23. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি । কষে দেখি 23.1 | Exercise 23.1 solution | গণিত প্রকাশ X সমাধান | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
কষে দেখি 23.1 সমাধান
1. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এঁকেছি যার অতিভুজ AB=10 সেমি., ভূমি BC=8 সেমি. এবং লম্ব AC=6 সেমি.। \angle ABC এর sine এবং tangent এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
যার, AB=10 সেমি., BC=8 সেমি. এবং AC=6 সেমি.
2. সোমা একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এঁকেছে যার \(\angle ABC=90°\), AB=24 সেমি. এবং BC=7 সেমি.। হিসাব করে sinA, cosA, tanA ও cosecA এর মান লিখি।
সমাধানঃ
চিত্রে, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ
যার, \(\angle ABC=90°\),AB=24 সেমি. এবং BC=7 সেমি.
ABC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\({AC}^2={AB}^2+{BC}^2\)
বা, \({AC}^2={24}^2+7^2\)
বা, \({AC}^2=576+49\)
বা, \(AC=\sqrt{625}\)
∴ \(AC=25\) সেমি.
সমাধানঃ
চিত্রে, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ
যার, \(\angle ABC=90°\),BC=21 একক এবং AB=29 একক
ACB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\({AB}^2={BC}^2+{AC}^2\)
বা, \(\left(29\right)^2={(21)}^2+{AC}^2\)
বা, \({AC}^2=\left(29\right)^2-\left(21\right)^2\)
বা, \({AC}^2=841-441=400\)
∴ \(AC=\sqrt{400}=20\) একক
\(sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{21}{29}\)
\(cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{20}{29}\)
\(sinB=\frac{AC}{AB}=\frac{20}{29}\)
\(cosB=\frac{BC}{AB}=\frac{21}{29}\)
4. যদি \(cos\theta=\frac{7}{25}\) হয়, তাহলে \(\theta\) কোণের সকল ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
সমাধানঃ
\(cos\theta=\frac{7}{25}\)
ABC সমকোণী ত্রিভুজে \(\angle ABC=90°\)
এবং \(\angle BCA=\theta\)
ধরি, ভূমি BC=7k একক
এবং অতিভুজ AC=25k একক [যেখানে, k>0]
∴ লম্ব \(AB=\sqrt{{AC}^2-{BC}^2}\)
\(=\sqrt{{(25k)}^2-{(7k)}^2}\) একক
\(=\sqrt{625k^2-{49k}^2}\) একক
\(=\sqrt{576k^2}\) একক
\(=24k\) একক
\(sin\theta=\frac{24k}{25k}=\frac{24}{25}\)
\(tan\theta=\frac{24k}{7k}=\frac{24}{7}\)
\(cosec\theta=\frac{25k}{24k}=\frac{25}{24}\)
\(sec\theta=\frac{25k}{7k}=\frac{25}{7}\)
\(cot\theta=\frac{7k}{24k}=\frac{7}{24}\)
5. যদি \(cot\theta=2\) হয়, তাহলে \(tan\theta\) ও \(sec\theta\) এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে, \(1+tan^2\theta=sec^2\theta\)
সমাধানঃ
\(cot\theta=\frac{2}{1}\)
ABC সমকোণী ত্রিভুজে \(\angle ABC=90°\)
এবং \(\angle BCA=\theta\)
ধরি, ভূমি BC= 2k একক
এবং লম্ব AB= k একক [যেখানে, k>0]
∴ অতিভুজ \(AC=\sqrt{{AB}^2+{BC}^2}\)
\(=\sqrt{{(k)}^2+{(2k)}^2}\) একক
\(=\sqrt{k^2+{4k}^2}\) একক
\(=\sqrt{5k^2}\) একক
\(=\sqrt5k\) একক
∴ \(tan\theta=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}\)
\(sec\theta=\frac{\sqrt5k}{2k}=\frac{\sqrt5}{2}\)
∴ \(\ 1+tan^2\theta\)
\(=1+\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
\(=1+\frac{1}{4}\)
\(=\frac{4+1}{4}\)
\(=\frac{5}{4}\)
\(=\left(\frac{\sqrt5}{2}\right)^2\)
\(=\sec^2{\theta}\)
∴ \(1+tan^2\theta=sec^2\theta\) [প্রমাণিত]
6. \(cos\theta=0.6\) হলে, দেখাই যে, \((5sin\theta-3tan\theta)\)=0
সমাধানঃ
\(cos\theta=0.6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)
ABC সমকোণী ত্রিভুজে \(\angle ABC=90°\)
এবং \(\angle BCA=\theta\)
ধরি, ভূমি BC= 3k একক
এবং অতিভুজ AC= 5k একক [যেখানে, k>0]
∴ লম্ব \(AB=\sqrt{{AC}^2-{BC}^2}\)
\(=\sqrt{{(5k)}^2-{(3k)}^2}\) একক
\(=\sqrt{25k^2-{9k}^2}\) একক
\(=\sqrt{16k^2}\) একক
\(=4k\) একক
∴ \(sin\theta=\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}\)
\(tan\theta=\frac{4k}{3k}=\frac{4}{3}\)
∴ \(5sin\theta-3tan\theta\)
\(=5\times\frac{4}{5}-3\times\frac{4}{3}\)
\(=4-4=0\)
∴ \(5sin\theta-3tan\theta=0\) [প্রমাণিত]
7. যদি \(cotA=\frac{4}{7.5}\) হয়, তাহলে cosA এবং cosecA এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে, \(1+cot^2A=cosec^2A\)
সমাধানঃ
\(cotA=\frac{4}{7.5}=\frac{40}{75}=\frac{8}{15}\)
ধরি, ভূমি = 8k একক এবং লম্ব = 15k একক
∴ অতিভুজ \(=\sqrt{{(15k)}^2+{(8k)}^2}\) একক
\(=\sqrt{{225k}^2+{64k}^2}\) একক
\(=\sqrt{289k^2}\) একক
\(=17k\) একক
∴ \(cosA=\frac{8k}{17k}=\frac{8}{17}\)
\(cosecA=\frac{17k}{15k}=\frac{17}{15}\)
\(1+cot^2A\)
\(=1+\left(\frac{8}{15}\right)^2\)
\(=1+\frac{64}{225}\)
\(=\frac{225+64}{225}\)
\(=\frac{289}{225}\)
\(=\left(\frac{17}{15}\right)^2=cosec^2A\)
∴ \(1+cot^2A=\ cosec^2A\) [প্রমাণিত]
8. যদি \(sinC=\frac{2}{3}\) হয়, তবে \(cosC\times cosecC\) এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(sinC=\frac{2}{3}\)
ধরি, লম্ব = 2k একক এবং অতিভুজ = 3k একক
∴ ভূমি \(=\sqrt{{(3k)}^2-{(2k)}^2}\) একক
\(=\sqrt{{9k}^2-{4k}^2}\) একক
\(=\sqrt{{5k}^2}\) একক
\(=\sqrt5k\) একক
∴ \(cosC=\frac{\sqrt5k}{3k}=\frac{\sqrt5}{3}\)
\(cosecC=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}\)
∴ \(cosC\times cosecC=\frac{\sqrt5}{3}\times\frac{3}{2}=\frac{\sqrt5}{2}\)
9. নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি।
(i) tanA এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা বড়ো।
উত্তরঃ মিথ্যা
tanA=লম্ব/ভূমি
যদি লম্ব > ভূমি হয় তাহলে লম্ব/ভূমি>1 অর্থাৎ, tanA>1
যদি লম্ব <\ ভূমি হয় তাহলে লম্ব/ভূমি<1 অর্থাৎ, tanA<1
সুতরাং tanA এর মান 1 এর থেকে বড়ো অথবা ছোটো হতে পারে।
(ii) cotA এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা ছোটো।
উত্তরঃ মিথ্যা
cotA=ভূমি/লম্ব
যদি লম্ব > ভূমি হয় তাহলে ভূমি/লম্ব<1 অর্থাৎ, cotA<1
যদি লম্ব < ভূমি হয় তাহলে ভূমি/লম্ব <1 অর্থাৎ, cotA>1
সুতরাং cotA এর মান 1 এর থেকে বড়ো অথবা ছোটো হতে পারে।
(iii) একটি কোণ θ এর জন্য \(sinθ=\frac{4}{3}\) হতে পারে।
উত্তরঃ মিথ্যা
\(sin\theta=\frac{4}{3}=\)লম্ব/অতিভুজ
ধরি, লম্ব =4k একক এবং অতিভুজ =3k একক [যেখানে k>0]
এক্ষেত্রে, লম্ব > অতিভুজ
আবার সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজের দৈর্ঘ্য বৃহত্তম হয়।
∴ \(sin\theta=\frac{4}{3}\) কখনও হতে পারে না।
(iv) একটি কোণ α এর জন্য \(secα=\frac{12}{5}\) হতে পারে।
উত্তরঃ সত্য
\(sec\alpha=\frac{12}{5}=\)অতিভুজ/ভূমি
ধরি, অতিভুজ = 12k একক এবং ভূমি = 5k একক [যেখানে k>0]
এক্ষেত্রে, অতিভুজ > ভূমি
আবার সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজের দৈর্ঘ্য বৃহত্তম হয়।
∴ \(sec\alpha=\frac{12}{5}\) হতে পারে।
(v) একটি কোণ β(Beta) এর জন্য \(cosec β= \frac{5}{13}\) হতে পারে।
উত্তরঃ মিথ্যা
\(cosec\beta=\frac{5}{13}=\) অতিভুজ/লম্ব
ধরি, অতিভুজ = 5k একক এবং লম্ব = 13k একক [যেখানে k>0]
এক্ষেত্রে, অতিভুজ < লম্ব
আবার সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজের দৈর্ঘ্য বৃহত্তম হয়।
∴ \(\beta\) এর যে কোনো মানের জন্য \(cosec\beta=\frac{5}{13}\) কখনই হতে পারে না।
(vi) একটি কোণ \(\theta\) এর জন্য \(cosθ=\frac{3}{5}\) হতে পারে।
উত্তরঃ সত্য
\(cos\theta=\frac{3}{5}=\) ভূমি / অতিভুজ
ধরি, ভূমি = 3k একক এবং অতিভুজ = 5k একক [যেখানে k>0]
এক্ষেত্রে, অতিভুজ > ভূমি
আবার সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজের দৈর্ঘ্য বৃহত্তম হয়।
∴ θ এর যে কোনো মানের জন্য \(cos\theta=\frac{3}{5}\) হতে পারে।
0 Comments