18. সদৃশতা(Similarity) | Exercise 18.2 all solution | Ganit Prakash Class X math solution | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
গণিত প্রকাশ X কষে দেখি 18.4 সমাধান
1. ∆ABC এর \(\angle\ ABC=90°\) এবং \(BD\bot\ AC\); যদি BD=8 সেমি. এবং AD=5 সেমি. হয়, তবে CD এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
∆ABC এর \(\angle\ ABC=90°\)
∴ ∆ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ AC
∆ABC এর সমকৌণিক বিন্দু B থেকে অতিভুজ
AC এর উপর BD লম্ব।
∴ ∆DAB এবং ∆DBC সদৃশ।
∴ \(\frac{BD}{CD}=\frac{AD}{BD}\)
বা, \(\frac{8}{CD}=\frac{5}{8}\)
∴ \(CD=\frac{8\times8}{5}\) সেমি. =12.8 সেমি.
∴ CD এর দৈর্ঘ্য 12.8 সেমি.
2. ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার \(\angle\ B\) সমকোণ এবং \(BD\bot\ AC\); যদি AD=4 সেমি. এবং CD=16 সেমি. হয়, তবে BD ও AB এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
∆DAB ও ∆DBC সদৃশ।
∴ \({BD}^2=AD.CD\)
বা, \({BD}^2=4\times16\)
বা, \(BD^2=64\)
∴ BD=8 সেমি.
AC=AD+CD=(4+16) সেমি. =20 সেমি.
আবার, ∆ABC ও ∆ADB সদৃশ।
∴ \(AB^2=AD.AC\)
বা, \(AB^2=4\times20\)
বা, \(AB^2=80\)
∴ \(AB=\sqrt{80}=4\sqrt5\) সেমি.
3. O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের AB একটি ব্যাস। P বৃত্তের উপর যে-কোনো একটি বিন্দু। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটিকে P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটি যথাক্রমে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে। যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হয়, প্রমাণ করি যে, \(PQ.PR=r^2\)
O, Q; O, P ও O, R যুক্ত করা হল।
∆POR এবং ∆BOR এর মধ্যে
OP=OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
\(\angle\ OPR=\angle\ OBR=\) 1 সমকোণ
এবং OR সাধারণ বাহু
∴ ∆POR≅∆BOR [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
∴ \(\angle\ POR=\angle\ BOR\)[সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ] (I)
∆POQ এবং ∆AOQ এর মধ্যে
OP=OA [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
\(\angle\ OPQ=\angle\ OAQ=\ 1\) সমকোণ
এবং OQ সাধারণ বাহু
∴ ∆POQ≅∆AOQ [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
∴ \(\angle\ POQ=\angle\ AOQ\) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ] (II)
(I) নং ও (II) নং যোগ করে পাই,
\(\angle\ POR+\angle\ POQ=\angle\ BOR+\angle\ AOQ\)
বা, \(\angle\ ROQ=180°-∠ROQ\)
[∵ \(\angle\ BOR+\angle\ ROQ\ +\angle\ AOQ=180°\)]
বা, \(\angle\ ROQ+\angle\ ROQ=180°\)
বা, \(2\angle\ ROQ=180°\)
∴ \(\angle\ ROQ=90°\)
∴ ∆ROQ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∆ROQ এর সমকৌণিক বিন্দু O থেকে অতিভুজ RQ এর উপর OP লম্ব।
∴ ∆OPQ এবং ∆RPO সদৃশ।
∴ \(OP^2=PQ.PR\)
যেহেতু বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
∴ \(OP=r\)
সুতরাং, \(PQ.PR=r^2\) [প্রমাণিত]
4. AB -কে ব্যাস করে একটি অর্ধবৃত্ত অঙ্কন করেছি। AB এর উপর যে-কোনো বিন্দু C থেকে AB এর উপর লম্ব অঙ্কন করেছি যা অর্ধবৃত্তকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, CD, AC ও BC এর মধ্যসমানুপাতী।
প্রদত্তঃ একটি অর্ধবৃত্তের AB ব্যাস এর উপর
যে-কোনো বিন্দু C থেকে AB এর উপর লম্ব
অঙ্কন করা হয়েছে অর্ধবৃত্তকে D বিন্দুতে
ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে: CD, AC ও BC এর মধ্যসমানুপাতী।
অঙ্কনঃ A, D ও B, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ
যেহেতু অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ ∴ \(\angle\ ADB=90°\)
∴ ∆ADB একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∆ADB এর সমকৌণিক বিন্দু D থেকে অতিভুজ AB এর উপর DC লম্ব।
∴ ∆ACD এবং ∆DCB সদৃশ।
∴ \(\frac{AC}{DC}=\frac{DC}{BC}\)
বা, \({DC}^2=AC.BC\)
∴ DC, AC ও BC এর মধ্যসমানুপাতী [প্রমাণিত]
5. সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর \(\angle\ A\) সমকোণ। অতিভুজ BC এর উপর লম্ব AD হলে, প্রমাণ করি যে, \(\frac{∆ABC}{∆ACD}=\frac{BC^2}{AC^2}\)
সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর \(\angle\ A\) সমকোণ।
অতিভুজ BC এর উপর লম্ব AD
প্রমাণ করতে হবে যেঃ \(\frac{∆ABC}{∆ACD}=\frac{BC^2}{AC^2}\)
প্রমাণঃ
CAB সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু A থেকে অতিভুজ BC এর উপর AD লম্ব।
∴ ∆ACD এবং ∆ABC সদৃশ।
∴ \(\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{BC}\)
বা, \({AC}^2=CD.BC\)
\(\frac{∆ABC}{∆ACD}\)
\(=\frac{\frac{1}{2}\times BC\ \times AD}{\frac{1}{2}\times AD\ \times CD}\)
\(=\frac{BC}{CD}\)
\(=\frac{BC.BC}{CD.BC}\)
\(=\frac{{BC}^2}{{AC}^2}\)
∴ \(\frac{∆ABC}{∆ACD}=\frac{BC^2}{AC^2}\) [প্রমাণিত]
6. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস। A বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত একটি সরলরেখা বৃত্তকে C বিন্দুতে এবং B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শককে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, (i) \(BD^2=AD.DC\)
(ii). যে-কোনো সরলরেখার জন্য AC এবং AD দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সর্বদা সমান।
প্রদত্তঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস। A বিন্দু দিয়ে
অঙ্কিত একটি সরলরেখা বৃত্তকে C বিন্দুতে
এবং B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শককে D বিন্দুতে
ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
(i). \(BD^2=AD.DC\)
(ii). যে-কোনো সরলরেখার জন্য AC এবং AD দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সর্বদা সমান।
অঙ্কনঃ B, C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ \(\angle\ ABD=1\) সমকোণ [∵ B বিন্দুতে BD স্পর্শক]
∴ ∆ABD একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
যেহেতু অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ।
∴ \(\angle\ ACB=90°\)
∴ \(BC\bot\ AD\)
ABD ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু B থেকে অতিভুজ AD এর উপর BC লম্ব।
∴ ∆BCD এবং ∆ABD সদৃশ।
∴ \(\frac{BD}{AD}=\frac{DC}{BD}\)
বা, \(BD^2=AD.DC\) [(i)নং প্রমাণিত]
আবার, ∆ACB এবং ∆ABD সদৃশ
∴ \(\frac{AC}{AB}=\frac{AB}{AD}\)
বা, \(AB^2=AC.AD\)
∴ \(AC.AD=\ AB^2\)
∴ যে-কোনো সরলরেখার জন্য AC এবং AD দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বৃত্তের ব্যাস AB এর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হবে। [(ii)নং প্রমাণিত]
7. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) ∆ABC ও ∆DEF -এ \(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{FD}=\frac{AC}{EF}\) হলে,
(a) \(\angle\ B=\angle\ E\) (b) \(\angle\ A=\angle\ D\)
(c) \(\angle\ B=\angle\ D\) (d) \(\angle\ A=\angle\ F\)
\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{FD}=\frac{AC}{EF}\)
বা, \(\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DF}=\frac{AC}{EF}\)
∴ \(\angle\ A=\angle\ E,\ \angle\ B=\angle\ D\) এবং \(\angle\ C=\angle\ F\)
উত্তরঃ (c) \(\angle\ B=\angle\ D\)
(ii) ∆DEF ও ∆PQR -এ \(\angle\ D=\angle\ Q\) এবং \(\angle\ R=\angle\ E\), হলে, নীচের কোনটি সঠিক নয় লিখি।
(a) \(\frac{EF}{PR}=\frac{DF}{PQ}\) (b) \(\frac{QR}{PQ}=\frac{EF}{DF}\)
(c) \(\frac{DE}{QR}=\frac{DF}{PQ}\) (d) \(\frac{EF}{RP}=\frac{DE}{QR}\)
\(\angle\ D=\angle\ Q\) এবং \(\angle\ R=\angle\ E\) হলে \(\angle\ F=\angle\ P\)
∴ ∆DEF ও ∆PQR সদৃশকোণী
∴ \(\frac{DE}{QR}=\frac{DF}{QP}=\frac{EF}{RP}\)
∴ \(\frac{QR}{PQ}=\frac{DE}{DF}\)
উত্তরঃ (b) \(\frac{QR}{PQ}=\frac{EF}{DF}\)
(iii) ABC ও\ DEF ত্রিভুজে \(\angle\ A=\angle\ E=40°,AB:ED=AC:EF\) এবং \(\angle\ F=65°\) হলে \(\angle\ B\) এর মান
(a) 35° (b) 65° (c)75° (d)85°
∆DEF এর \(\angle\ E=40°,∠F=65°\)
∴ \(\angle\ D=180°-40°-65°=75°\)
AB:ED=AC:EF হলে, \(\angle\ B=\angle\ D=75°\)
উত্তরঃ (c) 75°
(iv) ∆DEF ও ∆PQR -এ \(\frac{AB}{QR}=\frac{BC}{PR}=\frac{CA}{PQ}\) হলে,
(a) \(\angle\ A=\angle\ Q\) (b) \(\angle\ A=\angle\ P\)
(c) \(\angle\ A=\angle\ R\) (d) \(\angle\ B=\angle\ Q\)
\(\frac{AB}{QR}=\frac{BC}{PR}=\frac{CA}{PQ}\)
বা, \(\frac{AB}{QR}=\frac{BC}{RP}=\frac{CA}{PQ}\)
∴ \(\angle\ A=\angle\ Q,\ \angle\ B=\angle\ R\) এবং \(\angle\ C=\angle\ P\)
উত্তরঃ (a) \(\angle\ A=\angle\ Q\)
(v) ABC ত্রিভুজে AB=9 সেমি., BC=6 সেমি. এবং CA=7.5 সেমি.। DEF ত্রিভুজে BC বাহুর অনুরূপ বাহু EF; EF=8 সেমি. এবং ∆DEF~∆ABC হলে ∆DEF এর পরিসীমা
(a) 22.5 সেমি. (b) 25 সেমি.
(c) 27 সেমি. (d) 30 সেমি.
∵ ∆DEF~∆ABC এবং BC বাহুর অনুরূপ বাহু EF
∴ \(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}\)
∴ \(\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}\)
বা, \(\frac{6}{8}=\frac{7.5}{FD}\)
বা, \(FD=\frac{8\times7.5}{6}\)
∴ FD=10 সেমি.
আবার \(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}\)
বা, \(\frac{9}{DE}=\frac{6}{8}\)
বা, \(DE=\frac{8\times9}{6}\)
∴ DE=12 সেমি.
∴ ∆DEF এর পরিসীমা = DE+EF+FD
= (12+8+10) সেমি.
= 30 সেমি.
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) দুটি চতুর্ভুজের অনুরূপ কোণগুলি সমান হলে চতুর্ভুজ দুটি সদৃশ।
উত্তরঃ মিথ্যা
[আয়তক্ষেত্র এবং বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেকটি কোণের মাণ 90°কিন্তু আয়তক্ষেত্র এবং বর্গক্ষেত্র পরস্পর সদৃশ নয়।]
(ii) পাশের চিত্রে \(\angle\ ADE=\angle\ ACB\) হলে, ∆ADE~∆ACB
সমাধানঃ
∆ADE ও ∆ACB এর
\(\angle\ ADE=\angle\ ACB\)
এবং \(\angle\ DAE=\angle\ CAB\) [একই কোণ]
∴ ∆ADE ও ∆ACB সদৃশকোণী
∴ ∆ADE ও ∆ACB সদৃশ।
উত্তরঃ সত্য
(iii) ∆PQR এর QR বাহুর উপর D এমন একটি বিন্দু যে \(PD\bot\ QR\); সুতরাং, ∆PQD~∆RPD
উত্তরঃ মিথ্যা
[কারণ ∆PQR একটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।]
(C) শূণ্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হবে যদি তাদের _________ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
উত্তরঃ অনুরূপ
(ii) ∆ABC ও ∆DEF এর পরিসীমা যথাক্রমে 30 সেমি. এবং 18 সেমি.। ∆ABC~∆DEF; BC ও EF অনুরূপ বাহু। যদি BC=9 সেমি হয়, তাহলে EF=____ সেমি.
∆ABC~∆DEF এবং BC ও EF অনুরূপ বাহু।
∴ \(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FA}\)
\(=\frac{AB+BC+CA}{DE+EF+FA}\) [সংযোজন প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]
\(=\frac{30}{18}\)
∴ \(\frac{BC}{EF}=\frac{30}{18}\)
বা, \(\frac{9}{EF}=\frac{30}{18}\)
∴ \(EF=\frac{9\times18}{30}=5.4\) সেমি.
উত্তরঃ 5.4
8. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে, \(\angle\ ACB=\angle\ BAD\) এবং \(AD\bot\ BC;\) AC=15 সেমি., AB=20 সেমি. এবং BC=25 সেমি. হলে, AD এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধানঃ
∆ABC এর \(AC^2+AB^2={15}^2+{20}^2\)
\(=225+400\ =625\ ={25}^2\ =BC^2\)
∴ ∆ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ BC
ABC ত্রিভুজের সমকৌনিক বিন্দু A থেকে অতিভুজ BC এর উপর লম্ব AD
∴ ∆ABC এবং ∆DBA সদৃশ।
\(\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AB}\)
বা, \(\frac{15}{AD}=\frac{25}{20}\)
বা, \(AD=\frac{15\times20}{25}\)
∴ AD=12 সেমি.
∴ AD এর দৈর্ঘ্য 12 সেমি.
(ii) পাশের চিত্রে, \(\angle\ ABC=90°\) এবং \(BD\bot\ AC\); যদি AB=30 সেমি., BD=24 সেমি. এবং AD=18 সেমি. হলে, BC এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ABC সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু B দিয়ে AC অতিভুজের উপর BD লম্ব।
∴ ∆ADB এবং ∆ABC সদৃশ।
∴ \(\frac{BD}{BC}=\frac{AD}{AB}\)
বা, \(\frac{24}{BC}=\frac{18}{30}\)
বা, \(BC=\frac{24\times30}{18}\)
∴ BC=40 সেমি.
∴ BC এর দৈর্ঘ্য 40 সেমি.
(iii) পাশের চিত্রে, \(\angle\ ABC=90°\) এবং \(BD\bot\ AC;\) যদি BD=8 সেমি. এবং AD=4 সেমি. হয়, তাহলে CD এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ABC সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু B দিয়ে AC অতিভুজের উপর BD লম্ব।
∴ ∆ADB এবং ∆BDC সদৃশ।
∴ \(\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{DC}\)
বা, \(\frac{4}{8}=\frac{8}{DC}\)
বা, \(DC=\frac{8\times8}{4}\)
∴ CD=16 সেমি.
∴ CD এর দৈর্ঘ্য 16 সেমি.
(iv) ABCD ট্রাপিজিয়ামের BC||AD এবং AD=4 সেমি.। AC ও BD কর্ণদ্বয় এমনভাবে O বিন্দুতে ছেদ করে যে \(\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{1}{2}\) হয়।
BC -এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধানঃ
∆AOD এবং ∆COB এর মধ্যে
\(\angle\ AOD=\) বিপ্রতীপ \(\angle\ COB\)
এবং \(\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}\)
∴ ∆AOD এবং ∆COB সদৃশ।
∴ \(\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{AD}{CB}=\frac{1}{2}\)
∴ \(\frac{AD}{CB}=\frac{1}{2}\)
বা, \(\frac{4}{BC}=\frac{1}{2}\)
∴ BC=8 সেমি.
(v) ∆ABC~∆DEF এবং ∆ABC ও ∆DEF -এ AB, BC ও CA বাহুর অনুরূপ বাহুগুলি যথাক্রমে DE, EF ও DF; \(\angle\ A=47°\) এবং \(\angle\ E=83°\) হলে, \(\angle\ C\) এর পরিমাপ কত তা লিখি।
সমাধানঃ
∆ABC~∆DEF এবং AB, BC ও CA বাহুর অনুরূপ বাহুগুলি যথাক্রমে DE, EF ও DF
∴ \(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{DF}\)
বা, \(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}\)
∴ \(\angle\ A=\angle\ D=47°,∠B=∠E=83°\) এবং \(\angle\ C=\angle\ F\)
∆ABC থেকে পাই,
\(\angle\ C=180°-∠A-∠B\)
\(=\ 180°-47°-83° = 50°\)
∴ \(\angle\ C=50°\)
0 Comments