1. একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ || কষে দেখি 1.5 || WBBSE Math Solution

 1. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি-

(i) 2x²+7x+3=0 

সমাধানঃ

2x²+7x+3=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax²+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, 

a=2, b=7 এবং c=3

∴ নিরূপক =b²-4ac

=7²-4.2.3=49-24=25>0

∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান। 

(ii) 3x²-2√6x+2=0

সমাধানঃ

3x²-2√6x+2=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax²+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, 

a=3, b=-2√6 এবং c=2

∴ নিরূপক =b²-4ac

=(-2√6)²-4.3.2=24-24=0

∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান। 

(iii) 2x²-7x+9=0

সমাধানঃ

2x²-7x+9=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax²+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, 

a=2, b=-7 এবং c=9

∴ নিরূপক =b²-4ac

=(-7)²-4.2.9=49-72=-23<0

∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই।

 

(iv) \({2 \over 5}x^2-{2 \over 3}x+1=0\)

সমাধানঃ

\({2 \over 5}x^2-{2 \over 3}x+1=0\) দ্বিঘাত সমীকরণকে

 ax²+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা

 করে পাই, 

a=2/5, b=-2/3 এবং c=1

∴ নিরূপক =b²-4ac

\(={(2 \over 3)}^2-4\times {2 \over 5}\times 1\)

\(={4 \over 9}-{8\over 5}\)

\(={(20-72) \over 45}=-{52 \over 45}<0\)

∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই।

2. k এর কোন মান/মানগুলির জন্য নীচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি।

(i) 49x²+kx+1=0

সমাধানঃ 

49x²+kx+1=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax²+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, 

a=49, b=k এবং c=1

যেহেতু, বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

∴ নিরূপক = 0

সুতরাং, b²-4ac=0

বা, k²-4×49×1=0

বা, k²-196=0

বা, k²=196

বা, k=±14

∴ k=±14 হলে 49x²+kx+1=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে। 

(ii) 3x²-5x+2k=0

সমাধানঃ
3x²-5x+2k=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax²+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, 

a=3, b=-5 এবং c=2k

যেহেতু বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

∴ নিরূপক = 0

সুতরাং, b²-4ac=0

বা, (-5)²-4.3.2k=0

বা, 25-24k=0

বা, 24k=25

∴k=25/24

∴  k=25/24 এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

(iii) 9x²-24x+k=0

সমাধানঃ

9x²-24x+k=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax²+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, 

a=9, b=-24 এবং c=k

যেহেতু বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

∴ নিরূপক = 0

সুতরাং, b²-4ac=0

বা, (-24)²-4.9.k=0

বা, 196-36k=0

বা, -36k=-196

 বা, k=196/36           

∴      k=16

∴ k=16 এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে। 

(iv) 2x²+3x+k=0

সমাধানঃ

2x²+3x+k=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax²+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, 

a=2, b=3 এবং c=k

যেহেতু বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

∴ নিরূপক = 0

সুতরাং, b²-4ac=0

 বা, (3)²-4.2.k=0

বা, 9-8k=0

বা, -8k=-9

 ∴     k=9/8

∴  k=9/8 এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে। 

(v) x²-2(5+2k)x+3(7+10k)=0

সমাধানঃ

x²-2(5+2k)x+3(7+10k)=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax²+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,

a=1, b=-2(5+2k) এবং c=3(7+10k)

যেহেতু বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

∴ নিরূপক = 0

সুতরাং, b²-4ac=0

বা, {-2(5+2k)}²-4.1. 3(7+10k)=0

বা, 4(5+2k)²-12(7+10k)=0

বা, 4(25+20k+4k²)-84-120k=0

বা, 100+80k+16k²-84-120k=0

বা, 16k²-40k+16=0

বা, 8(2k²-5k+2)=0

বা, 2k²-4k-k+2=0

বা, 2k(k-2)-1(k-2)=0

বা, (k-2)(2k-1)=0

হয় k-2=0      ∴ k=2 

অথবা 2k-1=0    ∴ k=1/2 

∴ k=2 অথবা k=1/2 এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে। 

(vi) (3k+1)x²+2(k+1)x+k=0

সমাধানঃ

(3k+1)x²+2(k+1)x+k=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax²+bx+c=0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, 

a=(3k+1), b=2(k+1) এবং c=k

যেহেতু বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

∴ নিরূপক = 0

সুতরাং, b²-4ac=0

বা, {2(k+1)}²-4.(3k+1).k = 0

বা, 4(k+1)²-4k(3k+1)=0

বা, 4(k²+2k+1)-12k²-4k=0

বা, 4k²+8k+4-12k²-4k=0

 বা, -8k²+4k+4=0

বা, -4(2k²-k-1)=0

বা, 2k²-2k+k-1=0

বা, 2k(k-1)+1(k-1)=0

 বা, (k-1)(2k+1)=0

হয় k-1=0    ∴ k=1 

অথবা 2k+1=0    ∴ k=-1/2

∴ k=1 অথবা k=-1/2 এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে। 

3. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি-
(i) 4, 2

সমাধানঃ

যে সমীকরণের বীজদ্বয় 4 ও 2 সেই সমীকরণটি হল

x²-(4+2)x+4×2=0

বা, x²-6x+8=0

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x²-6x+8=0

(ii) -4, -3

সমাধানঃ

যে সমীকরণের বীজদ্বয় 4 ও 2 সেই সমীকরণটি হল

x²-(-4-3)x+(-4)×(-3)=0

বা, x²+7x+12=0

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x²+7x+12=0

(iii) -4, 3

সমাধানঃ

যে সমীকরণের বীজদ্বয় -4 ও 3 সেই সমীকরণটি হল

x²-(-4+3)x+(-4)×3=0

বা, x²+x-12=0

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x²+x-12=0

(iv) 5, -3

সমাধানঃ

যে সমীকরণের বীজদ্বয় 5 ও -3 সেই সমীকরণটি হল

x²-(5-3)x+5×(-3)=0

বা, x²-2x-15=0

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x²-6x+8=0

4. m এর মান কত হলে, 4x²+4(3m-1)x+(m+7)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে।
সমাধানঃ 

4x²+4(3m-1)x+(m+7)=0                          (1)

ধরি, (1)নং সমীকরণের একটি বীজ α

∴      অপর বীজটি হবে 1/α

(1)নং সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = \({(m+7)\over 4}\)

∴      \(α \times {1 \over α}={(m+7)\over 4}\)

 বা, m+7=4

বা, m=4-7 

∴      m=-3

∴ m=-3 হলে, প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে।

5. (b-c)x²+(c-a)x+(a-b)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, 2b=a+c

সমাধানঃ

যেহেতু (b-c)x²+(c-a)x+(a-b)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান, 

∴ নিরূপক = 0

∴ (c-a)²-4.(b-c).(a-b)=0

বা, c²-2ac+a²-4(ab-ac-b²+bc)=0

বা, c²-2ac+a²-4ab+4ac+4b²-4bc=0

 বা, c²+2ac+a²-4ab-4bc+4b²=0

বা, (c+a)²-2.(a+c).2b+(2b)²=0

বা, (c+a-2b)²=0

বা, c+a-2b=0

বা, c+a=2b  

∴      2b=a+c [প্রমাণিত]

6. (a²+b²)x²-2(ac+bd)x+(c²+d²)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, a/b=c/d

সমাধানঃ

যেহেতু (a²+b²)x²-2(ac+bd)x+(c²+d²)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান,       

∴ নিরূপক = 0

∴     {-2(ac+bd)}²-4(a²+b²)(c²+d²)=0

বা, 4(ac+bd)²-4(a²+b²)(c²+d²)=0

বা,4(a²c²+2abcd+b²d²-a²c²-b²c²-a²d²-b²d²)=0

বা, a²c²+2abcd+b²d²-a²c²-b²c²-a²d²-b²d²=0

বা, -(a²d²-2abcd+b²c²)=0

বা, (ad-bc)²=0

বা, ad-bc=0

বা, ad=bc

∴  a/b=c/d  [প্রমাণিত]

7. প্রমাণ করি যে, 2(a²+b²)x²+2(a+b)x+1=0 দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি a≠b হয়।\

সমাধানঃ

2(a²+b²)x²+2(a+b)x+1=0                                  (1)

(1)নং সমীকরণের নিরূপক

= [2(a+b)]²-4.2(a²+b²).1

= 4(a+b)²-8(a²+b²)

= 4[(a+b)²-2(a²+b²)]

= 4[a²+2ab+b²-2a²-2b²]

= 4 [-a²+2ab-b²]

= -4[a²-2ab+b²]

= -4(a-b)²<0  [যেহেতু, a≠b ∴ a-b≠0]

∴ (1)নং দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি a≠b হয়।

8. 5x²+2x-3=0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,

সমাধানঃ

5x²+2x-3=0------------  (1)

(1)নং সমীকরণের বীজদুটি α ও β

∴ α+β=-2/5  এবং αβ=-3/5

(i) α²+β² এর মান নির্ণয় করি।

α²+β²=(α+β)²-2αβ

\(=(-{2 \over 5})^2-2\times(-{3\over 5})\)

\(={4 \over 25}+{6\over 5}\)

\(={(4+30) \over 25}\)

\(={34 \over 25}\)

(ii) α³+β³ এর মান নির্ণয় করি।

α³+β³=(α+β)³-3αβ(α+β)

\(=(-{2 \over 5})^3-3\times(-{3\over 5})\times(-{2\over 5})\)

\(=-{8 \over 125}-{18\over 25}\)

\(={(-8-90) \over 125}\)

\(=-{98 \over 125}\)

(iii) \({1 \over α}+{1 \over β}\) এর মান নির্ণয় করি।

\({1 \over α}+{1 \over β}\) 

\(={{β+α} \over αβ}\) \(={-{2\over 5} \over -{3\over 5}}\) \(={2\over 3}\)  

(iv) \({α^2/β}+{β^2/α}\) এর মান নির্ণয় করি।

\(\frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}\)

\(=\frac{\alpha^3+\beta^3}{\alpha\beta}\)

\(=\frac{{(\alpha+\beta)}^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)}{\alpha\beta}\)

\(=\ \frac{(-\frac{2}{5})^3-3.\ (-\frac{3}{5}).\ (-\frac{2}{5})}{(-\frac{3}{5})}\)

\(=\ \frac{-\frac{8}{125}-\frac{18}{25}}{\left(-\frac{3}{5}\right)}\)

\(=\frac{\ \frac{-8-90}{125}}{-\frac{3}{5}}=\frac{-98}{125}\times\frac{-5}{3}=\frac{98}{75}\)

9. ax²+bx+c=0 সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুন হলে, দেখাই যে, 2b²=9ac

সমাধানঃ

ax²+bx+c=0                           (1)

ধরি, (1)নং সমীকরণের বীজদ্বয় α ও 2α

∴      α+2α=-b/a    এবং α.2α=c/a   ------(2)

বা,     3α=-b/a

বা,     α=-b/3a

(2)নং সমীকরণে α এর মান বসিয়ে পাই, 

(-b/3a).2(-b/3a)=c/a

বা, 2b²=9ac [প্রমাণিত]

10. যে সমীকরণের বীজগুলি x²+px+1=0 সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।
সমাধানঃ

x²+px+1=0                           (1)

ধরি, (1)নং সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β

∴      α+β=-p  এবং αβ= 1

বীজগুলির অন্যোন্যক হবে 1/α ও 1/β

 1/α+1/β

=(β+α)/αβ

=-p

এবং 1/α×1/β=1/αβ=1

যে সমীকরণের বীজদ্বয় 1/α ও 1/β সেই সমীকরণটি হল

 x²-(1/α+1/β)x+(1/α×1/β)=0

বা, x²-(-p)x+1=0

বা, x²+px+1=0

∴      ইহা হলো নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ । 

11. x²+x+1=0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

x²+x+1=0                           (1)

ধরি, (1)নং সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β

∴      α+β=-1  এবং αβ= 1

বীজগুলির বর্গ হবে α² ও β²

α²+β²=(α+β)²-2αβ

= (-1)²-2.1 = 1-2 = -1

এবং α².β²=(αβ)² =(1)²=1

যে সমীকরণের বীজদ্বয় α² ও β² সেই সমীকরণটি হল

 x²-(α²+β²)x+α².β²=0

বা, x²+(-1)x+1=0   

বা, x²+x+1=0 

∴      ইহা হলো নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ । 

12A. (i) x²-6x+2=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি
(a) 2 (b) -2 (c) 6 (d) -6

উত্তরঃ (c) 6
(ii) x²-3x+k=10 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল -2 হলে, k এর মান
(a) -2 (b) -8 (c) 8 (d) 12
উত্তরঃ (c) 8

x²-3x+k=10

বা, x²-3x+k-10=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল =k-10

 ∴   k-10=-2

বা, k=-2+10=8

(iii) ax²+bx+c=0(a≠0)সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, b²-4ac হবে
(a) >0   (b) =0  (c) <0  (d) কোনোটিই নয় 

উত্তরঃ (a) >0

(iv) ax²+bx+c=0(a≠0)সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে 

(a) c=-b/2a    (b) c=b/2a    (c) c=-b²/4a         (d) c=b²/4a   

উত্তরঃ (d) c=b²/4a   

ax²+bx+c=0(a≠0)সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে 

b²-4ac=0 

বা, b²=4ac

বা, c=b²/4a

(v) 3x²+8x+2=0 সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে, (1/α+1/β) এর মান           

(a)-3/8        (b)        (c) -4        (d) 4

উত্তরঃ       (c) -4

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্যি না মিথ্যা লিখি।

(i) x²+x+1=0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।

উত্তরঃ মিথ্যা

x²+x+1=0 সমীকরণের  নিরূপক = (1)²-4.1.1=1-4=-3<0

∴      x²+x+1=0 সমীকরণের  কোনো বাস্তব বীজ নেই।

(ii) x²-x+2=0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।

উত্তরঃ সত্য

x²-x+2=0 সমীকরণের নিরূপক = (-1)²-4.1.2=1-8=-7<0

∴ x²-x+2=0 সমীকরণের  কোনো বাস্তব বীজ নেই।

(C) শূণ্যস্থান পূরণ করিঃ 

(i) 7x²-12x+18=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুনফলের অনুপাত__________।

উত্তরঃ 2:3

প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 12/7 এবং গুণফল 18/7

∴ নির্ণেয় অনুপাত = 12/7 : 18/7 = 2 : 3

(ii) ax²+bx+c=0(a≠0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, c=_________

উত্তরঃ c=a

ধরি, প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং 1/α

বীজদ্বয়ের গুণফল, α ×1/α =c/a

 বা, c/a=1    ∴ c=a

(iii) ax²+bx+c=0(a≠0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত(ঋণাত্মক) হলে, a+c=_______

উত্তরঃ    a+c=0

ধরি, প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং -1/α

বীজদ্বয়ের গুণফল, α ×(-1/α) =c/a

বা,    c/a=-1    

বা,  c=-a

 ∴ c+a=০

13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্নঃ (S.A.)

(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুনফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি।

সমাধানঃ

যে সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুনফল 24

সেই সমীকরণটি হল x²-14x+24=0

(ii) kx²+2x+3k=0(k≠0) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুনফল সমান হলে, k এর মান লিখি।

সমাধানঃ

kx²+2x+3k=0 -----------(1)

(1) নং সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি = -2/k

এবং গুনফল = 3k/k

যেহেতু, (1) নং সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুনফল সমান

 ∴      -2/k=3k/k

বা,    -2=3k

∴      k=-2/3    

(iii) x²-22x+105=0 সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β  হলে, (α -β) এর মান লিখি।

সমাধানঃ

x²-22x+105=0 সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β

∴      α+β=22 এবং αβ=105

(α -β)²=(α+β)²-4αβ

= (22)²-4.105

= 484-420 = 64

∴    α -β=±8   

(iv) x²-x=k(2x-1) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূণ্য হলে, k এর মান লিখি।

সমাধানঃ

x²-x=k(2x-1)

বা,    x²-x=2kx-k

বা,    x²-x-2kx+k=0

বা,    x²-(1+2k)x+k=0                        (1)

(1) নং সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি  (1+2k)

যেহেতু, (1)নং সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 0

∴     1+2k=0

বা,   2k=-1 

∴      k=-1/2

(v) x²+bx+12=0 এবং x²+bx+q=0 সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে, q এর মান লিখি।

সমাধানঃ

x²+bx+12=0 সমীকরণের বীজ 2 হলে

(2)²+b 2+12=0

বা, 4+2b+12=0

বা, 2b+16=0

বা, 2b=-16      

∴      b=-8

x²+bx+q=0 সমীকরণে b=-8 বসিয়ে পাই, x²-8x+q=0

আবার, x²-8x+q=0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে

(2)²-8 2+q=0

বা,    4-16+q=0

বা,    -12+q=0

∴      q=12