7. বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য | কষে দেখি 7.3 | Exercise 7.3 solution | গণিত প্রকাশ X সমাধান | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
কষে দেখি 7.3 সমাধান
1. ABC ত্রিভুজের B কোণটি সমকোণ। যদি AC-কে ব্যাস করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করি যা AB কে D বিন্দুতে ছেদ করে, তবে নীচের তথ্যগুলির মধ্যে কোনটি ঠিক লিখি-
(i) AB>AD (ii) AB=AD (iii) AB<AD
AC কে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করা হলে বৃওটি
AB কে D বিন্দুতে ছেদ করে।
∴ \(\angle ADC=90°\)
[∵ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
আবার, ABC ত্রিভুজের B কোণটি সমকোণ।
∴ \(\angle ABC=90°\)
∴ \(\angle ADC\ =\angle ABC\)
এটা অসম্ভব, কারণ কোনো ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ একটি অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান হতে পারে না।
এটা সম্ভব হবে যদি B ও D একই বিন্দু হয়।
অর্থাৎ, B=D হয়।
∴ (ii) AB=AD তথ্যটি ঠিক
2. প্রমাণ করি যে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুটির যে কোনোটিকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্ত অসমান বাহুটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
প্রদত্তঃ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AB=AC ।
AC বাহুকে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করা হলে
বৃত্তটি BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ BD=DC
অঙ্কনঃ A ও D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ AC বৃত্তের ব্যাস
∴ \(\angle ADC=90°\) [∵ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
∴ \(\angle ADC=180°-∠ADC\)
\(=180°-90°=90°\)
∆ABD এবং ∆ACD এর মধ্যে,
AB=AC,
\(\angle ADC=\angle ADC\) [উভয়েই সমকোণ]
AD সাধারণ বাহু
∴ ∆ABD≅∆ACD [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
∴ BD=DC [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] [প্রমাণিত]
3. সাহানা দুটি বৃত্ত এঁকেছে যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। PA ও PB যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে A, Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ।
প্রদত্তঃ দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে
ছেদ করেছে। PA ও PB যথাক্রমে দুটি
বৃত্তের ব্যাস।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
A,Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ।
অঙ্কনঃ P,Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ যেহেতু, PA বৃত্তের ব্যাস এবং ∠PQA অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠PQA=90°
আবার, PB অপর বৃত্তের ব্যাস এবং ∠PQC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠PQC=90°
∴ ∠AQB=∠PQA+∠PQC=90°+90°=180°
∴ A,Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ [প্রমাণিত]
4. রজত একটি সরলরেখাংশ PQ অঙ্কন করেছে যার মধ্যবিন্দু R এবং সে PR ও PQ কে ব্যাস করে দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে। আমি P বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা প্রথম বৃত্তকে S বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে, PS=ST
প্রদত্তঃ
PQ সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু R PR ও PQ কে ব্যাস করে দুটি বৃত্ত অঙ্কন করা হল। P বিন্দুগামী একটি সরলরেখা প্রথম বৃত্তকে S বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ PS=ST
অঙ্কনঃ S,R ও T,Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ
যেহেতু, PR বৃত্তের ব্যাস এবং ∠PSR অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠PSR=90°
আবার, PQ অপর বৃত্তের ব্যাস এবং ∠PTQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠PTQ=90°
যেহেতু, ∠PSR=90° এবং ∠PTQ=90°
∴ SR||TQ
∆PQT এর SR||TQ এবং R,PQ এর মধ্যবিন্দু
∴ S,PT বাহুর মধ্যবিন্দু
∴ PS=ST [প্রমাণিত]
5. একটি বৃত্তের উপর তিনটি বিন্দু P, O ও R অবস্থিত। PQ ও PR -এর উপর P বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে S ও T বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, RQ=ST
প্রদত্তঃ
বৃত্তের উপর তিনটি বিন্দু P,O ও R অবস্থিত।
PQ ও PR -এর উপর P বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব
দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে T ও S বিন্দুতে ছেদ
করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ RQ=ST
অঙ্কনঃ S,Q ও R,T যুক্ত করা হল এবং SQ ও TR পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণঃ
যেহেতু, বৃত্তস্থ কোণ ∠QPS এবং ∠RPT উভয়েই সমকোণ
∴ QS ও TR উভয়েই বৃত্তটির ব্যাস।
আবার QS ও TR ব্যাস দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ বৃত্তটির কেন্দ্র হল O
∆ROQ এবং ∆SOT এর মধ্যে
SO=OR [উভয়েই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∠SOT= বিপ্রতীপ ∠QOR
TO=OQ [উভয়েই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∆ROQ≅∆SOT [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
∴ RQ=ST [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] [প্রমাণিত]
6. ABC একটি সুক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ। ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস AP; BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB বাহুর উপর লম্ব এবং তারা পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, BPCQ একটি সামান্তরিক।
প্রদত্তঃ
ABC একটি সুক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ। ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস AP; BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB বাহুর উপর লম্ব এবং তারা পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ BPCQ একটি সামান্তরিক
প্রমাণঃ
AP বৃত্তের ব্যাস এবং ∠ACP অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ACP=90°
∴ CP⊥AC
আবার, EB⊥AC
সুতরাং, CP∥EB অর্থাৎ, CP∥QB
AP বৃত্তের ব্যাস এবং ∠ABP অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ABP=90°
∴ BP⊥AB
আবার, FC⊥AB
সুতরাং, BP∥FC অর্থাৎ, BP∥QC
BPCQ চতুর্ভুজের CP∥QB এবং BP∥QC
∴ BPCQ চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক। [প্রমাণিত]
7. একটি ত্রিভুজের শীর্ষকোণের অন্তর্সমদ্বিখন্ডক ও বহির্সমদ্বিখন্ডক ত্রিভুজটির পরিবৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PQ বৃত্তের একটি ব্যাস।
প্রদত্তঃ
ABC ত্রিভুজের ∠BAC এর অন্তর্সমদ্বিখন্ডক ও বহির্সমদ্বিখন্ডক ত্রিভুজটির পরিবৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ PQ বৃত্তের একটি ব্যাস।
প্রমাণঃ
AP ও AQ যথাক্রমে ∠BAC এর অন্তর্সমদ্বিখন্ডক এবং বহির্সমদ্বিখন্ডক
∴ ∠PAQ=90°
PQ বৃত্তচাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ ∠PAQ=90°
∴ PQ বৃত্তটির একটি ব্যাস। [প্রমাণিত]
8. AB এবং CD একটি বৃত্তের দুটি ব্যাস । প্রমাণ করি যে, ACBD একটি আয়তকার চিত্র।
প্রদত্তঃ
AB এবং CD একটি বৃত্তের দুটি ব্যাস ।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
ACBD একটি আয়তকার চিত্র।
প্রমাণঃ
AB ব্যাসের উপর বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB এবং ∠ADB
∴ ∠ACB=∠ADB=90°
আবার CD ব্যাসের উপর বৃত্তস্থ কোণ ∠CAD এবং ∠CBD
∴ ∠CAD=∠CBD=90°
ABCD চতুর্ভুজের প্রতিটি কোণ সমকোণ
∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র। [প্রমাণিত]
9. প্রমাণ করি, একটি রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়।
প্রদত্তঃ
ধরি, ABCD একটি রম্বস। রম্বসের AB,BC,CD ও DA বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যাবে।
অঙ্কনঃ AC ও BD কর্ণ দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণঃ যেহেতু, রম্বসের কর্ণদুটি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°
AB ব্যাসের ওপর বৃত্তস্থ কোণ ∠AOB=90°
আবার, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হয়।
∴ AB ব্যাস বিশিষ্ট বৃওটি O বিন্দু দিয়ে যাবে।
একইরকমভাবে,
BC,CD,DA ব্যাস বিশিষ্ট বৃওগুলিও O বিন্দু দিয়ে যাবে।
∴ AB,BC,CD,DA ব্যাস বিশিষ্ট বৃওগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু O দিয়ে যাবে। [প্রমাণিত]
10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i)
O কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ একটি ব্যাস এবং PR=RQ; ∠RPQ -এর মান
(a) 30° (b) 90° (c) 60° (d) 45°
সমাধানঃ
PQ ব্যাসের উপর অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ∠PRQ
∴ ∠PRQ=90°
∴ ∆PQR থেকে পাই,
∠RPQ+∠PQR=90°
∆PQR এর PR=RQ
∴ ∠RPQ=∠PQR=90°/2=45°
উত্তরঃ (d) 45°
(ii)
QR বৃত্তের একটি জ্যা এবং POR বৃত্তের একটি ব্যাস। OD,QR বাহুর উপর লম্ব। OD=4 সেমি. হলে, PQ-এর দৈর্ঘ্য
QR বৃত্তের একটি জ্যা এবং POR বৃত্তের একটি ব্যাস। OD,QR বাহুর উপর লম্ব। OD=4 সেমি. হলে, PQ-এর দৈর্ঘ্য
(a) 4 সেমি. (b) 2 সেমি.
(c) 8 সেমি. (d) কোনটিই নয়
সমাধানঃ
∠PQR=90° [∵ ∠PQR অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]
∴ PQ⊥QR
আবার, OD⊥QR
∴ OD∥PQ
∆PQR এর OD∥PQ এবং O,PQ এর মধ্যবিন্দু
∴ PQ=2OD=2×4 সেমি. =8 সেমি.
উত্তরঃ (c) 8 সেমি.
(iii)
AOB বৃত্তের ব্যাস। AC এবং BD জ্যা দুটি বর্ধিত করলে E বিন্দুতে মিলিত হয়। ∠COD=40° হলে, ∠CED -এর মান
AOB বৃত্তের ব্যাস। AC এবং BD জ্যা দুটি বর্ধিত করলে E বিন্দুতে মিলিত হয়। ∠COD=40° হলে, ∠CED -এর মান
(a) 40° (b) 80° (c) 20° (d) 70°
সমাধানঃ
CD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠COD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠CAD
∴ \(∠CAD=\frac{1}{2}∠COD =\frac{1}{2}×40°=20°\)
∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ADB=90°
∴ ∠ADE=180°-∠ADB
=180°-90°=90°
∆ADE থেকে পাই,
∠AED=180°- 20°-90°=70°
∴ ∠CED =70°
উত্তরঃ (d) 70°
(iv)
AOB বৃত্তের ব্যাস। AC=3 সেমি. ও BC=4 সেমি. হলে AB -এর দৈর্ঘ্য
(a) 3 সেমি. (b) 4 সেমি.
(c) 5 সেমি. (d) 8 সেমি.
সমাধানঃ
∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ACB=90°
∆ACB একটি সমকোণী ত্রিভুজ
∴ \(AB^2=AC^2+BC^2\)
∴ \(AB=\sqrt{3^2+4^2}\) সেমি.
\(=\sqrt {9+16}\) সেমি.
\(=\sqrt 25\) সেমি. =5 সেমি.
উত্তরঃ (c) 5 সেমি.
(v).
পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ∠BCE=20°,∠CAE=25° হলে, ∠AEC -এর মান নির্ণয় করি।
(a) 50° (b) 90° (c) 45° (d) 20°
সমাধানঃ
∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ACB=90°
∠ACE= ∠ACB +∠BCE=90°+20°=110°
∴ ∆ACE থেকে পাই,
∠AEC=180°-∠ACE-∠CAE
=180°-110°-25°=45°
উত্তরঃ (c) 45°
(B) সত্য বা মিথ্যা লিখিঃ
(i) অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থ কোণ স্থূলকোণ।
উত্তরঃ মিথ্যা
[***অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থ কোণ সুক্ষ্মকোণ হয়।]
(ii) ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দু O এবং OA=OB=OC;
AB বাহুকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি C বিন্দু দিয়ে যাবে।
সমাধানঃ
AB ব্যাস এবং AO=OB
∴ O বৃত্তের কেন্দ্র
আবার, OA=OB=OC
∴ OC বৃত্তের ব্যাসার্ধ হবে।
∴ বৃত্তটি C বিন্দু দিয়ে যাবে।
উত্তরঃ সত্য
(C) শূণ্যস্থান পূরণ করিঃ
(i). অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ________।
উত্তরঃ সমকোণ
(ii). অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংশস্থ কোণ ______।
উত্তরঃ স্থূলকোণ
(iii). সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি _____ বিন্দু দিয়ে যাবে।
উত্তরঃ সমকৌণিক
11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=AC; AB বাহুকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে, BD=4 সেমি. হলে CD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ADB=90°
∴ ∠ADC=180°-90°=90°
∆ADB এবং ∆ADC এর মধ্যে
AB=AC,
∠ADB=∠ADC [∵ ∠ADB =90°=∠ADC]
এবং AD সাধারণ বাহু
∴ ∆ADB≅∆ADC [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
∴ BD=CD [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
যেহেতু, BD=4 সেমি.
∴ CD=4 সেমি.
(ii) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা AB এবং AC পরস্পর লম্ব। AB=4 সেমি. ও AC=3 সেমি. হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
AB⊥AC
∴ ∠BAC=90°
যেহেতু, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ∠BAC=90°
∴ BC বৃত্তের ব্যাস
সমকোণী ∆ABC থেকে পাই,
\(BC=\sqrt{3^2+4^2}\) সেমি.
\(=\sqrt{9+16}\) সেমি.
\(=\sqrt 25\) সেমি. = 5 সেমি.
∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5/2 সেমি. =2.5 সেমি.
(iii) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা PQ এবং PR পরস্পর লম্ব। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. হলে, জ্যা QR -এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
PQ⊥QR
∴ ∠RPQ=90°
যেহেতু, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ∠RPQ=90°
∴ QR বৃত্তের ব্যাস
∴ QR=2r সেমি.
(iv) AOB বৃত্তের একটি ব্যাস। C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। ∠OBC=60° হলে ∠OCA -এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
∴ ∠ACB =90°
∆BOC এর BO=OC [বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OCB=∠OBC=60°
∠OCA=∠ACB-∠OCB
=90°-60°=30°
(v).
পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। জ্যা CD -এর দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান। AC ও BD -কে বর্ধিত করায় P বিন্দুতে ছেদ করে। ∠APB -এর মান নির্ণয় করি।
পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। জ্যা CD -এর দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান। AC ও BD -কে বর্ধিত করায় P বিন্দুতে ছেদ করে। ∠APB -এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
∆COD এর CD=CO=DO= বৃত্তের ব্যাসার্ধ
∴ ∠COD=60°
CD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠COD
এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠CAD
∴ ∠CAD=1/2∠COD=1/2×60°=30°
∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ∴ ∠ADB=90°
∆ADP এর বহিঃস্থ কোণ ∠ADB=∠PAD+∠APD
বা, ∠APD=∠ADB-∠PAD
বা, ∠APB= ∠ADB-∠CAD
= 90°-30°
= 60°
∴ ∠APB=60°
0 Comments