16. ত্রিভুজের কোণ ও বাহুর মধ্যে সম্পর্ক যাচাই | কষে দেখি 16.1 | Exercise 16.1 | Ganit Prabha Class VIII math solution | WBBSE Class 8 Math Solution in Bengali
গণিত প্রভা VIII কষে দেখি 16.1 সমাধান
1. নীচের প্রতিক্ষেত্রে (x) এর মান লিখিঃ
(i) DC বাহুকে বর্ধিত করা হল যা AB বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∆ADE এর বহিঃস্থ কোণ \(\angle BED\)
∴ \(\angle BED=\angle DAE+\angle ADE\)
=60°+20°
=80°
আবার, ∆BCE এর বহিঃস্থ কোণ \(\angle BCD\)
∴ \(\angle BCD=\angle CBE+\angle BEC\)
=40°+80°
[∵\(\angle BED=80°\) ∴ \(\angle BEC=80°\)]
=120°
∴ \(x=120°\)
(ii) 
∆PQR এর বহিঃস্থ কোণ \(\angle RQS\)
∴ \(\angle RQS=\angle RPQ+\angle PRQ\)
\(=50°+60°\)
\(=110°\)
আবার, ∆SQT এর বহিঃস্থ কোণ \(\angle STR\)
∴ \(\angle STR=\angle TSQ+\angle TQS\)
\(=30°+110°\)
\([\because\angle RQS=110°\) ∴ \(\angle TQS=110°\)]
\(=140°\)
∴ \(x=140°\)
(iii)
এখানে PQ||TS এবং TQ ছেদক
∴ \(\angle STQ=\) একান্তর \(\angle PQT=55°\)
∆SRT এর \(\angle STR=55°\) এবং \(\angle RST=60°\)
∴ \(\angle SRT\)\(=180°-∠STR-∠RST\)
\(=180°-55°-60°\)
\(=65°\)
∴ \(x=65°\)
2. 
পাশের চিত্রে ∆EHG এর কোণগুলির পরিমাপ লিখি।
সমাধানঃ
AB||CD এবং FE ছেদক
∴ \(\angle CHE=\) অনুরূপ \(\angle AFH=110°\)
\(\angle EHG=180°-∠CHE\)
\(=180°-110°=70°\)
∆EHG এর \(\angle EHG=70°\) এবং \(\angle EGH=60°\)
∴ \(\angle GEH=180°-∠EHG-∠EGH\)
\(=180°-70°-60°\)
\(=50°\)
∴ ∆EHG এর \(\angle EHG=70°,\) \(∠EGH=60°\) এবং \(\angle GEH=50°\)
3.
পাশের চিত্রে \(\angle A+\angle B+\angle C\)\(+\angle D+\angle E+\angle F\) এর পরিমাপ লিখি।
সমাধানঃ
∆AOB থেকে পাই,
\(\angle A+\angle B+\angle AOB=180°\) (1)
∆COD থেকে পাই,
\(\angle C+\angle D+\angle COD=180°\) (2)
∆EOF থেকে পাই,
\(\angle E+\angle F+\angle EOF=180°\) (3)
\(\angle DOE=\) বিপ্রতীপ \(\angle AOB\)
\(\angle AOF=\) বিপ্রতীপ \(\angle COD\)
\(\angle BOC=\) বিপ্রতীপ \(\angle EOF\)
O বিন্দুতে অবস্থিত সব কোণগুলির সমষ্টি 360°
∴ \(\angle AOB+\angle BOC+\angle COD\)\(+\angle DOE+\angle EOF+\angle AOF=360°\)
বা, \(\angle AOB+\angle EOF+\angle COD\)\(+\angle AOB+\angle EOF+\angle COD=360°\)
বা, \(2(\angle AOB\ +\angle COD+\angle EOF)\ =\ 360°\)
বা, \(180°-∠A-∠B\)\(+180°-∠C-∠D\)\(+180°-∠E-∠F=\frac{360°}{2}\)
[(1)\ নং, (2) নং ও (3) নং থেকে পাই]
বা, \(540°-∠A-∠B-∠C\)\(-∠D-∠E-∠F=180°\)
বা, \(-\angle A-\angle B-\angle C\)\(-\angle D-\angle E-\angle F=180°-540°\)
বা, \(-(\angle A+\angle B+\angle C\)\(+\angle D+\angle E+\angle F)\ =-360°\)
∴ \(\angle A+\angle B+\angle C\)\(+\angle D+\angle E+\angle F=360°\)
4.
AB=AC হলে \(\angle ABC,\)\(\ \angle ACB\) ও \(\angle BAC\) এর পরিমাপ লিখি।
সমাধানঃ
\(\angle ACD=112°\)
BD সরলরেখার উপর CA দন্ডায়মান
∴ \(\angle ACB\ =\ 180°-∠ACD\)
\(=\ 180°-112°=68°\)
∆ABC এর AB=AC
∴ \(\angle ABC=\angle ACB=68°\)
∆ABC এর বহিঃস্থ কোণ
\(\angle ACD=\angle ABC+\angle BAC\)
∴ \(\angle BAC=\angle ACD-\angle ABC\)
\(=112°-68°=44°\)
∴ \(\angle ABC=\angle ACB=68°\) এবং \(\angle BAC=44°\)
5.
AB=AC হলে \(\angle ABC\) ও \(\angle ACB\) এর পরিমাপ লিখি।
সমাধানঃ
\(\angle BAC=80°\)
∆ABC এর AB=AC
∴ \(\angle ABC=\angle ACB\)
∆ABC থেকে পাই,
\(\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180\)
বা, \(\angle ABC+\angle ABC+80°=180°\)
বা, \(2\angle ABC=180°-80°\)
বা, \(2\angle ABC=100°\)
∴ \(\angle ABC=50°\)
∴ \(\angle ABC=\angle ACB=50°\)
6.
AB=AC হলে \(\angle ACB\) ও \(\angle BAC\) এর পরিমাপ লিখি।
সমাধানঃ
\(\angle ABC=70°\)
∆ABC এর AB=AC
∴ \(\angle ABC=\angle ACB=70°\)
∆ABC থেকে পাই,
\(\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°\)
বা, \(70°+70°+∠BAC=180°\)
বা, \(\angle BAC=180°-70°-70°\)
∴ \(\angle BAC=40°\)
∴ \(\angle ACB=70°\) এবং \(\angle BAC=40°\)
7. 
14. প্রমাণ করি যে, একটি ত্রিভুজের শীর্ষকোণের সমদ্বিখন্ডক এবং শীর্ষকোণ থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের অন্তর্ভুক্ত কোণ ত্রিভুজের ভূমিস্থ কোণদ্বয়ের অন্তরের অর্ধেক।
15. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির একটি কোণ শীর্ষকোণের দ্বিগুন। ত্রিভুজটির কোণগুলির পরিমাপ লিখি।
প্রদত্তঃ ABC ত্রিভুজের \(\angle BAC\) এর সমদ্বিখন্ডক এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু D দিয়ে AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা পরস্পর BC বাহুর বাইরে E বিন্দুতে মিলিত হয়।
AB=BC এবং ∠BAC+∠ACB=50°; ∆ABC এর কোণগুলির পরিমাপ লিখি।
সমাধানঃ
∆ABC এর AB=BC
∴ \(\angle BAC=\angle ACB\)
\(\angle BAC+\angle ACB=50°\)
বা, \(\angle BAC+\angle BAC=50°\)
বা, \(2\angle BAC=50°\)
∴ \(\angle BAC=25°\)
∴ \(\angle BAC=\angle ACB=25°\)
∆ABC থেকে পাই,
\(\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°\)
বা, \(\angle ABC+50°=180°\) [ ∵ \(\angle BAC+\angle ACB=50°\) ]
বা, \(\angle ABC=180°-50°\)
∴ \(\angle BAC=130°\)
সুতরাং, \(\angle BAC=\angle ACB=25°\)
এবং \(\angle BAC=130°\)
8. ∆ABC এর অন্তঃস্থ একটি বিন্দু O; প্রমাণ করি যে \(\angle BOC>\angle BAC\)
প্রদত্তঃ ∆ABC এর অন্তঃস্থ একটি বিন্দু O
প্রামাণ্যঃ \(\angle BOC>\angle BAC\)
অঙ্কনঃ BO কে বর্ধিত করা হল যা AC বাহুকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণঃ
∆POC এর বহিস্থঃকোণ \(\angle BOC=\angle OPC+\angle OCP\)
∴ \(\angle BOC>\angle OPC\) (1)
আবার, ∆ABP এর বহিস্থঃকোণ \(\angle BPC=\angle ABP+\angle BAP\)
∴ \(\angle BPC>\angle BAP\)
বা, \(\angle OPC>\angle BAC\) (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
\(\angle BOC>\angle BAC\) [প্রমাণিত]
9. প্রমাণ করি যে, ∆ABC এর BC বাহুকে উভয়দিকে বাড়ালে যে দুটি বহিঃকোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি 2 সমকোণের বেশি।
প্রদত্তঃ ∆ABC এর BC বাহুকে উভয়দিকে বাড়ানোর ফলে দুটি বহিঃকোণ \(\angle ABP\) এবং \(\angle ACQ\) উৎপন্ন হল।
প্রামাণ্যঃ \(\angle ABP+\angle ACQ>180°\)
প্রমাণঃ
∆ABC এর বহিস্থঃকোণ
\(\angle ABP=\angle ACB+\angle BAC\) (1)
∆ABC এর বহিস্থঃকোণ
\(\angle ACQ=\angle ABC+\angle BAC\) (2)
(1)+(2) করে পাই,
\(\angle ABP+\angle ACQ\)
\(=\angle ACB+\angle BAC+\angle ABC+\angle BAC\)
বা, \(\angle ABP+\angle ACQ=180°+∠BAC\)
[∵ ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°]
∴ \(\angle ABP+\angle ACQ>180°\) [প্রমাণিত]
10. ∆ABC এর কৌনিক বিন্দু A ও C দিয়ে যথাক্রমে BC ও BA বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ D বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে, \(\angle ABC=\angle ADC\)
প্রদত্তঃ ∆ABC এর কৌনিক বিন্দু A ও C দিয়ে যথাক্রমে BC ও BA বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ D বিন্দুতে মিলিত হয়।
অর্থাৎ, AD||BC এবং CD||BA
প্রামাণ্যঃ \(\angle ABC=\angle ADC\)
প্রমাণঃ ∆ABC থেকে পাই,
\(\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°\) (1)
∆ADC থেকে পাই,
\(\angle ADC+\angle ACD+\angle CAD=180°\) (2)
AD||BC এবং AC ছেদক
∴ \(\angle BCA\ =\angle CAD\) [একান্তর কোণ] (3)
CD||BA এবং AC ছেদক
∴ \(\angle BAC=\angle ACD\) [একান্তর কোণ] (4)
(3) নং ও (4) নং যোগ করে পাই,
\(\angle BCA+\angle BAC=\angle ACD\ +\angle CAD\)
বা, \(180°-∠ABC=180°-∠ADC\) [ (1) নং ও (2) নং থেকে পাই]
∴ \(\angle ABC=\angle ADC\) [প্রমাণিত]
11. ∆ABC এর \(\angle ABC\) ও \(\angle ACB\) এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয়।
প্রমাণ করি যে, \(\angle BOC=90°+\frac{1}{2}∠BAC\)
প্রদত্তঃ ∆ABC এর \(\angle ABC\) ও \(\angle ACB\) এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয়।
প্রামাণ্যঃ \(\angle BOC=90°+12∠BAC\)
প্রমাণঃ
\(\angle ABC\) এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডক BO
∴ \(\angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC\) (1)
\(\angle ACB\) এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডক CO
∴ \(\angle OCB=\frac{1}{2}\angle ACB\) (2)
∆ABC থেকে পাই,
\(\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°\) (3)
∆OBC থেকে পাই,
\(\angle OBC+\angle OCB+\angle BOC=180°\) (4)
বা, \(\frac{1}{2}\angle ABC+\frac{1}{2}\angle ACB+\angle BOC=180°\)
বা, \(\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)+\angle BOC=180°\)
বা, \(\frac{1}{2}(180°-∠ABC)+∠BOC=180°\)
বা, \(90°-\frac{1}{2}∠BAC+∠BOC=180°\)
বা, \(\angle BOC=180°-90°-\frac{1}{2}∠BAC\)
∴ \(\angle BOC=90°+\frac{1}{2}∠BAC\) [প্রমাণিত]
13. ∆ABC এর \(\angle ACB\) এর বহিঃসমদ্বিখন্ডক A বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাকে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, \(\angle ADC=90°-\frac{1}{2}∠ACB\)
প্রদত্তঃ ∆ABC এর \(\angle ACB\) এর বহিঃকোণ \(\angle ACP\);
\(\angle ACP\) এর সমদ্বিখণ্ডক CD এবং AD||BC
প্রামাণ্যঃ \(\angle ADC=90°-12∠ACB\)
প্রমাণঃ BP সরলরেখার উপর CA লম্ব
∴ \(\angle ACP+\angle ACB=180°\)
বা, \(\angle ACP=180°-∠ACB\) (1)
\(\angle ACP\) এর সমদ্বিখণ্ডক CD
∴ \(\angle DCP=\frac{1}{2}\angle ACP\) (2)
AD||BC এবং CD ছেদক
∴ \(\angle DCP=\) একান্তর \(\angle ADC\) (3)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
\(\angle DCP=\frac{1}{2}(180°-∠ACB) \) (4)
(3) নং ও (4) নং থেকে পাই,
\(\angle ADC=\frac{1}{2}\ (180°-∠ACB)\)
∴ \(\angle ADC=90°-12∠ACB\) [প্রমাণিত]
প্রদত্তঃ ∆ABC এর সমদ্বিখন্ডক AP, BC বাহুকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দু থেকে AD লম্ব যা BC কে D বিন্দুতে
ছেদ করেছে। ধরি, \(\angle ABC>\angle ACB\)
প্রামাণ্যঃ \(\angle DAP=\frac{1}{2}(\angle ABC-\angle ACB)\)
প্রমাণঃ \(\angle BAC\) এর সমদ্বিখন্ডক AP
∴ \(\angle CAP=\angle BAP\)
ABD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\angle ABD=90°-∠BAD\) (1)
ADC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\angle ACD=90°-∠CAD\) (2)
(2)-(1) করে পাই,
\(\angle ABD-\angle CAD=90°-∠BAD-90°+∠CAD\)
বা, \(\angle ABC-\angle ACB\)
\(=\angle CAD-\angle BAD\)
\(=\angle CAP+\angle DAP-(\angle BAP-\angle DAP)\)
\(=\angle BAP+\angle DAP-\angle BAP+\angle DAP\)
\(=2\angle DAP\)
∴ \(\angle DAP=\frac{1}{2}(\angle ABC-\angle ACB)\) [প্রমাণিত]
15. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির একটি কোণ শীর্ষকোণের দ্বিগুন। ত্রিভুজটির কোণগুলির পরিমাপ লিখি।
ধরি, ∆ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AB=AC
∴ \(\angle ABC=\angle ACB\)
মনে করি, \(\angle BAC=x°\)
∴ \(\angle ABC=\angle ACB=2x°\)
∆ABC থেকে পাই
\(\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°\)
∴ \(2x+2x+x=180\)
বা, \(5x=180\)
বা, \(x=\frac{180}{5}\)
∴ \(x=36\)
∴ \(\angle BAC=36°\)
এবং \(\angle ABC=\angle ACB\)\(=2\times36°\) = 72°
16. ∆ABC এর \(\angle BAC=90°\) এবং \(\angle BCA=30°;\) প্রমাণ করি যে, \(AB=\frac{1}{2}BC\).
প্রদত্তঃ
∆ABC এর \(\angle BAC=90°\) এবং \(\angle BCA=30°\)
প্রামাণ্যঃ \(AB=\frac{1}{2}BC\)
অঙ্কনঃ BC বাহুর উপর D এমন একটি বিন্দু নিলাম যাতে AB=BD হয়।
প্রমাণঃ
∆ABC থেকে পাই,
\(\angle ABC=180°-∠BAC-∠BCA\)
∴ \(\angle ABC=180°-90°-30°=60°\)
∆ABD এর AB=BD
∴ \(\angle ADB=\angle BAD\)
∆ABD থেকে পাই,
\(\angle ABD+\angle ADB+\angle BAD=180°\)
বা, \(60°+∠BAD+∠BAD=180°\) [∵∠BAD=∠ADB]
বা, \(2\angle BAD=180°-60°\)
বা, \(2\angle BAD=120°\)
∴ \(\angle BAD=60°\)
∴ \(\angle ABD=\angle ADB=\angle BAD=60°\) সুতরাং,\ ∆ABD একটি সমবাহু ত্রিভুজ
∴ AB=AD=BD (1)
\(\angle CAD=90°-∠BAD\)\(=90°-60°=30°\)
∆ACD এর \(\angle CAD=30°=∠DCA\)
∴ CD=AD (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
AB=BD=CD
BC=BD+CD=AB+AB=2AB
∴ \(AB=\frac{1}{2}BC\) [প্রমাণিত]
17. ∆XYZ এর \(\angle XYZ=90°\) এবং \(XY=\frac{1}{2}XZ;\) প্রমাণ করি যে, \(\angle YXZ=60°\)
প্রদত্তঃ ∆XYZ এর \(\angle XYZ=90°\) এবং \(XY=\frac{1}{2}XZ\)
প্রামাণ্যঃ \(\angle YXZ=60°\)
অঙ্কনঃ Y বিন্দু থেকে \(\angle Z\)এর সমান করে \(\angle PYZ\) অঙ্কন করলাম।
প্রমাণঃ
∆PYZ এর \(\angle PYZ=\angle PZY\) [অঙ্কনানুসারে]
∴ PY=PZ (1)
ধরি, \(\angle PYZ=\angle PZY=a\)
XYZ সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই
\(\angle YXZ=90°-∠XZY\)
∴ \(\angle PXY=90°-a\)
\(\angle XYP+\angle PYZ=90°\)
বা, \(\angle XYP+a=90°\)
∴ \(\angle XYP=90°-a\)
∆PXY ত্রিভুজের \(\angle PXY=\angle XYP=90°-a\) (2)
∴ XP=PY (3)
(1) নং ও (3) নং থেকে পাই,
XP=PZ
∴ \(PX=\frac{1}{2}XZ\)
আবার \(XY=\frac{1}{2}XZ\)
∴ PX=XY
∆XPY এর PX=XY
∴ \(\angle XPY=\angle XYP\) (4)
(2) নং ও (4) নং থেকে পাই,
\(\angle XPY=\angle XYP=\angle PXY\)
∆XPY এর
\(\angle XPY+\angle XYP+\angle PXY=180°\)
বা, \(\angle PXY+\angle PXY+\angle PXY=180°\)
বা, \(3\angle PXY=180°\)
∴ \(\angle PXY=60°\)
∴ \(\angle YXZ=60°\) [প্রমাণিত]
18. প্রমাণ করি যে, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান 60°
প্রদত্তঃ ABC সমবাহু ত্রিভুজের AB=BC=CA
প্রামাণ্যঃ \(\angle ABC=\angle ACB=\angle BAC=60°\)
প্রমাণঃ
∆ABC এর AB=AC
∴ \(\angle ACB=\angle ABC\) (1)
আবার, ∆ABC এর AB=BC
∴ \(\angle ACB=\angle BAC\) (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
\(\angle ABC=\angle ACB=\angle BAC\)
∆ABC থেকে পাই,
\(\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°\)
বা, \(\angle ABC+\angle ABC+\angle ABC=180°\)
বা, \(3\angle ABC=180°\)
∴ \(\angle ABC=60°\)
∴ \(\angle ABC=\angle ACB=\angle BAC=60°\) [প্রমাণিত]
19. ABC ত্রিভুজের \(\angle BAC\) এর সমদ্বিখন্ডক এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু D দিয়ে AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা পরস্পর BC বাহুর বাইরে E বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে, \(\angle AEC=1\) সমকোণ।
প্রামাণ্যঃ \(\angle AEC=1\) সমকোণ
প্রমাণঃ AB||DE এবং AE ছেদক
∴ \(\angle BAE=\angle AED\) [একান্তর কোণ]
আবার, \(\angle BAC\) এর সমদ্বিখণ্ডক AE
∴ \(\angle BAE=\angle EAC\)
∴ \(\angle AED=\angle EAD\) [∵ \(\angle BAE=\angle AED\)] (1)
∆ADE এর \(\angle AED=\angle EAD\)
∴ AD=DE (2)
D, AC বাহুর মধ্যবিন্দু
∴ AD=DC (3)
(2) নং ও (3) নং থেকে পাই, DE=DC
∆CDE এর DE=DC
∴ \(\angle DCE=\angle DEC\) (4)
∆AEC থেকে পাই,
\(\angle AEC+\angle ACE+\angle EAC=180°\) (5)
(1)+(3) করে পাই,
\(\angle AED+\angle DEC=\angle EAD+\angle DCE\)
বা, \(\angle AEC=\angle EAC+\angle ACE\)
বা, \(\angle AEC\ =180°-∠AEC\) [(5) নং থেকে পাই]
বা, \(\angle AEC+\angle AEC=180°\)
বা, \(2\angle AEC=180°\)
∴ \(\angle AEC=90°\)
∴ \(\angle AEC=1\) সমকোণ [প্রমাণিত]
0 Comments