13. বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ | কষে দেখি 13.2 | Exercise 13.2 | Ganit Prabha Class VIII math solution | WBBSE Class 8 Math Solution in Bengali
গণিত প্রভা VIII কষে দেখি 13.2 সমাধান
1. উৎপাদকে বিশ্লেষন করি-
(i) \(2a^2+5a+2\)
সমাধানঃ
\(2a^2+5a+2\)
\(=2a^2+4a+a+2\)
\(=2a(a+2)+1(a+2)\)
\(=(a+2)(2a+1)\)
(ii) \(3x^2+14x+8\)
সমাধানঃ
\(3x^2+14x+8\)
\(=3x^2+12x+2x+8\)
\(=3x(x+4)+2(x+4)\)
\(=(x+4)(3x+2)\)
(iii) \(2m^2+7m+6\)
সমাধানঃ
\(2m^2+7m+6\)
\(=2m^2+4m+3m+6\)
\(=2m(m+2)+3(m+2)\)
\(=(m+2)(2m+3)\)
(iv) \(6x^2-x-15\)
সমাধানঃ
\(6x^2-x-15\)
\(=6x^2-10x+9x-15\)
\(=2x(3x-5)+3(3x-5)\)
\(=(3x-5)(2x+3)\)
(v) \(9r^2+r-8\)
সমাধানঃ
\(9r^2+r-8\)
\(=9r^2+9r-8r-8\)
\(=9r(r+1)-8(r+1)\)
\(=(r+1)(9r-8)\)
(vi) \(6m^2-11mn-10n^2\)
সমাধানঃ
\(6m^2-11mn-10n^2\)
\(=6m^2-15mn+4mn-10n^2\)
\(=3m(2m-5n)+2n(2m-5n)\)
\(=(2m-5n)(3m+2n)\ \)
(vii) \(7x^2+48xy-7y^2\)
সমাধানঃ
\(7x^2+48xy-7y^2\)
\(=7x^2+49xy-xy-7y^2\)
\(=7x(x+7y)-y(x+7y)\)
\(=(x+7y)(7x-y)\)
(viii) \(12+x-6x^2\)
সমাধানঃ
\(12+x-6x^2\)
\(=12+9x-8x-6x^2\)
\(=3(4+3x)-2x(4+3x)\)
\(=(4+3x)(3-2x)\)
(ix) \(6+5a-6a^2\)
সমাধানঃ
\(6+5a-6a^2\)
|(=6+9a-4a-6a^2\)
\(=3(2+3a)-2a(2+3a)\)
(=(2+3a)(3-2a)\)
(x) \(6x^2-13x+6\)
সমাধানঃ
\(6x^2-13x+6\)
\(=6x^2-9x-4x+6\)
\(=3x(2x-3)-2(2x-3)\)
\(=(2x-3)(3x-2)\)
(xi) \(99a^2-202ab+99b^2\)
সমাধানঃ
\(99a^2-202ab+99b^2\)\
\(=99a^2-121ab-81ab+99b^2\)
\(=11a(9a-11b)-9b(9a-11b)\)
\(=(9a-11b)(11a-9b)\)
(xii) \(2a^6-13a^3-24\)
সমাধানঃ
\(2a^6-13a^3-24\)
\(=2a^6-16a^3+3a^3-24\)
\(=2a^3(a^3-8)+3(a^3-8)\)
\(=(a^3-8)(2a^3+3)\)
\(=(a^3-2^3)(2a^3+3)\)
(=(a-2)(a^2+2a+4)(2a^3+3)\ \)
(xiii) \(8a^4+2a^2-45\)
সমাধানঃ
\(8a^4+2a^2-45\)
\(=8a^4+20a^2-18a^2-45\)
\(=4a^2(2a^2+5)-9(2a^2+5)\ \)
\(=(2a^2+5)(4a^2-9)\)
(=\left(2a^2+5\right)\left\{\left(2a\right)^2-\left(3\right)^2\right\}\)
\(=(2a^2+5)(2a+3)(2a-3)\ \)
(xiv) \(6\left(x-y\right)^2-x+y-15\)
সমাধানঃ
\(6\left(x-y\right)^2-x+y-15\)
\(=6\left(x-y\right)^2-(x-y)-15\)
\(=6a^2-a-15\) [ x-y=a ধরে পাই ]
\(=6a^2-10a+9a-15\)
\(=2a(3a-5)+3(3a-5)\)
\(=(3a-5)(2a+3)\ \)
\(={3(x-y)-5}{2(x-y)+3}\) [a এর মান বসিয়ে পাই]
\(=(3x-3y-5)(2x-2y+3)\ \)
(xv) \(3\left(a+b\right)^2-2a-2b-8\)
সমাধানঃ
\(3\left(a+b\right)^2-2a-2b-8\)
\(=3\left(a+b\right)^2-2(a+b)-8\)
\(=3x^2-2x-8\) [ a+b=x ধরে পাই]
\(=3x^2-6x+4x-8\)
\(=3x(x-2)+4(x-2)\ \)
\(=(x-2)(3x+4)\ \)
\(={(a+b)-2}{3(a+b)+4}\) [ x এর মান বসিয়ে পাই]
\(=(a+b-2)(3a+3b+4)\)
(xvi) \(6\left(a+b\right)^2+5(a^2-b^2)-6\left(a-b\right)^2\)
সমাধানঃ
\(6\left(a+b\right)^2+5\left(a^2-b^2\right)-6\left(a-b\right)^2\)
\(=6\left(a+b\right)^2+5(a+b)(a-b)-6\left(a-b\right)^2\)
\(=6x^2+5xy-6y^2\)
[ ধরি, a+b=x এবং a-b=y]
\(=6x^2+9xy-4xy-6y^2\)
\(=3x(2x+3y)-2y(2x+3y)\ \)
\(=(2x+3y)(3x-2y)\ \)
\(={2(a+b)+3(a-b)}{3(a+b)-2(a-b)}\)
[x ও y এর মান বসিয়ে পাই]
\(=(2a+2b+3a-3b)(3a+3b-2a+2b)\)
\(=(5a-b)(a+5b)\)
2. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি –
(i) \(x^2-2x-3\)
সমাধানঃ
\(x^2-2x-3\)
\(=x^2-2x+1-4\)
\(=x^2-2.x.1+1^2-4\)
\(=\left(x-1\right)^2-\left(2\right)^2\)
\(=(x-1+2)(x-1-2)\ \)
\(=(x+1)(x-3)\)
(ii) \(x^2+5x+6\)
সমাধানঃ
\(x^2+5x+6\)
\(=x^2+2.x.\frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^2+6-\left(\frac{5}{2}\right)^2\)
\(=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2+6-\frac{25}{4}\)
\(=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{24-25}{4}\)
\(=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)
\(=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
\(=\left(x+\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\right)\)
\(=\left(x+\frac{5+1}{2}\right)\left(x+\frac{5-1}{2}\right)\)
\(=(x+3)(x+2)\)
(iii) \(3x^2-7x-6\)
সমাধানঃ
\(3x^2-7x-6\)
\(=3(x^2-\frac{7}{3}x-2)\ \)
\(=3\left\{x^2-2.x.\frac{7}{6}+\left(\frac{7}{6}\right)^2{-\left(\frac{7}{6}\right)}^2-2\right\}\)
\(=3\left\{\left(x-\frac{7}{3}\right)^2-\frac{49}{36}-2\right\}\)
\(=3\left\{\left(x-\frac{7}{3}\right)^2-\frac{49+72}{36}\right\}\)
\(=3\left\{\left(x-\frac{7}{3}\right)^2-\frac{121}{36}\right\}\)
\(=3\left\{\left(x-\frac{7}{3}\right)^2-\left(\frac{11}{6}\right)^2\right\}\)
\(=3\left(x-\frac{7}{3}+\frac{11}{6}\right)\left(x-\frac{7}{3}-\frac{11}{6}\right)\)
\(=3\left(x+\frac{11}{6}-\frac{7}{3}\right)\left(x-\frac{7+11}{6}\right)\)
\(=3\left(x+\frac{11-7}{6}\right)\left(x-3\right)\)
\(=3\left(x+\frac{4}{6}\right)\left(x-3\right)\)
\(=\left(3x+2\right)\left(x-3\right)\)
(iv) \(3a^2-2a-5\)
সমাধানঃ
\(3a^2-2a-5\)
\(=3\left\{a^2-2.a.\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2-\left(\frac{1}{3}\right)^2-\frac{5}{3}\right\}\)
\(=3\left\{\left(a-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1}{9}-\frac{5}{3}\right\}\)
\(=3\left\{\left(a-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1+15}{9}\right\}\)
\(=3\left\{\left(a-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{16}{9}\right\}\)
\(=3\left\{\left(a-\frac{1}{3}\right)^2-\left(\frac{4}{3}\right)^2\right\}\)
\(=3\left(a-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}\right)\left(a-\frac{1}{3}-\frac{4}{3}\right)\)
\(=3\left(a+\frac{4-1}{3}\right)\left(a-\frac{1+4}{3}\right)\)
\(=3(a+1)\left(a-\frac{5}{3}\right)\)
\(=(a+1)(3a-5)\)
3.উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি-
(i) \(ax^2+(a^2+1)x+a\)
সমাধানঃ
\(ax^2+(a^2+1)x+a\)
\(=ax^2+a^2x+x+a\)
\(=ax(a+x)+1(x+a)\)
\(=(a+x)(ax+1)\)
(ii) \(x^2+2ax+(a+b)(a-b)\)
সমাধানঃ
\(x^2+2ax+(a+b)(a-b)\)
\(=x^2+[(a+b)+(a-b)]x+(a+b)(a-b) \)
\(=x^2+(a+b)x+(a-b)x+(a+b)(a-b)\)
\(=x(x+a+b)+(a-b)(x+a+b)\)
\(=(x+a+b)(x+a-b)\)
(iii) \(ax^2-(a^2+1)x+a\)
সমাধানঃ
\(ax^2-(a^2+1)x+a\)
\(=ax^2-a^2x-x+a\)
\(=ax(a-x)-1(x-a)\)
\(=(a-x)(ax-1)\ \)
(iv) \(ax^2+(a^2-1)x-a\)
সমাধানঃ
\(ax^2+(a^2-1)x-a\)
\(=ax^2+a^2x-x-a\)
\(=ax(a+x)-1(x+a)\ \)
\(=(a+x)(ax-1)\ \)
(v) \(ax^2-(a^2-2)x-2a\)
সমাধানঃ
\(ax^2-(a^2-2)x-2a\)
\(=ax^2-a^2x+2x-2a\)
\(=ax(x-a)+2(x-a)\ \)
\(=(x-a)(ax+2)\)
(vi) \(a^2+1-\frac{6}{a^2}\)
সমাধানঃ
\(a^2+1-\frac{6}{a^2}\)
\(=a^2+3-2-\frac{6}{a^2}\)
\(=a^2+3.a.\frac{1}{a}-2.a.\frac{1}{a}-\frac{6}{a^2}\)
\(=a\left(a+\frac{3}{a}\right)-\frac{2}{a}\left(a+\frac{3}{a}\right)\)
\(=\left(a+\frac{3}{a}\right)\left(a-\frac{2}{a}\right)\)
0 Comments