19. বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা । কষে দেখি 19 | Exercise 19 solution | গণিত প্রকাশ X সমাধান | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
কষে দেখি 19 সমাধান
1. আনোয়ারদের বাড়ির সামনে একটি নিরেট লোহার স্তম্ভ আছে যার নীচের লম্ব বৃত্তাকার চোঙ আকৃতির এবং উপরের অংশ শঙ্কু আকৃতির। এদের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি., চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা 2.8 মিটার এবং শঙ্কু আকৃতি অংশের উচ্চতা 42 সেমি.। 1 ঘনসেমি. লোহার ওজন 7.5 গ্রাম হলে, লোহার স্তম্ভের ওজন কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
স্তম্ভটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
\(=\frac{20}{2}\) সেমি. = 10 সেমি.
চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা = 2.8 মিটার = 280 সেমি.
∴ চোঙাকৃতি অংশের আয়তন
\(=\frac{22}{7}\times{10}^2\times280\) ঘনসেমি.
\(=22\times100\times40\) ঘনসেমি.
= 88000 ঘনসেমি.
শঙ্কু আকৃতি অংশের উচ্চতা 42 সেমি.
∴ শঙ্কু আকৃতি অংশের আয়তন
\(=\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times{10}^2\times42\) ঘনসেমি.
\(=22\times100\times2\) ঘনসেমি.
= 4400 ঘনসেমি.
∴ লোহার স্তম্ভটির মোট আয়তন
= (88000+4400) ঘনসেমি.
= 92400 ঘনসেমি.
1 ঘনসেমি. লোহার ওজন 7.5 গ্রাম হলে লোহার স্তম্ভটির ওজন হবে
= 7.5×92400 গ্রাম
= 693000 গ্রাম = 693 কিগ্রা.
2. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 20 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 25 সেমি.। শঙ্কুটির সমান আয়তনবিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 15 সেমি. হলে, চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{{25}^2-{20}^2}\)\ সেমি.
= \(\sqrt{625-400}\)\ সেমি.
= \(\sqrt{225}\)\ সেমি.
= 15 সেমি.
∴ শঙ্কুর আয়তন
= \(\frac{1}{3}\pi\times{15}^2\times20\) ঘনসেমি.
ধরি, চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি.
∴ চোঙের আয়তন
= \(\pi\times\ r^2\times15\) ঘনসেমি.
শর্তানুসারে,
\(\pi\times\ r^2\times15=\frac{1}{3}\pi\times{15}^2\times20\)
বা, \(r^2=\frac{225\times20}{3\times15}\)
বা, \(r^2=100\)
∴ \(r=10\)
∴ চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য
= 2×10 সেমি. = 20 সেমি.
3. 24 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রে কিছু জল আছে। 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাস ও 4 সেমি. উচ্চতাবিশিষ্ট 60টি নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরো ওই জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে, জলতলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
শঙ্কু আকৃতির ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
= \(\frac{6}{2}\)\ সেমি. = 3 সেমি.
এবং উচ্চতা = 4 সেমি.
∴ 60 টি নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরোর আয়তন
= \(60\times\frac{1}{3}\pi\times3^2\times4\) ঘনসেমি.
= \(20\times\pi\times9\times4\) ঘনসেমি.
= \(720\pi\) ঘনসেমি.
চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
= \(\frac{24}{2}\) সেমি. = 12 সেমি.
ধরি, চোঙটির জলতলের উচ্চতা h সেমি. বৃদ্ধি পাবে।
h সেমি. উচ্চতাবিশিষ্ট চোঙের আয়তন
= \(\pi\times{12}^2\times\ h\) ঘনসেমি.
= \(144\pi\ h\) ঘনসেমি.
শর্তানুসারে,
\(144\pi\ h=720\pi\)
বা, \(h=\frac{720h}{144h}\)
∴ \(h=5\)
∴ চোঙটির জলতলের উচ্চতা 5 সেমি. বৃদ্ধি পাবে।
4. একই দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ এবং একই উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 5:8 হলে, উহাদের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, উহাদের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. এবং উচ্চতা h সেমি.
শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা
= \(\sqrt{h^2+r^2}\) সেমি.
∴ নিরেট শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(\pi\ r\times\sqrt{h^2+r^2}\) বর্গসেমি.
এবং লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(2\pi\ rh\) বর্গসেমি.
শর্তানুসারে,
\(\frac{\pi r\times\sqrt{h^2+r^2}}{2\pi rh}=\frac{5}{8}\)
বা, \(8\times\sqrt{h^2+r^2}=10h\)
বা, \(64(h^2+r^2)=100h^2\)
বা, \(64h^2+64r^2=100h^2\)
বা, \(64r^2=100h^2-64h^2\)
বা, \(64r^2=36h^2\)
বা, \(\frac{r^2}{h^2}=\frac{36}{64}\)
বা, \(\frac{r}{h}=\sqrt{\frac{9}{16}}\)
বা, \(\frac{r}{h}=\frac{3}{4}\)
∴ \(r:h=3:4\)
∴ উহাদের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত 3:4
5. 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে হিসাব করে দেখি।
সমাধানঃ
8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের নিরেট গোলকের আয়তন
= \(\frac{4}{3}\times\pi\times8^3\) ঘনসেমি.
= \(\frac{4}{3}\times\pi\times512\) ঘনসেমি.
1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাস বিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
= \(\frac{4}{3}\times\pi\times\left(\frac{1}{2}\right)^3\) ঘনসেমি.
= \(\frac{4}{3}\times\pi\times\frac{1}{8}\) ঘনসেমি.
∴ নির্ণেয় নিরেট গুলির সংখ্যা
= \(\frac{\frac{4}{3}\times\pi\times512}{\frac{4}{3}\times\pi\times\frac{1}{8}}\) টি
= 512×8 টি = 4096 টি
6. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার লোহার দন্ডের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 32 সেমি. এবং দৈর্ঘ্য 35 সেমি.। দন্ডটি গলিয়ে 8 সেমি. ব্যাসার্ধ ও 28 সেমি. উচ্চতাবিশিষ্ট কতগুলি নিরেট শঙ্কু পাওয়া যাবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
লম্ব বৃত্তাকার লোহার দন্ডের আয়তন
= \(\pi\times{32}^2\times35\) বর্গসেমি.
এবং নিরেট শঙ্কুর আয়তন
= \(\frac{1}{3}\pi\times8^2\times28\) ঘনসেমি.
∴ নির্ণেয় নিরেট শঙ্কুর সংখ্যা
= \(\frac{\pi\times{32}^2\times35\ }{\frac{1}{3}\pi\times8^2\times28}\) টি
= \(\frac{32\times32\times35\times3\ }{8\times8\times28}\) টি
= 60 টি
7. 4.2 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তাঁর আয়তন নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুটির ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হবে 4.2 ডেসিমি.
এবং উচ্চতা হবে 42 ডেসিমি.
∴ শঙ্কুটির ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
= \(\frac{4.2}{2}\) ডেসিমি. = 2.1 ডেসিমি.
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুটির আয়তন
= \(\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times{2.1}^2\times4.2\) ঘনডেসিমি.
=\(\frac{22}{21}\times\left(\frac{21}{10}\right)^2\times\frac{42}{10}\) ঘনডেসিমি.
= \(\frac{22\times21\times42}{100\times10}\) ঘনডেসিমি.
= \(\frac{19404}{1000}\)\ ঘনডেসিমি.
= 19.404 ঘনডেসিমি.
= \(19.404\times1000\) ঘনসেমি.
= 19404 ঘনসেমি.
∴ যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তাঁর আয়তন
19404 ঘনসেমি.
8. একটি নিরেট গোলক ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান ও তাদের ঘনফলও সমান হলে, চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা h একক
∴ নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
∴ চোঙের আয়তন = \(\pi\ r^2h\) ঘনএকক
এবং গোলকের আয়তন = \(\frac{4}{3}\pi\ r^3\) ঘনএকক
শর্তানুসারে,
\(\frac{4}{3}\pi\ r^3=\pi\ r^2h\)
বা, \(4\pi\ r^3=3\pi\ r^2h\)
বা, \(\frac{\pi r^3}{\pi r^2h}=\frac{3}{4}\)
বা, \(\frac{r}{h}=\frac{3}{4}\)
∴ \(h:r=3:4\)
∴ চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত 3:4
9. 6.6 ডেসিমি. দীর্ঘ, 4.2 ডেসিমি. প্রশস্ত এবং 1.4 ডেসিমি. পুরু একটি তামার নিরেট আয়তঘনাকার টুকরো গলিয়ে 2.1 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে এবং প্রতিটি গোলকে কত ঘনডেসিমি. ধাতু থাকবে হিসাব করে দেখি।
সমাধানঃ
নিরেট আয়তঘনাকার টুকরোর আয়তন
\(=6.6\times4.2\times1.4\) ঘনডেসিমি.
2.1 সেমি. ব্যাসবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
= \(\frac{4}{3}\times\frac{22}{7}\times\left(\frac{2.1}{2}\right)^3\) ঘনডেসিমি.
= \(\frac{88}{21}\times\left(\frac{21}{20}\right)^3\) ঘনডেসিমি.
= \(\frac{88}{21}\times\frac{21}{20}\times\frac{21}{20}\times\frac{21}{20}\) ঘনডেসিমি.
= \(\frac{11}{10}\times\frac{21}{10}\times\frac{21}{10}\) ঘনডেসিমি.
∴ নির্ণেয় নিরেট গোলকের সংখ্যা
= \(\frac{6.6\times4.2\times1.4}{\frac{11}{10}\times\frac{21}{10}\times\frac{21}{10}}\) টি
= \(\frac{66\times42\times14}{10\times10\times10}\times\frac{10}{11}\times\frac{10}{21}\times\frac{10}{21}\) টি
= 8 টি
এবং প্রতিটি গোলকে ধাতু থাকবে
= \(\frac{11}{10}\times\frac{21}{10}\times\frac{21}{10}\) ঘনডেসিমি.
= 4.851 ঘনডেসিমি.
10. 4.2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি সোনার নিরেট গোলক পিটিয়ে 2.8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দন্ড তৈরি করা হলে, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
সোনার নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 4.2 সেমি.
∴ নিরেট গোলকের আয়তন
= \(\frac{4}{3}\pi\times\left(4.2\right)^3\) ঘনসেমি.
লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের ব্যাসের দৈর্ঘ্য
= \(\frac{2.8}{2}\) সেমি. = 1.4 সেমি.
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির দৈর্ঘ্য h সেমি.
∴ লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের আয়তন
= \(\pi\times\left(1.4\right)^2\times\ h\) ঘনসেমি.
শর্তানুসারে,
\(\pi\times\left(1.4\right)^2\times\ h=\frac{4}{3}\pi\times\left(4.2\right)^3\)
বা, \(\frac{14}{10}\times\frac{14}{10}\times\ h=\frac{4}{3}\times\frac{42}{10}\times\frac{42}{10}\times\frac{42}{10}\)
বা, \(h=\frac{56}{10}\times\frac{42}{10}\times\frac{42}{10}\times\frac{10}{14}\times\frac{10}{14}\)
বা, \(h=\frac{504}{10}\)
∴ \(h=50.4\)
∴ দণ্ডটির দৈর্ঘ্য 50.4 সেমি.
11. 6 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট রৌপ্য গোলক গলিয়ে 1 ডেসিমি. লম্বা একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দন্ড তৈরি করা হলে, দন্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
নিরেট রৌপ্য গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{6}{2}\) ডেসিমি. = 3 ডেসিমি.
নিরেট রৌপ্য গোলকের আয়তন
= \(\frac{4}{3}\pi\times3^3\) ঘনডেসিমি.
= \(\frac{4}{3}\pi\times27\) ঘনডেসিমি.
= \(36\pi\) ঘনডেসিমি.
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r ডেসিমি.
∴ লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের আয়তন
= \(\pi\times\ r^2\times1\) ঘনডেসিমি.
= \(\pi\ r^2\) ঘনডেসিমি.
শর্তানুসারে,
\(\pi\ r^2=36\pi\)
বা, \(r^2=36\)
∴ \(r=6\)
∴ দন্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য
= 2×6 ডেসিমি. = 12 ডেসিমি.
12. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.2 ডেসিমি.। সেই দন্ডটি গলিয়ে 21টি নিরেট গোলক তৈরি করা হলো। গোলকগুলির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যদি 8 সেমি. হয়, তবে দন্ডটির দৈর্ঘ্য কত ছিল তা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, দন্ডটির দৈর্ঘ্য ছিল x সেমি.
দন্ডটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.2 ডেসিমি. = 32 সেমি.
∴ দন্ডটির আয়তন
= \(\pi\times\left(32\right)^2\times\ x\) ঘনসেমি.
গোলকগুলির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8 সেমি.
∴ 21 টি গোলকের মোট আয়তন
= \(21\times\frac{4}{3}\pi\times8^3\) ঘনসেমি.
শর্তানুসারে,
\(\pi\times\left(32\right)^2\times\ x=21\times\frac{4}{3}\pi\times8^3\)
বা, \(1024\times\ x=28\times512\)
বা, \(x=\frac{28\times512}{1024}\)
∴ \(x=14\)
∴ দন্ডটির দৈর্ঘ্য ছিল 14 সেমি.
13. 21 ডেসিমি. দীর্ঘ, 11 ডেসিমি. প্রশস্ত এবং 6 ডেসিমি. গভীর একটি চৌবাচ্চা অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। এখন সেই চৌবাচ্চায় যদি 21 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 100টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডুবিয়ে দেওয়া হয়, তবে জলতল কত ডেসিমি. উঠবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
লোহার গোলকগুলির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{21}{2}\) সেমি.
∴ 100 টি লোহার গোলকের মোট আয়তন
= \(100\times\frac{4}{3}\times\frac{22}{7}\times\left(\frac{21}{2}\right)^3\) ঘনসেমি.
= \(100\times\frac{88}{21}\times\frac{21}{2}\times\frac{21}{2}\times\frac{21}{2}\times\frac{1}{1000}\) ঘনডেসিমি.
= 485.1 ঘনডেসিমি.
ধরি, জলতল h ডেসিমি. উপরে উঠবে
শর্তানুসারে,
\(21\times11\times\ h=485.1\)
বা, \(h=\frac{485.1}{21\times11}\)
∴ \(h=2.1\)
∴ জলতল 2.1 ডেসিমি. উঠবে।
14. সমান ভূমিতলের ব্যাস এবং সমান উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু, একটি নিরেট অর্ধগোলক এবং একটি নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
প্রত্যেকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য সমান।
সুতরাং প্রত্যেকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান।
ধরি, প্রত্যেকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
অর্ধগোলকের উচ্চতা = শঙ্কুর উচ্চতা = চোঙের উচ্চতা
∴ শঙ্কুর উচ্চতা = চোঙের উচ্চতা =r একক
∴ নিরেট শঙ্কু, নিরেট অর্ধগোলক এবং নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত
= \(\frac{1}{3}\pi\ r^2.r∶\ \frac{2}{3}\pi\ r^3∶\ \pi\ r^2.r\)
= \(r^3∶\ 2r^3∶\ 3r^3\)
= \(1:2:3\)
15. 1 সেমি. পুরু সিসার পাতের তৈরি একটি ফাঁপা গোলকের বাহিরের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.। গোলকটি গলিয়ে 2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দন্ড তৈরি করা হলে, দন্ডটির দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
গোলকটির বাইরের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.
এবং ভিতরের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (6-1) সেমি. =5 সেমি.
∴ গোলকটির আয়তন
= \(\frac{4}{3}\pi\left\{6^3-5^3\right\}\) ঘনসেমি.
=\(\frac{4}{3}\pi\left\{216-125\right\}\) ঘনসেমি.
= \(\frac{4}{3}\pi\times91\) ঘনসেমি.
= \(\frac{364\pi}{3}\) ঘনসেমি.
লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2 সেমি.
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের দৈর্ঘ্য h সেমি.
∴ লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের আয়তন
= \(\pi\times2^2\times\ h\) ঘনসেমি.
= \(4\pi\ h\) ঘনসেমি.
শর্তানুসারে,
\(4\pi\ h=\frac{364\pi}{3}\)
বা, \(h=\frac{364\pi}{3\times4\pi}\)
বা, \(h=\frac{91}{3}\)
∴ \(h=30\frac{1}{3}\)
∴ দন্ডটির দৈর্ঘ্য \(30\frac{1}{3}\) সেমি.
16. 2 মিটার লম্বা একটি আয়তঘনাকার কাঠের লগের প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 14 ডেসিমি.। সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে ওই লগটিকে যদি একটি লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়িতে পরিণত করা যায়, তবে তাতে কত ঘনমিটার কাঠ থাকবে এবং কত ঘনমিটার কাঠ নষ্ট হবে হিসাব করি।
সমাধানঃ
আয়তঘনাকার কাঠের লগের আয়তন
= 14×14×20 ঘনডেসিমি.
= 3920 ঘনডেসিমি.
= \(\frac{3920}{1000}\) ঘনডেসিমি.
= 3.92 ঘনডেসিমি.
যে লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়িটি তৈরি করা যাবে তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য হবে
14 ডেসিমি. =1.4 মিটার
∴ লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়িটি ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
\(=\frac{1.4}{2}\) মিটার =0.7 মিটার
লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুঁড়িটির দৈর্ঘ্য 2 মিটার
∴ লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুঁড়ির আয়তন
= \(\frac{22}{7}\times0.7\times0.7\times2\) ঘনমিটার
= 3.08 ঘনমিটার
এবং কাঠ নষ্ট হবে
=(3.92-3.08) ঘনমিটার
=0.84 ঘনমিটার
∴ গুড়িটিতে 3.08 ঘনমিটার কাঠ থাকবে এবং 0.84 ঘনমিটার কাঠ নষ্ট হবে।
17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে r একক উচ্চতার একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করা হলো। শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
(a) 2r একক (b) 3r একক (c) r একক (d) 4r একক
সমাধানঃ
ধরি, শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য x একক
শর্তানুসারে,
\(\frac{1}{3}\pi\ x^2.r=\frac{4}{3}\pi\ r^3\)
বা, \(x^2=4r^2\)
বা, \(x^2=\left(2r\right)^2\)
∴ \(x=2r\)
উত্তরঃ (a) 2r একক
(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো যার উচ্চতা 5 সেমি.। শঙ্কুটির উচ্চতা
(a) 10 সেমি. (b) 15 সেমি. (c) 18 সেমি. (d) 24 সেমি.
সমাধানঃ
ধরি, উভয়ের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. এবং শঙ্কুর উচ্চতা h সেমি.
শর্তানুসারে,
\(\frac{1}{3}\pi\ r^2.h=\pi\ r^2\times5\)
বা, \(h=3\times5\)
∴ \(h=15\)
উত্তরঃ (b) 15 সেমি.
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা 2r একক। চোঙটির মধ্যে সর্ববৃহৎ যে গোলকটি রাখা যাবে তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য
(a) r একক (b) 2r একক (c) \(\frac{r}{2}\) একক (d) 4r একক
সমাধানঃ
চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
∴ চোঙের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2r একক
∴ চোঙটির মধ্যে সর্ববৃহৎ যে গোলকটি রাখা যাবে তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2r একক
উত্তরঃ (b) 2r একক
(iv) r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ সে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার আয়তন
(a) \(4\pi\ r^3\) ঘনএকক (c) \(\frac{\pi r^3}{4}\) ঘনএকক
(b) \(3\pi\ r^3\) ঘনএকক (d) \(\frac{\pi r^3}{3}\) ঘনএকক
সমাধানঃ
নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
∴ নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ সে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হবে r একক এবং উচ্চতা হবে h একক।
∴ নিরেট শঙ্কুর আয়তন
\(=\frac{1}{3}\pi\ r^2.r\) ঘনএকক
\(=\frac{\pi r^3}{3}\) ঘনএকক
উত্তরঃ (d) \(\frac{\pi r^3}{3}\)ঘনএকক
(v) x একক দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সর্ববৃহৎ একটি নিরেট গোলক কেটে নেওয়া হলে, গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য (a) x একক (b) 2x একক (c) \(\frac{x}{2}\) একক (d) 4x একক
সমাধানঃ
নিরেট ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য x একক
∴ নিরেট ঘনক থেকে সর্ববৃহৎ একটি নিরেট গোলক কেটে নেওয়া হলে, গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হবে x একক
উত্তরঃ (a) x একক
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) দুটি একই ধরনের নিরেট অর্ধগোলক যাদের ভূমিতলের প্রত্যেকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং তা ভূমি বরাবর জোড়া হলে, মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে \(6\pi\ r^2\) বর্গএকক।
মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
\(=2\times\) অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
\(=2\times\frac{2}{3}\pi\ r^2\) বর্গএকক
\(=\frac{4}{3}\pi\ r^2\) বর্গএকক
উত্তরঃ মিথ্যা
(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা h একক এবং তির্যক উচ্চতা l একক। শঙ্কুটির ভূমিতলকে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমিতল বরাবর জুড়ে দেওয়া হলো। যদি চোঙের ও শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা একই হয় তবে মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(\left(\pi rl\ +2\pi rh+2\pi r^2\right)\) বর্গএকক।
মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল
+ চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
+ চোঙের ভূমিতলের ক্ষেত্রফল
\(=\left(\pi rl\ +2\pi rh+\pi r^2\right)\) বর্গএকক
উত্তরঃ মিথ্যা
(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ ও দুটি অর্ধগোলকের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান। দুটি অর্ধগোলককে চোঙটির দুটি সমতলে আটকে দেওয়া হলে নতুন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = একটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল + ____ বক্রতলের ক্ষেত্রফল + অপর অর্ধগোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল।
উত্তরঃ চোঙের
(ii) একমুখ কাটা একটি পেনসিলের আকার শঙ্কু ও ____ সমন্বয়।
উত্তরঃ চোঙের
(iii)একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো। গোলক ও চোঙের আয়তন ______।
উত্তরঃ সমান
18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো। উভয়ের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান। যদি শঙ্কুর উচ্চতা 15 সেমি. হয়, তাহলে নিরেট চোঙের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, উভয়ের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি.
এবং নিরেট চোঙের উচ্চতা h সেমি.
∴ শঙ্কুর আয়তন \(=\frac{1}{3}\pi\ r^2\times15\) ঘনসেমি.
এবং চোঙের আয়তন \(=\pi\ r^2h\) ঘনসেমি.
শর্তানুসারে,
\(\pi\ r^2h\ =\frac{1}{3}\pi\ r^2\times15\)
∴ \(h=5\)
∴ নিরেট চোঙের উচ্চতা 5 সেমি.
(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং আয়তন সমান। গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত কত তা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, উভয়ের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং শঙ্কুর উচ্চতা h একক
গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2r একক
শর্তানুসারে,
\(\frac{4}{3}\pi\ r^3=\frac{1}{3}\pi\ r^2.h\)
বা, \(4r=h\)
বা, \(\frac{r}{h}=\frac{1}{4}\)
বা, \(\frac{2r}{h}=\frac{2}{4}\)
বা, \(\frac{2r}{h}=\frac{1}{2}\)
∴ \(2r:h=1:2\)
∴ গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত 1:2
(iii) সমান দৈর্ঘ্যের ব্যাস এবং সমান উচ্চতাবিশিষ্ট নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধানঃ
প্রত্যেকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য সমান।
সুতরাং প্রত্যেকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান।
ধরি, প্রত্যেকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = শঙ্কুর উচ্চতা = চোঙের উচ্চতা
∴ শঙ্কুর উচ্চতা = চোঙের উচ্চতা =2r একক
∴ নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত
\(=\pi{.\left(r\right)}^2.2r∶\ \frac{1}{3}{\pi.\left(r\right)}^2.2r:\ \frac{4}{3}\pi\ r^3\)
\(=2r^3∶\ \frac{2}{3}\times\ r^3∶\ \frac{4}{3}r^3\)
\(=3:1:2\)\
(iv) একটি ঘনবস্তুর নীচের অংশ অর্ধগোলক আকারের এবং উপরের অংশ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারের। যদি দুটি অংশের তলের ক্ষেত্রফল সমান হয়, তাহলে ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, উভয়ের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং শঙ্কুর উচ্চতা h একক
শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা
\(=\sqrt{r^2+h^2}\) বর্গএকক
শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{3}\pi\ r.\sqrt{r^2+h^2}\) বর্গএকক
এবং অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{2}{3}\pi\ r^2\) বর্গএকক
শর্তানুসারে,
\(\frac{2}{3}\pi\ r^2=\frac{1}{3}\pi\ r.\sqrt{r^2+h^2}\)
বা, \(2r=\sqrt{r^2+h^2}\)
বা, \(4r^2=r^2+h^2\)
বা, \(4r^2-r^2=h^2\)
বা, \({3r}^2=h^2\)
বা, \(\frac{r^2}{h^2}=\frac{1}{3}\)
বা, \(\frac{r}{h}=\frac{1}{\sqrt3}\)
∴ \(r:h=1:\sqrt3\)
∴ ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত \(1:\sqrt3\)
(v) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান। গোলকের আয়তন শঙ্কুর আয়তনের দ্বিগুন হলে, শঙ্কুর উচ্চতা এবং ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, উভয়ের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
এবং শঙ্কুর উচ্চতা h একক
∴ শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3}\pi\ r^2h\) ঘনএকক
এবং গোলকের আয়তন = \(\frac{2}{3}\pi\ r^3\) ঘনএকক
শর্তানুসারে,
\(\frac{4}{3}\pi\ r^3=2\times\frac{1}{3}\pi\ r^2h\)
বা, \(2r=h\)
বা, \(\frac{r}{h}=\frac{1}{2}\)
বা, \(\frac{h}{r}=\frac{2}{1}\)
∴ \(r:h=2∶1\)
∴ শঙ্কুর উচ্চতা এবং ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2∶1
0 Comments