবং P বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় বাহু BC এর
সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহু AC কে Q বিন্দুতে
ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, Q, AC বাহুর মধ্যবিন্দু।
প্রমাণঃ ∆ABC এর PQ||BC
∴\(\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পেলাম]
বা, \(\frac{AP}{AP}=\frac{AQ}{QC}\) [∵P, AB বাহুর মধ্যবিন্দু ∴ AP=PB]
বা, \(1=\frac{AQ}{QC}\)
বা, AQ=QC
∴ Q, AC বাহুর মধ্যবিন্দু [প্রমাণিত]
4. ∆ABC এর AD মধ্যমার উপর P একটি বিন্দু। বর্ধিত BP ও CP যথাক্রমে AC ও AB কে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, RQ||BC.
বিশেষ নির্বচনঃ
∆ABC এর AD মধ্যমার উপর P একটি বিন্দু।
বর্ধিত BP ও CP যথাক্রমে AC ও AB কে
Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, RQ||BC।
অঙ্কনঃ B বিন্দু দিয়ে RC এর সমান্তরাল
সরলরেখা BX এবং C বিন্দু দিয়ে QB এর সমান্তরাল সরলরেখা CX টানা হল যারা পরস্পরকে X বিন্দতে ছেদ করেছে।
প্রমাণঃ BPCX চতুর্ভুজের PC||BX এবং PB||CX
∴ BPCX একটি সামান্তরিক।
BPCX সামান্তরিকটির BC কর্ণের মধ্যবিন্দু D
∴ PX কর্ণ D বিন্দুগামী।
∆ABX এর RP||BX [∵RC||BX]
∴\(\frac{AR}{RB}=\frac{AP}{PX}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পেলাম] (I)
আবার, ∆ACX এর QP||CX [∵RC||BX]
∴\(\frac{AQ}{QC}=\frac{AP}{PX}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পেলাম] (II)
(I)নং ও (II)নং থেকে পাই, \(\frac{AR}{RB}=\frac{AQ}{QC}\)
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই,
RQ||BC [প্রমাণিত]
5. ∆ABC এর BE ও CF মধ্যমাদুটি পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং FE সরলরেখাংশ AG সরলরেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AO=3OG.
∆ABC এর AD মধ্যমার উপর P একটি বিন্দু।
বর্ধিত BP ও CP যথাক্রমে AC ও AB কে
Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, RQ||BC।
অঙ্কনঃ B বিন্দু দিয়ে RC এর সমান্তরাল
সরলরেখা BX এবং C বিন্দু দিয়ে QB এর সমান্তরাল সরলরেখা CX টানা হল যারা পরস্পরকে X বিন্দতে ছেদ করেছে।
প্রমাণঃ BPCX চতুর্ভুজের PC||BX এবং PB||CX
∴ BPCX একটি সামান্তরিক।
BPCX সামান্তরিকটির BC কর্ণের মধ্যবিন্দু D
∴ PX কর্ণ D বিন্দুগামী।
∆ABX এর RP||BX [∵RC||BX]
∴\(\frac{AR}{RB}=\frac{AP}{PX}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পেলাম] (I)
আবার, ∆ACX এর QP||CX [∵RC||BX]
∴\(\frac{AQ}{QC}=\frac{AP}{PX}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পেলাম] (II)
(I)নং ও (II)নং থেকে পাই, \(\frac{AR}{RB}=\frac{AQ}{QC}\)
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই,
RQ||BC [প্রমাণিত]
5. ∆ABC এর BE ও CF মধ্যমাদুটি পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং FE সরলরেখাংশ AG সরলরেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AO=3OG.
বিশেষ নির্বচনঃ ∆ABC এর BE ও CF মধ্যমাদুটি পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং FE সরলরেখাংশ
AG সরলরেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AO=3OG
অঙ্কনঃ AG কে বর্ধিত করা হল যা BC কে
D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণঃ ∆ABC এর AB বাহুর মধ্যবিন্দু F
এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু E ∴ FE||BC
∆ABD এর FO||BD [∵FE||BC]
∴\(\frac{AF}{FB}=\frac{AO}{OD}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পেলাম] (I)
বা, \(\frac{FB}{FB}=\frac{AO}{OD}\) [∵F, AB বাহুর মধ্যবিন্দু ∴AF=FB]
বা, 1\(=\frac{AO}{OD}\) ∴ AO=OD
এখন AO+OD=AD
বা, 2AO=\(\frac{3}{2}\)AG [∵AG=\(\frac{2}{3}\)AD]
বা, 4AO=3(AO+OG) [∵ AG=AO+OG]
বা, 4AO=3AO+3OG
বা, 4AO-3AO=3OG
∴ AO=3OG [প্রমাণিত]
6. প্রমাণ করি যে, ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুগুলির মধ্যবিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখাংশ সমান্তরাল বাহুগুলির সমান্তরাল।
AG সরলরেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AO=3OG
অঙ্কনঃ AG কে বর্ধিত করা হল যা BC কে
D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণঃ ∆ABC এর AB বাহুর মধ্যবিন্দু F
এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু E ∴ FE||BC
∆ABD এর FO||BD [∵FE||BC]
∴\(\frac{AF}{FB}=\frac{AO}{OD}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পেলাম] (I)
বা, \(\frac{FB}{FB}=\frac{AO}{OD}\) [∵F, AB বাহুর মধ্যবিন্দু ∴AF=FB]
বা, 1\(=\frac{AO}{OD}\) ∴ AO=OD
এখন AO+OD=AD
বা, 2AO=\(\frac{3}{2}\)AG [∵AG=\(\frac{2}{3}\)AD]
বা, 4AO=3(AO+OG) [∵ AG=AO+OG]
বা, 4AO=3AO+3OG
বা, 4AO-3AO=3OG
∴ AO=3OG [প্রমাণিত]
6. প্রমাণ করি যে, ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুগুলির মধ্যবিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখাংশ সমান্তরাল বাহুগুলির সমান্তরাল।
বিশেষ নির্বচনঃ
ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB||DC এবং
ট্রাপিজিয়ামটি তির্যক বাহুদুটি AD ও BC
এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q.
প্রমাণ করতে হবে যে,
PQ||AB এবং PQ||DC
অঙ্কনঃ বর্ধিত DA এবং বর্ধিত CB পরস্পরকে X বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণঃ ∆XDC এর AB||DC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই, \(\frac{XA}{AD}=\frac{XB}{BC}\) (I)
AD ও BC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q
∴ AD=2AP এবং BC=2BQ
(I)নং থেকে পাই, \(\frac{XA}{2AP}=\frac{XB}{2BQ}\)
∴\(\frac{XA}{AP}=\frac{XB}{BQ}\)
∆XPQ এর \(\frac{XA}{AP}=\frac{XB}{BQ}\)
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই, AB||PQ
যেহেতু, AB||DC এবং AB||PQ ∴ DC||PQ
∴ AB||PQ এবং DC||PQ [প্রমাণিত]
ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB||DC এবং
ট্রাপিজিয়ামটি তির্যক বাহুদুটি AD ও BC
এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q.
প্রমাণ করতে হবে যে,
PQ||AB এবং PQ||DC
অঙ্কনঃ বর্ধিত DA এবং বর্ধিত CB পরস্পরকে X বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণঃ ∆XDC এর AB||DC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই, \(\frac{XA}{AD}=\frac{XB}{BC}\) (I)
AD ও BC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q
∴ AD=2AP এবং BC=2BQ
(I)নং থেকে পাই, \(\frac{XA}{2AP}=\frac{XB}{2BQ}\)
∴\(\frac{XA}{AP}=\frac{XB}{BQ}\)
∆XPQ এর \(\frac{XA}{AP}=\frac{XB}{BQ}\)
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই, AB||PQ
যেহেতু, AB||DC এবং AB||PQ ∴ DC||PQ
∴ AB||PQ এবং DC||PQ [প্রমাণিত]
7. ∆ABC এর BC বাহুর উপর D যে-কোনো একটি বিন্দু। P, Q যথাক্রমে ∆ABD ও ∆ADC এর ভরকেন্দ্র। প্রমাণ করি যে, PQ||BC.
বিশেষ নির্বচনঃ ∆ABC এর BC বাহুর উপর D যে-কোনো একটি বিন্দু। P, Q যথাক্রমে ∆ABD ও ∆ADC এর ভরকেন্দ্র।
প্রমাণ করতে হবে যে, PQ||BC
অঙ্কনঃ ∆ABD এর মধ্যমা AM
এবং ∆ACD এর মধ্যমা AN অঙ্কন করা হল।
প্রমাণঃ
যেহেতু, P, Q যথাক্রমে ∆ABD ও ∆ADC এর ভরকেন্দ্র।
∴ ∆ABD এর AM মধ্যমা P বিন্দুগামী
এবং ∆ACD এর AN মধ্যমা Q বিন্দুগামী।
∵ ∆ABD এর AM মধ্যমার উপর P ভরকেন্দ্র।
∴\(\frac{AP}{PM}=\frac{2}{1}\)
আবার, যেহেতু ∆ACD এর AN মধ্যমার উপর Q ভরকেন্দ্র।
∴\(\frac{AQ}{QN}=\frac{2}{1}\)
∴\(\frac{AP}{PM}=\frac{AQ}{QN}\)
∆AMN এর \(\frac{AP}{PM}=\frac{AQ}{QN}\)
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই, PQ||MN
∴ PQ||BC [প্রমাণিত]
8. একই ভূমি QR এর উপর এবং একই পার্শ্বে দুটি ত্রিভুজ ∆PQR ও ∆SQR অঙ্কন করেছি যাদের ক্ষেত্রফল সমান। F ও G যথাক্রমে ত্রিভুজদুটির ভরকেন্দ্র হলে প্রমাণ করি যে, FG||QR.
প্রমাণ করতে হবে যে, PQ||BC
অঙ্কনঃ ∆ABD এর মধ্যমা AM
এবং ∆ACD এর মধ্যমা AN অঙ্কন করা হল।
প্রমাণঃ
যেহেতু, P, Q যথাক্রমে ∆ABD ও ∆ADC এর ভরকেন্দ্র।
∴ ∆ABD এর AM মধ্যমা P বিন্দুগামী
এবং ∆ACD এর AN মধ্যমা Q বিন্দুগামী।
∵ ∆ABD এর AM মধ্যমার উপর P ভরকেন্দ্র।
∴\(\frac{AP}{PM}=\frac{2}{1}\)
আবার, যেহেতু ∆ACD এর AN মধ্যমার উপর Q ভরকেন্দ্র।
∴\(\frac{AQ}{QN}=\frac{2}{1}\)
∴\(\frac{AP}{PM}=\frac{AQ}{QN}\)
∆AMN এর \(\frac{AP}{PM}=\frac{AQ}{QN}\)
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই, PQ||MN
∴ PQ||BC [প্রমাণিত]
8. একই ভূমি QR এর উপর এবং একই পার্শ্বে দুটি ত্রিভুজ ∆PQR ও ∆SQR অঙ্কন করেছি যাদের ক্ষেত্রফল সমান। F ও G যথাক্রমে ত্রিভুজদুটির ভরকেন্দ্র হলে প্রমাণ করি যে, FG||QR.
বিশেষ নির্বচনঃ∆PQR ও ∆SQR একই
ভূমি QR এর উপর এবং একই পার্শ্বে
অবস্থিত এবংত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রফল সমান।
F ও G যথাক্রমে ∆PQR ও ∆SQR
এর ভরকেন্দ্র।
প্রমাণ করতে হবে যে, FG||QR
অঙ্কনঃ P, S যুক্ত করা হল। ∆PQR এর মধ্যমা PT
এবং ∆SQR এর মধ্যমা ST অঙ্কন করা হল।
প্রমাণঃ
যেহেতু, ∆PQR ও ∆SQR এর ক্ষেত্রফল সমান এবং ত্রিভুজদুটি একই সরলরেখা যুগল PS ও QR এর মধ্যে অবস্থিত.
∴ PS||QR
যেহেতু, F, G যথাক্রমে ∆PQR ও ∆SQR এর ভরকেন্দ্র।
∴ ∆PQR এর PT মধ্যমা F বিন্দুগামী
এবং ∆SQR এর ST মধ্যমা G বিন্দুগামী।
∆PQR এর PT মধ্যমার উপর F ভারকেন্দ্র
∴\(\frac{PF}{FT}=\frac{2}{1}\) বা, \(\frac{FT}{PF}=\frac{1}{2}\)
আবার, ∆SQR এর ST মধ্যমার উপর G ভারকেন্দ্র
∴\(\frac{SG}{GT}=\frac{2}{1}\) বা, \(\frac{GT}{SG}=\frac{1}{2}\)
∴ ∆TPS এর \(\frac{FT}{PF}=\frac{GT}{SG}\)
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই, FG||PS
আবার PS||QR ∴ FG||QR [প্রমাণিত]
9. প্রমাণ করি যে, কোনো সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদুটির যে-কোনো একটির সংলগ্ন কোণ দুটি সমান।
যেহেতু, F, G যথাক্রমে ∆PQR ও ∆SQR এর ভরকেন্দ্র।
∴ ∆PQR এর PT মধ্যমা F বিন্দুগামী
এবং ∆SQR এর ST মধ্যমা G বিন্দুগামী।
∆PQR এর PT মধ্যমার উপর F ভারকেন্দ্র
∴\(\frac{PF}{FT}=\frac{2}{1}\) বা, \(\frac{FT}{PF}=\frac{1}{2}\)
আবার, ∆SQR এর ST মধ্যমার উপর G ভারকেন্দ্র
∴\(\frac{SG}{GT}=\frac{2}{1}\) বা, \(\frac{GT}{SG}=\frac{1}{2}\)
∴ ∆TPS এর \(\frac{FT}{PF}=\frac{GT}{SG}\)
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই, FG||PS
আবার PS||QR ∴ FG||QR [প্রমাণিত]
9. প্রমাণ করি যে, কোনো সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদুটির যে-কোনো একটির সংলগ্ন কোণ দুটি সমান।
বিশেষ নির্বচনঃ ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের AD=BC এবং AB||DC
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ADC=∠BCD
অঙ্কনঃ DA এবং CB কে বর্ধিত করা হল।
বর্ধিত DA এবং বর্ধিত CB পরস্পরকে X
বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণঃ ∆XDC এর AB||DC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\(\frac{XA}{AD}=\frac{XB}{BC}\)
বা, \(\frac{XA}{BC}=\frac{XB}{BC}\) [∵ AD=BC]
∴ XA=XB
∆XAB এর XA=XB ∴ ∠XAB=∠XBA
∠XDC=অনুরূপ∠XAB [∵AB||DC এবং DA ভেদক]
∠XCD=অনুরূপ∠XBA [∵AB||DC এবং CB ভেদক]
∴ ∠XDC=∠XCD [∵∠XAB=∠XBA]
∴ ∠ADC=∠BCD [প্রমাণিত]
10. ∆ABC এবং ∆DBC একই ভূমি BC এর উপর এবং BC এর একই পার্শ্বে অবস্থিত। BC বাহুর উপর E যে-কোনো একটি বিন্দু। E বিন্দু দিয়ে AB এবং BD এর সমান্তরাল সরলরেখা AC এবং DC বাহুকে যথাক্রমে F ও G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, AD||FG.
বিশেষ নির্বচনঃ ∆ABC এবং ∆DBC একই
ভূমি BC এর উপর এবং BC এর একই পার্শ্বে
অবস্থিত। BC বাহুর উপর E যে-কোনো
একটি বিন্দু। E বিন্দু দিয়ে AB এবং BD এর
সমান্তরাল সরলরেখা AC এবং DC বাহুকে যথাক্রমে F ও G বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AD||FG
প্রমাণঃ ∆ABC এর EF||BA
∴\(\frac{CE}{EB}=\frac{CF}{FA}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পেলাম] (I)
∆CBD এর EG||BD
∴\(\frac{CE}{EB}=\frac{CG}{GD}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পেলাম] (II)
(I)নং ও (II)নং থেকে পাই, \(\frac{CF}{FA}=\frac{CG}{GD}\)
∆CAD এর \(\frac{CF}{FA}=\frac{CG}{GD}\)
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই, FG||AD
∴ AD||FG [প্রমাণিত]
11. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) ∆ABC এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB এবং AC বাহুকে যথাক্রমে X এবং Y বিন্দুতে ছেদ করে। AX=2.4সেমি., AY=3.2সেমি. এবং YC=4.8সেমি., হলে, AB এর দৈর্ঘ্য
(a) 3.6 সেমি. (b) 6 সেমি.
(c) 6.4 সেমি. (d) 7.2 সেমি.
সমাধানঃ ∆ABC এর BC||XY
∴\(\frac{AX}{XB}=\frac{AY}{YC}\)
বা, \(\frac{2.4}{XB}=\frac{3.2}{4.8}\)
বা, XB=\(\frac{2.4\times4.8}{3.2}\)
বা, XB=\(\frac{24\times48}{32\times10}\)
∴ XB=3.6 সেমি.
∴ AB=AX+XB= (2.4+3.6) সেমি. = 6 সেমি.
উত্তরঃ (b) 6 সেমি.
(ii) ∆ABC এর AB এবং AC বাহুর উপর D ও E বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে DE||BC এবং AD:DB=3:1; যদি EA=3.3 সেমি. হয়, তাহলে AC এর দৈর্ঘ্য
(a) 1.1 সেমি. (b) 4 সেমি. (c) 4.4 সেমি. (d) 5.5 সেমি.
সমাধানঃ
∆ABC এর DE||BC
∴\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)
বা, \(\frac{3}{1}=\frac{3.3}{EC}\)
∴ EC=\(\frac{3.3}{3}\)=1.1 সেমি.
∴ AC=AE+EC= (3.3+1.1) সেমি. = 4.4 সেমি.
উত্তরঃ (c) 4.4 সেমি.
(iii) পাশের চিত্রে DE||BC হলে, x এর মান
(a) 4 (b) 1 (c) 3 (d) 2
∴ AB=AX+XB= (2.4+3.6) সেমি. = 6 সেমি.
উত্তরঃ (b) 6 সেমি.
(ii) ∆ABC এর AB এবং AC বাহুর উপর D ও E বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে DE||BC এবং AD:DB=3:1; যদি EA=3.3 সেমি. হয়, তাহলে AC এর দৈর্ঘ্য
(a) 1.1 সেমি. (b) 4 সেমি. (c) 4.4 সেমি. (d) 5.5 সেমি.
সমাধানঃ
∆ABC এর DE||BC
∴\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)
বা, \(\frac{3}{1}=\frac{3.3}{EC}\)
∴ EC=\(\frac{3.3}{3}\)=1.1 সেমি.
∴ AC=AE+EC= (3.3+1.1) সেমি. = 4.4 সেমি.
উত্তরঃ (c) 4.4 সেমি.
(iii) পাশের চিত্রে DE||BC হলে, x এর মান
(a) 4 (b) 1 (c) 3 (d) 2
সমাধানঃ
∆ABC এর DE||BC
∴\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)
বা, \(\frac{x+3}{3x+19}=\frac{x}{3x+4}\)
বা, (x+3)(3x+4)=x(3x+19)
বা, 3x²+9x+4x+12=3x²+19x
বা, 3x²+9x+4x-3x²-19x=-12
বা, -6x=-12
বা, x=\(\frac{12}{6}\) ∴ x=2
উত্তরঃ (d) 2
(iv) ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB||DC এবং AD ও BC বাহুর উপর P ও Q বিন্দু দুটি এমনভাবে অবস্থিত যে PQ||DC; যদি PD=18সেমি., BQ= 35 সেমি., QC= 15 সেমি. হয়, তাহলে AD এর দৈর্ঘ্য
(a) 60 সেমি. (b) 30 সেমি.
(c) 12 সেমি. (d) 15 সেমি.
সমাধানঃ ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB||DC এবং PQ||DC
∴\(\frac{AP}{PD}=\frac{BQ}{QC}\)
বা, \(\frac{AP}{18}=\frac{35}{15}\)
∴ AP=\frac{35\times18}{15}= 42 সেমি.
∴ AD=AP+PD= (42+18) সেমি. = 60 সেমি.
উত্তরঃ (a) 60 সেমি.
(v) পাশের চিত্রে, DP=5সেমি., DE=15সেমি., DQ=6সেমি. এবং QF=18সেমি. হলে,
(a) PQ=EF (b) PQ||EF (c) PQ≠EF (d) PQ∦EF
সমাধানঃ
PE=DE-DP= (15-5) সেমি. = 10 সেমি.
∴\(\frac{DP}{PE}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
এবং \(\frac{DQ}{PE}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\)
∴\(\frac{DP}{PE}\ne q\frac{DQ}{PE}\)
∴ PQ∦EF
উত্তরঃ (d) PQ∦EF
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) দুটি সদৃশ ত্রিভুজ সর্বদা সর্বসম।
উত্তরঃ মিথ্যা
[দুটি সর্বসম ত্রিভুজ সর্বদা সদৃশ হয় কিন্তু দুটি সদৃশ ত্রিভুজ সর্বদা সর্বসম হয় না।]
(ii) পাশের চিত্রে DE||BC হলে, \(\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CE}\) হবে।
সমাধানঃ
∆ABC এর DE||BC
∴\(\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}\)
বা, \(\frac{AD}{BD}+1=\frac{AE}{CE}+1\)
বা, \(\frac{AD+BD}{BD}=\frac{AE+CE}{CE}\)
∴\(\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CE}\)
উত্তরঃ সত্য
(C) শূণ্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) একটি ত্রিভুজের যে-কোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুটি বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশকে ________ বিভক্ত করে।
উত্তরঃ সমানুপাতে
(ii) দুটি ত্রিভুজের ভূমি একই সরলরেখায় অবস্থিত এবং ত্রিভুজ দুটির অপর শির্ষবিন্দুটি সাধারণ হলে ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত ভূমির দৈর্ঘ্যের অনুপাতের________।
উত্তরঃ সমান।
(iii) একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল সরলরেখা অপর বাহুদ্বয়কে ________ বিভক্ত করে।
উত্তরঃ সমানুপাতে
12. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে, ABC ত্রিভুজে \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}
এবং ∠ADE=∠ACB হলে, বাহুভেদে ABC ত্রিভুজটি কী ধরনের লিখি।
সমাধানঃ
∆ABC এর \(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই, DE||BC
∠ADE=অনুরূপ∠ABC [∵DE||BC এবং AB ভেদক]
আবার ∠ADE=∠ACB
∴ ∠ABC=∠ACB
∆ABC এর ∠ABC=∠ACB ∴ AB=AC
∴ ABC ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
(ii) পাশের চিত্রে DE||BC এবং AD:BD=3:5 হলে, ∆ADE এর ক্ষেত্রফলঃ ∆CDE এর ক্ষেত্রফল কত তা লিখি।
∆ABC এর \(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই, DE||BC
∠ADE=অনুরূপ∠ABC [∵DE||BC এবং AB ভেদক]
আবার ∠ADE=∠ACB
∴ ∠ABC=∠ACB
∆ABC এর ∠ABC=∠ACB ∴ AB=AC
∴ ABC ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
(ii) পাশের চিত্রে DE||BC এবং AD:BD=3:5 হলে, ∆ADE এর ক্ষেত্রফলঃ ∆CDE এর ক্ষেত্রফল কত তা লিখি।
সমাধানঃ
∆ABC এর DE||BC
∴\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই]
∴\(\frac{3}{5}=\frac{AE}{EC}\)
ধরি, D বিন্দু থেকে AC এর উপর লম্ব h একক।
∴ ∆ADE এর ক্ষেত্রফলঃ ∆CDE এর ক্ষেত্রফল
= \(\frac{\frac{1}{2}\times A E\times h}{\frac{1}{2}\times C E\times h}\)
= \(\frac{AE}{CE}= \frac{3}{5}=3:5\)
(iii) পাশের চিত্রে, LM||AB এবং AL=(x-3)একক, AC=2x একক, BM=(x-2)একক এবং BC=(2x+3)একক
হলে, x -এর মান নির্ণয় করি।
∆ABC এর DE||BC
∴\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই]
∴\(\frac{3}{5}=\frac{AE}{EC}\)
ধরি, D বিন্দু থেকে AC এর উপর লম্ব h একক।
∴ ∆ADE এর ক্ষেত্রফলঃ ∆CDE এর ক্ষেত্রফল
= \(\frac{\frac{1}{2}\times A E\times h}{\frac{1}{2}\times C E\times h}\)
= \(\frac{AE}{CE}= \frac{3}{5}=3:5\)
(iii) পাশের চিত্রে, LM||AB এবং AL=(x-3)একক, AC=2x একক, BM=(x-2)একক এবং BC=(2x+3)একক
হলে, x -এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
∆CAB এর LM||AB
∴ \(\frac{CL}{LA}=\frac{CM}{MB}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই]
বা, \(\frac{CL}{AL}+1=\frac{CM}{BM}+1\)
বা, \(\frac{CL+AL}{AL}=\frac{CM+BM}{BM}\)
বা, \(\frac{AC}{AL}=\frac{BC}{BM}\)
বা, \(\frac{2x}{x-3}=\frac{2x+3}{x-2}\)
বা, 2x(x-2)=(x-3)(2x+3)
বা, 2x2-4x=2x2-6x+3x-9
বা, 2x2-4x-2x2+6x-3x=-9
বা, -x=-9 ∴ x=9
∆CAB এর LM||AB
∴ \(\frac{CL}{LA}=\frac{CM}{MB}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই]
বা, \(\frac{CL}{AL}+1=\frac{CM}{BM}+1\)
বা, \(\frac{CL+AL}{AL}=\frac{CM+BM}{BM}\)
বা, \(\frac{AC}{AL}=\frac{BC}{BM}\)
বা, \(\frac{2x}{x-3}=\frac{2x+3}{x-2}\)
বা, 2x(x-2)=(x-3)(2x+3)
বা, 2x2-4x=2x2-6x+3x-9
বা, 2x2-4x-2x2+6x-3x=-9
বা, -x=-9 ∴ x=9
(iv) পাশের চিত্রে, ABC ত্রিভুজে DE||PQ||BC এবং AD=3সেমি., DP=x সেমি., PB=4সেমি., AE=4 সেমি., EQ=5সেমি., QC=y সেমি. হলে, x এবং y এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
∆APQ এর DE||PQ
∴\(\frac{AD}{DP}=\frac{AE}{EQ}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই]
বা, \(\frac{3}{x}=\frac{4}{5}\)
বা, x=\(\frac{3\times5}{4}\)
∆APQ এর DE||PQ
∴\(\frac{AD}{DP}=\frac{AE}{EQ}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই]
বা, \(\frac{3}{x}=\frac{4}{5}\)
বা, x=\(\frac{3\times5}{4}\)
∴ x=\(\frac{15}{4}\)
∆ABC এর PQ||BC
∴\(\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই]
বা, \(\frac{AD+DP}{PB}=\frac{AE+EQ}{QC}\)
বা, \(\frac{3+\frac{15}{4}}{4}=\frac{4+5}{y}\)
বা, \(\frac{\frac{12+15}{4}}{4}=\frac{9}{y}\)
বা, \(\frac{27}{4\times4}=\frac{9}{y}\)
বা, y=\(\frac{4\times4\times9}{27}\)
∆ABC এর PQ||BC
∴\(\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই]
বা, \(\frac{AD+DP}{PB}=\frac{AE+EQ}{QC}\)
বা, \(\frac{3+\frac{15}{4}}{4}=\frac{4+5}{y}\)
বা, \(\frac{\frac{12+15}{4}}{4}=\frac{9}{y}\)
বা, \(\frac{27}{4\times4}=\frac{9}{y}\)
বা, y=\(\frac{4\times4\times9}{27}\)
∴ y=\(\frac{16}{3}\)
(v) পাশের চিত্রে, DE||BC, BE||XC এবং \(\frac{AD}{DB}=\frac{2}{1}\) হলে, \(\frac{AX}{XB}\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
∆ABC এর DE||BC
∴\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই]
বা, \(\frac{2}{1}=\frac{AE}{EC}\)
(v) পাশের চিত্রে, DE||BC, BE||XC এবং \(\frac{AD}{DB}=\frac{2}{1}\) হলে, \(\frac{AX}{XB}\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
∆ABC এর DE||BC
∴\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই]
বা, \(\frac{2}{1}=\frac{AE}{EC}\)
∴ \(\frac{AE}{EC}=\frac{2}{1}\)
আবার ∆AXC এর BE||XC
∴\(\frac{AB}{BX}=\frac{AE}{EC}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই]
বা, \(\frac{AB}{BX}=\frac{2}{1}\)
বা, \(\frac{AB}{XB}+1=\frac{2}{1}+1\)
বা, \(\frac{AB+XB}{XB}=\frac{2+1}{1}\)
∴\(\frac{AX}{XB}=\frac{3}{1}\)
আবার ∆AXC এর BE||XC
∴\(\frac{AB}{BX}=\frac{AE}{EC}\) [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই]
বা, \(\frac{AB}{BX}=\frac{2}{1}\)
বা, \(\frac{AB}{XB}+1=\frac{2}{1}+1\)
বা, \(\frac{AB+XB}{XB}=\frac{2+1}{1}\)
∴\(\frac{AX}{XB}=\frac{3}{1}\)
0 Comments