4. আয়তঘন || কষে দেখি 4 || Class 10 Math Solution || WBBSE Board

 

1. আমরা পরিবেশের 4 টি আয়তঘনাকার ও 4 টি ঘনক আকার বস্তুর নাম লিখি।

উত্তরঃ

4 টি আয়তঘনাকার বস্তুর নাম হলঃ বই, দেশলাই বাক্স, আয়তঘনকার বাক্স, জুতার বাক্স 
4 টি ঘনক আকার বস্তুর নাম হলঃ রিউবিকস কিউব, আইস কিউব, লুডোর ছক্কা, সুগার কিউব 

2. পাশের আয়তঘনাকার চিত্রের তলগুলি, ধারগুলি ও শীর্ষবিন্দুগুলির নাম লিখি।

উত্তরঃ 
পাশের চিত্রের তলগুলি হল 
ABCD, EFGH, ADFE, BCGH, ABHE, DCGF
ধারগুলি হল 
AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, DF, BH, CG
শীর্ষবিন্দুগুলি হল A, B, C, D, E, F, G 

3. একটি সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 5 মি., 4 মি., ও 3 মি. হলে, ওই ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দন্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 5 মি., 4 মি., ও 3 মি. 

∴ সমকোণী চৌপলাকার ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তাঁর দৈর্ঘ্য 

    \(= \sqrt{\ 5^2+4^2+3^2}\)   মি.

    \(= \sqrt{\ 25+16+9}\) মি.

    =√ 50 মি.

    = 5√2  মি.

4. একটি ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল 64 বর্গমিটার হলে, ঘনকটির আয়তন হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

ধরি, ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার

ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল = x² বর্গমিটার

শর্তানুসারে,

        x² = 64

 বা,  x = 8 [যেহেতু, দৈর্ঘ্য কখনও ঋনাত্মক হয় না]

ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 8 মিটার.

∴ ঘনকটির আয়তন 

    = 8³ ঘনমিটার 

    = 512 ঘনমিটার

5. আমাদের বকুলতলা গ্রামে 2 মিটার চওড়া এবং 8 ডেসিমি. গভীর একটি খাল কাটা হয়েছে। যদি মোট 240 ঘনমিটার মাটি কাঁটা হয়ে থাকে তবে খালটি কত লম্বা হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

ধরি, খালটি x মিটার লম্বা।

∴     খালটিতে মাটি কাটা হয়েছে 

        = x×2×0.8 ঘনমিটার    [8 ডেসিমি=0.8 মিটার]

= 1.6x ঘনমিটার 

শর্তানুসারে, 

    1.6x=240

বা, \(x=\frac{240}{1.6}\)

∴ x=150

∴ খালটি 150 মিটার লম্বা।

6. একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 সেমি. হলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

ধরি, ঘনকটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি.

∴ ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য a√3 সেমি.

শর্তানুসারে,

a√3= 4√3

∴ a=4

∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

    = 6×4² বর্গসেমি.

    = 96 বর্গসেমি.

7. একটি ঘনকের ধারগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 60 সেমি. হলে, ঘনকটির ঘনফল হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

একটি ঘনকের মোট ধারের সংখ্যা 12 টি
∴ ঘনকটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য \(\frac{60}{12}\) সেমি. = 5 সেমি.

∴ ঘনকটির ঘনফল = 5³ ঘনসেমি. = 125 ঘনসেমি.

8. যদি একটি ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 216 বর্গসেমি. হয়, তবে ঘনকটির আয়তন কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

ধরি, ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি. ∴ ঘনকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 6x² বর্গ সেমি. শর্তানুসারে, 6x²=216 বা, x²=\(\frac{216}{6}\) বা, \(x=\sqrt{36}\)[∵ ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না] ∴ x=6 ∴ ঘনকটির আয়তন = 6³ ঘনসেমি. = 216 ঘনসেমি. 

9.    একটি সমকোণী চৌপলের আয়তন 432 ঘনসেমি.। তাকে সমান আয়তনবিশিষ্ট দুটি ঘনকে পরিনত করা হলে, প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

ধরি, প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য a সেমি.

প্রতিটি ঘনকের আয়তন a³ ঘনসেমি. 

 দুটি ঘনকের আয়তন 2a³ ঘনসেমি.

শর্তানুসারে,

            2a³=432

বা,        a³=\(\frac{432}{2}\)

বা,        a³=216

বা,        a³=6³ 

∴         a=6

∴         প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.

10. একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হলো।মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য x একক

∴ ঘনকের ঘনফল = x³ ঘনএকক

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 50% কমানো পেলে ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 

হবে \((x-x\times\frac{50}{100})\) একক 

\(= (x-\frac{x}{2})\) একক 

\(= \frac{x}{2}\) একক 

∴ পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফল 

\(= (\frac{x}{2})^3\) ঘনএকক 

\(=\frac{x^3}{8}\) ঘনএকক

∴ মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত

=x³:\(\frac{x^3}{8}\)

=8:1 

11. একটি সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 3:2:1 এবং উহার আয়তন 384 ঘনসেমি. হলে, বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

ধরি, সমকোণী চৌপলাকার বাক্সের দৈর্ঘ্য 3p সেমি., প্রস্থ 2p সেমি. এবং p সেমি.

∴ সমকোণী চৌপলাকার বাক্সের আয়তন 

=3p×2p×p ঘনসেমি. 

= 6p³ ঘনসেমি.

শর্তানুসারে,

6p³=384

বা, p³=\(\frac{384}{6}\)

বা, p³=64

বা, p³=43

∴ p=4

∴ সমকোণী চৌপলাকার বাক্সের দৈর্ঘ্য 3×4 সেমি. = 12 সেমি., 

প্রস্থ 2×4 সেমি.=8 সেমি. এবং উচ্চতা 4 সেমি.

∴ সমকোণী চৌপলাকার বাক্সের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 

= 2(12×8+8×4+12×4) বর্গসেমি.

= 2(96+32+48) বর্গসেমি. 

= 2×176 বর্গসেমি. 

= 352 বর্গসেমি.

12. একটি চা এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি., 6 ডেসিমি. এবং 5.4 ডেসিমি.। চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম। কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা. হলে 1 ঘনডেসিমি. চা এর ওজন কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

চা বাক্সের ভিতরের দিকে আয়তন 

= (7.5×6×5.4) ঘনডেসিমি.

= 243 ঘনডেসিমি.

চা ভর্তি বাক্সের ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম= 52.350 কিগ্রা.

খালি বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা. 

∴ চা এর ওজন = (52.350-3.75) কিগ্রা = 48.6 কিগ্রা

243 ঘনডেসিমি. চায়ের ওজন 48.6 কিগ্রা

1 ঘনডেসিমি. চায়ের ওজন \(\frac{48.6}{243}\) কিগ্রা

                                            = \(\frac{486\times1000}{10\times243}\) গ্রাম 

                                                = 200 গ্রাম 

13. একটি বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট পিতলের প্লেটের দৈর্ঘ্য x সেমি., বেধ 1 মিলিমি এবং প্লেটটির ওজন 4725 গ্রাম। যদি 1 ঘনসেমি. পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম হয়, তাহলে x এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট পিতলের 

আয়তন = \((x×x×0.1)\) ঘনসেমি. = \(\frac{x^2}{10}\) ঘনসেমি.

1 ঘন সেমি. পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম

\(\frac{x^2}{10}\) ঘনসেমি. পিতলের ওজন \(\frac{x^2\times8.4}{10}\) গ্রাম 

                                                       = \(\frac{x^2\times84}{10\times10}\) গ্রাম 

শর্তানুসারে,

\(\frac{x^2\times84}{10\times10}\)=4725

বা, \(x^2=\frac{4725\times10\times10}{84}\)

বা, \(x^2=5625\)

∴ x = ±75 

যেহেতু, প্লেটের দৈর্ঘ্য কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না

∴ x≠-75

সুতরাং, x=75

14. চাঁদমারির রাস্তাটি উঁচু করতে হবে। তাই রাস্তার দু-পাশে 30 টি সমান গভীর ও সমান মাপের আয়তঘনাকার গর্ত খুঁড়ে সেই মাটি দিয়ে রাস্তাটি উঁচু করা হয়েছে। যদি প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 14 মি. এবং 8 মি. হয় এবং রাস্তাটি তৈরি করতে মোট 2520 ঘনমিটার মাটি লেগে থাকে, তবে প্রতিটি গর্তের গভীরতা হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

ধরি, প্রতিটি গর্তের গভীরতা x মিটার

∴ প্রতিটি গর্তের আয়তন = \(14\times8\times x\) ঘনমিটার = 112x ঘনমিটার

শর্তানুসারে, 

\(30\times112x=2520\)

বা, \(x=\frac{2520}{30\times112}\)

বা, x=0.75

∴ প্রতিটি গর্তের গভীরতা = 0.75 মিটার= 75 সেমি.

15. ঘনকাকৃতি একটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির  অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চাটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 মি. হলে, প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে তা হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

ধরি, প্রতিটি বালতিতে x লিটার জল ধরে

∴ 64 টি বালতি জলের পরিমাণ = 64x লিটার

চৌবাচ্চাটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার = 12 ডেসিমি.

∴ ঘনকাকৃতি চৌবাচ্চার আয়তন 

        = 12³ ঘনডেসিমি.

= 1728 ঘনডেসিমি.

= 1728 লিটার [যেহেতু, 1 লিটার = 1 ঘনডেসিমি.]

চৌবাচ্চা থেকে জল তুলে নেওয়া হয়েছে \((1-\frac{1}{3})\) অংশ = \(\frac{2}{3}\) অংশ 

শর্তানুসারে,

\(64x=\frac{2}{3}\times1728\)

বা, \(x=\frac{2}{3}\times1728\times\frac{1}{64}\)

∴ x= 18

∴ প্রতিটি বালতিতে 18 লিটার জল ধরে।

16.এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের একটি প্যাকেটের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 2.8 ডেসিমি., 1.5 ডেসিমি. ও 0.9 ডেসিমি. হলে একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন কত হবে হিসাব করি। [1 গ্রোস = 12 ডজন ] কিন্তু যদি একটি দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং প্রস্থ 3.5 সেমি. হয়, তবে তার উচ্চতা কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের একটি প্যাকেটের আয়তন

\(=\ 2.8\times1.5\times0.9\) ঘনডেসিমি.

∴ একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন 

\(= \frac{2.8\times1.5\times0.9}{12\times12}\) ঘনডেসিমি. 

\(= \frac{28\times15\times9}{12\times12\times1000}\) ঘনসেমি.

= 26.25 ঘনসেমি.

ধরি, প্রতিটি দেশলাই বাক্সের উচ্চতা x সেমি.

∴ প্রতিটি দেশলাই বাক্সের আয়তন 

= \(5\times3.5\times x\) ঘনসেমি. 

শর্তানুসারে,

\(5\times3.5\times x=26.25\)

বা, \(x=\frac{26.25}{5\times3.5}\)

বা, \(x=\frac{2625\times10}{5\times35\times100}\)

∴ x=1.5

∴ একটি দেশলাই বাক্সের উচ্চতা 1.5 সেমি.

17. 2.1 মিটার দীর্ঘ, 1.5 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তঘনাকার চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ওই চৌবাচ্চায় আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলের গভীরতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

ধরি, জলের গভীরতা a মিটার বৃদ্ধি পাবে।

a মিটার উচ্চতাবিশিষ্ট আয়তঘনাকার চৌবাচ্চার আয়তন 

= 2.1×1.5×a ঘনমিটার

= 3.15a ঘনমিটার

= 3.15a×1000 ঘনডেসিমি.

= 3150a ঘনডেসিমি.

= 3150a লিটার [∵1 লিটার = 1 ঘনডেসিমি.]

শর্তানুসারে,

3150a=630

বা, \(a = \frac{630}{3150}\)

∴ a = 0.2

∴ জলের গভীরতা 0.2 মিটার = 2 ডেসিমি. বৃদ্ধি পাবে। 

18. গ্রামের আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 20 মিটার এবং 15 মিটার। ওই মাঠের ভিতরে চারটি কোণে পিলার বসানোর জন্যে 4 মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট চারটি ঘনকাকৃতি গর্ত কেটে অপসারিত মাটি অবশিষ্ট জমির উপর ছড়িয়ে দেওয়া হল। মাঠের তলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পেল হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

ধরি, মাঠের তলের উচ্চতা x মিটার বৃদ্ধি পাবে।

আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের ক্ষেত্রফল 

20×15 বর্গমিটার

= 300 বর্গমিটার

4 টি ঘনকাকৃতি গর্তের মোট ক্ষেত্রফল 

= 4×(42) বর্গমিটার = 64 বর্গমিটার 

∴ গর্ত বাদে আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের ক্ষেত্রফল

= (300-64) বর্গমিটার = 236 বর্গমিটার 

4 টি ঘনকাকৃতি গর্তের মোট আয়তন 

= 4×43 ঘনমিটার = 256 ঘনমিটার

শর্তানুসারে,

\(x\times236=256\)

বা, \(x=\frac{256}{236}\)

বা, \(x=\frac{64}{59}\)

∴ \(x=1\frac{5}{59}\)

∴ মাঠের তলের উচ্চতা বৃদ্ধি পাবে \(1\frac{5}{59}\) মিটার 

19. 48 মিটার লম্বা এবং 31.5 মিটার চওড়া একখণ্ড নীচু জমিকে 6.5 ডেসিমি. উঁচু করার জন্য ঠিক করা হয়েছে পাশের 27 মিটার লম্বা এবং 18.2 মিটার চওড়া একটি জমি গর্ত করে মাটি তোলা হবে। গর্তটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ
ধরি, গর্তটি h মিটার গভীর করতে হবে।
∴ 27 মিটার লম্বা এবং 18.2 মিটার চওড়া জমিটি গর্ত করে যে পরিমাণ মাটি তোলা হবে তার আয়তন = \(27\times18.2×h\) ঘনমিটার
শর্তানুসারে,
\(27\times18.2×h=48×31.5×0.65\) [6.5 ডেসিমি. = 0.65 মিটার] 
বা, h = \(\frac{48\times31.5\times0.65}{27\times18.2}\)
∴ h = 2
∴ গর্তটি 2 মিটার গভীর করতে হবে। 

20. বাড়ির তিনটি কেরোসিন তেলের ড্রামে যথাক্রমে 800 লিটার, 725 লিটার এবং 575 লিটার তেল ছিল। ওই তিনটি ড্রামের তেল একটি আয়তঘনাকার পাত্রে ঢালা হলো এবং এতে পাত্রে তেলের গভীরতা 7 ডেসিমি. হলো। ওই আয়তঘনাকার পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4:3 হলে, পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।

যদি ওই আয়তঘনাকার পাত্রের গভীরতা 5 ডেসিমিটার হতো, তবে 1620 লিটার তেল ওই পাত্রে রাখা যেত কিনা হিসাব করে লিখি। 

উত্তরঃ

তিনটি তেলের ড্রামে মোট তেল আছে 

= (800+725+575) লিটার 

= 2100 লিটার 

ধরি, আয়তঘনাকার পাত্রের দৈর্ঘ্য 4x ডেসিমি. এবং প্রস্থ 3x ডেসিমি.

7 ডেসিমি. গভীরতা বিশিষ্ট আয়তঘনাকার পাত্রের আয়তন

= 4x×3x×7 ঘনডেসিমি.

= 84x² লিটার 

শর্তানুসারে,

\(84x^2 = 2100\)

বা, \(x^2 = \frac{2100}{84}\)

বা, \(x^2 = 25\)

বা, x = ±5

x এর মান ঋনাত্নক হলে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ঋণাত্মক হবে 

∴ x ≠ 5 

সুতরাং, x = 5

∴ আয়তঘনাকার পাত্রের দৈর্ঘ্য 4×5 ডেসিমি. = 20 ডেসিমি.

এবং প্রস্থ 3×5 ডেসিমি. = 15 ডেসিমি.

আয়তঘনাকার পাত্রের গভীরতা 5 ডেসিমিটার হলে 

পাত্রের আয়তন হবে 20×15×5 ঘনডেসিমি. = 1500 ঘনডেসিমি.

∴ আয়তঘনাকার পাত্রের গভীরতা 5 ডেসিমি. হলে 

1620 লিটার তেল ওই পাত্রে রাখা যাবে না।

21. আমাদের তিনতলা ফ্ল্যাটের তিনটি পরিবারের দৈনিক জলেরর চাহিদা যথাক্রমে 1200 লিটার, 1050 লিটার এবং 950 লিটার। এই চাহিদা মেটানোর পরও চাহিদার 25% জল মজুত থাকে এমন একটি ট্যাঙ্ক বসানোর জন্য মাত্র 2.5 মি. দীর্ঘ এবং 1.6 মিটার চওড়া একটি জায়গা পাওয়া গেছে। ট্যাঙ্কটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

ধরি, ট্যাঙ্কটি x ডেসিমি. গভীর করতে হবে।

ট্যাঙ্কটির দৈর্ঘ্য = 2.5 মিটার = 25 ডেসিমি.

ট্যাঙ্কটির প্রস্থ = 1.6 মিটার = 16 ডেসিমি.

∴ ট্যাঙ্কটিতে জল ধরবে 

= \(25\times16\times x\) ঘনডেসিমি.

= 400x ঘনডেসিমি.

= 400x লিটার [∵ 1 লিটার = 1 ঘনডেসিমি.]

তিনটি পরিবারের মোট দৈনিক জলের চাহিদা

= (1200+1050+950) লিটার = 3200 লিটার 

চাহিদার 25% = \(3200\times\frac{25}{100}\) লিটার = 800 লিটার

শর্তানুসারে,

400x=3200+800

বা,\( x=\frac{4000}{400}\)

∴ x=10

∴ ট্যাঙ্কটি 10 ডেসিমি. = 1 মিটার গভীর করতে হবে। 

জায়গাটি যদি প্রস্থের দিকে আরও 4 ডেসিমি. বেশি হতো তাহলে প্রস্থ হতো, (16+4) ডেসিমি.= 20 ডেসিমি.

ধরি, ট্যাঙ্কটি h ডেসিমি. গভীর করতে হত

শর্তানুসারে,

\(25\times20\times h=4000\)

বা, \(h=\frac{4000}{25\times20}\)

∴ h=8

∴জায়গাটি যদি প্রস্থের দিকে আরও 4 ডেসিমি. বেশি হতো, তবে ট্যাঙ্কটি 8 ডেসিমি. গভীর করতে হতো।  

22. 5 সেমি. পুরু কাঠের তক্তায় তৈরি ঢাকনাসহ একটি কাঠের বাক্সের ওজন 115.5 কিগ্রা.। কিন্তু চাল ভর্তি বাক্সটির ওজন 880.5 কিগ্রা.। বাক্সটির ভিতরের দিকের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 ডেসিমি. এবং 8.5 ডেসিমি. এবং এক ঘনডেসিমি. চালের ওজন 1.5 কিগ্রা.। বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি। প্রতি বর্গ ডেসিমি. 1.50 টাকা হিসাবে বাক্সটির চারিপাশ রং করতে কত খরচ পড়বে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

ধরি, বাক্সটির ভিতরের দিকের উচ্চতা = x ডেসিমি.

∴ বাক্সটির ভিতরের দিকের আয়তন 

= \(12\times8.5\times x\) ঘনডেসিমি.

= 102x ঘনডেসিমি.

1 ঘনডেসিমি. চালের ওজন 1.5 কিগ্রা.

102x ঘনডেসিমি. চালের ওজন \(102x\times1.5\) কিগ্রা.

বাক্সটিতে শুধুমাত্র চালের ওজন 

= (880.5-115.5) কিগ্রা. = 765 কিগ্রা.

শর্তানুসারে,

\(102x\times1.5=765\)

বা, \(x=\frac{765}{102\times1.5}\)

বা, \(x=\frac{765\times10}{102\times15}\)

∴ x=5

∴ বাক্সটির ভিতরের দিকের উচ্চতা 5 ডেসিমি.

বাক্সটির বাইরের দিকের 

দৈর্ঘ্য = (12+0.5+0.5) ডেসিমি. = 13 ডেসিমি.

প্রস্থ = (8.5+.5+.5) ডেসিমি. = 9.5 ডেসিমি.

এবং উচ্চতা = (5+.5+.5) ডেসিমি. = 6 ডেসিমি.

∴ বাক্সটির বাইরের দিকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= 2(13×9.5+13×6+9.5×6) বর্গডেসিমি.

 = 2(122.5+78+57) বর্গডসিমি.

 = 2×257.5 বর্গডেসিমি. = 517 বর্গডেসিমি.

∴ প্রতি বর্গ ডেসিমি. 1.50 টাকা হিসাবে বাইরের চারিপাশ রং 

করতে খরচ পড়বে 

= 1.50×517 টাকা 

= 775.50 টাকা

= 775 টাকা 50 পয়সা 

23. 20 মি. দীর্ঘ এবং 18.5 মি. চওড়া একটি আয়তঘনাকার পুকুরে 3.2 মি. গভীর জল আছে। ঘন্টায় 160 কিলোলিটার জলসেচ করতে পারে এমন একটি পাম্প দিয়ে কতক্ষনে পুকুরটির সমস্ত জলসেচ করা যাবে হিসাব করে লিখি। ওই জল যদি 59.2 মিটার দীর্ঘ এবং 40 মিটার চওড়া একটি আল দেওয়া ধান ক্ষেতে ফেলা হয়, তবে সেী জমিতে জলের গভীরতা কত হবে হিসাব করে লিখি। [1 ঘনমিটার = 1 কিলোলিটার] 

উত্তরঃ

আয়তঘনাকার পুকুরে জল আছে

= (20×18.5×3.2) ঘনমিটার

= 1184 ঘনমিটার 

= 1184 কিলোলিটার [∵1 ঘন মিটার = 1 কিলোলিটার]

∴ পুকুরের সমস্ত জল ওই পাম্প দিয়ে জলসেচ করতে সময় লাগবে

\(\frac{1184}{160}\) ঘন্টা = 7.4 ঘন্টা = 7 ঘন্টা 24 মিনিট

ধরি, জমিতে জলের গভীরতা = x মিটার

শর্তানুসারে, 

\(59.2×40\times x=1184\)

বা, \(x=\frac{1184}{59.2\times40}\)

বা, \(x=\frac{1184\times10}{592\times40}\)

∴ x=0.5

∴ ওই জমিতে জলের গভীরতা হবে 0.5 মিটার = 5 ডেসিমি.

24A.    M.C.Q.

(i) একটি সমকোণী চৌপলাকৃতি বাক্সের ভিতরের আয়তন 440 ঘনসেমি. এবং ভিতরের ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 88 বর্গসেমি.। বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা 

    (a) 4 সেমি.            (b) 5 সেমি.            (c) 3 সেমি.            (d) 6 সেমি.        

বাক্সটির ভিতরের দিকের উচ্চতা

= \(\frac{440}{88}\) সেমি.

= 5 সেমি.

উত্তরঃ (b) 5 সেমি. 

(ii) একটি আয়তঘনাকার গর্তের দৈর্ঘ্য 40 মি., প্রস্থ 12 মি. এবং গভীরতা 16 মি.। ওই গর্তের মধ্যে 5 মি. দৈর্ঘ্য, 4 মি. প্রস্থ এবং 2 মি. পুরু তক্তা রাখা যাবে   

    (a) 190 টি        (b) 192 টি     (c) 184 টি       (d) 180 টি

আয়তঘনাকার গর্তের আয়তন = (40×12×16) ঘনমি.

তক্তার আয়তন = (5×4×2) ঘনমি.

∴ নির্ণেয় তক্তার সংখ্যা 

= \(\frac{40\times12\times16}{5\times4\times2}\) টি 

= 192 টি 

উত্তরঃ (b) 192 টি 

(iii) একটি ঘনকের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 256 বর্গমিটার। ঘনকটির আয়তন 

        (a) 64 ঘনমিটার          (b) 216 ঘনমিটার       

        (c) 256 ঘনমিটার        (d) 512 ঘনমিটার

ধরি, ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য = x সেমি.

শর্তানুসারে,

\(4x^2=256\)

বা, \(x^2=\frac{256}{4}\)

বা, \(x=\sqrt{64}\)

∴ x=8

∴ ঘনকের আয়তন 

= 83 ঘনমিটার 

= 512 ঘনমিটার

উত্তরঃ (d) 512 ঘনমিটার

(iv) দুটি ঘনকের আয়তনের অনুপাত 1:27 হলে, ঘনক দুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত

        (a) 1:3 (b) 1:8 (c) 1:9 (d) 1:18

ধরি, ঘনকদুটির বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে x একক এবং y একক 

শর্তানুসারে,

\(\frac{x^3}{y^3}=\frac{1}{27}\) 

বা, \((\frac{x}{y})^3=(\frac{1}{3})^3\)

∴ \(\frac{x}{y}=\frac{1}{3}\)

∴ ঘনক দুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত

= \(6x^2: 6y^2\)

= \(\frac{x^2}{y^2}\) 

= \((\frac{x}{y})^2\)

= \((\frac{1}{3})^2\)

=\(\frac{1}{9} = 1:9\)

উত্তরঃ (c) 1:9

(v) একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল s বর্গএকক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক হলে s এবং d এর সম্পর্কঃ

    (a) s = 6d² (b) 3s=7d (c) s³=d² (d) \(d^2=\frac{s}{2}\)

ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক

∴ \(s=6a^2\)      ---------(1)

এবং \(d=a\times\sqrt3\) 

বা, \(a=\frac{d}{\sqrt3}\)

(1) নং সমীকরণে a এর মান বসিয়ে পাই,

\(s=6×(\frac{d}{\sqrt3})^2\) 

বা, \(s=6\times\frac{d^2}{3}\)

বা, \(s=2d^2\)

∴ \(d^2=\frac{s}{2}\)

উত্তরঃ (d) \(d^2=\frac{s}{2}\)

24B. নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

(i) একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন হলে, ঘনকটির আয়তন প্রথম ঘনকের 4 গুন হবে।

উত্তরঃ মিথ্যা

ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক

∴ ঘনকের আয়তন = \(a^3\) একক

প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন হলে বাহুর

দৈর্ঘ্য হবে 2a একক

এবং আয়তন হবে = \((2a)^3\) ঘনএকক = \(8a^3\) ঘনএকক

∴ নতুন ঘনকের আয়তন পূর্বের ঘনকের আয়তনের 8 গুন হবে।

(ii) বর্ষার সময় 2 হেক্টর জমিতে বৃষ্টিপাত 5 সেমি. হলে, বৃষ্টির জলের আয়তন 1000 ঘনমিটার। [উত্তরসংকেত 1 আর =100 বর্গমি., 1 হেক্টর =100 আর ]

উত্তরঃ সত্য

 2 হেক্টর = 200 আর = 20000 বর্গমিটার

5 সেমি. = \(\frac{5}{100}\) মিটার

∴ জমিতে বৃষ্টির জল আছে 

= \(20000\times\frac{5}{100}\) ঘনমিটার

= 1000 ঘনমিটার

 

24C. শূণ্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) একটি সমকোণী চৌপলের কর্ণের সংখ্যা ______ টি। 

উত্তরঃ 4

(ii) একটি ঘনকের একটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য

    = ______× একটি ধারের দৈর্ঘ্য। 

উত্তরঃ \(\sqrt2\)

(iii) সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে সেই ঘনবস্তুর বিশেষ নাম _________। 

উত্তরঃ ঘনক

25. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) : 

(i) আয়তঘনের তল সংখ্যা = x, ধারসংখ্যা = y, শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা = z এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য = p হলে, x-y+z+p এর মান কত তা লিখি।

উত্তরঃ 

আয়তঘনের তলসংখ্যা, x=6

ধারসংখ্যা, y=12

শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা, z=8

কর্ণের সংখ্যা, p=4

∴ x-y+z+p=6-12+8+4 = 6

(ii) দুটি আয়তঘনের মাত্রাগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4, 6, 4 একক এবং 8, (2h-1), 2 একক। যদি আয়তঘন দুটির ঘনফল সমান হয়, তাহলে  h এর মান কত তা লিখি।

উত্তরঃ 

প্রথম আয়তঘনের ঘনফল 

= 4×6×4 ঘনএকক

= 96 ঘনএকক

দ্বিতীয় আয়তঘনের ঘনফল

= 8×(2h-1)×2 ঘনএকক

= 16(2h-1) ঘনএকক 

শর্তানুসারে,

16(2h-1)=96

বা, 2h-1=6

বা, 2h=6+1

বা, \(h=\frac{7}{2}\) 

∴ h=3.5

(iii) একটি ঘনকের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি পেলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে তা হিসাব করে লিখি। 

উত্তরঃ 

ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক

ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a^2 বর্গএকক

ঘনকটির প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি পেলে 

ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য হবে

\((a+a\times\frac{50}{100})\) একক

= \((a+\frac{a}{2})\) একক 

= \(\frac{3a}{2}\) একক

নতুন ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= \(6\times\left(\frac{3a}{2}\right)^2\) বর্গএকক 

= \(6\times\frac{9a^2}{4}\) বর্গএকক

= \(\frac{27a^2}{2}\) বর্গএকক

ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে

=\((\frac{27a^2}{2}-6a^2\right)\) বর্গএকক 

= \(\frac{15a^2}{2}\) বর্গএকক

∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে 

= \(\frac{\frac{15a^2}{2}}{6a^2}\times100\) 

= 125

(iv) তিনটি নিরেট ঘনক যাদের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সেমি., 4 সেমি. এবং 5 সেমি.। ঘনক তিনটিকে গলিয়ে একটি নতুন নিরেট ঘনক তৈরি করা হলো। নতুন ঘনকটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে তা লিখি। 

উত্তরঃ 

তিনটি নিরেট ঘনকের মোট আয়তন

= (3³+4³+5³) ঘনসেমি.

= (27+64+125) ঘনএকক = 216 ঘনসেমি.

ধরি, নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি.

∴             নতুন ঘনকের আয়তন = a³ ঘনসেমি.

শর্তানুসারে,

a³=216

বা, a³=6³

∴ a=6

∴ নতুন ঘনকটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য হবে 6 সেমি.

(v) একটি ঘরের দুটি সংলগ্ন দেয়ালের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 মি. এবং 8 মি.। ঘরটির উচ্চতা 4 মি. হলে, ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল কত তা হিসাব করে লিখি।  

উত্তরঃ 

ঘরের দুটি সংলগ্ন দেয়ালের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 মি. এবং 8 মি. হলে, 

ঘরটির মেঝের দৈর্ঘ্য হবে 12 মি. 

এবং প্রস্থ হবে 8 মি.

∴ ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল 

= (12×8) বর্গমিটার

= 96 বর্গমিটার