26. রাশিবিজ্ঞানঃ গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান । কষে দেখি 26.4 | Exercise 26.4 solution | গণিত প্রকাশ X সমাধান | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
কষে দেখি 26.4 সমাধান
1. আমাদের 16 জন বন্ধুর প্রতিদিন স্কুলে যাতায়াত ও অন্যান্য খরচের জন্য প্রাপ্ত টাকার পরিমাণ,
15, 16, 17, 18, 17, 19, 17, 15, 15, 10, 17, 16, 15, 16, 18, 11
আমাদের বন্ধুদের প্রতিদিন পাওয়া অর্থের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
আমাদের বন্ধুদের প্রতিদিন পাওয়া অর্থের তথ্যটি মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,
10, 11, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 19
∴ প্রদত্ত তথ্যে 15 এবং 17 সবচেয়ে বেশিবার আছে।
∴ প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 15 টাকা এবং 17 টাকা
2. নীচে আমাদের শ্রেণির কিছু ছাত্রছাত্রীদের উচ্চতা (সেমি.) হলো,
131, 130, 130, 132, 131, 133, 131, 134, 131, 132, 132, 131,
133, 130, 132, 130, 133, 135, 131, 135, 131, 135, 130, 132,
135, 134, 133
ছাত্রছাত্রীদের উচ্চতার সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ছাত্রছাত্রীদের উচ্চতার তথ্যগুলি ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,
130, 130, 130, 130, 130, 131, 131, 131, 131, 131,
131, 131, 132, 132, 132, 132, 132, 133, 133, 133, 133,134, 134, 135, 135, 135, 135
∴ প্রদত্ত তথ্যে 135 সবচেয়ে বেশিবার আছে।
∴ তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান 131 সেমি.
3. নীচের তথ্যের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।
(i) 8, 5, 4, 6, 7, 4, 4, 3, 5, 4, 5, 4, 4, 5, 5, 4, 3
3, 5, 4, 6, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 2, 3, 4
সমাধানঃ
প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলি মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,
2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8
∴ প্রদত্ত তথ্যে 4 সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার আছে।
∴ প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 4
3. নীচের তথ্যের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।
(ii) 15, 11, 10, 8, 15, 18, 17, 15, 10, 19, 10, 11, 10, 8, 19,
15, 10, 18, 15, 3, 16, 14, 17, 2
সমাধানঃ
প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুলি মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,
2, 3, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19
∴ প্রদত্ত তথ্যে 10 ও 15 সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার আছে।
∴ প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 10 ও 15
4. আমাদের পাড়ার একটি জুতোর দোকানে একটি বিশেষ কোম্পানীর জুতো বিক্রির পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা হলো,
উপরের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
উপরের ছকে 4 ও 6 প্রত্যেকে 5 বার করে আছে।
∴ প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 4 ও 6
5. একটি প্রবেশিকা পরীক্ষায় পরিক্ষার্থীদের বয়সের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।
উপরের পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 75
∴ সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণি (18 – 20)
∴ তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান
\(=l+\left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right)\times h\)
[এখানে, \(l=18,\ h=2,\ f_1=75,\)
\( f_0=45,\ f_2=38\)]
\(=18+\left(\frac{75-45}{2\times75-45-38}\right)\times2\)
\(=18+\left(\frac{30}{150-83}\right)\times2\)
\(=18+\frac{30}{67}\times2\)
\(=\left(18+0.9\right)\) (প্রায়)
\(=18.9\) (প্রায়)
∴ নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান 18.90 বছর (প্রায়)
6. শ্রেণীর একটি পর্যায়ক্রমিক পরীক্ষায় 80 জন ছাত্রছাত্রীর প্রাপ্ত নম্বরের পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা দেখি ও সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
উপরের পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 22
∴ সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণি (20 – 25)
∴ তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান
\(=l+\left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right)\times h\)
[এখানে, \(l=20,\ h=5,\ f_1=22,\)
\(\ f_0=16,\ f_2=11\)]
\(=\ 20+\left(\frac{22-16}{2\times22-16-11}\right)\times5\)
\(=\ 20+\left(\frac{6}{44-27}\right)\times5\)
\(=\ 20+\frac{6}{17}\times5\)
\(=\ \left(20+1.76\right)\) (প্রায়)
\(=\ 21.76\) (প্রায়)
7. নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।
উপরের পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 28
∴ সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণি (15 – 20)
∴ তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান
\(=l+\left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right)\times h\)
[এখানে, \(l=15,\ h=5,\ f_1=28,\ \)
\(f_0=18,\ f_2=17\)]
\(=\ 15+\left(\frac{28-18}{2\times28-18-17\ \ }\right)\times5\)
\(=\ 15+\left(\frac{10}{56-35}\right)\times5\)
\(=\ 15+\frac{10}{21}\times5\)
\(=\ \left(15+2.38\right)\) (প্রায়)
\(=\ 17.38\) (প্রায়)
8. নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি।
পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকাটি হল
উপরের পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 32
∴ সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণি \((74.5\ – 84.5)\)
∴ তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান
\(=l+\left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right)\times h\)
[এখানে, \(l=74.5,\ h=10,\ f_1=32,\)
\(\ f_0=19,\ f_2=12\)]
\(=\ 74.5+\left(\frac{32-19}{2\times32-19-12}\right)\times10\)
\(=\ 74.5+\left(\frac{13}{64-31}\right)\times10\)
\(=74.5+\frac{130}{33}\)
\(=\ \left(74.5+3.94\right)\) (প্রায়)
\(=\ 78.44\) (প্রায়)
9. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্নঃ
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):
(i) একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের মধ্যমা যে লেখচিত্রের সাহায্যে পাওয়া যায় তা হলো,
(a) পরিসংখ্যা রেখা (b) পরিসংখ্যা বহুভুজ
(c) আয়তলেখ (d) ওজাইভ
উত্তরঃ (d) ওজাইভ
(ii) 6, 7, x, 8, y, 14 সংখ্যাগুলির গড় 9 হলে,
(a) x+y=21 (b) x+y=19
(c) x-y=21 (d) x-y=19
সমাধানঃ
\(\frac{6+7+x+8+y+14}{6}=9\)
বা, \(\frac{35+x+y}{6}=9\)
বা, \(35+x+y=54\)
∴ \(x+y=54-35=19\)
উত্তরঃ (b) \(x+y=19\)
(iii) 30, 34, 35, 36, 37, 38, 39 তথ্যে 35 না থাকলে মধ্যমা বৃদ্ধি পায়
(a) 2 (b) 1.5 (c) 1 (d) 0.5
সমাধানঃ
প্রদত্ত তথ্যটি হল 30, 34, 35, 36, 37, 38, 39
∴ মধ্যমা \(=\left(\frac{7+1}{2}\right)\) তম পদ = চতুর্থ পদ =36
প্রদত্ত তথ্যে 35 না থাকলে তথ্যটি হবে 30, 34, 36, 37, 38, 39
∴ মধ্যমা \(=\frac{36+37}{2}=36.5\)
∴ মধ্যমা বৃদ্ধি পাবে =\left(36.5-36\right)=0.5
উত্তরঃ (d) 0.5
(iv) 16, 15, 17, 16, 15, x, 19, 17, 14 তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 15 হলে x এর মান
(a) 15 (b) 16 (C) 17 (d) 19
উত্তরঃ (a) 15
[প্রদত্ত তথ্যটিতে 15, 16 ও 17 উভয়েই সবচেয়ে বেশিবার অর্থাৎ 2 বার করে আছে। কিন্তু সংখ্যাগুরুমান 15 তাই x=15 হলে প্রদত্ত তথ্যটিতে 15 সবচেয়ে বেশিবার অর্থাৎ 3 বার হবে।]
(v) ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজানো 8, 9, 12, 17, x+2, x+4, 30, 31, 34, 39 তথ্যের মধ্যমা 24 হলে, x এর মান
(a) 22 (b) 21 (C) 20 (d) 24
সমাধানঃ
এখানে n=10
∴ মধ্যমা
\(=\frac{1}{2}\)(5 তম মান + 6 তম মান )
\(=\frac{1}{2}(x+2+x+4)\)
\(=\frac{1}{2}\times\left(2x+6\right)\)
\(=\frac{1}{2}\times2\left(x+3\right)\)
\(=x+3\)
শর্তানুসারে,
x+3=24
∴ x=24-3=21
উত্তরঃ (b) 21
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) 2, 3, 9, 10, 9, 3, 9 তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 10
উত্তরঃ মিথ্যা
[উপরের তথ্যের সংখ্যাগুরুমান হবে 9]
(ii) 3, 14, 18, 20, 5 তথ্যের মধ্যমা 18
উত্তরঃ মিথ্যা
প্রদত্ত তথ্যকে উর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই, 3, 5, 14, 18, 20
∴ মধ্যমা = তৃতীয় পদ =14
(C) শূণ্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) যৌগিক গড়, মধ্যমা, সংখ্যাগুরুমান হলো ______ প্রবণতার মাপক।
উত্তরঃ কেন্দ্রীয়
(ii) \(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \ldots\ldots x_n\)এর গড় \(\bar{x}\) হলে, \({ax}_1,\ ax_2,\ {ax}_3,\ \ldots\ldots{ax}_n\) -এর গড় _______, যেখানে \(a\neq0\)
উত্তরঃ \(a.\bar{x}\)
যেহেতু, \(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \ldots\ldots x_n\) এর গড় \(\bar{x}\)
∴ \(\bar{x}=\frac{x_1+\ x_2+x_3,+\ldots{+x}_n}{n}\)
নির্ণেয় গড়
\(=\frac{ax_1+ax_2+{ax}_3,+\ldots{+ax}_n}{n}\)
\(=\frac{a(x_1+x_2+x_3,+\ldots{+x}_n)}{n}\)
\(=a.\frac{x_1+\ x_2+x_3,+\ldots{+x}_n}{n}\)
\(=a.\bar{x}\)
(iii) ক্রম বিচ্যুতি পদ্ধতিতে বিন্যস্ত রাশিতথ্যের যৌগিক গড় নির্ণয়ের সময় সকল শ্রেণির শ্রেণি-দৈর্ঘ্য _____।
উত্তরঃ সমান
10. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্নঃ
(i) 
উপরের পরিসংখ্যা বিভাজন ছকের মধ্যমা শ্রেণির উর্ধ্ব শ্রেণি-সীমানা এবং সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিম্ন শ্রেণি-সীমানার অন্তরফল নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
যেহেতু, n=77 ∴ \(\frac{n}{2}=38.5\)
38.5 এর থেকে ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা 42
∴ মধ্যমা শ্রেণি (125-145)
উপরের পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 20
∴ সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি (125 – 145)
মধ্যমা শ্রেণির ঊর্ধ্ব শ্রেণি-সীমানা 145
এবং সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিম্ন শ্রেণি-সীমানা 125
∴ মধ্যমা শ্রেণির ঊর্ধ্ব শ্রেণি-সীমানা এবং সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিম্ন শ্রেণি-সীমানার অন্তরফল (145 – 125) = 20
(ii) 150 জন অ্যাথলিট 100 মিটার হার্ডল রেস যত সেকেন্ড সম্পূর্ণ করে তার একটি পরিসংখ্যা বিভাজন ছক নীচে দেওয়া আছে।
14.6 সেকেন্ডের কম সময়ে কতজন অ্যাথলিট 100 মিটার দৌড় সম্পন্ন করে নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকঃ
উপরের ছক থেকে পাই,
14.6 সেকেন্ডের কম সময়ে 82 জন অ্যাথলিট 100 মিটার দৌড় সম্পন্ন করে।
(iii) একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের গড় 8.1, \(\sum{f_ix_i}\)=132+5k এবং \(\sum f_i\)=20 হলে, k -এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
পরিসংখ্যা বিভাজনের গড়
\(=\frac{\sum{f_ix_i}}{\sum f_i}=\frac{132+5k}{20}\)
শর্তানুসারে,
\(\frac{132+5k}{20}=8.1\)
বা, \(132+5k=162\)
বা, \(5k=162-132\)
∴ \(k=\frac{30}{5}=6\)
(iv) যদি \(u_i=\frac{x_i-25}{10}\), \(\sum{f_iu_i}\)=20 এবং \(\sum f_i\)=100 হয়, তাহলে \(\bar{x}\) এর মান নির্ণয় করি।
উপরের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে সংখ্যাগুরুমান শ্রেণিটি লিখি।
সমাধানঃ
এখানে, a=25 এবং h=10
∴ \(\bar{x}=a+\frac{\sum{f_iu_i}}{\sum f_i}\times h\)
\(=25+\frac{20}{100}\times10\)
\(=25+2=27\)
(v)
সমাধানঃ
পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকাটি হল
প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 30
∴ সংখ্যাগুরুমান শ্রেণিটি হল (30 – 40)
0 Comments