8. সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধারণা | কষে দেখি 8 | Exercise 8 | Ganit Prabha Class VIII math solution | WBBSE Class 8 Math Solution in Bengali
গণিত প্রভা VIII কষে দেখি 8 সমাধান 👇
1. চন্দ্রা লাইন টানা খাতার পাতা নিল। দুটি লাইনের মাঝে একটি ছেদক টানল। এর ফলে 4 জোড়া অনুরূপ কোণ, 2 জোড়া একান্তর কোণ ও 2 জোড়া একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ তৈরি হলো। তাদের খুঁজে দিই ও লিখি। চাঁদার সাহায্যে মেপে যাচাই করি যে (i)অনুরূপ কোণগুলি পরস্পর সমান, (ii)একান্তর কোণগুলি পরস্পর সমান ও (iii)একই পাশের অন্তঃস্থ কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।
ধরি, AB ও CD হল দুটি লাইন।
ছেদকটি হল EF
AB ও CD সরলরেখা দুটিকে EF ছেদ করার ফলে
\(\angle1,\ \angle2,\ \angle3,\ \angle4,\ \)\(\angle5,\ \angle6,\)\ \(\angle7,\ \angle8\) কোণগুলি উৎপন্ন হল।
∴ অনুরূপ কোণগুলি হল
\(\angle1,\ \angle5;\ \angle2,\ \angle6;\)\(\ \angle3,\ \angle7\) ও \(\angle2,\ \angle6\)
একান্তর কোণগুলি হল \(\angle3,\ \angle5;\)\(\ \angle4,\ \angle6\)
এবং একই দিকের অন্তঃস্থ কোণ \(\angle4,\ \angle5;\)\(\ \angle3,\ \angle6\)
চাঁদার সাহায্যে মেপে পেলাম
\(\angle1=45°,∠2=135°,\)\(∠3=45°,∠4=135°,\)
\(\angle5=45°,∠6=135°\)
(i) চাঁদার সাহায্যে মেপে পেলাম
\(\angle1=\angle5=45°,\)\(∠2=∠6=135°,\)\( ∠3=∠7=45°,\)
\(\angle2=\angle6=135°\)
(ii) একান্তর কোণগুলি হল \(\angle3=\angle5=45°,\)\(∠4=∠6=135°\)
(iii) একই পাশের অন্তঃস্থ কোণগুলি সমষ্টি
\(\angle4+\angle5=180°\) ও \(\angle3+\angle6=180°\)
∴ একই পাশের অন্তঃস্থ কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।
2.
পাশের ছবির কোণগুলি দেখি ও কোনগুলি অনুরূপ কোণ, কোনগুলি একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ লিখি।
চিত্র থেকে পাই,
অনুরূপ কোণগুলি হল
\(\angle1,\ \angle5;\)\(\ \angle2,\ \angle6;\)\ \(\angle3,\ \angle8\) ও \(\angle4,\ \angle7\)
একই পাশের অন্তঃস্থ কোণগুলি হল
\(\angle3,\ \angle6;\)\ \(\angle4,\ \angle5\)
3. AB||CD হলে নীচের কোণগুলির মান লিখি -
(a)
ধরি, EF ছেদক AB ও CD সরলরেখাকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\angle APQ=\) বিপ্রতীপ \(\angle BPE\)
∴ \(x=55°\)
\(\angle APQ\) এবং \(\angle CQP\) একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ
∴ \(\angle APQ+\angle CQP=180°\)
∴ \(\angle CQP=180°-55°=125°\)
সুতরাং, \(y=125°\)
3. AB||CD হলে নীচের কোণগুলির মান লিখি -
(b)
ধরি, EF ছেদক AB ও CD সরলরেখাকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে ।
\(\angle BPQ\) ও \(\angle DQP\) একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ
সুতরাং, \(\angle BPQ+\angle DQP=180°\)
∴ \(\angle BPQ=180°-68°=112°\)
আবার, \(\angle APE=\) বিপ্রতীপ \(\angle BPQ\)
∴ \(x=112°\)
3. AB||CD হলে নীচের কোণগুলির মান লিখি -
(c)
ধরি, EF ছেদক AB ও CD সরলরেখাকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে ।
\(\angle BPQ\) ও \(\angle DQP\) একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ
সুতরাং, \(\angle BPQ+\angle DQP=180°\)
∴ \(\angle DQP=180°-100°=80°\)
আবার, \(\angle CQF=\) বিপ্রতীপ \(\angle DQP\)
∴ \(x=80°\)
4. 
পাশের ছবির XY||PQ হলে 7টি কোণের মান লিখি।
\(\angle1+50°=180°\)
∴ \(\angle1=180°-50°=130°\)
\(\angle2=50°\) [বিপ্রতীপ কোণ]
\(\angle3=\angle1=130°\)
[ ∵ \(\angle1,\ \angle3\) পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ ]
\(\angle4=\angle1=130°\)
[ ∵ \(\angle1,\ \angle4\) পরস্পর অনুরূপ কোণ ]
\(\angle5=\angle2=50°\)
[ ∵ \(\angle5,\ \angle2\) পরস্পর একান্তর কোণ ]
\(\angle6=\angle3=130°\)
[ ∵ \(\angle6,\ \angle3\) পরস্পর অনুরূপ কোণ ]
\(\angle7=\angle2=50°\)
[ ∵ \(\angle7,\ \angle2\) পরস্পর অনুরূপ কোণ ]
5. নীচের AB ও CD সরলরেখা দুটি সমান্তরাল কিনা কোণের মান দেখে যুক্তি দিয়ে লিখি-
(i) ধরি, EF ছেদক AB ও CD সরলরেখাকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\angle BPQ\) ও \(\angle DQP\) একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ
\(\angle BPQ+\angle DQP\)
\(=125°+30°\)
\(=155°≠180°\)
\(\angle BPQ\) ও \(\angle DQP\) একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক কোণ নয়।
সুতরাং, AB ও CD সরলরেখা দুটি সমান্তরাল নয়।
(ii) ধরি, EF ছেদক AB ও CD সরলরেখাকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\angle CQP=\) বিপ্রতীপ \(\angle DQF=60°\)
\(\angle APQ\) ও \(\angle CQP\)\ একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ
\(\angle APQ+\angle CQP\)
\(=120°+60°=180°\)
\(\angle BPQ\) ও \(\angle DQP\) একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক কোণ ।
সুতরাং, AB ও CD সরলরেখা দুটি সমান্তরাল।
(iii) ধরি, EF ছেদক AB ও CD সরলরেখাকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\angle EPB+\angle BPQ=180°\)
বা, \(\angle BPQ=180°-∠EPB\)
∴ \(\angle BPQ=180°-75°=105°\)
\(\angle BPQ ও \(\angle DQF পরস্পর অনুরূপ কোণ
\(\angle BPQ=105°\) এবং \(\angle DQF=95°\)
∴ \(\angle BPQ\neq\angle DQF\)
সুতরাং, AB\ ও CD সরলরেখা দুটি সমান্তরাল নয়।
6. 
চিত্রে AB||CD এবং \(\angle EGB=50°\); \(\angle AGE,\ \angle AGH,\)\(\ \angle BGH,\ \angle GHC\), \(\angle GHD,\ \angle CHF\) এবং \(\angle DHF\) এর পরিমাপ লিখি।
\(\angle EGB+\angle AGE=180°\)
∴ \(\angle AGE=180°-∠EGB\)\(=180°-50°=130°\)
\(\angle AGH=\) বিপ্রতীপ \(\angle EGB=50°\)
\(\angle BGH=\) বিপ্রতীপ \(\angle AGE=130°\)
\(\angle GHC=\) অনুরূপ \(\angle AGE=130°\)
\(\angle GHD=\) অনুরূপ \(\angle EGB=50°\)
\(\angle CHF=\) বিপ্রতীপ \(\angle GHD=50°\)
\(\angle DHF=\) বিপ্রতীপ \(\angle GHC=130°\)
7. 
চিত্রে AB||CD; \(\angle PQR\) এর পরিমাপ লিখি।
Q বিন্দু থেকে AB এর সমান্তরাল সরলরেখা QS অঙ্কন করলাম।
∴ AB||QS||CD [ ∵ AB||CD ]
\(\angle PQS=\) একান্তর\ \(\angle APQ=30°\)
এবং \(\angle RQS=\) একান্তর \(\angle CRQ=40°\)
\(\angle PQR=\angle PQS+\angle RQS\)
\(=30°+40°=70°\)
∴ \(\angle PQR=70°\)
8.
চিত্রে PQ||RS, \(\angle BPQ=40°,\)\(∠BPR=155°\) এবং \(\angle CRS=70°;\) ∆APR এর কোণগুলির পরিমাপ লিখি।
AB সরলরেখার উপর PR দন্ডায়মান
সুতরাং, \(\angle APR+\angle BPR=180°\)
∴ \(\angle APR=180°-∠BPR\)\(=180°-155°=25°\)
আবার, \(\angle RPQ=\angle BPR-\angle BPQ\)
∴ \(\angle RPQ=155°-40°=115°\)
\(\angle RPQ\) এবং \(\angle PRS\) একই দিকের অন্তঃস্থ কোণ [PQ||RS]
সুতরাং, \(\angle RPQ+\angle PRS=180°\)
∴ \(\angle PRS=180°-∠RPQ\)\(=180°-115°=65°\)
\(\angle ARP+\angle PRS+\angle CRS=180°\)
∴ \(\angle ARP=180°-65°-70°=45°\)
∆APR এর \(\angle APR=25°\) এবং \(\angle ARP=45°\)
∴ \(\angle PAR=180°-25°-45° = 110°\)
∴ ∆APR এর \(\angle APR=25°,∠ARP=45°\)
এবং \(\angle PAR=110°\)
9. AB এবং CD দুটি সরলরেখার ভিতর O যেকোনো একটি বিন্দু। OP ও OQ যথাক্রমে AB ও CD সরলরেখার উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে P, O, Q বিন্দু তিনটি সমরেখ।
প্রদত্তঃ AB এবং CD দুটি সরলরেখার ভিতর O যেকোনো একটি বিন্দু এবং \(OP\bot AB\), \(OQ\bot CD\)
প্রমাণ করতে হবে যেঃ P, O, Q বিন্দু তিনটি সমরেখ।
অঙ্কনঃ O বিন্দু দিয়ে AB সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখা EF অঙ্কন করলাম।
প্রমাণঃ AB||EF [অঙ্কনানুসারে]
∴ \(\angle BPO+\angle POF=180°\) [একই দিকের অন্তঃস্থ কোণ]
আবার, \(\angle BPO=90°\)
∴ \(\angle POF=180°-90°=90°\)
CD||EF [∵ AB||EF এবং AB||CD]
∴ \(\angle DQO+\angle QOF=180°\) [একই দিকের অন্তঃস্থ কোণ]
আবার, \(\angle DQO=90°\)
∴ \(\angle QOF=180°-90°=90°\)
\(\angle POF\) ও \(\angle QOF\) হল পরস্পর সন্নিহিত কোণ
এবং \(\angle POF+\angle QOF=180°\)
∴ PO এবং QO একই সরলরেখায় অবস্থিত ।
অর্থাৎ, P, O, Q বিন্দু তিনটি সমরেখ। [প্রমাণিত]
10. দুটি কোণের প্রতিজোড়া বাহু পরস্পর সমান্তরাল। প্রমাণ করি যে, কোণদুটি সমান অথবা পরস্পর সম্পূরক।
প্রদত্তঃ উভয় চিত্রে \(\angle EAB\) এর AE ও AB বাহু যথাক্রমে \(\angle FCD\) এর CF ও CD বাহুর সঙ্গে সমান্তরাল।
উভয় চিত্রে AB ও CF সরলরেখা দুটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে
প্রামাণ্যঃ চিত্র 1 এর ক্ষেত্রে \(\angle EAB=\angle FCD\)
এবং চিত্র 2 এর ক্ষেত্রে \(\angle EAB+\angle FCD=180°\)
প্রমাণঃ
যেহেতু, AE||CF এবং AB ভেদক
∴ \(\angle EAB=\) অনুরূপ \(\angle FOB\) (I)
চিত্র 1 এর ক্ষেত্রে, AB||CD এবং CF ভেদক
∴ \(\angle FOB=\) অনুরূপ \(\angle FCD\) (II)
(I) নং ও (II) নং থেকে পাই,
\(\angle EAB=\angle FCD\) [প্রমাণিত]
চিত্র 2 এর ক্ষেত্রে, AB||DC এবং CF ভেদক
∴ \(\angle FOA=\) অনুরূপ \(\angle FCD\) (III)
AE||CF এবং AB ভেদক
∴ \(\angle EAB+\angle FOA=180°\) [একই দিকের অন্তঃস্থ কোণ]
∴ \(\angle EAB+\angle FCD=180°\) [ (III) নং থেকে পাই]
[প্রমাণিত]
11. ABCD সামান্তরিকের AC কর্ণ \(\angle BAD\) কে সমদ্বিখন্ডিত করে। প্রমাণ করি যে, AC কর্ণ \(\angle BCD\) কেও সমদ্বিখন্ডিত করে।
প্রদত্তঃ ABCD সামান্তরিকের AC কর্ণ \(\angle BAD\) কে সমদ্বিখন্ডিত করে অর্থাৎ, \(\angle BAC=\angle DAC\)
প্রামাণ্যঃ AC কর্ণ \(\angle BCD\) কে সমদ্বিখন্ডিত করে
অর্থাৎ \(\angle ACB=\angle ACD\)
প্রমাণঃ
\(\angle BAC=\angle DAC\) [প্রদত্ত] (i)
সামান্তরিকের বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল।
সুতরাং, AD||BC এবং AB||DC
AD||BC এবং AC ছেদক
∴ \(\angle DAC=\angle ACB\) [একান্তর কোণ] (ii)
আবার, AB||DC এবং AC ছেদক
∴ \(\angle BAC=\angle ACD\) [একান্তর কোণ] (iii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
\(\angle BAC=\angle ACB\) (iv)
(iii) ও (iv) থেকে পাই,
\(\angle ACB=\angle ACD\) [প্রমাণিত]
12. ABCD সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে, প্রতিটি কোণই সমকোণ।
প্রদত্তঃ ধরি, ABCD সামান্তরিকের \(\angle B=90°\)
প্রামাণ্যঃ সামান্তরিকের বাকি তিনটি কোণ সমকোণ।
অর্থাৎ, \(\angle A=\angle C\ =\angle D=90°\)
প্রমাণঃ
সামান্তরিকের বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল।
সুতরাং, AD||BC এবং AB||DC
AD||BC এবং AB\ ছেদক
∴ \(\angle A+\angle B=180°\) [একই দিকের অন্তঃস্থ কোণ]
∴ \(\angle A=180°-∠B\)
\(=180°-90°=90°\)
AB||DC এবং BC ছেদক
∴ \(\angle B+\angle C=180°\) [একই দিকের অন্তঃস্থ কোণ]
∴ \(\angle C=180°-∠B\)
\(=180°-90°=90°\)
AD||BC এবং DC ছেদক
∴ \(\angle C+\angle D=180°\) [একই দিকের অন্তঃস্থ কোণ]
∴ \(\angle D=180°-∠C\)
\(=180°-90°=90°\)
সুতরাং, \(\angle A=\angle C\ =\angle D=90°\) [প্রমাণিত]
0 Comments