6. বিপ্রতীপ কোণের ধারণা | কষে দেখি 7.1 | Exercise 7.1 | Ganit Prabha Class VIII math solution | WBBSE Class 8 Math Solution in Bengali
গণিত প্রভা VIII কষে দেখি 7.1 সমাধান 👇
1. দুটি সরলরেখা PQ ও RS পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করলে যে বিপ্রতীপ কোণগুলি তৈরি হয় তাদের আঁকি ও নাম লিখি।
দুটি সরলরেখা PQ ও RS পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করলে যে বিপ্রতীপ কোণগুলি তৈরি হয় সেগুলি হল
\(\angle\ POS\) ও \(\angle\ ROQ\)
এবং \(\angle\ POR\) ও \(\angle\ SOQ\)
2. ছবি দেখি ও কোণগুলির মান লেখার চেষ্টা করিঃ
(a)
\(\angle1\ =\) বিপ্রতীপ \(\angle3\)
এবং \(\angle2=\) বিপ্রতীপ \(\angle4\)
∴ \(\angle3=\angle1\ =35°\)
আবার, \(\angle1+\angle2=180°\)
∴ \(\angle2=180°-35°=145°\)
∴ \(\angle4\ =\angle2=145°\)
(b)
\(\angle\ TOS=20°\) \(\angle\ ROQ=60°\)
\(\angle\ POT=\)____ \(\angle\ ROP=\)____
\(\angle\ QOS=\)____
সমাধানঃ
\(\angle\ ROP=\) বিপ্রতীপ \(\angle\ QOS\)
এবং \(\angle\ ROQ=\) বিপ্রতীপ \(\angle\ POS\)
∴ \(\angle\ POS=60°\) [ ∵ ∠ROQ=60° ]
বা, \(\angle\ POT+\angle\ TOS\ =60°\)
বা, \(\angle\ POT=60°-∠TOS\)
বা, \(\angle\ POT=\ 60°-20°\)
∴ \(\angle\ POT=\ 40°\)
\(\angle\ ROP+\angle\ ROQ=\ 180°\)
বা, \(\angle\ ROP=180°-∠ROQ\)
বা, \(\ \angle\ ROP=180°-60°\)
∴ \(\angle\ ROP=120°\)
∴ \(\angle\ QOS=120\)°
[ ∵ \(\angle\ ROP=\) বিপ্রতীপ \(\angle\ QOS\)]
3. তীর্থ PQ ও XY দুটি সরলরেখা আঁকল যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। আমি চাঁদার সাহায্যে বিপ্রতীপ কোণগুলি মেপে দেখি।
PQ ও XY দুটি সরলরেখা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করার ফলে যে দুই জোড়া বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয় সেগুলি হল
\(\angle\ POX\) ও \(\angle\ YOQ\) এবং \(\angle\ POY\) ও \(\angle\ XOQ\)
চাঁদার সাহায্যে মেপে দেখলাম
\(\angle\ POX=\angle\ YOQ=30°\)
এবং \(\angle\ XOQ=\angle\ POY=120°\)
[Note: কোণগুলির পরিমাপ আলাদাও হতে পারে]
(i) দুটি কোণের নাম লিখি যারা পরস্পর পূরক কোণ।
(ii) দুটি কোণের নাম লিখি যারা পরস্পর সম্পূরক কোণ।
(iii) দুটি কোণের নাম লিখি যারা পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।
সমাধানঃ
(i) \(\angle\ AOM\) ও \(\angle\ DOM\) কোণ দুটি পরস্পর পূরক কোণ ।
(ii) \(\angle\ AOC\) ও \(\angle\ BOC\) কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক কোণ ।
[এছাড়াও, \(\angle\ BOC\) ও \(\angle\ DOB\) পরস্পর সম্পূরক কোণ]
(iii) \(\angle\ AOD\) ও \(\angle\ COB\) কোণ দুটি পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ ।
[এছাড়াও, \(\angle\ AOC\) ও \(\angle\ DOB\) পরস্পর সম্পূরক কোণ]
5. দুটি সরলরেখা কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণগুলির পরিমাপ সমান হবে-যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি।
AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে
ছেদ করে। এর ফলে দুজোড়া বিপ্রতীপ কোণ
\(\angle\ AOD,\ \angle\ BOC\) ও \(\angle\ AOC,\ \angle\ BOD\) তৈরি হয়েছে,
প্রমাণ করতে হবে যে:
বিপ্রতীপ কোণ জোড়া দুটি সমান
অর্থাৎ \(\angle\ AOD=\angle\ BOC\) ও \(\angle\ AOC=\angle\ BOD\)
প্রমাণঃ
\(\angle\ AOC+\angle\ AOD=180°\)
[∵ CD সরলরেখার উপর OA দন্ডায়মান]
\(\angle\ AOC+\angle\ BOC=180°\)
[∵ AB সরলরেখার উপর OC দন্ডায়মান]
∴ \(\angle\ AOC+\angle\ AOD=\angle\ AOC+\angle\ BOC\)
∴ \(\angle\ AOD=\angle\ BOC\)
আবার,
\(\angle\ BOC+\angle\ BOD=180°\)
[∵ CD সরলরেখার উপর OB দন্ডায়মান]
\(\angle\ AOC+\angle\ BOC=180°\)
[∵ AB সরলরেখার উপর OC দন্ডায়মান]
∴ \(\angle\ BOC+\angle\ BOD=\angle\ AOC+\angle\ BOC\)
∴ \(\angle\ BOD=\angle\ AOC\)
সুতরাং, \(\angle\ AOD=\angle\ BOC\) এবং \(\angle\ BOD=\angle\ AOC\) [প্রমাণিত]
6. \(\angle\ BOD,\ \angle\ BOC\) এবং \(\angle\ AOC\) এর পরিমাপ লিখি।
সমাধানঃ
\(\angle\ BOC=\) বিপ্রতীপ \(\angle\ AOD\)
=120°
\(\angle\ AOC+\angle\ BOC=180°\)
[∵ AB সরলরেখার উপর OC দন্ডায়মান]
∴ \(\angle\ AOC\ =\ 180° - 120°\)
= 60°
\(\angle\ BOD\ =\) বিপ্রতীপ \(\angle\ AOC\)
= 60°
সুতরাং, \(\angle\ BOD=60°,∠BOC=120°\) এবং \(\angle\ AOC=60°\)
7.
\(\angle\ POR\) ও \(\angle\ QOS\) এর সমষ্টি 110°;
\(\angle\ POS,\ \angle\ QOS,\ \angle\ QOR\) ও \(\angle\ POR\) এর পরিমাপ লিখি।
সমাধানঃ
\(\angle\ POR\ =\) বিপ্রতীপ \(\angle\ QOS\)
\(\angle\ POR+\angle\ QOS=110°\)
বা, \(\angle\ POR+\angle\ POR=110°\)
বা, \(2\angle\ POR=110°\)
বা, \(\angle\ POR=\frac{110°}{2}\)
∴ \(\angle\ POR=55°\)
∴ \(\angle\ QOS=55°\)
\(\angle\ POR+\angle\ POS=180°\)
[ ∵ RS সরলরেখার উপর OP দন্ডায়মান]
∴ \(\angle\ POS=180°-55° = 125°\)
\(\angle\ QOR=\) বিপ্রতীপ \(\angle\ POS=125°\)
সুতরাং, \(\angle\ POS=125°,∠QOS=55°,∠QOR=125°\)
এবং \(\angle\ POR=55°\)
8. OP, OQ, OR এবং OS সমবিন্দু। OP এবং OR একই সরলরেখায় অবস্থিত। P ও R বিন্দু O বিন্দুর বিপরীত পাশে অবস্থিত। \(\angle\ POQ=\angle\ ROS\) এবং \(\angle\ POS=\angle\ QOR\) । যদি \(\angle\ POQ=50°\) হয় তবে \(\angle\ QOR,\ \angle\ ROS\) এবং \(\angle\ POS\) এর পরিমাপ লিখি।
সমাধানঃ
\(\angle\ POQ=\angle\ ROS\) এবং \(\angle\ POQ=50°\)
∴ \(\angle\ ROS=50°\)
OP এবং OR একই সরলরেখায় অবস্থিত
∴ \(\angle\ POS+\angle\ ROS=180°\)
বা, \(\angle\ POS+50°=180°\)
বা, \(\angle\ POS=180°-50°\)
∴ \(\angle\ POS=130°\)
আবার, \(\angle\ POS=\angle\ QOR\)
∴ \(\angle\ QOR=130°\)
সুতরাং, \(\angle\ QOR=130°,∠ROS=50°\) এবং \(\angle\ POS=130°\)
9. চারটি রশ্মি একটি বিন্দুতে এমনভাবে মিলিত হয় যে বিপরীত দিকের কোণগুলি সমান। প্রমাণ করি যে ওই চারটি রশ্মি দ্বারা দুটি সরলরেখা তৈরি হয়।
প্রদত্তঃ চারটি রশ্মি PO, RO, QO এবং SO, O দিন্দুতে এমনভাবে মিলিত হয়েছে
যে বিপরীত দিকের কোণগুলি সমান
অর্থাৎ \(\angle\ POS=\angle\ ROQ\) এবং \(\angle\ POR=\angle\ SOQ\)
প্রামান্যঃ PO, RO, QO এবং SO দিয়ে দুটি সরলরেখা তৈরি হয়।
প্রমাণঃ
চারটি রশ্মি PO, RO, QO এবং SO বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
∴ \(\angle\ POS+\angle\ POR\)
\(+\angle\ ROQ+\angle\ SOQ=360°\)
বা, \(\angle\ ROQ+\angle\ SOQ\)
\(+\angle\ ROQ+\angle\ SOQ=360°\)
[∵ \(\angle\ POS=\angle\ ROQ\)
এবং \(\angle\ POR=\angle\ SOQ\)]
বা, \(2(\angle\ ROQ+\angle\ SOQ)=360°\)
∴ \(\angle\ ROQ+\angle\ SOQ=180°\)
∴ \(\angle\ ROQ\) ও \(\angle\ SOQ\) সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি 180°
সুতরাং, RS একই সরলরেখায় অবস্থিত।
এখন \(\angle\ POS+\angle\ SOQ\)
\(=\angle\ ROQ+\angle\ SOQ\) [∵ \(\angle\ POS=\angle\ ROQ\)]
= 180°
∴ \(\angle\ POS\) ও \(\angle\ SOQ\) সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি 180°
সুতরাং,PQ একই সরলরেখায় অবস্থিত।
∴ PO, RO, QO এবং SO, O বিন্দুতে মিলিত হওয়ার ফলে PQ ও RS দুটি সরলরেখা তৈরি হল।
সুতরাং, PO, RO, QO এবং SO দিয়ে দুটি সরলরেখা তৈরি হয়। [প্রমাণিত]
10. একটি কোণের অন্তঃসমদ্বিখন্ডক ও বহিঃসমদ্বিখন্ডক পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত- প্রমাণ করি।
প্রদত্তঃ একটি কোণ \(\angle\ BOC\) এর অন্তসমদ্বিখন্ডক OD এবং বহিঃসমদ্বিখন্ডক OP
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
OD ও OP পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত।
প্রমাণঃ
\(\angle\ BOC\) এর বহিঃকোণ \(\angle\ AOC\)
সুতরাং, \(\angle\ BOC+\angle\ AOC=180°\)-----(1)
\(\angle\ BOC\) এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডক OD
∴ \(\angle\ BOC=2\angle\ COD\)------(2)
আবার,
\(\angle\ BOC\) এর বহিঃকোণ \(\angle\ AOC\) এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডক OP
∴ \(\angle\ AOC=2\angle\ COP\)------------(3)
(1) নং থেকে পাই,
\(\angle\ BOC+\angle\ AOC=180°\)
বা, \(2\angle\ COD+2\angle\ COP=180°\)
বা, \(2(\angle\ COD+\angle\ COP)=180°\)
∴ \(\angle\ COD+\angle\ COP=90°\)
সুতরাং, OD ও OP পরস্পর লম্ব
11. দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে যা চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি চার সমকোণের সমান-প্রমাণ করি।
প্রদত্তঃ PQ ও RS সরলরেখা দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। এর ফলে \(\angle\ POR,\) \(\angle\ ROQ,\) \(\angle\ SOQ\) ও \(\angle\ POS\) চারটি কোণ তৈরি হয়েছে।
প্রামান্যঃ
\(\angle\ POR+\angle\ ROQ\)
\(+\angle\ SOQ+\angle\ POS\) = 4 সমকোণ
প্রমাণঃ
PQ সরলরেখার উপর OR রশ্মি দন্ডায়মান
∴ \(\angle\ POR+\angle\ ROQ=180°\)-----(1)
আবার, PQ সরলরেখার উপর OS রশ্মি দন্ডায়মান
∴ \(\angle\ POS+\angle\ SOQ=180°\)-----(2)
(1) + (2) করে পাই,
\(\angle\ POR+\angle\ ROQ\)
\(+\angle\ POS+\angle\ SOQ\) = 180°+180°
বা, \(\angle\ POR+\angle\ ROQ\)
\(+\angle\ POS+\angle\ SOQ\) = 360°
∴ \(\angle\ POR+\angle\ ROQ\)
\(+\angle\ SOQ+\angle\ POS\) = 4 সমকোণ [প্রমাণিত]
12. PQR ত্রিভুজের \(\angle\ PQR=\angle\ PRQ\); QR বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে যে দুটি বহিঃকোণ উৎপন্ন হয় তাদের মান সমান- প্রমাণ করি।
প্রদত্তঃ
PQR ত্রিভুজের \(\angle\ PQR=\angle\ PRQ\) । QR বাহুকে উভয়দিকে যথাক্রমে S ও T পর্যন্ত বর্ধিত করার ফলে যথাক্রমে দুটি বহিঃকোণ \(\angle\ PQS\) এবং \(\angle\ PRT\) তৈরি হল।
প্রামান্যঃ \(\angle\ PQS=\angle\ PRT\)
প্রমাণঃ
SR সরলরেখার উপর QP রশ্মি দন্ডায়মান
∴ \(\angle\ PQS+\angle\ PQR=180°\)------(1)
আবার, QT সরলরেখার উপর RP রশ্মি দন্ডায়মান
∴ \(\angle\ PRT+\angle\ PRQ=180°\)------(2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
\(\angle\ PQS+\angle\ PQR=\angle\ PRT+\angle\ PRQ\)
বা, \(\angle\ PQS+\angle\ PRQ\ =\angle\ PRT+\angle\ PRQ\)
[∵\(\angle\ PQR=\angle\ PRQ\)]
∴ \(\angle\ PQS=\angle\ PRT\) [প্রমাণিত]
13. দুটি সরলরেখা পরস্পরকে একটি বিন্দুতে ছেদ করায় যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমদ্বিখন্ডকগুলি পরস্পর দুটি লম্ব সরলরেখা-প্রমাণ করি।
প্রদত্তঃ
PQ ও RS সরলরেখা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ চারটি কোণ \(\angle\ POR\), \(\angle\ ROQ\), \(\angle\ SOQ\) ও \(\angle\ POS\) উৎপন্ন হয়েছে। AO, BO, CO ও DO যথাক্রমে চারটি কোণগুলির সমদ্বিখন্ডক।
প্রামাণ্যঃ
সমদ্বিখন্ডকগুলি পরস্পর দুটি লম্ব সরলরেখা
অর্থাৎ, AO, OC এবং BO, OD একই সরলরেখায় আছে এবং \(AC\bot\ BD\)
প্রমাণঃ
\(\angle\ POS=\) বিপ্রতীপ \(\angle\ ROQ\) [প্রদত্ত]
এবং \(\angle\ POR=\) বিপ্রতীপ \(\angle\ SOQ\) [প্রদত্ত]
AO, \(\angle\ POR\) এর সমদ্বিখন্ডক
∴ \(\angle\ AOP=\angle\ AOR=\frac{1}{2}\angle\ POR\)
BO, \(\angle\ POR\) এর সমদ্বিখন্ডক
∴ \(\angle\ AOP=\angle\ AOR=\frac{1}{2}\angle\ POR\)
CO, \(\angle\ POR\) এর সমদ্বিখন্ডক
∴ \(\angle\ AOP=\angle\ AOR=\frac{1}{2}\angle\ POR\)
DO, \(\angle\ POR\) এর সমদ্বিখন্ডক
∴ \(\angle\ AOP=\angle\ AOR=\frac{1}{2}\angle\ POR\)
\(\angle\ AOD+\angle\ AOB\)
\(=\angle\ DOP+\angle\ AOP+\angle\ AOR+\angle\ ROB\)
\(=\frac{1}{2}\angle\ POS+\angle\ POR+\frac{1}{2}\angle\ ROQ\)
\(=\frac{1}{2}\angle\ ROQ+\angle\ POR+\frac{1}{2}\angle\ ROQ\)
\(=\angle\ ROQ+\angle\ POR\)
=180° [∵ PQ সরলরেখার উপর OR দন্ডায়মান]
\(\angle\ AOD\) ও \(\angle\ AOB\) সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি 180°
∴ OB ও OD একই সরলরেখায় অবস্থিত
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে,
OA ও OC একই সরলরেখায় অবস্থিত
\(\angle\ AOB=\angle\ AOP+\angle\ POD\)
\(=\frac{1}{2}\angle\ ROP+\frac{1}{2}\angle\ POS\)
\(=\frac{1}{2}(\angle\ ROP+\angle\ POS)\)
\(=\frac{1}{2}\times180°\)
[∵ RS সরলরেখার উপর OP দন্ডায়মান]
=90°
∴ AC ও BD সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
0 Comments