16. ত্রিভুজের কোণ ও বাহুর মধ্যে সম্পর্ক যাচাই | কষে দেখি 16.1 | Exercise 16.1 | Ganit Prabha Class VIII math solution | WBBSE Class 8 Math Solution in Bengali
গণিত প্রভা VIII কষে দেখি 16.1 সমাধান
1.
∆PQR এর \(\angle QPR>\angle PQR\)
যেহেতু, একটি ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতর কোণটির বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
∴ QR>PR
2. ∆ABC তে, AC>AB. AC বাহুর উপর D এমন একটি বিন্দু যে \(\angle ADB=\angle ABD;\) প্রমাণ করি যে, ∠ABC>∠ACB।
প্রদত্তঃ
∆ABC এর AC>AB
AC বাহুর উপর D এমন একটি বিন্দু যে \(\angle ADB=\angle ABD\)
প্রামাণ্যঃ \(\angle ABC>\angle ACB\)
প্রমাণঃ
∆BCD এর বহিঃস্থ কোণ
\(\angle ADB=\angle CBD\ +\angle BCD\)
∴ \(\angle ADB>\angle BCD\)
যেহেতু, \(\angle ADB=\angle ABD\)
∴ \(\angle ABD>\angle BCD\) (1)
\(\angle ABC=\angle ABD+\angle CBD\)
∴ \(\angle ABC>\angle ABD\) (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
\(\angle ABC>\angle BCD\)
∴ \(\angle ABC>\angle ACB\) [প্রমাণিত]
3. ABC ত্রিভুজে AB>AC; \(\angle BAC\) এর সমদ্বিখণ্ডক BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করি যে, BD>CD।
প্রদত্তঃ ABC ত্রিভুজে AB>AC; \(\angle BAC\) এর সমদ্বিখণ্ডক BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
অর্থাৎ \(\angle BAD=\angle CAD\)
প্রামাণ্যঃ BD>CD
অঙ্কনঃ AC এর সমান করে AB বাহুর উপর AE কেটে নিলাম।
প্রমাণঃ ∆ACD এবং ∆AED এর মধ্যে
AC=AE [অঙ্কনানুসারে]
\(\angle EAD=\angle CAD\)
[যেহেতু, \(\angle BAD=\angle CAD\)]
AD সাধারণ বাহু
∴ ∆ACD≅∆AED [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
∴ \(\angle ADC=\angle ADE\) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]
এবং DE=CD [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] (1)
∆ABD এর বহিঃস্থ কোণ
\(\angle ADC>\angle ABD\)
∴ \(\angle ADE>\angle ABD\) (2)
∆AED এর বহিঃস্থ কোণ
\(\angle BED>\angle ADE\) (3)
(2) নং ও (3) নং থেকে পাই,
\(\angle BED>\angle ABD\)
∴ \(\angle BED>\angle EBD\)
যেহেতু, একটি ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতর কোণটির বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
∴ BD>ED
∴ BD>CD [(1) নং থেকে পাই] [প্রমাণিত]
4. ABC ত্রিভুজে AD, BC বাহুর উপর লম্ব এবং AC>AB;
প্রমাণ করি যে, (i) \(\angle CAD>\angle BAD\)
(ii) DC>BD
ABC ত্রিভুজে AD, BC বাহুর উপর লম্ব এবং AC>AB
প্রামাণ্যঃ
(i) \(\angle CAD>\angle BAD\)
(ii) DC>BD
প্রমাণঃ
যেহেতু, \(AD\bot BC\)
∴ ∆ADC এবং ∆ADB উভয়েই সমকোণী ত্রিভুজ
ADC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\angle ACD+\angle CAD=90°\) (1)
ADB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\angle ABD+\angle BAD=90°\) (2)
ABC ত্রিভুজের AC>AB
∴ \(\angle ABC>\angle ACB\)
বা, \(\angle ABD>\angle ACD\)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
\(\angle ACD+\angle CAD=\angle ABD+\angle BAD\)
যেহেতু, \(\angle ABD>\angle ACD\)
∴ \(\angle CAD>\angle BAD\) [ (i) নং প্রমাণিত]
যেহেতু, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু > ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু
∴ DC>AB [ (ii) নং প্রমাণিত]
5. একটি চতুর্ভুজের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহু দুটি বিপরীত। প্রমাণ করি যে, বৃহত্তম বাহুর সন্নিহিত একটি কোণ তার বিপরীত কোণের চেয়ে ছোটো।
প্রদত্তঃ ABCD চতুর্ভুজের বৃহত্তম বাহু BC এবং ক্ষুদ্রতম বাহু AD পরস্পর বিপরীত বাহু।
প্রামাণ্যঃ \(\angle BCD<\angle BAD\)
অঙ্কনঃ AC কর্ণ অঙ্কন করলাম।
প্রমাণঃ ABCD চতুর্ভুজের বৃহত্তম বাহু BC
∴ AB<BC
∆ABC এর AB<BC
∴ \(\angle ACB<\angle BAC\) (1)
ABCD চতুর্ভুজের ক্ষুদ্রতম বাহু AD ∴ AD<DC
∆ADC এর AD<DC
∴ \(\angle ACD<\angle CAD\) (2)
(1) নং ও (2) নং যোগ করে পাই,
\(\angle ACB+\angle ACD<\angle BAC+\angle CAD\)
∴ \(\angle BCD<\angle BAD\) [প্রমাণিত]
6.
চিত্রে, AB<OB এবং CD>OD;
প্রমাণ করি যে, \(\angle BAO>\angle OCD\)
প্রমাণঃ
∆AOB এর AB<OB
∴ \(\angle AOB<\angle BAO\) (1)
∆COD এর CD>OD
\(\therefore\) \(\angle COD>\angle OCD\) (2)
আবার, \(\angle AOB=\) বিপ্রতীপ \(\angle COD\)
(1) নং থেকে পাই,
\(\angle COD<\angle BAO\) (3)
(2) নং ও (3) নং থেকে পাই,
\(\angle BAO>\angle COD\ >\angle OCD\)
∴ \(\angle BAO>\angle OCD\) [প্রমাণিত]
7.
∆PQR এর PQ>PR; PQ বাহু থেকে PR বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান করে PS সরলরেখাংশ কেটে নিলাম। R এবং S বিন্দু দুটি যুক্ত করলাম। প্রমাণ করি যে,
∆PQR এর PQ>PR; PQ বাহু থেকে PR বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান করে PS সরলরেখাংশ কেটে নিলাম। R এবং S বিন্দু দুটি যুক্ত করলাম। প্রমাণ করি যে,
(i) \(\angle PSR\ =\ \frac{1}{2}(\angle PQR+\angle PRQ)\ \)
(ii) \(\angle QRS\ =\ \frac{1}{2}(\angle PRQ-\angle PQR)\)
∆PQR এর PQ>PR; PQ বাহু থেকে PR বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান করে PS সরলরেখাংশ কেটে নিলাম। R এবং S বিন্দু দুটি যুক্ত করলাম।
প্রামাণ্যঃ
(i) \(\angle PSR\ =\ \frac{1}{2}(\angle PQR+\angle PRQ)\)
(ii) \(\angle QRS\ =\ \frac{1}{2}(\angle PRQ-\angle PQR)\)
প্রমাণঃ
∆PSR এর PR=PS
∴ \(\angle PSR=\angle PRS\)
(i)
∆QSR ত্রিভুজ এর বহিঃস্থ কোণ
\(\angle PSR=\angle SQR+\angle SRQ\)
বা, \(\angle PSR=\angle PQR+\angle PRQ-\angle PSR\)
বা, \(\angle PSR+\angle PSR\ =\angle PQR+\angle PRQ\)
বা, \(2\angle PSR=\angle PQR+\angle PRQ\)
∴ \(\angle PSR=\frac{1}{2}(\angle PQR+\angle PRQ)\) [প্রমাণিত]
(ii)
∆QSR ত্রিভুজ এর বহিঃস্থ কোণ
\(\angle PSR=\angle SQR+\angle QRS\)
বা, \(\angle QRS=\angle PSR-\angle SQR\)
বা, \(\angle QRS=\angle PRS-\angle PQR\)
বা, \(\angle QRS=\angle PRQ-\angle QRS-\angle PQR\)
বা, \(\angle QRS+\angle QRS=\angle PRQ-\angle PQR\)
বা, \(2\angle QRS=\angle PRQ-\angle PQR\)
∴ \(\angle QRS=\frac{1}{2}(\angle PRQ-\angle PQR)\) [প্রমাণিত]
8. ABC ত্রিভুজে, AB>AC; \(\angle BAC\) এর সমদ্বিখণ্ডক BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে। AB বাহু থেকে AC এর দৈর্ঘ্যের সমান করে AE সরলরেখাংশ কেটে নিলাম। D,E যুক্ত করলাম। প্রমাণ করি যে,
(i) ∆ACD≅∆AED
(ii) \(\angle ACB>\angle ABC\)
ABC ত্রিভুজে, AB>AC, \(\angle BAC\) এর সমদ্বিখণ্ডক BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে। AE=AC
প্রামাণ্যঃ
(i) ∆ACD≅∆AED
(ii) \(\angle ACB>\angle ABC\)
প্রমাণঃ
∆ACD এবং ∆AED এর মধ্যে
AE=AC [প্রদত্ত]
\(\angle DAE=\angle DAC\) [AD, \(\angle BAC\) এর সমদ্বিখণ্ডক]
AD সাধারণ বাহু
∴ ∆ACD≅∆AED [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
[(i)নং প্রমাণিত]
∴ \(\angle AED=\angle ACD\) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]
∆BED এর বহিস্থ কোণ
\(\angle AED=\angle EBD+\angle BDE\)
∴ \(\angle ACD=\angle EBD+\angle BDE\)
বা, \(\angle ACB=\angle ABC+\angle BDE\)
[ ∵\(\angle ABC=\angle EBD\)
এবং \(\angle ACB=\angle ACD\) ]
∴ \(\angle ACB>\angle ABC\) [(ii)নং প্রমাণিত]
প্রমাণ করি যে, OB<OD]
প্রমাণঃ
∆OCD এর \(\angle OCD>\angle COD\)
∴ OD>CD (1)
∆AOB এর \(\angle OAB<\angle AOB\)
∴ OB<AB
যেহেতু, AB=CD
∴ OB<CD (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
OB<CD<OD
∴ OB<OD [প্রমাণিত]
10. প্রমাণ করি যে, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ বৃহত্তম বাহু।
প্রদত্তঃ
ABC সমকোণী ত্রিভুজের \(\angle B\) সমকোণ অতিভুজ AC
প্রামাণ্যঃ অতিভুজ AC হল বৃহত্তম বাহু।
অর্থাৎ, AC>AB এবং AC>BC
প্রমাণঃ
ABC সমকোণী ত্রিভুজের
\(\angle B>\angle A\) [∵ সমকোণ > সুক্ষকোণ]
∴ AC>BC
আবার, \(\angle B>\angle C\) [∵সমকোণ > সুক্ষকোণ]
∴ AC>AB
∴ AC>AB এবং AC>BC
সুতরাং, অতিভুজ AC হল বৃহত্তম বাহু। [প্রমাণিত]
11. প্রমাণ করি যে, স্থূলকোণী ত্রিভুজে স্থূলকোণের বিপরীত বাহু বৃহত্তম।
প্রদত্তঃ ABC স্থূলকোণী ত্রিভুজের \(\angle B\) স্থূলকোণ । স্থূলকোণের বিপরীত বাহু AC
প্রামাণ্যঃ AC হল বৃহত্তম বাহু ।
অর্থাৎ, AC>AB এবং AC>BC
প্রমাণঃ
ABC স্থূলকোণী ত্রিভুজের
\(\angle B>\angle A\) [∵স্থূলকোণ > সুক্ষকোণ]
∴ AC>BC
আবার, \(\angle B>\angle C\) [∵স্থূলকোণ > সুক্ষকোণ]
∴ AC>AB
∴ AC>AB এবং AC>BC
সুতরাং, AC হল বৃহত্তম বাহু।
12. ABC ত্রিভুজের \(\angle ABC\) ও \(\angle ACB\) এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় I বিন্দুতে মিলিত হয়। যদি AB>AC হয়, প্রমাণ করি যে, IB>IC ।
প্রদত্তঃ ABC ত্রিভুজের \(\angle ABC\) ও \(\angle ACB\) এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় I বিন্দুতে মিলিত হয় এবং AB>AC
প্রামাণ্যঃ IB>IC
প্রমাণঃ
ABC ত্রিভুজের AB>AC
∴ ∠ACB>∠ABC (1)
BI, \(\angle ABC\) এর সমদ্বিখন্ডক
∴ \(\angle ABC=2\angle IBC\)
CI, \(\angle ACB\) এর সমদ্বিখন্ডক
∴ \(\angle ACB=2\angle ICB\)
(1) নং থেকে পাই,
\(2\angle ICB>2\angle IBC\)
বা, \(\angle ICB>\angle IBC\)
∴ IB>IC [প্রমাণিত]
0 Comments