7. বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য | কষে দেখি 7.2 | Exercise 7.2 solution | গণিত প্রকাশ X সমাধান | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
কষে দেখি 7.2 সমাধান
1. পাশের ছবিতে ∠DBA=40°, ∠BAC=60° এবং ∠CAD=20°, ∠DCA ও ∠BCA -এর মান নির্ণয় করি। ∠BAD ও ∠DCB -এর মানের সমষ্টি কত হবে হিসাব করে দেখি। 
সমাধানঃ
∠DCA এবং ∠DBA একই বৃত্তাংশস্থ কোণ।
∴ ∠DCA=∠DBA=40°
∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+20°=80°
∆ABD থেকে পাই,
∠ADB =180°-∠BAD-∠DBA
=180°-80°-40°=60°
যেহেতু, ∠BCA এবং ∠ADB একই বৃত্তাংশস্থ কোণ।
∴ ∠BCA=∠ADB=60°
∠BAD+∠DCB=∠BAC+∠CAD+100°
= 60°+20°+100°=180°
সুতরাং, ∠DCA=40°,∠BCA=60°
এবং ∠BAD+∠DCB=180°
2. পাশের চিত্রে AOB বৃত্তের ব্যাস এবং O বৃত্তের কেন্দ্র। OC ব্যাসার্ধ AB -এর উপর লম্ব। যদি উপচাপ CB -এর উপর কোনো বিন্দু P হয়, তবে ∠BAC ও ∠APC এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
∆AOC এর AO=OC [বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠CAO=∠ACO
যেহেতু, OC⊥AB
∴ ∠AOC=∠BOC=90°
∴ ∆AOC থেকে পাই,
∠CAO=(180°-∠AOC)/2=(180°-90°)/2=45°
∴ ∠BAC=∠CAO=45°
∆BOC এর BO=OC [বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠CBO=∠BCO
∆BOC থেকে পাই,
∠CBO=(180°-∠BOC)/2=(180°-90°)/2=45°
আবার, ∠APC এবং ∠ABC একই বৃত্তাংশস্থ কোণ।
∴ ∠APC=∠ABC=45° [ ∵ ∠CBO=∠ABC]
সুতরাং, ∠BAC=45° এবং ∠APC=45°
3. ABC ত্রিভুজের O লম্ববিন্দু এবং BC -এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD -কে বর্ধিত করলে ∆ABC -এর পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, OD=DG
প্রদত্তঃ ∆ABC এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক তিনটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। লম্ব AD-কে বর্ধিত করা হল এবং বর্ধিত AD পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ OD=DG
অঙ্কনঃ G,C এবং G,B যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ যেহেতু, ∠ABC ও ∠AGC একই বৃত্তাংশস্থ কোণ
∴ ∠ABC=∠AGC
চতুর্ভুজ BDOF থেকে পাই,
∠DBF+∠DOF=360°-∠BFO-∠BDO
বা, ∠DBF+∠DOF=360°-90°-90°=180°
∴ ∠AGC+∠DOF=180° [∵ ∠DBF=∠ABC=∠AGC]
বা, ∠AGC+180°-∠DOC=180°
[∵ ∠DOF+∠DOC=180°]
বা, ∠AGC=180°-180°+∠DOC
∴ ∠AGC=∠DOC
∆OCD এবং ∆GCD এর মধ্যে
∠ODC=∠GDC [উভয়েই সমকোণ]
∠AGC=∠DOC এবং CD সাধারণ বাহু
∴ ∆OCD≅∆GCD [সর্বসমতার A-A-S শর্তানুসারে]
∴ OD=DG [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ]
সুতরাং, OD=DG [প্রমাণিত]
4. ∆ABC -এর অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র I; বর্ধিত AI ত্রিভুজের পরিবৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PB=PC=PI
প্রদত্তঃ ∆ABC -এর অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র I; বর্ধিত AI
ত্রিভুজের পরিবৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ PB=PC=PI
অঙ্কনঃ B,I এবং C,I যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ
∆ABC এর অন্তঃকেন্দ্র I
∴ ∠A,∠B ও ∠C এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডক তিনটি যথাক্রমে AI,BI ও CI
যেহেতু, ∠PBC এবং ∠PAC একই বৃত্তাংশস্থ কোণ
∴ ∠PBC=∠PAC=1/2∠BAC [∵ AI,∠A এর সমদ্বিখণ্ডক]
∠IBP=∠IBC+∠PBC=1/2∠ABC+1/2∠BAC
∆AIB এর বহিঃস্থ কোণ ∠BIP = ∠IBA+∠IAB
= 1/2∠ABC+1/2∠BAC
= ∠IBP
[∵ ∠IBP=1/2∠ABC+1/2∠BAC]
∆PBI এর ∠BIP=∠IBP
∴ PB=PI
একইরকমভাবে ∆PCI থেকে প্রমাণ করা যায় যে, PC=PI
∴ PB=PC=PI [প্রমাণিত]
5. তিমির দুটি বৃত্ত এঁকেছে যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে দুটি সরলরেখা টানলাম যারা একটি বৃত্তকে A,B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে C,D বিন্দুতে ছেদ করল।
প্রমাণ করি যে, ∠AQC=∠BQD
প্রদত্তঃ X ও Y কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে দুটি সরলরেখা X কেন্দ্রীয় বৃত্তকে
A,B বিন্দুতে এবং Y কেন্দ্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে C,D বিন্দুতে ছেদ করল।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ ∠AQC=∠BQD
অঙ্কনঃ B,Q; A,Q; D,Q; C,Q যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ X কেন্দ্রীয় বৃত্তের ক্ষেত্রে,
∠PAQ এবং ∠PBQ একই বৃত্তাংশস্থ কোণ
∴ ∠PAQ=∠PBQ
সুতরাং, ∠CAQ=∠DBQ
Y কেন্দ্রীয় বৃত্তের ক্ষেত্রে,
∠PCQ এবং ∠PDQ একই বৃত্তাংশস্থ কোণ
∴ ∠PCQ=∠PDQ
সুতরাং, ∠ACQ=∠BDQ
∆AQC থেকে পাই, ∠AQC=180°-∠CAQ-∠ACQ
আবার, ∆BQD থেকে পাই,
∠BQD=180°-∠DBQ-∠BDQ
=180°-∠CAQ-∠ACQ
=∠AQC
∴ ∠AQC=∠BQD [প্রমাণিত]
6. একটি বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব। AB ও CD জ্যা দুটির ছেদবিন্দু P থেকে AD -এর উপর অঙ্কিত লম্বকে বর্ধিত করলে সেটি BC -কে E বিন্দুতে ছেদ করে, তবে প্রমাণ করি যে, E, BC -এর মধ্যবিন্দু।
প্রদত্তঃ বৃত্তটির AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব। জ্যা দুটির ছেদ বিন্দু P থেকে AD এর উপর অঙ্কিত লম্ব XP এবং XP কে বর্ধিত করা হলে তা BC কে E বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ E, BC বাহুর মধ্যবিন্দু।
প্রমাণঃ ∆APD এর ∠APD=90°
∴ ∠PAD=90°-∠ADP=90°-∠XDP (1)
∆XPD এর ∠XPD=90°
∴ ∠XPD=90°-∠XDP
=∠PAD [(1) নং থেকে পাই]
BD বৃত্তচাপের উপর ∠BCD এবং ∠BAD একই বৃত্তাংশস্থ কোণ
∴ ∠BCD=∠BAD
সুতরাং, ∠PCE=∠PAD
∠CPE= বিপ্রতীপ ∠XPD=∠PAD [∵ ∠XPD=∠PAD]
∴ ∠PCE=∠CPE
∆CPE এর ∠PCE=∠CPE
∴ CE=EP (2)
∆APX এর ∠AXP=90°
∴ ∠APX=90°-∠PAX
∠PBE=∠ABC=∠ADC [একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]
=90°-∠PAD
∠BPE= বিপ্রতীপ ∠APX
=90°-∠PAX=90°-∠PAD
∴ ∠PBE=∠BPE
∆BPE এর ∠PBE=∠BPE
∴ BE=EP (3)
(2) নং ও (3) নং থেকে পাই, CE=BE
∴ E,BC বাহুর মধ্যবিন্দু। [প্রমাণিত]
7. যদি ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB=DC হয়, তবে প্রমাণ করি যে AC=BD হবে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ AC=BD
প্রমাণঃ
∆ABD এবং ∆DCA এর মধ্যে
AB=DC
∠ABD=∠ACD [একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]
AD সাধারণ বাহু
∴ ∆ABD≅∆DCA [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
∴ BD=AC [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরুপ বাহু]
∴ AC=BD [প্রমাণিত]
8. O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ব্যাসার্ধ এবং AQ একটি জ্যা। বৃত্তের উপর C একটি বিন্দু। O,A,C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যা-কে P বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করি যে, CP=PQ
প্রদত্তঃ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ব্যাসার্ধ এবং AQ একটি জ্যা। বৃত্তের উপর C একটি বিন্দু। O,A,C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যা-কে
P বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ CP=PQ
অঙ্কনঃ C,Q; O,Q; O,C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ
∆OQC এর OC=OQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OQC=∠OCQ
∆OQA এর OA=OQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OQA=∠OAQ
বা, ∠OQA=∠OAP
OP বৃত্তচাপের ∠OAP ও ∠OCP একই বৃত্তাংশস্থ কোণ
∴ ∠OAP=∠OCP
সুতরাং, ∠OQA=∠OCP
বা, ∠OQC+∠CQP=∠OCQ+∠PCQ
বা, ∠OCQ+∠CQP=∠OCQ+∠PCQ [∵ ∠OQC=∠OCQ]
∴ ∠CQP=∠PCQ
∆PCQ এর ∠PCQ=∠CQP
∴ CP=PQ [প্রমাণিত]
9. একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তর্লিখিত। AX,BY ও CZ যথাক্রমে ∠BAC,∠ABC ও ∠ACB -এর সমদ্বিখন্ডক এবং বৃত্তে যথাক্রমে X,Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে, AX,YZ -এর উপর লম্ব।
প্রদত্তঃ
ABC ত্রিভুজটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত।
AX,BY ও CZ যথাক্রমে ∠BAC,
∠ABC ও ∠ACB -এর সমদ্বিখন্ডক
এবং বৃত্তে যথাক্রমে X,Y ও Z বিন্দুতে
মিলিত হয়। YZ, AX কে P বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ AX,YZ -এর উপর লম্ব।
অঙ্কনঃ X,Y যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ ∠AXY এবং ∠ABY একই বৃত্তাংশস্থ কোণ
∴ ∠AXY=∠ABY=1/2∠ABC
∠BYX এবং ∠BAX একই বৃত্তাংশস্থ কোণ
∴ ∠BYX=∠BAX=1/2∠BAC
∠ZYB এবং ∠ZCB একই বৃত্তাংশস্থ কোণ
∴ ∠ZYB=∠ZCB=1/2∠ACB
∆XPY থেকে পাই,
∠XPY=180°-∠PXY-∠PYX
=180°-∠AXY-(∠ZYB+∠BYX)
=180°-1/2∠ABC-(1/2∠ACB+1/2∠BAC)
=180°-1/2 (∠ABC+∠ACB+∠BAC)
=180°-1/2×180° [∵∆ABC এর তিনটি কোণের সমষ্টি 180°]
=90°
∴ AX,YZ -এর উপর লম্ব। [প্রমাণিত]
10. একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তর্লিখিত। ∠BAC,∠ABC ও ∠ACB এর সমদ্বিখন্ডক বৃত্তে যথাক্রমে X,Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি ∆XYZ -এর \(\angle\ YXZ=90°-\frac{\angle BAC}{2}\)
প্রদত্তঃ
ABC ত্রিভুজটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত।
\(\angle BAC,\ \angle ABC\) ও \(\angle ACB\) -এর সমদ্বিখন্ডক বৃত্তে যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
∆XYZ -এর \(\angle\ YXZ=90°-\frac{\angle BAC}{2}\)
প্রমাণঃ
\(\angle AXY\) ও \(\angle ABY\) একই বৃত্তাংশস্থ কোণ
∴ \(\angle AXY=\angle ABY\) (1)
\(\angle AXZ\) ও \(\angle ACZ\) একই বৃত্তাংশস্থ কোণ
∴ \(\angle AXZ=\angle ACZ\) (2)
∆ABC থেকে পাই,
\(\angle ABC+\angle ACB=180°-∠BAC\)
∆XYZ -এর \(\angle YXZ=\angle AXY+\angle AXZ\)
\(=\angle ABY\ +\angle ACZ\)
[ (1) নং ও (2) নং থেকে পাই]
\(=\frac{1}{2}\angle ABC+\frac{1}{2}\angle ACB\)
\(=\frac{1}{2}\left(\angle A B C+\angle A C B\right)\)
\(=\frac{1}{2}180°-∠BAC\)
\(=90°-\frac{∠BAC}{2}\)
∴ ∆XYZ -এর \(\angle\ YXZ=90°-\frac{\angle BAC}{2}\) [প্রমাণিত]
11. ∆ABC -এর A বিন্দু দিয়ে BC বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব BC বাহুকে D বিন্দুতে এবং B বিন্দু থেকে CA বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব CA বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
প্রদত্তঃ
∆ABC -এর A বিন্দু দিয়ে BC বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব BC বাহুকে D বিন্দুতে এবং B বিন্দু থেকে CA বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব CA বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
অঙ্কনঃ D, E যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ
∆EBC এবং ∆ADC থেকে পাই,
\(\angle BEC=\angle ADC=90°\)
\(\angle ECD\) সাধারণ কোণ
∴ অবশিষ্ট \(\angle EBC=\) অবশিষ্ট \(\angle CAD\)
∴ \(\angle EBD=\angle EAD\)
DE এর একই পার্শ্বে অবস্থিত \(\angle EBD\) ও \(\angle EAD\) কোণদুটি সমান।
∴ A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। [প্রমাণিত]
12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
∠ACB=30°,∠ABC=60°,∠DAB=35°
এবং ∠DBC=x° হলে, x -এর মান
(a) 35 (b) 70 (c) 65 (d) 55
∆ABC থেকে পাই,
\(\angle BAC=180°-∠ACB-∠ABC\)
=180°-30°-60°=90°
\(\angle CAD=\angle BAC-\angle DAB=90°-35°=55°\)
\(\angle CAD\) ও \(\angle CBD\) একই বৃত্তাংশস্থ বৃত্তস্থ কোণ
∴ \(\angle CBD=\angle CAD\)
∴ \(\angle DBC=55°\)
উত্তরঃ (d) 55
(ii)
(ii). পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠BAD=65°,∠BDC=45° হলে, ∠CBD -এর মান
(a) 65° (b) 45° (c) 40° (d) 20°
∠BAC এবং ∠BDC একই বৃত্তাংশস্থ বৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠BAC=∠BDC=45°
∠CAD=∠BAD-∠BAC=65°-45°=20°
∠CBD এবং ∠CAD একই বৃত্তাংশস্থ বৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠CBD=∠CAD=20°
উত্তরঃ (d) 20°
(iii)
(iii). পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠AEB=110° এবং ∠CBE=30° হলে, ∠ADB -এর মান
(a) 70° (b) 60° (c) 80° (d) 90°
∆BEC এর বহিঃস্থ কোণ ∠AEB=∠BCE+∠CBE
∴ ∠BCE= ∠AEB-∠CBE =110°-30°=80°
∴ ∠ACB=80°
∠ADB এবং ∠ACB একই বৃত্তাংশস্থ বৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ADB=∠ACB=80°
উত্তরঃ (c) 80°
(iv)
পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠BCD=28°,∠AEC=38° হলে, ∠AXB -এর মান
(a) 56° (b) 86° (c) 38° (d) 28°
∠BAD এবং ∠BCD একই বৃত্তাংশস্থ বৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠BAD=∠BCD=28°
∆ADE এর বহিঃস্থ কোণ
∠ADC=∠DAE+∠AED
=28°+38°=66°
∆XCD থেকে পাই,
∠CXD=180°-∠XCD-∠XDC
=180°-28°-66°= 86°
∴ ∠AXB= বিপ্রতীপ ∠CXD=86°
(v)
পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। AB||CD. ∠ABC=25° হলে, ∠CED -এর মান
(a) 80° (b) 50° (c) 25° (d) 40°
A,E এবং B,E যুক্ত করা হল।
∠AEB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠AEB=90°
∠AEC এবং ∠ABC একই বৃত্তাংশস্থ কোণ
∴ ∠AEC=∠ABC=25°
যেহেতু, AB||CD এবং BC ছেদক
∴ ∠BCD= একান্তর ∠ABC=25°
∠BED এবং ∠BCD একই বৃত্তাংশস্থ কোণ
∴ ∠BED=∠BCD=25°
∴ ∠CED=∠AEB-∠AEC-∠BED
=90°-25°-25°=40°
উত্তরঃ (d) 40°
(B) সত্য বা মিথ্যা লিখিঃ
(i)
পাশের চিত্রে AD ও BE যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের BC ও AC বাহুর উপর লম্ব। A,B,D,E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
উত্তরঃ সত্য
কষে দেখি
(ii). ABC ত্রিভুজের AB=AC; BE ও CF যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB -এর সমদ্বিখন্ডক এবং AC ও AB বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ নয়।
যদি BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB বাহুর উপর লম্ব হতো তাহলে B,C,E,F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ হবে।
উত্তরঃ মিথ্যা
(C) শূণ্যস্থান পূরণ করিঃ
(i). একই বৃত্তাংশস্থ বৃত্তস্থ কোণ ______________।
উত্তরঃ সমান
(ii). দুটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তার একই পার্শ্বে অপর দুটি বিন্দুতে সমান সম্মুখ কোণ উৎপন্ন করলে বিন্দু চারটি _________ হবে।
উত্তরঃ সমবৃত্তস্থ
(iii). একই বৃত্তে দুটি চাপ দ্বারা উৎপন্ন কোণ দুটি সমান হলে চাপ দুটির দৈর্ঘ্য ________।
উত্তরঃ সমান
13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্নঃ
(i)
পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র, AC ব্যাস এবং জ্যা DE ও ব্যাস AC সমান্তরাল। ∠CBD=60° হলে, ∠CDE এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
A,B যুক্ত করা হল।
∠ABC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ABC=90°
∠ABD = ∠ABC-∠CBD
= 90°-60 °=30°
∠ACD ও ∠ABD একই বৃত্তাংশস্থ কোণ
∴ ∠ACD=∠ABD=30°
AC||DE এবং DC ছেদক
∴ ∠CDE= একান্তর ∠CDE=30°
সুতরাং, ∠CDE=30°
(ii). 
পাশের চিত্রে ∠PQR এর সমদ্বিখন্ডক QS; ∠SQR=35° এবং ∠PRQ=32° হলে, ∠QSR এর মান নির্ণয় করি।
∠PQR এর সমদ্বিখন্ডক QS
∴ ∠PQR=2∠SQR=2×35°=70°
∆PQR থেকে পাই,
∠QPR=180°-∠PQR-∠PRQ
=180°-70°-32°=78°
∠QSR এবং ∠QPR একই বৃত্তাংশস্থ বৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠QSR=∠QPR=78°
সুতরাং, ∠QSR=78°
(iii) 
পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। AB ও CD পরস্পর লম্ব এবং ∠ADC=50°; ∠CAD এর মান নির্ণয় করি।
ধরি, AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ACB=90°
∠ABC এবং ∠ADC একই বৃত্তাংশস্থ বৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ABC=∠ADC=50°
∆ABC থেকে পাই,
∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC
=180°-90°-50°=40°
∆APD থেকে পাই,
∠PAD=180°-∠APD-∠ADP
=180°-90°-50°=40°
∴ ∠CAD=∠BAC+∠PAD=40°+40°=80°
(iv) 
পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB=AC; ∠ABC=32° হলে, ∠BDC এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
∆ABC এর AB=AC
∴ ∠ACB=∠ABC=32°
∠ADB এবং ∠ACB একই বৃত্তাংশস্থ বৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ADB=∠ACB=32°
আবার, ∠ADC এবং ∠ABC একই বৃত্তাংশস্থ বৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ADC=∠ABC=32°
∴ ∠BDC=∠ADB+∠ADC=32°+32°=64°
সুতরাং, ∠BDC= 64°
(v)
পাশের চিত্রে BX ও CY যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB এর সমদ্বিখন্ডক। AB=AC এবং BY=4 সেমি. হলে, AX এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
∆ABC এর AB=AC
∴ ∠ACB=∠ABC
বা, 1/2∠ACB=1/2∠ABC
বা, ∠BCY=∠ABX
AX ও BY বৃত্তচাপদুটির বৃত্তস্থ কোণ যথাক্রমে ∠ABX ও ∠BCY
আবার, ∠ABX = ∠BCY
সুতরাং, AX=BY=4 সেমি.
0 Comments