1. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি-
(i) 2x2+7x+3=0
সমাধানঃ
2x2+7x+3=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax2+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a=2, b=7 এবং c=3
∴ নিরূপক =b2-4ac
=72-4.2.3=49-24=25>0
∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
(ii) 3x2-2√6x+2=0
সমাধানঃ
3x2-2√6x+2=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax2+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a=3, b=-2√6 এবং c=2
∴ নিরূপক =b2-4ac
=(-2√6)2-4.3.2=24-24=0
∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান।
(iii) 2x2-7x+9=0
সমাধানঃ
2x2-7x+9=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax2+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a=2, b=-7 এবং c=9
∴ নিরূপক =b2-4ac
=(-7)2-4.2.9=49-72=-23<0
∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই।
(iv) \({2 \over 5}x^2-{2 \over 3}x+1=0\)
সমাধানঃ
\({2 \over 5}x^2-{2 \over 3}x+1=0\) দ্বিঘাত সমীকরণকে
ax2+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা
করে পাই,
a=2/5, b=-2/3 এবং c=1
∴ নিরূপক =b2-4ac
\(={(2 \over 3)}^2-4\times {2 \over 5}\times 1\)
\(={4 \over 9}-{8\over 5}\)
\(={(20-72) \over 45}=-{52 \over 45}<0\)
∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই।
2. k এর কোন মান/মানগুলির জন্য নীচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি।
(i) 49x2+kx+1=0সমাধানঃ
49x2+kx+1=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax2+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a=49, b=k এবং c=1
যেহেতু, বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,
∴ নিরূপক = 0
সুতরাং, b2-4ac=0
বা, k2-4×49×1=0
বা, k2-196=0
বা, k2=196
বা, k=±14
∴ k=±14 হলে 49x2+kx+1=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
(ii) 3x2-5x+2k=0
সমাধানঃ
3x2-5x+2k=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax2+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
3x2-5x+2k=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax2+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a=3, b=-5 এবং c=2k
যেহেতু বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,
∴ নিরূপক = 0
সুতরাং, b2-4ac=0
বা,
(-5)2-4.3.2k=0
বা,
25-24k=0
বা,
24k=25
∴k=25/24
∴
k=25/24 এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব
ও সমান হবে।
(iii) 9x2-24x+k=0
সমাধানঃ
9x2-24x+k=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax2+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা
করে পাই,
a=9, b=-24 এবং c=k
যেহেতু বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,
∴ নিরূপক = 0
সুতরাং, b2-4ac=0
বা,
(-24)2-4.9.k=0
বা,
196-36k=0
বা,
-36k=-196
বা,
k=196/36
∴ k=16
∴ k=16 এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব
ও সমান হবে।
সমাধানঃ
2x2+3x+k=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax2+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা
করে পাই,
a=2, b=3 এবং c=k
যেহেতু বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,
∴ নিরূপক = 0
সুতরাং, b2-4ac=0
বা,
(3)2-4.2.k=0
বা,
9-8k=0
বা,
-8k=-9
∴ k=9/8
∴
k=9/8 এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব
ও সমান হবে।
সমাধানঃ
x2-2(5+2k)x+3(7+10k)=0
দ্বিঘাত সমীকরণকে ax2+bx+c=0
[a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a=1, b=-2(5+2k) এবং c=3(7+10k)
যেহেতু বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,
∴ নিরূপক = 0
সুতরাং, b2-4ac=0
বা,
{-2(5+2k)}2-4.1. 3(7+10k)=0
বা,
4(5+2k)2-12(7+10k)=0
বা,
4(25+20k+4k2)-84-120k=0
বা,
100+80k+16k2-84-120k=0
বা,
16k2-40k+16=0
বা,
8(2k2-5k+2)=0
বা,
2k2-4k-k+2=0
বা,
2k(k-2)-1(k-2)=0
বা,
(k-2)(2k-1)=0
হয়
k-2=0 ∴ k=2
অথবা
2k-1=0 ∴ k=1/2
∴ k=2 অথবা k=1/2 এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব
ও সমান হবে।
সমাধানঃ
(3k+1)x2+2(k+1)x+k=0
দ্বিঘাত সমীকরণকে ax2+bx+c=0
[a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a=(3k+1), b=2(k+1) এবং c=k
যেহেতু বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,
∴ নিরূপক = 0
সুতরাং, b2-4ac=0
বা, {2(k+1)}2-4.(3k+1).k = 0
বা, 4(k+1)2-4k(3k+1)=0
বা, 4(k2+2k+1)-12k2-4k=0
বা, 4k2+8k+4-12k2-4k=0
বা, -8k2+4k+4=0
বা, -4(2k2-k-1)=0
বা, 2k2-2k+k-1=0
বা, 2k(k-1)+1(k-1)=0
বা,
(k-1)(2k+1)=0
হয়
k-1=0 ∴ k=1
অথবা
2k+1=0 ∴ k=-1/2
∴ k=1 অথবা k=-1/2 এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব
ও সমান হবে।
(i) 4, 2
সমাধানঃ
যে
সমীকরণের বীজদ্বয় 4 ও 2 সেই সমীকরণটি হল
x2-(4+2)x+4×2=0
বা, x2-6x+8=0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2-6x+8=0
(ii) -4, -3
সমাধানঃ
যে সমীকরণের বীজদ্বয় 4 ও 2 সেই সমীকরণটি হল
x2-(-4-3)x+(-4)×(-3)=0
বা, x2+7x+12=0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2+7x+12=0
সমাধানঃ
যে সমীকরণের বীজদ্বয় -4 ও 3 সেই সমীকরণটি হল
x2-(-4+3)x+(-4)×3=0
বা, x2+x-12=0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2+x-12=0
সমাধানঃ
যে সমীকরণের বীজদ্বয় 5 ও -3 সেই সমীকরণটি হল
x2-(5-3)x+5×(-3)=0
বা, x2-2x-15=0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2-6x+8=0
4. m এর মান কত হলে, 4x2+4(3m-1)x+(m+7)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে।
সমাধানঃ
4x2+4(3m-1)x+(m+7)=0 (1)
ধরি,
(1)নং সমীকরণের একটি বীজ α
∴ অপর বীজটি হবে 1/α
(1)নং সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = \({(m+7)\over 4}\)
∴
\(α \times {1 \over α}={(m+7)\over 4}\)
বা, m+7=4
বা,
m=4-7
∴ m=-3
∴
m=-3 হলে, প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক
হবে।
সমাধানঃ
যেহেতু
(b-c)x2+(c-a)x+(a-b)=0
দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়
সমান,
∴ নিরূপক = 0
∴ (c-a)2-4.(b-c).(a-b)=0
বা, c2-2ac+a2-4(ab-ac-b2+bc)=0
বা, c2-2ac+a2-4ab+4ac+4b2-4bc=0
বা, c2+2ac+a2-4ab-4bc+4b2=0
বা, (c+a)2-2.(a+c).2b+(2b)2=0
বা, (c+a-2b)2=0
বা, c+a-2b=0
বা, c+a=2b
∴ 2b=a+c
[প্রমাণিত]
সমাধানঃ
যেহেতু
(a2+b2)x2-2(ac+bd)x+(c2+d2)=0
দ্বিঘাত সমীকরণের
বীজদ্বয় সমান,
∴
নিরূপক = 0
∴ {-2(ac+bd)}2-4(a2+b2)(c2+d2)=0
বা, 4(ac+bd)2-4(a2+b2)(c2+d2)=0
বা,4(a2c2+2abcd+b2d2-a2c2-b2c2-a2d2-b2d2)=0
বা,
a2c2+2abcd+b2d2-a2c2-b2c2-a2d2-b2d2=0
বা,
-(a2d2-2abcd+b2c2)=0
বা,
(ad-bc)2=0
বা,
ad-bc=0
বা,
ad=bc
∴ a/b=c/d [প্রমাণিত]
সমাধানঃ
2(a2+b2)x2+2(a+b)x+1=0 (1)
(1)নং সমীকরণের নিরূপক
=
[2(a+b)]2-4.2(a2+b2).1
=
4(a+b)2-8(a2+b2)
=
4[(a+b)2-2(a2+b2)]
=
4[a2+2ab+b2-2a2-2b2]
=
4 [-a2+2ab-b2]
=
-4[a2-2ab+b2]
=
-4(a-b)2<0 [যেহেতু, a≠b ∴ a-b≠0]
∴
(1)নং দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি a≠b হয়।
8. 5x2+2x-3=0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
সমাধানঃ
5x2+2x-3=0------------ (1)
(1)নং সমীকরণের বীজদুটি α ও β
∴ α+β=-2/5 এবং αβ=-3/5
(i) α2+β2 এর মান নির্ণয় করি।
α2+β2=(α+β)2-2αβ
\(=(-{2 \over 5})^2-2\times(-{3\over 5})\)
\(={4 \over 25}+{6\over 5}\)
\(={(4+30) \over 25}\)
\(={34 \over 25}\)
(ii) α3+β3 এর মান নির্ণয় করি।
α3+β3=(α+β)3-3αβ(α+β)
\(=(-{2 \over 5})^3-3\times(-{3\over 5})\times(-{2\over 5})\)
(iii) \({1 \over α}+{1 \over β}\) এর মান নির্ণয় করি।
\(=-{8 \over 125}-{18\over 25}\)
\(={(-8-90) \over 125}\)
\(=-{98 \over 125}\)
\({1 \over α}+{1 \over β}\)
\(={{β+α} \over αβ}\)
\(={-{2\over 5} \over -{3\over 5}}\)
\(={2\over 3}\)
(iv) \({α^2/β}+{β^2/α}\) এর মান নির্ণয় করি।
\(\frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}\)
\(=\frac{\alpha^3+\beta^3}{\alpha\beta}\)
\(=\frac{{(\alpha+\beta)}^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)}{\alpha\beta}\)
\(=\ \frac{(-\frac{2}{5})^3-3.\ (-\frac{3}{5}).\ (-\frac{2}{5})}{(-\frac{3}{5})}\)
\(=\ \frac{-\frac{8}{125}-\frac{18}{25}}{\left(-\frac{3}{5}\right)}\)
\(=\frac{\ \frac{-8-90}{125}}{-\frac{3}{5}}=\frac{-98}{125}\times\frac{-5}{3}=\frac{98}{75}\)
9. ax2+bx+c=0 সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুন হলে, দেখাই যে, 2b2=9ac
সমাধানঃ
ধরি, (1)নং সমীকরণের বীজদ্বয় α ও 2α
(2)নং সমীকরণে α এর মান বসিয়ে পাই,
(-b/3a).2(-b/3a)=c/a
10. যে সমীকরণের বীজগুলি x2+px+1=0 সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
সমাধানঃ
ধরি, (1)নং সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β
∴ α+β=-p এবং αβ= 1
বীজগুলির অন্যোন্যক হবে 1/α ও 1/β
1/α+1/β
=(β+α)/αβ
=-p
এবং 1/α×1/β=1/αβ=1
যে সমীকরণের বীজদ্বয় 1/α ও 1/β সেই সমীকরণটি হল
x2-(1/α+1/β)x+(1/α×1/β)=0
বা, x2-(-p)x+1=0
বা, x2+px+1=0
∴ ইহা হলো নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ ।
11. x2+x+1=0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।
ধরি,
(1)নং সমীকরণের বীজদ্বয় α
ও β
∴ α+β=-1 এবং αβ=
1
বীজগুলির
বর্গ হবে α2
ও
β2
α2+β2=(α+β)2-2αβ
= (-1)2-2.1 = 1-2
= -1
এবং α2.β2=(αβ)2 =(1)2=1
যে সমীকরণের বীজদ্বয় α2 ও β2 সেই সমীকরণটি হল
x2-(α2+β2)x+α2.β2=0
বা, x2+(-1)x+1=0
বা, x2+x+1=0
∴ ইহা হলো নির্ণেয় দ্বিঘাত
সমীকরণ ।
12A. (i) x2-6x+2=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি
(a) 2 (b) -2 (c) 6 (d) -6
(a) 2 (b) -2 (c) 6 (d) -6
উত্তরঃ (c) 6
(ii) x2-3x+k=10 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল -2 হলে, k এর মান
(a) -2 (b) -8 (c) 8 (d) 12
উত্তরঃ (c) 8
(ii) x2-3x+k=10 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল -2 হলে, k এর মান
(a) -2 (b) -8 (c) 8 (d) 12
উত্তরঃ (c) 8
x2-3x+k=10
বা, x2-3x+k-10=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল =k-10
∴ k-10=-2
বা, k=-2+10=8
(iii) ax2+bx+c=0(a≠0)সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, b2-4ac হবে
(a) >0 (b) =0 (c) <0 (d) কোনোটিই নয়
(a) >0 (b) =0 (c) <0 (d) কোনোটিই নয়
উত্তরঃ (a) >0
(iv) ax2+bx+c=0(a≠0)সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে
(a) c=-b/2a (b) c=b/2a (c) c=-b2/4a (d) c=b2/4a
উত্তরঃ (d) c=b2/4a
ax2+bx+c=0(a≠0)সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে
b2-4ac=0
বা, b2=4ac
বা, c=b2/4a
(v) 3x2+8x+2=0
সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে, (1/α+1/β) এর মান
(a)-3/8 (b) (c) -4 (d)
4
উত্তরঃ (c) -4
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্যি না মিথ্যা লিখি।
(i) x2+x+1=0
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।
উত্তরঃ মিথ্যা
x2+x+1=0 সমীকরণের
নিরূপক = (1)2-4.1.1=1-4=-3<0
∴ x2+x+1=0 সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই।
(ii) x2-x+2=0
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।
উত্তরঃ সত্য
x2-x+2=0 সমীকরণের
নিরূপক = (-1)2-4.1.2=1-8=-7<0
∴ x2-x+2=0 সমীকরণের
কোনো বাস্তব বীজ নেই।
(C) শূণ্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) 7x2-12x+18=0
সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুনফলের অনুপাত__________।
উত্তরঃ 2:3
প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 12/7 এবং গুণফল 18/7
∴ নির্ণেয় অনুপাত = 12/7 : 18/7 = 2 : 3
(ii) ax2+bx+c=0(a≠0)
সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, c=_________
উত্তরঃ c=a
ধরি, প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং 1/α
বীজদ্বয়ের গুণফল, α ×1/α =c/a
বা, c/a=1 ∴ c=a
(iii) ax2+bx+c=0(a≠0)
সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত(ঋণাত্মক) হলে, a+c=_______
উত্তরঃ a+c=0
ধরি, প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং -1/α
বীজদ্বয়ের গুণফল, α ×(-1/α) =c/a
বা, c/a=-1
বা, c=-a
∴ c+a=০
13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্নঃ (S.A.)
(i) একটি দ্বিঘাত
সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুনফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি।
সমাধানঃ
যে সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি
14 এবং গুনফল 24
সেই সমীকরণটি হল x2-14x+24=0
(ii) kx2+2x+3k=0(k≠0)
সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুনফল সমান হলে, k এর মান লিখি।
সমাধানঃ
kx2+2x+3k=0 -----------(1)
(1) নং সমীকরণের বীজদ্বয়ের
সমষ্টি = -2/k
এবং গুনফল
= 3k/k
যেহেতু, (1) নং সমীকরণের
বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুনফল সমান
∴ -2/k=3k/k
বা, -2=3k
∴ k=-2/3
(iii) x2-22x+105=0
সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে, (α -β) এর মান লিখি।
সমাধানঃ
x2-22x+105=0
সমীকরণের বীজদ্বয় α
ও β
∴ α+β=22 এবং αβ=105
(α -β)2=(α+β)2-4αβ
= (22)2-4.105
= 484-420 = 64
∴ α -β=±8
(iv) x2-x=k(2x-1)
সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূণ্য হলে, k এর মান লিখি।
সমাধানঃ
x2-x=k(2x-1)
বা, x2-x=2kx-k
বা, x2-x-2kx+k=0
বা, x2-(1+2k)x+k=0 (1)
(1) নং সমীকরণের বীজদ্বয়ের
সমষ্টি
(1+2k)
যেহেতু, (1)নং সমীকরণের বীজদ্বয়ের
সমষ্টি 0
∴ 1+2k=0
বা,
2k=-1
∴ k=-1/2
(v) x2+bx+12=0
এবং x2+bx+q=0 সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে, q এর মান লিখি।
সমাধানঃ
x2+bx+12=0 সমীকরণের
বীজ 2 হলে
(2)2+b
2+12=0
বা,
4+2b+12=0
বা,
2b+16=0
বা,
2b=-16
∴ b=-8
x2+bx+q=0
সমীকরণে b=-8 বসিয়ে পাই, x2-8x+q=0
আবার,
x2-8x+q=0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে
(2)2-8
2+q=0
বা,
4-16+q=0
বা,
-12+q=0
∴ q=12
0 Comments