Join our Telegram Channel

কষে দেখি 8 | লম্ব বৃত্তাকার চোঙ | WBBSE Class 10 Math Solution

 West Bengal Board Class 10 Chapter 8 Math Solution | লম্ব বৃত্তাকার চোঙ । কষে দেখি 8 সমাধান


1. পাশের চিত্রের ঘনবস্তুটি দেখি ও নীচের প্রশ্নের 
উত্তর লিখি।
উত্তরঃ 
(i) ছবির ঘনবস্তুটির _____ টি তল।
(ii) ছবির ঘনবস্তুটির ___টি বক্রতল ও ___টি সমতল। 
উত্তরঃ 
(i) ছবির ঘনবস্তুটির 3 টি তল।
(ii) ছবির ঘনবস্তুটির 1 টি বক্রতল ও 2 টি সমতল।


2. আমার বাড়ির 5টি ঘনবস্তুর নাম লিখি যাদের আকার লম্ব বৃত্তাকার চোঙ। 
উত্তরঃ 
5টি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ আকৃতির ঘনবস্তুর নাম হল 
জার, পেনসিল ব্যাটারি, গ্যাস সিলিন্ডার, টিউব লাইট, পাইপ


3. স্টিলের পাতলা চাদর দিয়ে তৈরি ঢাকনা সমেত একটি ড্রামের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 28 সেমি.। ড্রামটি তৈরি করতে যদি 2816 বর্গসেমি. চাদর লাগে, তবে ড্রামটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, ড্রামটির উচ্চতা h সেমি.
ড্রামটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{28}{2}\) সেমি. = 14 সেমি.
ড্রামটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{22}{7}\times14(14+h)\) বর্গসেমি.
= 88(14+h) বর্গসেমি.
শর্তানুসারে,
88(14+h)=2816 
বা, 14+h=\(\frac{2816}{88}\) 
বা, h=32-14
h=18
ড্রামটির উচ্চতা 18 সেমি. 


4. একটি ঘরের বারান্দায় 5.6 ডেসিমি. ব্যাসের এবং 2.5 মিটার লম্বা দুটি লম্ব বৃত্তাকার পিলার ঢালাই করতে কত ঘন ডেসিমি. মশলা লাগবে হিসাব করে লিখি। প্রতি বর্গমিটার 125 টাকা হিসাবে পিলার দুটি প্লাস্টার করতে কত খরচ হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
লম্ব বৃত্তাকার পিলারের 
ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{5.6}{2}\) ডেসিমি. =  2.8 ডেসিমি.
এবং উচ্চতা 2.5 মিটার = 25 ডেসিমি.
1টি লম্ব বৃত্তাকার পিলারের আয়তন 
= \(\frac{22}{7}\times2.8\times2.8\times25\) ঘনডেসিমি.
= \(\frac{22}{7}\times\frac{28}{10}\times\frac{28}{10}\times25\) ঘনডেসিমি. 
        = 616 ঘনডেসিমি.
2টি লম্ব বৃত্তাকার পিলারের আয়তন 
2×616 ঘনডেসিমি. = 1232 ঘনডেসিমি.
2টি লম্ব বৃত্তাকার পিলারের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= \(2×2\times\frac{22}{7}\times2.8\times25\) বর্গডেসিমি.
= 880 বর্গডেসিমি. 
        = \(\frac{880}{100}\) বর্গমিটার 
        = 8.8 বর্গমিটার
প্রতি বর্গ মিটার 125 টাকা হিসাবে পিলার দুটি প্লাস্টার করতে খরচ 
হবে 125×8.8 টাকা = 1100 টাকা

5.   2.8 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের অন্তর্ব্যাসবিশিষ্ট এবং 7.5 ডেসিমি. লম্বা একটি জ্বালানী গ্যাস সিলিন্ডারে 15.015 কিগ্রা. গ্যাস থাকলে, প্রতি ঘন ডেসিমি. গ্যাসের ওজন হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
গ্যাস সিলিন্ডারের অন্তর্ব্যাসার্ধ 
= \(\frac{2.8}{2}\) ডেসিমি.
= 1.4 ডেসিমি.
এবং উচ্চতা = 7.5 ডেসিমি. 
গ্যাস সিলিন্ডারে গ্যাস আছে
= \(\frac{22}{7}\times1.4\times1.4\times7.5\) ঘনডেসিমি.
= \(\frac{22}{7}\times\frac{14}{10}\times\frac{14}{10}\times\frac{75}{10}\) ঘনডেসিমি.
= 46.2 ঘনডেসিমি.
46.2 ঘনডেসিমি. গ্যাসের ওজন 15.015 কিগ্রা.
1 ঘনডেসিমি. গ্যাসের ওজন \(\frac{15.015}{46.2}\) কিগ্রা. 
= 0.325 কিগ্রা = 325 গ্রাম 
 
6.   সমান ব্যাস ও সমান উচ্চতাবিশিষ্ট তিনটি জারে প্রথমটির \(\frac{2}{3}\) অংশ, দ্বিতীয়টির \(\frac{5}{6}\) অংশ এবং তৃতীয়টির \(\frac{7}{9}\) অংশ লঘু সালফিউরিক অ্যাসিডে পূর্ণ ছিল। ওই তিনটি জারের অ্যাসিড যদি 2.1 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি জারে রাখা হয়, তবে জারে অ্যাসিডের উচ্চতা 4.1 ডেসিমি. হয়। প্রথম তিনটি জারের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 1.4 ডেসিমি. হলে, তাদের উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, সমান ব্যাস ও সমান উচ্চতাবিশিষ্ট তিনটি জারের প্রত্যেকটির উচ্চতা h ডেসিমি.
প্রথম তিনটি জারের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 
= \(\frac{1.4}{2}\) ডেসিমি. = 0.7 ডেসিমি.
প্রথম জারে লঘু সালফিউরিক অ্যাসিডের পরিমাণ 
= \(\pi\times0.7\times\frac{2h}{3}\) ঘনডেসিমি.
দ্বিতীয় জারে লঘু সালফিউরিক অ্যাসিডের পরিমাণ 
= \(\pi\times0.7\times\frac{5h}{6}\) ঘনডেসিমি.
তৃতীয় জারে লঘু সালফিউরিক অ্যাসিডের পরিমাণ 
= \(\pi\times0.7\times\frac{7h}{9}\) ঘনডেসিমি.
\(\therefore\) তিনটি জারে মোট অ্যাসিডের পরিমাণ 
= \(\left(\pi\times0.7\times\frac{2h}{3}+\pi\times0.7\times\frac{5h}{6}+\pi\times0.7\times\frac{7h}{9}\right)\) ঘনডেসিমি.
= \(\pi\times0.7\times\left(\frac{2h}{3}+\frac{5h}{6}+\frac{7h}{9}\right)\) ঘনডেসিমি.
= \(\pi\times0.7\times\left(\frac{12h+15h+14h}{18}\right)\) ঘনডেসিমি.
= \(\pi\times0.7\times\frac{41h}{18}\) ঘনডেসিমি.
বড়ো জারটির ব্যাসার্ধ = \(\frac{2.1}{2}\) ডেসিমি. এবং জারে অ্যাসিডের উচ্চতা = 4.1 ডেসিমি.
\(\therefore\) বড়ো জারে অ্যাসিডের পরিমাণ 
= \(\pi\times\frac{2.1}{2}\times4.1\) ঘনডেসিমি.
শর্তানুসারে, 
\(\pi\times0.7\times\frac{41h}{18} = \pi\times\frac{2.1}{2}\times4.1\)
বা,  \(h=\frac{2.1}{2}\times4.1\times\frac{18}{41}\times\frac{1}{0.7}\)
বা, h = 4.05
\(\therefore\) সমান ব্যাস ও সমান উচ্চতাবিশিষ্ট তিনটি জারের প্রত্যেকটির উচ্চতা 4.05 ডেসিমি.

7.    একমুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার পাত্রের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2002 বর্গ সেমি. । পাত্রটির ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি. হলে, পাত্রটিতে কত লিটার জল ধরবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, পাত্রটির উচ্চতা h সেমি. 
পাত্রটির ভূমির ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য = \(\frac{14}{2}\) সেমি. = 7 সেমি.
\(\therefore\)  একমুখ খোলা পাত্রটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 
= \(2\pi\times7\times h\ +\ \pi\times7^2\) বর্গসেমি.
= \(7\pi\ (2h+7)\) বর্গসেমি.
 শর্তানুসারে, 
\(7\pi(2h+7)=2002\)
বা, \(7\times\frac{22}{7}\times(2h+7) = 2002\)
বা, \(2h+7=\frac{2002}{22}\)
বা, 2h = 91-7
বা, h = \(\frac{84}{2}\)
বা, h = 42
 একমুখ খোলা পাত্রটির উচ্চতা 42 সেমি.
একমুখ খোলা পাত্রটির আয়তন 
= \(\frac{22}{7}\times7^2\times42\) ঘনসেমি.
= 6468 ঘনসেমি.
= \(\frac{6468}{1000}\) ঘনডেসিমি.
= 6.468 লিটার [যেহেতু, 1 লিটার = 1 ঘনডেসিমি. ]
পাত্রটিতে 6.468 লিটার জল ধরবে । 


8.   যদি 14 সেমি. ব্যাসের পাইপ যুক্ত একটি পাম্পসেট মিনিটে 2500 মিটার জল সেচ করতে পারে, তাহলে ওই পাম্পটি 1 ঘন্টায় কত কিলো লিটার জলসেচ করবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
1 মিনিটে পাম্পসেটটি জল সেচ করতে পারে
= \(\frac{22}{7}\times\frac{14}{2}\times\frac{14}{2}\times\frac{25000}{100}\) ঘনডেসিমি.
= 38500 ঘনডেসিমি.
= 38500 লিটার
 [1 ঘনডেসিমি. = 1 লিটার]
\(\therefore\) পাম্পসেটটি 60 মিনিটে জল সেচ করতে পারে 
= 60 × 38500 লিটার
= \(\frac{60\times38500}{1000}\) কিলোলিটার
= 2310 কিলোলিটার 

9.    7 সেমি. ব্যাসের একটি লম্বা গ্যাসজারে কিছু জল ছিল। ওই জলে যদি 5.6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 5 সেমি. লম্বা একটি নিরেট লোহার লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি টুকরো সম্পূর্ণ ডোবানো হয়, তবে জলতল কতটা উপরে উঠবে হিসাব করে লিখি।
 
সমাধানঃ
ধরি, জলতল h সেমি. উপরে উঠবে
নিরেট লোহার লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ 
= \(\frac{5.6}{2}\)সেমি. = 2.8 সেমি. 
এবং দৈর্ঘ্য = 5 সেমি.
\(\therefore\) নিরেট লোহার লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি টুকরোর আয়তন 
= \(\frac{22}{7}\times2.8\times2.8\times5\) ঘনসেমি. 
= 123.20 ঘনসেমি.
গ্যাসজারটির ব্যাসার্ধ = \(\frac{7}{2}\) সেমি. = 3.5 সেমি. 
এবং উচ্চতা = h সেমি.
\(\therefore\) গ্যাসজারটির আয়তন = \(\frac{22}{7}\times3.5\times3.5\times h\) ঘনসেমি.
শর্তানুসারে, 
\(\frac{22}{7}\times3.5\times3.5\times h=123.20\)
বা,\(h\ = 123.20\times\frac{7}{22}\times\frac{1}{3.5}\times\frac{1}{3.5}\)
বা,\(h\ = \frac{12320}{100}\times\frac{7}{22}\times\frac{10}{35}\times\frac{10}{35}\)
বা, h= 3.2
\(\therefore\) জলতল 3.2 সেমি. উপরে উঠবে

10. একটি লম্ব চোঙাকৃতি স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গ মিটার এবং আয়তন 924 ঘনমিটার হলে, এই স্তম্ভের ব্যাসের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, ওই স্তম্ভের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. এবং উচ্চতা h সেমি.
 ∴ স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh বর্গসেমি.
এবং আয়তন = πr²h ঘনসেমি.    
শর্তানুসারে,
2πrh=264 (1)
এবং πr²h=924 (2)
(1) ÷ (2) করে পাই, 
\(\frac{2\pi rh}{\pi r^2h}=\frac{264}{924}\)
বা,\(\frac{2}{r}=\frac{2}{7}\)
বা,\(r=\frac{7\times2}{2}\)
r=7
(1) নং সমীকরণে r=7 বসিয়ে পাই,
2π×7×h=264
বা, \(2×\frac{22}{7}×7×h=264\)
বা, 44h=264
বা, h=\(\frac{264}{44}\)
h=6
স্তম্ভের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2×7 সেমি. = 14 সেমি.
এবং উচ্চতা = 6 সেমি.


11.  9 মিটার উচ্চতাবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি ট্যাঙ্ক জলপূর্ণ আছে। 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি পাইপ দিয়ে মিনিটে 225 মিটার বেগে জল বের হয়, তাহলে 36 মিনিটে ট্যাঙ্কটির সমস্ত জল বেরিয়ে যায়। ট্যাঙ্কটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, ট্যাঙ্কটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি.
ট্যাঙ্কটির উচ্চতা = 9 মিটার =900 সেমি.
ট্যাঙ্কটির আয়তন = \(πr^2×900\) ঘনমিটার 
পাইপটি দিয়ে 1 মিনিটে জল বের হয়
= \(π\times\left(\frac{6}{2}\right)^2×225×100\) ঘনসেমি.
= \(π\times9×22500\) ঘনসেমি. 
∴ পাইপটি দিয়ে 36 মিনিটে জল বের হয়
= \(π\times9×22500×36\) ঘনসেমি.
শর্তানুসারে,
\(9πr^2=\pi\times9\times22500\times36\) 
বা,\(r^2=\frac{\pi\times9\times22500\times36\ }{900\pi}\) 
বা, \(r^2=225\times36\)
r=±90
যেহেতু, ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ঋনাত্মক হতে পারে না, ∴ r≠-90
সুতরাং, r=90
∴ ট্যাঙ্কটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2×90 মিটার = 180 মিটার 

12. সমান ঘনত্বের একটি লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুড়ির বক্রতলের ক্ষেত্রফল 440 বর্গ ডেসিমি.। এক ঘন ডেসিমি. কাঠের ওজন 1.5 কিগ্রা. এবং গুড়িটির ওজন 9.24 কুইন্ট্যাল হলে, গুড়িটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, গুঁড়িটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r ডেসিমি. এবং উচ্চতা h ডেসিমি.
গুঁড়িটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 440 বর্গডেসিমি.
2πrh=440 (1)
 9.24 কুইন্ট্যাল=924 কিগ্রা
গুঁড়িটির আয়তন 
= \(\frac{924}{1.5}\) ঘনডেসিমি 
= 616 ঘনডেসিমি
∴\(\pi r^2h=616\) (2)
(2)÷(1) করে পাই,
\(\frac{\pi r^2h}{2\pi rh}=\frac{616}{440}\)
বা,\(r=\frac{616}{440}\times2\)
বা,\(r=\frac{616}{440}\times2\)
∴ r=2.8
(1)নং সমীকরণে r=2.8 বসিয়ে পাই, 
2πrh=440
বা,\(2\times\frac{22}{7}\times2.8\times h=440\times\frac{7}{22}\)
বা, \(h=440×\frac{1}{2}\times\frac{7}{22\times2.8}\)
h=25
গুড়িটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2×2.8 ডেসিমি. এবং উচ্চতা 25 ডেসিমি. 

13. দুই মুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার লোহার পাইপের মুখের বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 30 সেমি. অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 26 সেমি. এবং পাইপটির দৈর্ঘ্য 14.7 মিটার। প্রতি বর্গ ডেসিমি. 2.25 টাকা হিসাবে ওই পাইপটির সমগ্রতলে আলকাতরার প্রলেপ দিতে কত খরচ পড়েবে, হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
পাইপের মুখের বহির্ব্যাসার্ধ (\(r_1\)) = \(\frac{30}{2}\) সেমি. = 15 সেমি.
এবং অন্তর্ব্যাসার্ধ (\(r_2\)) = \(\frac{26}{2}\) সেমি. = 13 সেমি.
পাইপটির দৈর্ঘ্য (h) 14.7 মিটার = 1470 সেমি.
পাইপটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(2π(r_1+ r_2)h+2π(r_1^2-r_2^2)\) বর্গসেমি.
= \(2π(15+13)×1470+2π(15^2-13^2)\) বর্গসেমি.
= 2π×28×1470+2π(15+13)(15-13) বর্গসেমি.
= 2π(28×1470+ 28×2) বর্গসেমি.
= \(2×\frac{22}{7}×28(1470+2)\) বর্গসেমি.
= 8×22×1472 বর্গসেমি.
= 259072 বর্গসেমি.
= 2590.72 বর্গডেসিমি
প্রতি বর্গ ডেসিমি. 2.25 টাকা হিসাবে ওই পাইপটির সমগ্রতলে আলকাতরার প্রলেপ দিতে খরচ পড়বে 
= 2.25×2590.72 টাকা = 5829.12 টাকা

14. একটি দুই মুখ খোলা লোহার লম্ব বৃত্তাকার ফাঁপা চোঙের উচ্চতা 2.8 মিটার। চোঙটির অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 4.6 ডেসিমি. এবং চোঙটি 84.48 ঘন ডেসিমি. লোহা দিয়ে তৈরি হলে, চোঙটির বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি, চোঙটির বহির্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r ডেসিমি.
চোঙটির অন্তর্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{4.6}{2}\) ডেসিমি. = 2.3 ডেসিমি.
এবং উচ্চতা = 2.8 মিটার = 28 ডেসিমি.
ফাঁপা চোঙটির আয়তন 
= \(\frac{22}{7}\times\left\{({r)}^2-{(2.3)}^2\right\}\times28\) ঘনডেসিমি.
= \(88\times\left\{r^2-5.29\right\}\) ঘনডেসিমি.
শর্তানুসারে,
\(88\times\left\{r^2-5.29\right\}=84.48\)
বা, \(\left\{r^2\mathrm{-5.29} \right\}=\frac{84.48}{88}\)
বা, \(r^2-5.29=0.96\)
বা, \(r^2=0.96+5.29\)
বা, \(r^2=6.25\)
r=±2.5 
যেহেতু, বহির্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না। 
r≠-2.5 সুতরাং, r=2.5
চোঙটির বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2×2.5 সেমি. = 5 সেমি.

15. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুন। যদি উচ্চতা 6 গুন হতো তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘন ডেসিমি. বেশি হতো। চোঙটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r ডেসিমি.
চোঙটির উচ্চতা 2r ডেসিমি.
চোঙটির আয়তন 
= \(\pi r^2\times2r\) ঘনডেসিমি.
= \(2\pi r^3\) ঘনডেসিমি.
চোঙটির উচ্চতা 6 গুন হলে চোঙের উচ্চতা হবে 6r ডেসিমি.
এবং চোঙের আয়তন হবে 
= \(\pi r^2\times6r\) ঘনডেসিমি.
= \(6\pi r^3\) ঘনডেসিমি.
শর্তানুসারে,
\(6\pi r^3-2\pi r^3=539\)
বা, \(4\pi r^3=539\)
বা, \(4\times\frac{22}{7}\times r^3=539\)
বা, \(r^3=539\times\frac{1}{4}\times\frac{7}{22}\)
বা, \(r^3=\frac{343}{8}\)
\(r= {7 \over 2}\)
চোঙটির উচ্চতা = \(2×\frac{7}{2}\) ডেসিমি. = 7 ডেসিমি.

16. ফায়ার ব্রিগেডের কোনও একটি দল একটি জল ভর্তি লম্ব বৃত্তাকার ট্যাঙ্কারের জল 2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের তিনটি হোস পাইপ দিয়ে মিনিটে 420 মিটার বেগে ঢেলে 40 মিনিটে আগুন নেভাল। যদি ট্যাঙ্কারটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2.8 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 6 মিটার হয়, তবে 
(i) আগুন নেভাতে কত জল খরচ হয়েছে 
এবং (ii) ট্যাঙ্কারে আর কত জল রয়েছে নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
ট্যাঙ্কারটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{2.8}{2}\) মিটার = 1.4 মিটার
এবং ট্যাঙ্কারটির দৈর্ঘ্য = 6 মিটার
ট্যাঙ্কারটিতে জল আছে 
= \(\frac{22}{7}\times1.4\times1.4\times6\) ঘনমিটার
\(=\frac{22}{7}\times1.4\times1.4\times6\times1000\) ঘনডেসিমি.
= 36960 ঘনডেসিমি. = 36960 লিটার
হোস পাইপের মুখের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 
= \(\frac{2}{2}\) সেমি. = \(\frac{1}{10}\) ডেসিমি.
3 টি হোস পাইপ দিয়ে 1 মিনিটে জল বের হয়
\(=3\times\frac{22}{7}\times\frac{1}{10}\times\frac{1}{10}\times420\times10\)  ঘনডেসিমি.
= 3×22×6 লিটার 
= 396 লিটার 
3 টি হোস পাইপ দিয়ে 40 মিনিটে মোট জল বের হয়
= 40×396 লিটার = 15840 লিটার 
(i) আগুন নেভাতে 15840 লিটার জল খরচ হয়েছে।
(ii)  ট্যাঙ্কারে আর জল রয়েছে 
=(36960 - 15840)লিটার
= 21120 লিটার


17. 17.5 সেমি. ব্যাসের 4 টি লম্ব বৃত্তাকার ঢালাই পিলারের চারিপাশে 3.5 সেমি. পুরু বালি সিমেন্টের প্লাস্টার করতে হবে।
(i) প্রতিটি পিলার যদি 3 মিটার লম্বা হয়, তবে কত ঘন ডেসিমি মশলা লাগবে হিসাব করে লিখি।
(ii) প্লাস্টারের মশলা তৈরি করতে যদি 4:1 অনুপাতে বালি ও সিমেন্ট মেশাতে হয়, তবে কত ঘন ডেসিমি. সিমেন্টের প্রয়োজন হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
প্রতিটি পিলারের দৈর্ঘ্য = 3 মিটার = 30 ডেসিমি.
প্লাস্টার বাদে পিলারের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
 = \(\frac{17.5}{2}\) সেমি.
= \(\frac{175}{200}\) ডেসিমি. 
= \(\frac{7}{8}\) ডেসিমি.
প্লাস্টার সমেত পিলারের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 
= \(\left(\frac{7}{8}+\frac{35}{100}\right)\) ডেসিমি. 
= \(\left(\frac{7}{8}+\frac{7}{20}\right)\) ডেসিমি. 
= \(\frac{35+14}{40}\) ডেসিমি. 
= \(\frac{49}{40}\) ডেসিমি. 
∴ 4 টি লম্ব বৃত্তাকার পিলার ঢালাই করতে খরচ পড়বে
= \(4×\frac{22}{7}\times\left\{\left(\frac{49}{40}\right)^2-\left(\frac{7}{8}\right)^2\right\}\times30\) ঘনডেসিমি.
= \(4×\frac{22}{7}\times\left(\frac{49}{40}+\frac{7}{8}\right)\left(\frac{49}{40}-\frac{7}{8}\right)\times30\) ঘনডেসিমি.
= \(4×\frac{22}{7}\times\left(\frac{49+35}{40}\right)\left(\frac{49-35}{40}\right)\times30\) ঘনডেসিমি.
= \(4×\frac{22}{7}\times\frac{84}{40}\times\frac{14}{40}\times30\) ঘনডেসিমি.
= 277.20 ঘনডেসিমি.
মশলাতে বালি ও সিমেন্টের অনুপাত = 4:1
277.20 ঘনডেসিমি. মশলাতে সিমেন্ট আছে
= \(\frac{1}{5}\times277.20\) ঘনডেসিমি. = 55.44 ঘনডেসিমি.

18. একটি লম্ব বৃত্তাকার ফাঁপা চোঙের বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 সেমি. এবং অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 সেমি.। চোঙটির উচ্চতা 36 সেমি.। চোঙটিকে গলিয়ে 2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট এবং 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের কতগুলি নিরেট চোঙ তৈরি করা যাবে হিসাব করি।
সমাধানঃ
চোঙটির বহির্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{16}{2}\) সেমি. = 8 সেমি.
এবং অন্তর্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{12}{2}\) সেমি. = 6 সেমি.
চোঙটির উচ্চতা 36 সেমি.
ফাঁপা চোঙটির আয়তন 
= \(\pi\times\left\{\left(8\right)^2-\left(6\right)^2\right\}\times36\) ঘনসেমি.
= \(\pi\times(64-36)\times36\) ঘনসেমি.
= \(\pi\times28\times36\) ঘনসেমি.
= \(\pi\times28\times36\) ঘনসেমি.
নিরেট চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{2}{2}\) সেমি. = 1 সেমি.
এবং নিরেট চোঙের উচ্চতা = 6 সেমি. 
নিরেট চোঙের আয়তন
= \(\pi\times\left(1\right)^2\times6\) ঘনসেমি.
= \(6\pi\) ঘনসেমি.
নির্ণেয় নিরেট চোঙের সংখ্যা
= \(\frac{\pi\times28\times36\ }{6\pi}\) টি 
= 168 টি

19. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 
এবং উচ্চতার অনুপাত 5:3 হলে, বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
(a) 2:5 (b) 8:7 (c) 10:9 (d) 16:9

সমাধানঃ
 ধরি, দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 2x একক ও 3x একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে
5y একক এবং 3y একক
চোঙ দুটির বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= 2π×2x×5y: 2π×3x×3y
= 10:9
উত্তরঃ (c) 10:9

(ii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3
এবং উচ্চতার অনুপাত 5:3 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত
(a) 27:20 (b) 20:27 (c) 4:9 (d) 9:4

সমাধানঃ
ধরি, দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 2x একক ও 3x একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে
5y একক এবং 3y একক
চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত
= \(2π×(2x)^2×5y: 2π×(3x)^2×3y\)
= 20:27
উত্তরঃ (b) 20:27

(iii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের আয়তন সমান এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 1:2 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 
(a) 1 :
2 (b)2 : 1 (c) 1 : 2 (d) 2 : 1
সমাধানঃ 
ধরি, দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে r1 একক ও r2 একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে
y একক এবং 2y একক।
শর্তানুসারে,
\(2π×(r_1)^2×y = 2π×(r_2)^2×2y\)
বা, \((r_1)^2×y=(r_2)^2×2y\)
বা, \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2=\frac{1}{2}\)
বা, \(\frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{\sqrt2}\)
∴ \(r_1 : r_2 = 1 : \sqrt2\)
উত্তরঃ (a)1 : 2

(iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুন হলে, চোঙটির আয়তন হবে পূর্বের আয়তনের
(a)সমান (b)দ্বিগুন (c)অর্ধেক (d)4গুন

সমাধানঃ
ধরি, চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক 
এবং উচ্চতা h একক
চোঙটির আয়তন = \(\pi r^2h\) ঘনএকক
ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুন হলে
আয়তন হবে = \(\pi\left(\frac{r}{2}\right)^2\times2h\) ঘনএকক
= \(\frac{1}{2}\ \pi r^2h\) ঘনএকক
= পুর্বের আয়তনের অর্ধেক 
উত্তরঃ (c)অর্ধেক

(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন এবং উচ্চতা অর্ধেক করা হলে, বক্রতলের ক্ষেত্রফল পূর্বের চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের
(a)সমান (b)দ্বিগুন (c)অর্ধেক (d)4গুন

সমাধানঃ
ধরি, চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক 
এবং উচ্চতা h একক
চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = \(2\pi rh\) বর্গএকক
ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন এবং উচ্চতা অর্ধেক হলে
বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে = \(2\pi\times2r\times\frac{h}{2}\) বর্গএকক
= \(2\pi rh\) বর্গএকক
= পূর্বের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
উত্তরঃ (a)সমান


(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) একটি লম্ব চোঙাকৃতি ড্রামের ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. এবং উচ্চতা h সেমি.। ড্রামের অর্ধেক জলপূর্ণ থাকলে, জলের আয়তন হবে \(\pi r^2 h\) ঘনসেমি.।

সমাধানঃ
লম্ব চোঙাকৃতি ড্রামের ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. 
এবং উচ্চতা h সেমি.
ড্রামের জলের আয়তন = \(\pi r^2h\) ঘনসেমি.
ড্রামের অর্ধেক জলপূর্ণ থাকলে, 
জলের আয়তন হবে \(\frac{\pi r^2h}{2}\) ঘনসেমি.
উত্তরঃ মিথ্যা

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2 একক হলে, চোঙটির যে-কোনো উচ্চতার জন্য চোঙটির আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হবে।
সমাধানঃ
ধরি, চোঙটির উচ্চতা = h একক
চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল 
= \(2\pi\times2\times h\) বর্গএকক
= \(4\pi h\) বর্গএকক
এবং চোঙটির আয়তন 
= \(\pi{(2)}^2h\) ঘনএকক
= \(4\pi h\) ঘনএকক
উত্তরঃ সত্য

(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) একটি আয়তক্ষেত্রাকার কাগজের দৈর্ঘ্য একক এবং প্রস্থ b একক। আয়তক্ষেত্রাকার কাগজটিকে মুড়ে একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো যার পরিধি কাগজটির দৈর্ঘের সমান। চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল _________ বর্গএকক।

সমাধানঃ
আয়তকার কাগজের ক্ষেত্রফল 
= \(l\times b\) বর্গএকক
=\(lb\) বর্গএকক
উত্তরঃ \(lb\)

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 সেমি. এবং উচ্চতা 4 সেমি. হলে, চোঙটির ভিতর সর্বাপেক্ষা লম্বা যে দন্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য _______সেমি.।
সমাধানঃ
চোঙটির ভিতর সর্বাপেক্ষা লম্বা যে দন্ড রাখা যাবে 
তার দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{4^2+3^2}\) সেমি.
               = \(\sqrt{16+9}\) সেমি.
        = \(\sqrt{25}\) সেমি. = 5 সেমি.
উত্তরঃ 

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হলে, চোঙটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য _______ একক।

সমাধানঃ
ধরি, ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
শর্তানুসারে,
\(\pi r^2 h = \pi r h\)
r = 2
চোঙটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2×2 একক = 4 একক  
উত্তরঃ 4
  
20. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i)একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গমিটার এবং আয়তন 924 ঘনমিটার হলে, স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r মিটার 
এবং উচ্চতা h মিটার  
2πrh=264 (1)
এবং \(\pi r^2 h = 924\) (2)
(2)÷(1) করে পাই,
\(\frac{\pi r^2h}{2\pi rh}=\frac{924}{264}\)
বা,\(r=\frac{7}{2}\times2\)
r = 7
স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 মিটার। 

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল c বর্গএকক, ভূমির ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং আয়তন v ঘনএকক হলে, এর মান কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা = h একক
বক্রতলের ক্ষেত্রফল, c = 2πrh বর্গএকক
এবং আয়তন, v = \(\pi r^2 h\) ঘনএকক
∴ \(\frac{cr}{v}=\frac{2\pi rh\times r}{\pi r^2h}=2\)

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 14 সেমি. এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গসেমি. হলে, চোঙটির আয়তন কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি.
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= \(2×\frac{22}{7}\times r×14\) বর্গসেমি.
= 88r বর্গসেমি.
শর্তানুসারে,
88r=264
বা, \(r=\frac{264}{88}\)
r = 3
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন 
= \(\frac{22}{7}\times3^2\times14\) ঘনসেমি.
= 396 ঘনসেমি.

(iv) দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1:2 এবং ভূমির পরিধির অনুপাত 3:4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(r_1\) একক ও \(r_2\) একক 
এবং উচ্চতা যথাক্রমে h একক ও 2h একক। 
\(\frac{2\pi r_1}{2\pi r_2}=\frac{3}{4}\)
বা, \(\frac{r_1}{r_2}=\frac{3}{4}\)
লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত
= \(\frac{\pi{r_1}^2\times h}{\pi{r_2}^2\times2h}\) 
= \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\times\frac{1}{2}\) 
= \(\left(\frac{3}{4}\right)^2\times\frac{1}{2}\)
= \(\frac{9}{16}\times\frac{1}{2}\) 
= \(\frac{9}{32}\) = 9:32


(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% হ্রাস করা হলো এবং উচ্চতা 50% বৃদ্ধি করা হলো। চোঙটির আয়তনের শতকরা কত পরিবর্তন হবে তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক 
এবং উচ্চতা যথাক্রমে h একক।
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন = \pi r^2h ঘনএকক
চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% হ্রাস এবং উচ্চতা 50% বৃদ্ধি পেলে ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হবে 
= \(\left(r-r\times\frac{50}{100}\right)\) একক
=\(\frac{r}{2}\) একক
এবং উচ্চতা হবে = \(\left(h-h\times\frac{50}{100}\right)\) একক 
                            =\(\frac{3h}{2}\) একক
আয়তন হবে = \(\pi{\times\left(\frac{r}{2}\right)}^2\times\frac{3h}{2}\) ঘনএকক 
= \(\pi\times\frac{r^2}{4}\times\frac{3h}{2}\) ঘনএকক
= \(\frac{3\pi r^2h}{8}\) ঘনএকক
চোঙের আয়তন হ্রাস পাবে 
= \(\left(\pi r^2h-\frac{3\pi r^2h}{8}\right)\) ঘনএকক
= \(\frac{5\pi r^2h}{8}\) ঘনএকক
চোঙের আয়তন শতকরা হ্রাস পাবে
= \(\frac{\frac{5\pi r^2h}{8}}{\pi r^2h}\times100\)
= \(\frac{125}{2}\) 
= \(62\frac{1}{2}\)


Post a Comment

1 Comments