Join our Telegram Channel

কষে দেখি 5.3 | 5. ঘনফল নির্ণয় | WBBSE Board Class 8 Math Solution

5. ঘনফল নির্ণয় | কষে দেখি 5.3 | Exercise 5.3 | Ganit Prabha Class VIII math solution | WBBSE Class 8 Math Solution in Bengali



গণিত প্রভা VIII কষে দেখি 5.3 সমাধান 👇


1. ফাঁপা ঘরে বুঝে লিখিঃ

সমাধানঃ
প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=(x+9)(x^2-9x+81)\)
\(=\left(x+9\right)\left(\ x^2-x.9+9^2\right)\)
\(=x^3+9^3\)
\(=x^3+729\)


সমাধানঃ
প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=8a^3-1\) 
\(=\left(2a\right)^3-\left(1\right)^3\) 
\(=\left(2a-1\right)\left\{\left(2a\right)^2+2a\times1+\left(1\right)^2\right\}\) 
\(=(2a-1)(4a^2+2a+1)\) 

∴ দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালা \(=(4a^2+2a+1)\)


সমাধানঃ
প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=27-125c^3\) 
\(=\left(3\right)^3-\left(5c\right)^3\) 
\(=\left(3-5c\right)\left\{\left(3\right)^2+3.5c+\left(5c\right)^2\right\}\) 
\(=\left(3-5c\right)\left(9+15c+25c^2\right)\) 

দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালা \(=\left(9+15c+25c^2\right)\)


সমাধানঃ
প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=\left(a+b+c\right)\left\{\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right\}\)
\(=\left(a+b\right)^3+\left(c\right)^3\) 



সমাধানঃ
প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=3x\left\{\left(2x-1\right)^2-\left(2x-1\right)\left(x+1\right)+\ \left(x+1\right)^2\right\}\) 
\(=(2x-1+x+1)\{\left(2x-1\right)^2-(2x-1)\ (x+1)\ \)
                            \( +\ \left(x+1\right)^2\}\)
\(=\left(2x-1\right)^3+\left(x+1\right)^3\) 
\(=8x^3-12x^2+6x-1+x^3+3x^2+3x+1\) 
\(=9x^3-9x^2+9x\) 


সমাধানঃ
প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=\left(\frac{x}{y}+1\right)\left(\frac{x^2}{y^2}-\frac{x}{y}+1\ \right)\) 
\(=\left(\frac{x}{y}\right)^3+1^3\)
\(=\ \frac{x^3}{y^3}+1\)


সমাধানঃ
প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=(4a-5b)(16a^2+20ab+25b^2)\)
\(=\left(4a-5b\right){(4a)^2+4a.5b+(5b)^2}\)
\(=(4a)^3-(5b)^3\) 
\(=64a^3-125b^3\) 


সমাধানঃ
প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=a^3b^3-c^3d^3\)
\(=\left(ab\right)^3-\left(cd\right)^3\)
\(=(ab-cd)\{\left(ab\right)^2+ab.cd+\left(cd\right)^2\}\) 
\(=\left(ab-cd\right)\left(a^{2b^2}+abcd+c^2d^2\right)\) 

প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা হল \((ab-cd)\)



সমাধানঃ
প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=1-64y^3\)
\(=\left(1\right)^3-\left(4y\right)^3\) 
\(=\left(1-4y\right)\left\{\left(1\right)^2+1.4y+\left(4y\right)^2\right\}\) 
\(=\left(1-4y\right)\left(1+4y+16y^2\right)\) 

দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালা হল \((1+4y+16y^2)\) 


সমাধানঃ
প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=8\left(p-3\right)^3+343\)
\(=\left\{2\left(p-3\right)^3+\left(7\right)^3\right\}\) 
\(=\left\{\left(2p-6\right)^3+\left(7\right)^3\right\}\) 
\(=\left(2p-6+7\right)\left\{\left(2p-6\right)^2-\left(2p-6\right).7+\left(7\right)^2\right\}\) 
\(=(2p+1)\{\left(2p-6\right)^2-2.(\ p-3).7+49\}\)
\(=(2p+1)\{\left(2p-6\right)^2-14(p-3)+49\}\) 

দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালা হল 
\(\left(2p-6\right)^2-14(p-3)+49\)


সমাধানঃ
প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=(m-p)\{\left(m+n\right)^2+(m+n)(n+p)+\left(n+p\right)^2\}\)
\(=\left\{\left(m+n\right)-\left(n-p\right)\right\}\)
            \(\left\{\left(m+n\right)^2+\left(m+n\right)\left(n+p\right)+\left(n+p\right)^2\right\}\)
\(=\ \left\{\left(m+n\right)^3-\left(n+p\right)^3\right\}\)



সমাধানঃ
প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=\{\left(3a-2b\right)^2+(3a-2b)(2a-3b)\)
            \(+\left(2a-3b\right)^2\}(a+b)\)
\(=(a+b)\{(3a-2b)^2+(3a-2b)(2a-3b)\)
            \(+\left(2a-3b\right)^2\}\)
\(=\{(3a-2b)-(2a-3b)\}\)
\(\times\{\left(3a-2b\right)^2+(3a-2b)(2a-3b)+\left(2a-3b\right)^2\}\)
\(=\left(3a-2b\right)^3-\left(2a-3b\right)^3\)


2. সরল করি [সূত্রের সাহায্যে]
(i) \((a+b(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab-b^2)\)
সমাধানঃ
\((a+b(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab-b^2)\)
\(=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(=(a^3+b^3)(a^3-b^3)\)
\(=(a^3)^2-(b^3)^2\)
\(=a^6-b^6\) 


(ii) \(\left(a-2b\right)\left(a^2+2ab+4b^2\right)\left(a^3+8b^3\right)\)
সমাধানঃ
\(\left(a-2b\right)\left(a^2+2ab+4b^2\right)\left(a^3+8b^3\right)\)
\(=\{(a)^3-(2b)^3\}(a^3+8b^3)\)  
\(=(a^3-8b^3)(a^3+8b^3)\)
\(=(a^3)^2-(8b^3)^2\) 
\(=a^6-64b^6\) 


(iii) \((4a^2-9)(4a^2-6a+9)(4a^2+6a+9)\)
সমাধানঃ
\((4a^2-9)(4a^2-6a+9)(4a^2+6a+9)\)
\(=\{\left(2a\right)^2-\left(3\right)^2\}(4a^2-6a+9)(4a^2+6a+9)\ \)
\(=\left(2a+3\right)\left(2a-3\right)\left(4a^2-6a+9\right)\)
            \(\times\left(4a^2+6a+9\right)\)
\(=\left(2a+3\right)\left(4a^2-6a+9\right)\)
            \(\times\left(2a-3\right)\left(4a^2+6a+9\right)\)
\(=\{\left(2a\right)^3+\left(3\right)^3\}\{\left(2a\right)^3-\left(3\right)^3\}\)
\(={{\left(2a\right)^3}}^2{-{\left(3^3\right)}}^2\)
\(=\left(8a^3\right)^2-\left(27\right)^2\)
\(=64a^6-729\)


(iv) \(\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+\left(y-z\right)\left(y^2+yz+z^2\right)\)
\(+(z-x)(z^2+zx+x^2)\)
সমাধানঃ
\(\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+\left(y-z\right)\left(y^2+yz+z^2\right)\)
\(+(z-x)(z^2+zx+x^2)\)
\(=\left(x^3-y^3\right)+{(y}^3-z^3)+(z^3-x^3)\)
\(=x^3-y^3+y^3-z^3+z^3-x^3\)
\(=0\) 


(v) \(\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)+\left(2x-1\right)\left(4x^2+2x+1\right)\)
\(-(x-1)(x^2+x+1)\)
সমাধানঃ
\((x+1)(x^2-x+1)+(2x-1)(4x^2+2x+1)\)
        \(-(x-1)(x^2+x+1)\)
\(=(x^3+1^3)+(2x-1)\{\left(4x\right)^2+2x+\left(1\right)^2\}\)
          \(-\left(x^3-1^3\right)\)
\(=x^3+1+{\left(2x\right)^3-\left(1\right)^3}-(x-1)\)
\(=x^3+1+8x^3-1-x^3+1\)
\(=\ 8x^3+1\)


3. \(x+\frac{1}{x}=-1\) হলে \((x^3-1)\) এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি,
সমাধানঃ
\(x+\frac{1}{x}=-1\)
 বা, \(x\left(x+\frac{1}{x}\right)=-x\) 
                        [উভয়পক্ষকে x দ্বারা গুন করে পাই]
বা, \(x^2+1=-x\)
বা, \(x^2+x+1=0\) [পক্ষান্তর করে পাই]
    
\(x^3-1\) 
\(=x^3-1^3\)
\(=(x-1{)(x}^2+x+1)\) 
\(=\left(x-1\right)\times0\)
\(=0\)


4. \(a+\frac{9}{a}=3\) হলে \((a^3+27)\) এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
  \(\left(a+\frac{9}{a}\right)=3\)
    বা,   \(a\left(a+\frac{9}{a}\right)=3a\) [উভয়পক্ষকে a দ্বারা গুন করে পাই]  
    বা, \(\ a^2+9=3a\)
    বা,   \(a^2-3a+9=0\)

\(\left(a^3+27\right)=a^3+3^3\)
\(=\left(a+3\right)\left(a^2+3a+3^2\right)\) 
\(=(a+3)\ (a^2+3a+9)\)   
\(=\left(a+3\right)\times0=0\)

5. \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=1\) হলে \((a^3+b^3)\) এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
    \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=1\) 
বা, \(ab\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=ab\)
                    [উভয় পক্ষকে ab দ্বারা গুন করে পাই]
বা, \(ab\left(\frac{a^2+b^2}{ab}\right)=ab\)
বা, \(a^2+b^2=ab\)
বা, \(a^2-ab+b^2=0\)

\(a^3+b^3\)
\(=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(=\left(a+b\right)\times0\)
\(=0\)  


6. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি।
(i) \(1000a^3+27b^6\)
সমাধানঃ
\(1000a^3+27b^6\)
\(=(10a)^3+\left(3b^2\right)^3\)
\(=\left(10a+3b^2\right)\{(10a)^2-10a-3b^2+(3b^2)\}\)
\(=(10a+3b^2)(100a^2-30ab^2+9b^4)\)


(ii) \(1-216z^3\)
সমাধানঃ
\(1-216z^3\)
\(=(1)^3-(6z)^3\)
\(=\left(1-6z\right)\{(1^2+1.6z+(6z)^2\}\)
\(=\left(1-6z\right)\left(1+6z+36z^2\right)\)


(iii) \(m^4-m\)
সমাধানঃ
\(m^4-m\)
\(=m\left(m^3-1\right)\)
\(=m{(m)^3-(1)^3}\)
\(=m\left(m-1\right)\{m^2+m.1+(1)^2\}\)
\(=m(m-1)(m^2+m+1)\)


(iv) \(192a^2+3\)
সমাধানঃ
  \(192a^2+3\)
\(=3\left(64a^2+1\right)\)
\(=3{(4a)^3+\left(1\right)^3}\)
\(=3\left(4a+1\right)\{(4a)^2-4a.1+(1)^2\}\)
\(=3(4a+1)(16a^2-4a+1)\) 


(v) \((16a^4x^3+54ay^3\)
সমাধানঃ
   \(16a^4x^3+54ay^3\)
\(=2a(8a^3x^3+27y^3)\)
\(=2a\{(2ax)^3+\left(3y\right)^3\}\)
\(=2a\left(2ax+3y\right)\{(2ax)^2-2ax.3y+(3y)^2\}\)
\(=2a(2ax+3y)(4a^2x^2-6axy+9y^2)\)


(vi) \(729a^3b^3c^3-125\)
সমাধানঃ
    \(729a^3b^3c^3-125\)
\(=\left(9abc\right)^3-\left(5\right)^3\) 
\(=\left(9abc-5\right)\{(9abc)^2+9abc.5+\left(5\right)^2\}\)
\(=\left(9abc-5\right)\left(81a^2b^2c^2+45abc+25\right)\)


(vii) \(\frac{27}{a^3}-\frac{1}{27b^3}\)
সমাধানঃ
\(\frac{27}{a^3}-\frac{1}{27b^3}\)
\(=\left(\frac{3}{a}\right)^3-\left(\frac{1}{3b}\right)^3\)
\(=\left(\frac{3}{a}-\frac{1}{3b}\right)\left\{\left(\frac{3}{a}\right)^2+\frac{3}{a}.\frac{1}{3b}+\left(\frac{1}{3b}\right)^2\right\}\)
\(=\left(\frac{3}{a}-\frac{1}{3b}\right)\left(\frac{9}{a^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{9b^2}\right)\) 


(viii) \({\frac{x}{64}}^3-\ \frac{64}{x^3}\)
সমাধানঃ
\({\frac{x}{64}}^3-\ \frac{64}{x^3}\)
\(=\left(\frac{x}{4}\right)^3-\left(\frac{x}{4}\right)^3\)
\(=\left(\frac{x}{4}-\frac{4}{x}\right)\left\{\left(\frac{x}{4}\right)^2+\frac{x}{4}.\frac{4}{x}+\left(\frac{4}{x}\right)^2\right\}\)
 \(=\left(\frac{x}{4}-\frac{4}{x}\right)\left(\frac{x^2}{16}+1+\frac{16}{x^2}\right)\)
\(=\left(\frac{x}{4}-\frac{4}{x}\right)\left(\frac{x^2}{16}+2+\frac{16}{x^2}-1\right)\)
\(=\left(\frac{x}{4}-\frac{4}{x}\right)\left\{\left(\frac{x}{4}\right)^2+2.\frac{x}{4}.\frac{4}{x}+\left(\frac{4}{x}\right)^2-1\right\}\)
\(=\left(\frac{x}{4}-\frac{4}{x}\right)\left\{\left(\frac{x}{4}+\frac{4}{x}\right)^2-\left(1\right)^2\right\}\)
\(=\left(\frac{x}{4}-\frac{4}{x}\right)\left(\frac{x}{4}+\frac{4}{x}+1\right)\left(\frac{x}{4}+\frac{4}{x}-1\right)\)  
     

(ix) \(x^3+3x^2y+3xy^2+2y^2\)
সমাধানঃ
\(x^3+3x^2y+3xy^2+2y^2\)
\(=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+y^3\)
\(=\left(x+y\right)^3+y^3\)
\(=\left(x+y+y\right){(x+y)^2-\left(x+y\right).y+y^2}\)
\(=(x+2y)(x^2+2xy+y^2-xy-y^2{-y}^2)\)
\(=(x+2y)(x^2+xy+y^2)\)


(x) \(1+9x+27x^2+28x^3\) 
সমাধানঃ
 \(1+9x+27x^2+28x^3\)
\(=\ 1+9x+27x^2+27x^3+x^3\)
\(=\ \left(1\right)^3+3.\left(1\right)^2.3x+3.1.\left(3x\right)^2+\left(3x\right)^3+x^3\)
\(=\ \left(1+3x\right)^3+x^3\)
\(=\ (1+3x+x)\{\left(1+3x\right)^2-(1+3x).x+\left(x\right)^2\}\)
\(=\ (1+4x)(1+6x+9x^2-x-3x^2+x^2)\)
\(=\ (1+4x)(1+5x+7x^2)\)



(xi) \(x^3-9y^3-3xy(x-y)\)
সমাধানঃ
\(x^3-9y^3-3xy(x-y)\)
\(=x^3-8y^3-y^3-3xy(x-y)\)
\(=x^3-y^3-3xy(x-y)-8y^3\)
\(=\left(x-y\right)^3-\left(2y\right)^3\)
\(=\{(x-y)-2y\}\{(x-y)^2\)
            \(+\left(x-y\right).2y+\left(2y\right)^2\}\) 
\(=(x-y-2y)(x^2-2xy+y^2+2xy-2y^2+4y^2)\)
\(=(x-3y)(x^2+3y^2)\) 


(xii) \(\ 8-a^3+3a^2b-3ab^2+b^3\)
সমাধানঃ
     \(8-a^3+3a^2b-3ab^2+b^3\)
 \(=8-(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)\)
\(=2^3-(a-b)^3\) 
\(=\left\{2-\left(a-b\right)\right\}\{2^2+2.\left(a-b\right)+(c-b)^2\}\)
\(=(2-a+b)(4+2a-2b+a^2-2ab+b^2)\)
\(=(2-a+b)(a^2+b^2-2ab+2a-2b+4)\)


(xiii) \(x^6+3x^4b^2+3x^2b^4+b^6+a^3b^3\)
সমাধানঃ
    \(x^6+3x^4b^2+3x^2b^4+b^6+a^3b^3\)
\(=(x^2)^3+3.{(x^2)}^2.b^2+3.x^2.(b^2)^2+{(b^2)}^3+a^3b^3\)
\(={(x^2+b^2)}^3\ +(ab)^3\)  
\(=\left(x^2+b^2+ab\right)\{(x^2+b^2)^2\)
            \(-\left(x^2+b^2\right).ab+(ab)^2\}\)
\(=\left(x^2+b^2+ab\right)\{x^4+2x^2b^2+b^4\)
            \(-ab(x^2+b^2)+a^2b^2\}\)


(xiv) \(x^6+27\)
সমাধানঃ
\(x^6+27\)
\(=(x^2)^3+(3)^3\)
\(=\left(x^2+3\right){\left(x^2\right)^2-x^2.3+\left(3\right)^2}\)
\(=\left(x^2+3\right)(x^4-3x^2+9)\)  

(xv)  \(x^6-y^6\)
সমাধানঃ
\(x^6-y^6\)
\(=\left(x\right)^3-\left(y^3\right)^2\)
\(=(x^3+y^3)(x^3-y^3\)
\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)


(xvi) \(x^{12}{-y}^{12}\)
সমাধানঃ
   \(x^{12}{-y}^{12}\)
\(=\left(x^6\right)^2-\left(y^6\right)^2\) 
\(=(x^6+y^6)(x^6-y^6)\) 
\(=(x^2)^3+(y^2)^3\}\{(x^3)^2-(y^3)^2\}\)
\(=(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)(x^3+y^3)(x^3-y^3)\)
\(=\left(x^2+y^2\right)\left(x^4-x^2y^2+y^4\right)\)
    \(\times\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(=\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right)\left(x^4-x^2y^2+y^4\right)\ \)
\(\times\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)


(xvii) \(m^3-n^3-m\left(m^2-n^2\right)+n(m-n)^2\)
সমাধানঃ
 \(m^3-n^3-m\left(m^2-n^2\right)+n(m-n)^2\)
\(=\left(m-n\right)\left(m^2+mn+n^2\right)\)
            \(-m\left(m+n\right)\left(m-n\right)\)
            \(+n\left(m-n\right)^2\)
\(=\left(m-n\right)\{\left(m^2+mn+{\ n}^2\right)\)
            \(-m\left(m+n\right)+n\left(m-n\right)\}\)
\(=(m-n)(m^2+mn+n^2\)
            \(-m^2-mn+mn-n^2)\) 
\(=(m-n)mn\)
\(=mn(m-n)\)






Post a Comment

0 Comments