1. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি. হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি.
∴ গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(4\times\frac{22}{7}×10.5×10.5\) বর্গসেমি.
= \(4\times\frac{22}{7}\times\frac{105}{10}\times\frac{105}{10}\) বর্গসেমি.
= 1386 বর্গসেমি.
2. একটি চামড়ার বল তৈরি করতে প্রতি বর্গসেমি. 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে। বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
বলটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি.
বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = \(4\times\frac{22}{7}\times r^2\) বর্গসেমি.
শর্তানুসারে,
\(17.50\times4\times\frac{22}{7}\times r^2=431.20\)
বা, \(r^2=431.20\times\frac{7}{22}\times\frac{1}{17.50\times4}\)
বা, \(r^2=43120\times\frac{7}{22}\times\frac{1}{1750\times4}\)
বা, \(r^2=1.96\)
∴ r = 1.4
∴ বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2×1.4 সেমি. = 2.8 সেমি.
3. স্কুলে সটপাট খেলার জন্য যে বলটি ব্যবহার করা হুয় তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. হলে, বলটিতে কত ঘনসেমি. লোহা আছে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
বলটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{7}{2}\) সেমি.
∴ বলটির আয়তন
= \(\frac{4}{3}\times\frac{22}{7}\times\frac{7}{2}\times\frac{7}{2}\times\frac{7}{2}\) ঘনসেমি.
= \(\frac{539}{3}\) ঘনসেমি.
= \(179\frac{2}{3}\) ঘনসেমি.
∴ বলটিতে \(179\frac{2}{3}\) ঘনসেমি. লোহা আছে ।
4. 28 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলক জলে সম্পূর্নভাবে নিমজ্জিত করলে যে পরিমাণ জল অপসারিত করবে তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{28}{2}\) সেমি. = 14 সেমি.
∴ নিরেট গোলকের আয়তন
= \(\frac{4}{3}\times\frac{22}{7}\times14\times14 \times14\) ঘনসেমি.
= \(\frac{34496}{3}\) ঘনসেমি.
= \(11498\frac{1}{3}\) ঘনসেমি.
∴ নিরেট গোলকটি জলে সম্পূর্নভাবে নিমজ্জিত করলে \(11498\frac{1}{3}\) ঘনসেমি. জল অপসারিত করবে।
5. কোনো গোলাকাকার গ্যাস বেলুন ফোলাবার সময়ে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. থেকে 21 সেমি. হলে বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এর অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
7 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বেলুনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(4π×{(7)}^2\) বর্গসেমি.
21 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বেলুনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(4π×{(21)}^2\) বর্গসেমি.
∴ বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এর অনুপাত
= \(4π×{(7)}^2: 4π×{(21)}^2\)
= 49:441
= 1:9
6. অর্ধগোলাকৃতি একটি বাটি তৈরি করতে \(127\frac{2}{7}\) বর্গসেমি. পাত লেগেছে। বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, বাটির মুখের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি.
অর্ধগোলাকৃতি বাটিটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(2×\frac{22}{7}\times r^2\) বর্গসেমি.
শর্তানুসারে,
\(2×\frac{22}{7}\times r^2=127\frac{2}{7}\)
বা, \(\frac{44}{7}\times r^2=\frac{891}{7}\)
বা, \(r^2=\frac{891}{7}\times\frac{7}{44}\)
বা, \(r^2=\frac{81}{4}\)
∴\(r=\frac{9}{2}\)
∴ বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(2×\frac{9}{2}\) সেমি.= 9 সেমি.
7. একটি নিরেট লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1 সেমি.। ওই গোলাটিতে কত ঘনসেমি. লোহা আছে তা হিসাব করে লিখি এবং ওই লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1 সেমি. = \(\frac{21}{10}\) সেমি.
∴ লোহার গোলার আয়তন
= \(\frac{4}{3}\times\frac{22}{7}\times\frac{21}{10}\times\frac{21}{10}\times\frac{21}{10}\) ঘনসেমি.
= \(\frac{38808}{1000}\) ঘনসেমি.
= 38.808 ঘনসেমি.
লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(4\times\frac{22}{7}\times\frac{21}{10}\times\frac{21}{10}\) বর্গসেমি.
= \(\frac{5544}{100}\) বর্গসেমি.
= 55.44 বর্গসেমি.
∴ ওই গোলাটিতে 38.808 ঘনসেমি. লোহা আছে এবং ওই গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল 55.44 বর্গসেমি.
8. একটি নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি.। এই গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{14}{2}\) সেমি. = 7 সেমি.
∴ নিরেট সিসার গোলকের আয়তন
= \(\frac{4}{3}\times\pi\times7\times7\times7\) ঘনসেমি.
3.5 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
= \(\frac{4}{3}\times\pi\times3.5\times3.5\times3.5\) ঘনসেমি.
∴ নির্ণেয় নিরেট গোলকের সংখ্যা
= \(\frac{\frac{4}{3}\times\pi\times7\times7\times7}{\frac{4}{3}\times\pi\times3.5\times3.5\times3.5}\) টি
= \(\frac{7\times7\times7\times10\times10\times10}{35\times35\times35}\) টি = 8 টি
9. 3 সেমি., 4 সেমি. ও 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামার গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো। বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি.
∴ বড়ো গোলকটির আয়তন = \(\frac{4}{3}\pi\times r^3\) ঘনসেমি.
3 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
= \(\frac{4}{3}\pi\times3^3\) ঘনসেমি.
4 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
= \(\frac{4}{3}\pi\times4^3\) ঘনসেমি.
5 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
= \(\frac{4}{3}\pi\times5^3\) ঘনসেমি.
শর্তানুসারে,
\(\frac{4}{3}\pi\times3^3+\frac{4}{3}\pi\times3^3+\frac{4}{3}\pi\times5^3=\frac{4}{3}\pi\times r^3\)
বা, \(\frac{4}{3}\pi\times\left(3^3+4^3+5^3\right)=\frac{4}{3}\pi\times r^3\)
বা, r³=(27+64+125)
বা, r³=216
বা, r³=6³
∴ r=6
∴ বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.
10.একটি অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 ডেসিমি.। গম্বুজটির উপরিতল রঙ করতে প্রতি বর্গমিটার 35 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
গম্বুজটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{42}{2}\) ডেসিমি.
= 21 ডেসিমি.
∴ অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(2\times\frac{22}{7}\times21\times21\) বর্গডেসিমি.
= 2772 বর্গডেসিমি.
= \(\frac{2772}{100}\) বর্গমিটার
= 27.72 বর্গমিটার
∴ প্রতি বর্গমিটার 35 টাকা হিসাবে গম্বুজের উপরিতল রং করতে খরচ পড়বে
= 35×27.72 টাকা
= 970.2 টাকা
= 970 টাকা 20 পয়সা
11. একটি ধাতুর পাত থেকে তৈরি দুটি ফাঁপা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 21 সেমি. এবং 17.5 সেমি.। গোলকদুটি তৈরি করতে যে পরিমান ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
প্রথম গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{21}{2}\) সেমি.
∴ প্রথম গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(4π×\frac{21}{2}\times\frac{21}{2}\) বর্গসেমি.
দ্বিতীয় গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{17.5}{2}\) সেমি. = \(\frac{175}{20}\) সেমি.
∴ দ্বিতীয় গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(4π×\frac{175}{20}\times\frac{175}{20}\) বর্গসেমি.
∴ গোলক দুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= \(\frac{4\pi\times\frac{21}{2}\times\frac{21}{2}}{4\pi\times\frac{175}{20}\times\frac{175}{20}}\)
= \(\frac{21\times21\times20\times20}{175\times175\times2\times2}\)
= \(\frac{36}{25}\)
∴ গোলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতু লেগেছে তার অনুপাত 36:25
12. একটি ধাতব গোলকের উপরিতল এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যে নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক
∴ গোলকের আয়তন = \(\frac{4}{3}\pi r^3\) ঘনএকক
এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল =4πr² বর্গএকক
ধরি, নতুন গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য R একক
∴ নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল =4πR² বর্গএকক
শর্তানুসারে,
\(4\pi R^2=\frac{4\pi r^2}{2}\)
বা, \(R^2=\frac{r^2}{2}\)
∴\(R=\frac{r}{\sqrt2}\)
কেটে নেওয়া গোলকের আয়তন
= \(\frac{4}{3}\pi R^3\) ঘনএকক
= \(\frac{4}{3}\pi\left(\frac{r}{\sqrt2}\right)^3\) ঘনএকক
= \(\frac{4}{3}\pi\times\frac{r^3}{2\sqrt2}\) ঘনএকক
=\(\frac{2\pi r^3}{3\sqrt2}\) ঘনএকক
= \(\frac{\sqrt2\pi r^3}{3}\) ঘনএকক
অবশিষ্ট গোলকের আয়তন
=\(\frac{4}{3}\pi r^3-\frac{\sqrt2\pi r^3}{3}\) ঘনএকক
= \(\frac{\sqrt2\pi r^3}{3}\left(2\sqrt2-1\right)\)
∴ কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত
= \(\frac{\sqrt2\pi r^3}{3}:\frac{\sqrt2\pi r^3}{3}\left(2\sqrt2-1\right)\)
= \(1:\left(2\sqrt2-1\right)\)
13. 14 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ভূগোলকের অক্ষটির বক্রতলে 0.7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে। ভূগোলকটির গোলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।
সমাধানঃ
ভূগোলকটির ব্যাসার্ধ 14 সেমি.
∴ ভূগোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=\(4\times\frac{22}{7}\times14\times14\) বর্গসেমি.
= 2464 বর্গসেমি.
0.7 সেমি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তাকার ছিদ্রের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{22}{7}\times0.7\times0.7\) বর্গসেমি.
=\(\frac{22}{7}\times\frac{7}{10}\times\frac{7}{10}\) বর্গসেমি.
= 1.54 বর্গসেমি.
∴ দুটি বৃত্তাকার চিত্রের মোট ক্ষেত্রফল
= 2×1.54 বর্গসেমি. = 3.08 বর্গসেমি.
∴ ছিদ্র বাদ দিয়ে ভূগোলকটির গোলকের অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল
= (2464-3.08) বর্গসেমি.
= 2460.92 বর্গসেমি.
14. 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের নিরেট গোলকের আয়তন
= \(\frac{4}{3}\times\pi\times8^3\) ঘনসেমি.
1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের নিরেট গোলকের আয়তন
= \(\frac{4}{3}\times\pi\times1^3\) ঘনসেমি.
∴ নির্ণেয় নিরেট গুলির সংখ্যা
= \(\frac{\frac{4}{3}\times\pi\times8^3}{\frac{4}{3}\times\pi\times1^3}\) টি
= 512 টি
15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন(V.S.A.)
(A)বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন(M.C.Q.):
(i) 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
(a) \(\frac{32\pi r^3}{3}\) ঘনএকক
(b)\(\frac{16\pi r^3}{3}\) ঘনএকক
(c)\(\frac{8\pi r^3}{3}\) ঘনএকক
(d)\(\frac{64\pi r^3}{3}\) ঘনএকক
সমাধানঃ
2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
= \(\frac{4}{3}\times\pi\times\left(2r\right)^3\) ঘনএকক
= \(\frac{4}{3}\times\pi\times{8r}^3\) ঘনএকক
= \(\frac{32\pi r^3}{3}\) ঘনএকক
উত্তরঃ (a) \(\frac{32\pi r^3}{3}\) ঘনএকক
(ii) দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 1:8 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
(a)1:2 (b)1:4 (c)1:8 (d)1:16
সমাধানঃ
ধরি, দুটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যে যথাক্রমে \(r_1\) একক এবং \(r_2\) একক
শর্তানুসারে,
\(\frac{\frac{4}{3}\pi{r_1}^3}{\frac{4}{3}\pi{r_2}^3}=\frac{1}{8}\)
বা, \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3\)
∴\(\frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{2}\)
∴ নিরেট গোলক দুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= \(\frac{4\pi{r_1}^2}{4\pi{r_2}^2}\)
=\(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\)
=\(\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
=\(\frac{1}{4}\) = 1:4
উত্তরঃ (b)1:4
(iii) 7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
(a) 588π বর্গসেমি. (c) 147π বর্গসেমি.
(b) 392π বর্গসেমি. (d) 98π বর্গসেমি.
সমাধানঃ
7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(3\pi{\times\left(7\right)}^2\) বর্গসেমি.
= \(3\pi\times49\) বর্গসেমি.
= 147π বর্গসেমি.
উত্তরঃ (c) 147π বর্গসেমি.
(iv) দুটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16:9 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত
(a) 64:27 (b) 4:3 (c) 27:64 (d) 3:4
সমাধানঃ
ধরি, দুটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে
\(r_1\) একক এবং \(r_2\) একক
শর্তানুসারে,
\(\frac{4\pi{r_1}^2}{4\pi{r_2}^2}=\frac{16}{9}\)
বা, \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2=\left(\frac{4}{3}\right)^2\)
∴\(\frac{r_1}{r_2}=\frac{4}{3}\)
∴ নিরেট গোলক দুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= \(\frac{\frac{4}{3}\pi{r_1}^3}{\frac{4}{3}\pi{r_2}^3}\)
=\(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3\)
=\(\left(\frac{4}{3}\right)^3\)
=\(\frac{64}{27}\)
= 64:27
উত্তরঃ (a)64:27
(v) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও 3 গুন আয়তনের সাংখ্যমান সমান হলে, গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
(a) 1একক (b) 2একক
(c) 3একক (d) 4একক
সমাধানঃ
ধরি, গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
শর্তানুসারে,
\(4\pi r^2= 3\times\frac{4}{3}\pi r^3\)
∴ r = 1
উত্তরঃ (a) 1একক
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে গোলকটির আয়তন দ্বিগুন হবে।
সমাধানঃ
ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
∴ নিরেট গোলকের আয়তন = \(\frac{4}{3}\pi r^3\) ঘনএকক
ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
হবে 2r একক এবং আয়তন হবে \(\frac{4}{3}\pi{\times\left(2r\right)}^3\) ঘনএকক
= \(8×\frac{4}{3}\pi r^3\) ঘনএকক
∴ একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে গোলকটির আয়তন 8 গুন হবে।
উত্তরঃ মিথ্যা
(ii) দুটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4:9 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হবে 2:3
সমাধানঃ
ধরি, দুটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে
\(r_1\) একক এবং \(r_2\) একক
শর্তানুসারে,
\(\frac{4\pi{r_1}^2}{4\pi{r_2}^2}=\frac{4}{9}\)
বা, \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2\)
বা, \(\frac{r_1}{r_2}=\frac{2}{3}\)
∴\(r_1:r_2=2:3\)
উত্তরঃ সত্য
(C)শূণ্যস্থান পূরন করি
(i) একটি তলবিশিষ্ট ঘনবস্তুর নাম ________।
উত্তরঃ একটি তলবিশিষ্ট ঘনবস্তুর নাম গোলক।
(ii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতলের সংখ্যা _______।
উত্তরঃ
একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতলের সংখ্যা 1 টি ।
(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
2r একক হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ________ \(\pi r^2\) বর্গএকক।
সমাধানঃ
নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2rএকক
∴ নিরেট গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(4\times\pi\times{(2r)}^2\) বর্গএকক
= \(16\pi r^2\) বর্গএকক
উত্তরঃ 16
16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন(S.A.)
(i) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, নিরেট অর্ধগোলকের ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
∴ নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন \(\frac{2}{3}\pi\times r^3\) ঘনএকক
এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = \(3\pi r^2\) বর্গএকক
শর্তানুসারে,
\(\frac{2}{3}\pi\times r^3=3\pi r^2\)
বা, \(\frac{r^3}{r^2}=\frac{3\pi\times3}{2\pi}\)
∴ r = 4.5
∴ অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 4.5 সেমি.
(ii) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সমান। চোঙটির উচ্চতা এবং ব্যাসের দৈর্ঘ্য উভয়েই 12 সেমি.। গোলকটির ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি.
∴ নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(4\pi r^2\) বর্গসেমি.
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ = \(\frac{12}{2}\) সেমি. = 6 সেমি.
∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2π×6×12 বর্গসেমি.
শর্তানুসারে,
\(4\pi r^2=2π×6×12\)
বা, \(r^2=\frac{2\pi\times6\times12}{4\pi}\)
বা, r²=36
∴ r=6
[যেহেতু, ব্যাসার্ধ কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না]
∴ গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.
(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল সমান। অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(r_1\) একক
এবং গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(r_2\) একক
∴ অর্ধগোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(3\pi{r_1}^2\) বর্গএকক
এবং গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(4\pi{r_2}^2\) বর্গএকক
শর্তানুসারে,
\(3\pi{r_1}^2=4\pi{r_2}^2\)
বা, \(\frac{{r_1}^2}{{r_2}^2}=\frac{4\pi}{3\pi}\)
বা, \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2=\left(\frac{2}{\sqrt3}\right)^2\)
∴\(r_1:r_1=2:\sqrt3\)
∴ অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্যের
অনুপাত \(2:\sqrt3\)
(iv) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = S এবং আয়তন = V হলে, \frac{S^3}{V^2} এর মান কত তা লিখি। ( π এর মান না বসিয়ে)
সমাধানঃ
ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
∴ S=4πr² এবং V=\(\frac{4}{3}πr^3\) ঘনএকক
∴\(\frac{S^3}{V^2}=\frac{\left(4\pi r^2\right)^3}{\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)^2}\)
= \(\frac{64\pi^3.r^6}{\frac{16}{9}.\pi^2.r^6}\)
= \(\frac{64\pi\times9}{16} =36\pi\)
(v) একটি গোলকের ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায় তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(4\pi r^2\) বর্গএকক
গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে গোলকের ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য হবে
\(\left(r+r\times\frac{50}{100}\right)\) একক
= \(\left(r+\frac{r}{2}\right)\) একক = \(\frac{3r}{2}\) একক
এবং গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
হবে \(4\pi\left(\frac{3r}{2}\right)^2\) বর্গএকক = \(9\pi r^2\) বর্গএকক
বক্রতলের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে
\((9\pi r^2-4\pi r^2)\) বর্গএকক= \(5\pi r^2\) বর্গএকক
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পেয়েছে
= \(\frac{5\pi r^2}{4\pi r^2}\times100\) = 125
0 Comments