1. আমি একটি মুখবন্ধ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করেছি যার ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 15 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 24 সেমি.। ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{22}{7}\times15\times24\) বর্গসেমি.
=\(\frac{7920}{7}\) বর্গসেমি.
= 1131.43 বর্গসেমি. (প্রায়)
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{22}{7}\times15\times(15+24)\) বর্গসেমি.
= \(\frac{22}{7}\times15\times39\) বর্গসেমি.
=\(\frac{12870}{7}\) বর্গসেমি.
= 1838.57 বর্গসেমি. (প্রায়)
2. শঙ্কুর আয়তন নির্ণয় করি যখন,
(i) ভূমির ক্ষেত্রফল 1.54 বর্গমিটার এবং উচ্চতা 2.4 মিটার
(ii) ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 মিটার এবং তির্যক উচ্চতা 17.5 মিটার।
সমাধানঃ
(i) শঙ্কুটির ভূমির ক্ষেত্রফল 1.54 বর্গমিটার
এবং উচ্চতা 2.4 মিটার
∴ শঙ্কুটির আয়তন
= \(\frac{1}{3}\)×ভূমির ক্ষেত্রফল×উচ্চতা
= \(\frac{1}{3}×1.54×2.4\) ঘনমিটার
= 1.54×0.8 ঘনমিটার
= 1.232 ঘনমিটার
(ii) শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{21}{2}\) মিটার = 10.5 মিটার
এবং তির্যক উচ্চতা 1.75 মিটার
∴ শঙ্কুটির উচ্চতা
= \(\sqrt{\left(17.5\right)^2-\left(10.5\right)^2}\) মিটার
= \(\sqrt{(17.5+10.5)(17.5-10.5)}\) মিটার
= \(\sqrt{28\times7}\) মিটার
= 14 মিটার
∴ শঙ্কুটির আয়তন
= \(\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times\left(10.5\right)^2\times14\) ঘনমিটার
= \(\frac{1}{3}\times22\times110.25\times2\) ঘনমিটার
= 22\(\times36.75\times2\) ঘনমিটার
= 1617 ঘনমিটার
3. আমিনা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 15সেমি. ও 20 সেমি.। 15 সেমি. দীর্ঘ বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে যে ঘনবস্তু তৈরি হয়, তার পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্নয় করি।
সমাধানঃ
যে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুটি তৈরি হবে তার উচ্চতা 15 সেমি.
এবং ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 20 সেমি.
∴ শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা
= \(\sqrt{\left(15\right)^2+\left(20\right)^2}\) সেমি.
= \(\sqrt{225+400}\) সেমি.
= \(\sqrt{625}\) সেমি.
= 25 সেমি.
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{22}{7}\times20\times25\) বর্গসেমি.
=\(\frac{11000}{7}\) বর্গসেমি.
= \(1571\frac{3}{7}\) বর্গসেমি.
শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{22}{7}\times20\times(20+25)\) বর্গসেমি.
= \(\frac{22}{7}\times20\times45\) বর্গসেমি.
=\(\frac{19800}{7}\) বর্গসেমি.
= \(2828\frac{4}{7}\) বর্গসেমি.
এবং শঙ্কুটির আয়তন
= \(\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times\left(20\right)^2\times15\) ঘনসেমি.
= \(\frac{22}{7}\times400\times5\) ঘনসেমি.
=\(\frac{44000}{7}\) ঘনসেমি.
= \(6285\frac{5}{7}\) ঘনসেমি.
4. কোনো শঙ্কুর উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা যথাক্রমে 6 সেমি. ও 10 সেমি. হলে, শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
শঙ্কুটির উচ্চতা 6 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 10 সেমি.
∴ শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{\left(10\right)^2-\left(6\right)^2}\) সেমি.
= \(\sqrt{100-36}\) সেমি.
= \(\sqrt{64}\) সেমি. = 8 সেমি.
∴ শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{22}{7}\times8\times(8+10)\) বর্গসেমি.
= \(\frac{22}{7}\times8\times18\) বর্গসেমি.
=\(\frac{3168}{7}\) বর্গসেমি.
= \(452\frac{4}{7}\) বর্গসেমি.
এবং শঙ্কুর আয়তন
= \(\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times\left(8\right)^2\times6\) ঘনসেমি.
= \(\frac{22}{7}\times64\times2\) ঘনসেমি.
=\(\frac{2816}{7}\) ঘনসেমি.
= \(402\frac{2}{7}\) ঘনসেমি.
5. কোনো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন \((100\pi)\) ঘন সেমি. এবং উচ্চতা 12 সেমি. হলে, শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, শঙ্কুর ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি.
শঙ্কুটির উচ্চতা = 12 সেমি.
∴ শঙ্কুটির আয়তন = \(\frac{1}{3}\times\pi r^2\times12\) ঘনসেমি.
= \(4\pi r^2\) ঘনসেমি.
শর্তানুসারে,
\(4\pi r^2 =\ 100\pi\)
বা, \(r^2=\frac{100\pi}{4\pi}\)
বা, \(r^2=25\)
বা, \(r=\sqrt{25}\)
[∵ ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না]
∴ r=5
সুতরাং, শঙ্কুটির ভূমির ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি.
∴ শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা = \(\sqrt{\left(5\right)^2+\left(12\right)^2}\) সেমি.
= \(\sqrt{25+144}\) সেমি.
= \(\sqrt{169}\) সেমি. = 13 সেমি.
6. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গ মিটার ত্রিপল লেগেছে। তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, শঙ্কু আকৃতির তাঁবুটির ভূমির ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য r মিটার
তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার
∴ তাঁবুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{22}{7}\times r\times7\) বর্গমিটার = 22r বর্গমিটার
শর্তানুসারে,
22r=77
বা, r=\(\frac{77}{22}\)
∴ r=\(\frac{7}{2}\)
সুতরাং, তাবুটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{7}{2}\) মিটার
∴ তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল
=\(\frac{22}{7}\times\left(\frac{7}{2}\right)^2\) বর্গমিটার
=\(\frac{22}{7}\times\frac{49}{4}\) বর্গমিটার
= \(\frac{77}{2}\) বর্গমিটার = 38.5 বর্গমিটার
7. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার। প্রতি বর্গমিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে কত টাকা খরচ পড়বে হিসাব করি।
সমাধানঃ
শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{21}{2}\) মিটার = 10.5 মিটার
এবং শঙ্কুটির উচ্চতা = 14 মিটার
∴ শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা
= \(\sqrt{\left(10.5\right)^2+\left(14\right)^2}\) মিটার
= \(\sqrt{110.25+196}\) মিটার
= \(\sqrt{306.25}\) মিটার = 17.5 মিটার
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{22}{7}\times10.5\times17.5\) বর্গমিটার
= \(22\times1.5\times17.5\) বর্গমিটার
= \(33\times17.5\) বর্গমিটার
= 577.5 বর্গমিটার
∴ প্রতি বর্গমিটার 1.5 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে কত টাকা খরচ পড়বে
= 1.5×577.5 টাকা = 866.25 টাকা
8. নিরেট শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 10 সেমি.। খেলনাটির বক্রতলে প্রতি বর্গসেমি. 2.10 টাকা হিসাবে পালিশ করতে 429 টাকা খরচ পড়ে। খেলনাটির উচ্চতা কত হিসাব করি। খেলনাটি তৈরি করতে কত ঘন সেমি. কাঠ লেগেছে নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
খেলনাটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{10}{2}\) সেমি. = 5 সেমি.
ধরি, খেলনাটির তির্যক উচ্চতা = l সেমি.
∴ শঙ্কু আকৃতির খেলনাটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{22}{7}\times5\times\mathrm{l}\) বর্গসেমি.
= \(\frac{110}{7}\times\mathrm{l}\) বর্গসেমি.
শর্তানুসারে,
\(2.10\times\frac{\mathrm{110}}{\mathrm{7}}\mathrm{\times l = 429}\)
বা, \(33\times\mathrm{l = 429}\)
বা, \(\mathrm{l\ =\ }\frac{429}{33}\)
∴ l = 13
∴শঙ্কু আকৃতির খেলনাটির তির্যক উচ্চতা = 13 সেমি.
∴ শঙ্কু আকৃতির খেলনাটির উচ্চতা
= \(\sqrt{\left(13\right)^2-\left(5\right)^2}\) সেমি.
= \(\sqrt{169-25}\) সেমি.
= \(\sqrt{144}\) সেমি.
= 12 সেমি.
এবং আয়তন
= \(\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times\left(5\right)^2\times12\) ঘনসেমি.
= \(\frac{22}{7}\times25\times4\) ঘনসেমি.
= \(\frac{2200}{7}\) ঘনসেমি.
= \(314\frac{2}{7}\) ঘনসেমি.
∴ খেলনাটির উচ্চতা 12 সেমি. এবং খেলনাটি তৈরি করতে \(314\frac{2}{7}\) ঘন সেমি. কাঠ লেগেছে।
9. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি লোহার পাতের বয়া তৈরি করতে \(75\frac{3}{7}\) বর্গ মিটার লোহার পাত লেগেছে। বয়াটির তির্যক উচ্চতা যদি 5 মিটার হয়, তবে বয়াটিতে কত বায়ু আছে এবং বয়াটির উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি। ওই বয়াটির চারপাশ রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 2.80 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে নির্নয় করি।
[লোহার পাতের বেধ হিসাবের মধ্যে ধরতে হবে না]
সমাধানঃ
ধরি, বয়াটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r মিটার
বয়াটির তির্যক উচ্চতা 5 মিটার
লোহার পাতের বয়াটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{22}{7}\times r\times(r+5)\) বর্গমিটার
শর্তানুসারে,
\(\frac{22}{7}\times r\times\left(r+5\right)=75\frac{3}{7}\)
বা, \(r\left(r+5\right)=\frac{528}{7}\times\frac{7}{22}\)
বা, \(r^2+5r=24\)
বা, \(r^2+5r-24=0\)
বা, \(r^2+8r-3r-24=0\)
বা, r(r+8)-3(r+8)=0
বা, (r+8)(r-3)=0
হয়, r+8=0 অথবা, r-3=0
বা, r=-8 বা, r=3
যেহেতু, ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ r≠-8 সুতরাং, r=3
∴ বয়াটির উচ্চতা = \(\sqrt{\left(5\right)^2-\left(3\right)^2}\) মিটার
= \(\sqrt{25-9}\) মিটার
= \(\sqrt{16}\) মিটার = 4 মিটার
∴ বয়াটির আয়তন
=\(\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times\left(3\right)^2\times4\) ঘনমিটার
=\(\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times9\times4\) ঘনমিটার
=\(\frac{22}{7}\times3\times4\) ঘনমিটার
= \(\frac{264}{7}\) ঘনমিটার = \(37\frac{5}{7}\) ঘনমিটার
∴ বয়াটিতে বায়ু আছে \(37\frac{5}{7}\) ঘনমিটার
এবং বয়াটির উচ্চতা 4 মিটার
প্রতি বর্গ মিটার 2.80 টাকা হিসাবে বয়াটির চারপাশ রং করতে খরচ পড়বে
= \(2.80×75\frac{3}{7}\) টাকা
= \(\frac{280}{100}\times\frac{528}{7}\) টাকা
= 211.20 টাকা
10. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গ মিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘন মিটার বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গ মিটার জায়গা লাগে
এবং 20 ঘন মিটার বাতাসের প্রয়োজন।
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির তাঁবুটির
ভূমির ক্ষেত্রফল = 11×4 বর্গমিটার = 44 বর্গমিটার
এবং আয়তন = 11×20 ঘনমিটার = 220 ঘনমিটার
ধরি, তাঁবুটির ভূমির ব্যাসার্ধের দৈঘ্য r মিটার
এবং উচ্চতা h মিটার
∴ ভূমির ক্ষেত্রফল = πr² বর্গমিটার
এবং শঙ্কুটির আয়তন = \(\frac{1}{3}\pi r^2h\) ঘনমিটার
∴ πr²=44 (1)
এবং \(\frac{1}{3}\pi r^2h=220\) (2)
(2)নং থেকে (1)নং ভাগ করে পাই,
\(\frac{\frac{1}{3}\pi r^2h}{\pi r^2}= \frac{220}{44}\)
বা, \(\frac{h}{3}=5\)
বা, h=5×3
∴ h=15
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির তাঁবুটির উচ্চতা 15 মিটার।
11. শোলা দিয়ে তৈরি একটি শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21সেমি.। টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি. 10 পয়সা হিসাবে 57.75টাকা খরচ পড়ে। টোপরটির উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
টোপরটির ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য =\(\frac{21}{2}\) সেমি.
ধরি, টোপরটির তির্যক উচ্চতা = x সেমি.
∴ টোপরটির বাইরের দিকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{22}{7}\times\frac{21}{2}\times x\) বর্গসেমি.
= 33x বর্গসেমি.
∴ টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি. 10 পয়সা বা \(\frac{10}{100}\) টাকা হিসাবে খরচ পড়বে = \(33x\times\frac{10}{100}\) টাকা
শর্তানুসারে,
\(33x\times\frac{10}{100}=57.75\)
বা, \(x=\frac{5775}{100}\times\frac{100}{10\times33}\)
∴ x=17.5
∴ টোপরটির তির্যক উচ্চতা 17.5 সেমি.
টোপরটির উচ্চতা
=\(\sqrt{\left(17.5\right)^2{-\left(\frac{21}{2}\right)}^2}\) সেমি.
= \(\sqrt{\left(17.5\right)^2-\left(10.5\right)^2}\) সেমি.
= \(\sqrt{306.25-110.25}\) সেমি.
= \(\sqrt{196}\) সেমি.
= 14 সেমি.
∴ টোপরটির উচ্চতা 14 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 17.5 সেমি.
12. গমের একটি স্তূপ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারে আছে, যার ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 মিটার এবং উচ্চতা 3.5মিটার। মোট গমের আয়তন নির্নয় করি। গমের ওই স্তূপ ঢাকতে কমপক্ষে কত বর্গ মিটার প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন হবে হিসাব করে দেখি। [ধরি, \(\pi=3.14, \sqrt{130}=11.4\)]
সমাধানঃ
শঙ্কু আকারের গমের স্তুপের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{9}{2}\) মিটার = 4.5 মিটার
এবং উচ্চতা = 3.5 মিটার
∴ গমের স্তুপের আয়তন
=\(\frac{1}{3}\times3.14\times\left(4.5\right)^2\times3.5\) ঘনমিটার
= \(\frac{1}{3}\times3.14\times\frac{45}{10}\times\frac{45}{10}\times\frac{35}{10}\) ঘনমিটার
=\(3.14\times\frac{15}{10}\times\frac{45}{10}\times\frac{35}{10}\) ঘনমিটার
= 74.18 ঘনমিটার (প্রায়)
গমের স্তুপটির তির্যক উচ্চতা
= \(\sqrt{\left(4.5\right)^2+\left(3.5\right)^2}\) মিটার
= \(\sqrt{\left(\frac{45}{10}\right)^2+\left(\frac{35}{10}\right)^2}\) মিটার
= \(\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^2+\left(\frac{7}{2}\right)^2}\) মিটার
=\(\sqrt{\frac{81}{4}+\frac{49}{4}}\) মিটার
= \(\sqrt{\frac{81+49}{4}}\) মিটার
= \(\sqrt{\frac{130}{4}}\) মিটার
= \(\frac{11.4}{2}\) মিটার
= 5.7 মিটার
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= \(3.14\times4.5\times5.7\) বর্গমিটার
= 80.54 বর্গমিটার (প্রায়)
∴ গমের ওই স্তূপ ঢাকতে কমপক্ষে 80.54 বর্গমিটার (প্রায়) প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন হবে।
13. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন(V.S.A.)
(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 15 সেমি. এবং ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 সেমি. হলে, শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
(a) 60π বর্গসেমি. (c) 120π বর্গসেমি.
(b) 68π বর্গসেমি. (d) 130π বর্গসেমি.
সমাধানঃ
শঙ্কুটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{16}{2}\) সেমি. = 8 সেমি.
শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 15 সেমি.
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= π×8×15 বর্গসেমি.
= 120π বর্গসেমি.
উত্তরঃ (c) 120π বর্গসেমি.
(ii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 1:4 এবং তাদের ভুমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4:5 হলে, তাদের উচ্চতার অনুপাত
(a) 1:5 (b) 5:4 (c) 25:16 (d) 25:64
সমাধানঃ
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুদুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে
4p একক ও 5p একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে \(h_1\) একক ও \(h_2\) একক
শর্তানুসারে,
\(\frac{\frac{1}{3}\pi\times\left(4p\right)^2\times h_1}{\frac{1}{3}\pi\times\left(5p\right)^2\times h_2}=\frac{1}{4}\)
বা, \(\frac{16p^2\times h_1}{25p^2\times h_2}=\frac{1}{4}\)
বা, \(\frac{h_1}{h_2}=\frac{1}{4}\times\frac{25}{16}\)
বা, \(\frac{h_1}{h_2}=\frac{25}{64}\)
∴\(h_1:h_2=25:64\)
উত্তরঃ (d) 25:64
(iii)একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একই রেখে উচ্চতা দিগুন করলে, শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধি পায়
(a) 100% (b) 200%
(c) 300% (d) 400%
সমাধানঃ
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
এবং উচ্চতা h একক।
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3}\pi r^2h\) ঘনএকক
শঙ্কুর উচ্চতা দ্বিগুন করলে
আয়তন হবে = \(\frac{1}{3}\pi r^2\times2h\) ঘনএকক
= \(\frac{2}{3}\pi r^2h\) ঘনএকক
আয়তন বৃদ্ধি পেয়েছে
=\(\left(\frac{2}{3}\pi r^2h-\frac{1}{3}\pi r^2h\right)\) ঘনএকক
= \(\frac{1}{3}\pi r^2h\) ঘনএকক
∴ আয়তন শতকরা বৃদ্ধি পাবে
= \(\frac{\frac{1}{3}\pi r^2h}{\frac{1}{3}\pi r^2h}\times100)\) = 100
উত্তরঃ (a) 100%
(iv) একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুন হলে, শঙ্কুটির আয়তন হয় পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের
(a) 3 গুন (b) 4 গুন (c) 6 গুন (d) 8 গুন
সমাধানঃ
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
এবং উচ্চতা h একক।
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3}\pi r^2h\) ঘনএকক
শঙ্কুর উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধ দ্বিগুন করলে
আয়তন হবে = \(\frac{1}{3}\pi\left(2r\right)^2\times2h\) ঘনএকক
= \(\frac{1}{3}\pi\times{4r}^2\times2h\) ঘনএকক
= \(\frac{8}{3}\pi r^2h\) ঘনএকক
= \(8\times\frac{1}{3}\pi r^2h\) ঘনএকক
= 8×পূর্বের আয়তন
∴ শঙ্কুর উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধ দ্বিগুন করলে শঙ্কুটির আয়তন হয় পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের 8 গুন।
উত্তরঃ (d) 8 গুন
(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{r}{2}\) একক এবং তির্যক উচ্চতা \(2l\) একক হলে, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
(a)\(2πr(l +r)\) বর্গএকক (c) \(πr(l +r)\) বর্গএকক
(b) \(πr(l +\frac{r}{4})\) বর্গএকক (d) \(2πrl\) বর্গএকক
সমাধানঃ
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(\pi\times\frac{r}{2}\times\left(\frac{r}{2}+2\mathrm{l} \right)\) বর্গএকক
= \(\pi\times\frac{r}{2}\times2\left(\frac{r}{4}+\mathrm{l} \right)\) বর্গএকক
= \(\pi r\left(\frac{r}{4}+\mathrm{l} \right)\) বর্গএকক
= \(πr(l +\frac{r}{4})\) বর্গএকক
উত্তরঃ (b) \(πr(l +\frac{r}{4})\) বর্গএকক
(B)নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i)একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুন করা হলে শঙ্কুটির আয়তন একই থাকে।
সমাধানঃ
ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h হলে
শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3}\pi r^2h\) ঘনএকক
ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুন হলে আয়তন হবে
= \(\frac{1}{3}\pi\times\left(\frac{r}{2}\right)^2\times2h\) ঘনএকক
= \(\frac{1}{3}\pi\times\frac{r^2}{4}\times2h\) ঘনএকক
= \(\frac{1}{6}\pi r^2h\) ঘনএকক ≠ \(\frac{1}{3}\pi r^2h\) ঘনএকক
উত্তরঃ মিথ্যা
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা, ব্যাসার্ধ এবং তির্যক উচ্চতা সর্বদা একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুত্রয়।
উত্তরঃ সত্য
(C)শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) ABC সমকোণী ত্রিভুজের AC অতিভুজ। AB বাহুকে অক্ষ করে ত্রিভুজটির একবার পূর্ণ আবর্তনের জন্য যে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু উৎপন্ন হয় তার ব্যাসার্ধ _______।
উত্তরঃ BC
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V ঘনএকক এবং ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গএকক হলে, উচ্চতা ________।
সমাধানঃ
ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h হলে
শঙ্কুর আয়তন, V = \(\frac{1}{3}\pi r^2h\) ঘনএকক
এবং ভূমিতলের ক্ষেত্রফল, A = \(\pi r^2\) বর্গএকক
\(\frac{V}{A}=\frac{\frac{1}{3}\pi r^2h\ }{\pi r^2}=\frac{h}{3}\)
\(\therefore h=\frac{3V}{A}\)
উত্তরঃ \(\frac{3V}{A}\)
(iii)একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং তাদের উচ্চতা সমান। তাদের আয়তনের অনুপাত ________।
সমাধানঃ
ধরি, উভয়ের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা h একক
∴ চোঙ এবং শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত
=\(\pi r^2h:\frac{1}{3}\pi r^2h\)
=\(1:\frac{1}{3}\)
=3:1
উত্তরঃ 3:1
14. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন(S.A.)
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 12 সেমি. এবং আয়তন 100π ঘনসেমি.। শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি.
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 12 সেমি.
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুটির আয়তন
= \(\frac{1}{3}\pi r^2\times12\) ঘনসেমি.
= \(4\pi r^2\) ঘনসেমি.
শর্তানুসারে,
\(4\pi r^2=100\pi\)
বা, \(r^2=\frac{100\pi}{4\pi}\)
বা, \(r^2=25\)
বা, \(r=\sqrt{25}\) [∵ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কখনও ঋণাত্মক হয় না।]
∴ r=5
∴ শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি.
(ii)একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ভূমিতলের ক্ষেত্রফলের \(\sqrt5\) গুন। শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, শঙ্কুটির উচ্চতা h একক
এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
∴ শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা = \(\sqrt{r^2+h^2}\) একক
শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= \(\pi r\times\sqrt{r^2+h^2}\) বর্গএকক
এবং শঙ্কুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল
= \(\pi r^2\) বর্গএকক
শর্তানুসারে,
\(\pi r\times\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt5\times\pi r^2\)
বা, \(\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt5\times r\)
বা, \(r^2+h^2={5r}^2\)
বা, \(h^2={5r}^2-r^2\)
বা, \(h^2={4r}^2\)
বা, \(\frac{h^2}{r^2}=\frac{4}{1}\)
বা, \(\frac{h}{r}=\frac{2}{1}\)
∴ h:r=2:1
∴ শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:1
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V ঘনএকক, ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গএকক এবং উচ্চতা H একক হলে, \(\frac{AH}{V}\) এর মান কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
∴ শঙ্কুর আয়তন, V = \(\frac{1}{3}\pi r^2H\) বর্গএকক
এবং ভূমির ক্ষেত্রফল, A = \(\pi r^2\) বর্গএকক
\(\frac{AH}{V}=\frac{\pi r^2\times H}{\frac{1}{3}\pi r^2H}\)=3
(iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন এবং পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফলের সমান। শঙ্কুটির উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে h একক এবং r একক হলে, \(\frac{1}{h^2}+\frac{1}{r^2}\) এর মান কত তা লিখি।
সমাধানঃ
শঙ্কুটির উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে h একক এবং r একক
∴ শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা = \(\sqrt{r^2+h^2}\) একক
∴ শঙ্কুটির আয়তন = \(\frac{1}{3}\pi r^2h\) ঘনএকক
এবং পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi r\times\sqrt{r^2+h^2}\) বর্গএকক
শর্তানুসারে,
\(\frac{1}{3}\pi r^2h=\pi r\times\sqrt{r^2+h^2}\)
বা, \(rh=3\sqrt{r^2+h^2}\)
বা, \(r^2h^2=9\left(r^2+h^2\right)\) [উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই]
বা, \(9\left(r^2+h^2\right){=r}^2h^2\)
বা, \(\frac{\left(r^2+h^2\right)}{r^2h^2}=\frac{1}{9}\)
∴\(\frac{1}{h^2}+\frac{1}{r^2}=\frac{1}{9}\)
(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 2:3; চোঙ এবং শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ ও শঙ্কুর ব্যাসার্ধের্ দৈর্ঘ্য যথাক্রমে
3r একক ও 4r একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে 2h একক এবং 3h একক
∴ চোঙ ও শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত
= \(\pi{\times\left(3r\right)}^2\times2h∶\frac{1}{3}\pi{\times\left(4r\right)}^2\times3h\)
= \({9r}^2\times2h∶\ {16r}^2\times h\)
= 18:16
= 9:8
0 Comments