13. বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ | কষে দেখি 13.1 | Exercise 13.1 | Ganit Prabha Class VIII math solution | WBBSE Class 8 Math Solution in Bengali
গণিত প্রভা VIII কষে দেখি 13.1 সমাধান
1. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি \(x^2+\left(p+q\right)x+pq=(x+p)(x+q)\) অভেদের সাথে তুলনা করে p ও q এর মান খুঁজে লিখি ও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি।
2. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি
(i) \(\left(a+b\right)^2-5(a+b)-6\)
সমাধানঃ
\(\left(a+b\right)^2-5(a+b)-6\)
\(=x^2-5x-6\) [ a+b=x ধরে পাই ]
\(=x^2-6x+x-6\)
\(=x(x-6)\ +1(x-6)\)
\(=(x-6)\ (x+1)\)
\(=(a+b-6)\ (a+b+1)\) [ x এর মান বসিয়ে পাই ]
(ii) \(\left(x^2-2x\right)^2+5(x^2-2x)-36\)
সমাধানঃ
\(\left(x^2-2x\right)^2+5(x2-2x)-36\)
\(=p^2+5p-36\) [ \(x^2-2x=p\) ধরে পাই]
\(=p^2+9p-4p-36\)
\(=p(p+9)-4(p+9)\ \)
\(=(p+9)(p-4)\ \)
\(=(x^2-2x+9)(x^2-2x-4)\) [ p এর মান বসিয়ে পাই]
(iii) \(\left(p^2-3q^2\right)^2-16\left(p^2-3q^2\right)-63\)
সমাধানঃ
\(\left(p^2-3q^2\right)^2-16\left(p^2-3q^2\right)+63\)
\(=x^2-16x+63\) [ \(p^2-3q^2=x\) ধরে পাই]
\(=x^2-9x-7x+63\)
\(=x(x-9)-7(x-9)\)
\(=(x-9)(x-7)\ \)
\(=(p^2-3q^2-9)(p^2-3q^2-9)\ \) [ x এর মান বসিয়ে পাই]
(iv) \(a^4+4a^2-5\)
সমাধানঃ
\(a^4+4a^2-5\)\(=a^4+5a^2-a^2-5\)
\(=a^2\left(a^2+5\right)-1\left(a^2+5\right)\)
\(=\left(a^2+5\right)\left(a^2-1\right)\)
\(=\left(a^2+5\right)\left\{\left(a\right)^2-\left(1\right)^2\right\}\)
\(=(a^2+5)(a+1)(a-1)\ \)
(v) \(x^2y^2+23xy-420\)
সমাধানঃ
\(x^2y^2+23xy-420\)
\(=x^2y^2+35xy-12xy-420\)
\(=xy(xy+35)-12(xy+35)\)
\(=(xy+35)(xy-12)\)
(vi) \(x^4-7x^2+12\)
সমাধানঃ
\(x^4-7x^2+12\)
\(=x^4-4x^2-3x^2+12\)
\(=x^2(x^2-4)-3\left(x^2-4\right)\)
\(=\left(x^2-4\right)\left(x^2-3\right)\)
\(=\left(x^2-2^2\right)\left(x^2-3\right)\)
\(=(x+2)(x-2)(x^2-3)\ \)
(vii) \(a^2+ab-12b^2\)
সমাধানঃ
\(a^2+ab-12b^2\)
\(=a^2+4ab-3ab-12b^2\)
\(=a(a+4b)-3b(a+4b)\ \)
\(=(a+4b)(a-3b)\)
(viii) \(p^2+31pq+108q^2\)
সমাধানঃ
\(p^2+31pq+108q^2\)
\(=p^2+27pq+4pq+108q^2\)
\(=p(p+27)+4q(p+27q)\ \)
\(=(p+27)(p+4q)\ \)
(ix) \(a^6+3a^3b^3-40b^6\)
সমাধানঃ
\(a^6+3a^3b^3-40b^6\)
\(=a^6+8a^3b^3-5a^3b^3-40b^6\)
\(=a^3\left(a^3+8b^3\right)-5b^3\left(a^3+8b^3\right)\)
\(=\left(a^3+8b^3\right)\left(a^3-5b^3\right)\)
\(=\left\{\left(a\right)^3+\left(2b\right)^3\right\}\left(a^3-5b^3\right)\)
\(=\left(a+2b\right)\left(a^2+2ab+4b^2\right)\left(a^3-5b^3\right)\)
(x) \((x+1)(x+3)(x-4)(x-6)+24\)
সমাধানঃ
\((x+1)(x+3)(x-4)(x-6)+24\)
\(=(x+1)(x-4)(x+3)(x-6)+24\)
\(=(x^2+x-4x-4)(x^2+3x-6x-18)+24\)
\(=(x^2-3x-4)(x^2-3x-18)+24\)
\(=(a-4)(a-18)+24\) [ \(x^2-3x=a\) ধরে পাই]
\(=a^2-4a-18a+72+24\)
\(=a^2-22a+96\)
\(=a^2-16a-6a+96\)
\(=a(a-16)-6(a-16)\ \)
\(=(a-16)(a-6)\ \)
\(=(x^2-3x-16)(x^2-3x-6)\ \) [ a এর মান বসিয়ে পাই ]
(xi) \(\left(x+1\right)\left(x+9\right)\left(x+5\right)^2+63\)
সমাধানঃ
\(\left(x+1\right)\left(x+9\right)\left(x+5\right)^2+63\)
\(=(x^2+x+9x+9)(x^2+2.x.5+25)+63\)
\(=(x^2+10x+9)(x^2+10x+25)+63\)
\(=(a+9)(a+25)+63\)
\(=a^2+9a+25a+225+63\)
\(=a^2+34a+288\)
\(=a^2+18a+16a+288\)
\(=a(a+18)+16(a+18)\)
\(=(a+18)(a+16)\ \)
\(=(x^2+10x+18)(x^2+10x+16)\) [ a এর মান বসিয়ে পাই ]
\(=(x^2+10x+18)(x^2+8x+2x+16)\)
\(=(x^2+10x+18){x(x+8)+2(x+8)}\ \)
\(=(x^2+10x+18)(x+8)(x+2)\)
(xii) \(x(x+3)(x+6)(x+9)+56\)
সমাধানঃ
\(x(x+3)(x+6)(x+9)+56\)
\(=x(x+9)(x+6)(x+3)+56\)
\(=(x^2+9x)(x^2+6x+3x+18)+56\)
\(=(x^2+9x)(x^2+9x+18)+56\)
\(=a(a+18)+56\) [ \(x^2+9x=a\) ধরে পাই]
\(=a^2+18a+56\)
\(=a^2+14a+4a+56\)
\(=a(a+14)+4(a+14)\ \)
\(=(a+14)(a+4)\ \)
\(=\left(x^2+9x+14\right)\left(x^2+9x+4\right)\) [a এর মান বসিয়ে পাই]
\(=\left(x^2+7x+2x+14\right)\left(x^2+9x+4\right)\)
\(={x(x+7)+2(x+7)}(x^2+9x+4)\ \)
\(=(x+7)(x+2)(x^2+9x+4)\)
(xiii) \(x^2-2ax+(a+b)(a-b)\ \)
সমাধানঃ
\(x^2-2ax+(a+b)(a-b)\)
\(=x^2-[(a+b)+(a-b)]x+(a+b)(a-b)\)
\(=x^2-(a+b)x-(a-b)x+(a+b)(a-b)\ \)
\(=x(x-a-b)-(a-b)(x-a-b)\)
\(=(x-a-b)(x-a+b)\ \)
(xiv) \(x^2-bx-(a+3b)(a+2b)\)
সমাধানঃ
\(x^2-bx+(a+3b)(a+2b)\ \)
\(=x^2-[(a+3b)-(a+2b)]x\)
\(-(a+3b)(a+2b) \)
\(=x^2-(a+3b)x+(a+2b)x\)
\(-(a+3b)(a+2b)\)
\(=x(x-a-3b)+(a+2b)(x-a-3b)\)
\(=(x-a-3b)(x+a+2b)\ \)
(xv) \(\left(a+b\right)^2-5a-5b+6\)
সমাধানঃ
\(\left(a+b\right)^2-5a-5b+6\)
\(=\left(a+b\right)^2-5(a+b)+6\)
\(=x^2-5x+6\) [ধরি, a+b=x]
\(=x^2-3x-2x+6\)
\(=x(x-3)-2(x-3)\)
\(=(x-3)(x-2)\)
\(=(a+b-3)(a+b-2)\) [ x এর মান বসিয়ে পাই]
(xvi) \(x^2+4abx-\left(a^2-b^2\right)^2\)
সমাধানঃ
\(x^2+4abx-\left(a^2-b^2\right)^2\)
\(=x^2+{\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2}x\)
\(-\left\{\left(a+b\right)\left(a-b\right)\right\}^2\)
\(=x^2+\left(a+b\right)^2x-\left(a-b\right)^2x\)
\(-\left(a+b\right)^2\left(a-b\right)^2\)
\(=x^2+px-qx-pq\)
[ধরি, \(\left(a+b\right)^2=p\) এবং \(\left(a-b\right)^2=q\)]
\(=x(x+p)-q(x+p)\)
\(=(x+p)(x-q)\) [p ও q এর মান বসিয়ে পাই]
\(=\left\{x+\left(a+b\right)^2\right\}\left\{x-\left(a-b\right)^2\right\}\)
\(=\left\{x+\left(a^2+2ab+b^2\right)\right\}\left\{x-\left(a^2-2ab+b^2\right)\right\}\)
\(=\left(x+a^2+2ab+b^2\right)\left(\ x-a^2+2ab-b^2\right)\)
(xvii) \(x^2-\left(a+\frac{1}{a}\right)x+1\)
সমাধানঃ
\(x^2-\left(a+\frac{1}{a}\right)x+1\)
\(=x^2-ax-\frac{x}{a}+a.\frac{1}{a}\)
\(=x(x-a)-\frac{1}{a}(x+a)\ \)
\(=\left(x-a\right)\left(x-\frac{1}{a}\right)\)
(xviii) \(x^6y^6-9x^3y^3+8\)
সমাধানঃ
\(x^6y^6-9x^3y^3+8\)
\(=x^6y^6-8x^3y^3-x^3y^3+8\)
\(=x^3y^3(x^3y^3-8)-1\left(x^3y^3-8\right)\)
\(=\left(x^3y^3-8\right)\left(x^3y^3-1\right)\)
\(=\left\{\left(xy\right)^3-\left(2\right)^3\right\}\left\{\left(xy\right)^3-\left(1\right)^3\right\}\)
\(=(xy-2)(x^2y^2+2xy+4)\)\(\times(xy-1)(x^2y^2+xy+1)\)
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