অনুপাত ও সমানুপাত || কষে দেখি 5.1 || WBBSE Class 10 Math solution

 

1. নীচের রাশিগুলি অনুপাতে প্রকাশ করি ও অনুপাতগুলি সাম্যানুপাত, লঘু অনুপাত না গুরু অনুপাত বুঝে লিখি।

(i) 4 মাস ও 1 বছর 6 মাস

সমাধানঃ

1 বছর 6 মাস  = (12+6) মাস = 18 মাস

∴ 4 মাস ও 1 বছর 6 মাসের অনুপাত

= 4:18

= 2:9

যেহেতু, \(\frac{2}{9}<1\)

∴ 2:9 অনুপাতটি লঘু অনুপাত 

(ii) 75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সা

সমাধানঃ

1 টাকা 25 পয়সা = (100+25) পয়সা = 125 পয়সা
∴ 75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সার অনুপাত
= 75:125
= 3:5
যেহেতু, \frac{3}{5}<1
∴ 3:5 অনুপাতটি লঘু অনুপাত 

(iii) 60 সেমি. এবং 0.6 মিটার

সমাধানঃ
0.6 মিটার 
= 0.6×100 সেমি.
= 60 সেমি.
∴ 60 সেমি. এবং 0.6 মিটারের অনুপাত
= 60:60
= 1:1
1:1 অনুপাতের পূর্বপদ এবং উত্তরপদ সমান 
সুতরাং, 1:1অনুপাতটি সাম্যানুপাত

(iv) 1.2 কিগ্রা এবং 60 গ্রাম

সমাধানঃ
1.2 কিগ্রা = 1.2×1000 গ্রাম = 1200 গ্রাম
∴ 1.2 কিগ্রা এবং 60 গ্রামের অনুপাত
= 1200:60
= 20:1
যেহেতু, \(\frac{20}{1}>1\) 
∴ 20:1 অনুপাতটি গুরু অনুপাত 

2. (i) p কিগ্রা. ও q গ্রামের অনুপাতটি লিখি।

সমাধানঃ
p কিগ্রা. 
= p×1000 গ্রাম
= 1000p গ্রাম
∴ p কিগ্রা. ও q গ্রামের অনুপাতটি হল 1000p:q

2. (ii) x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় কখন সম্ভব হবে লিখি।

উত্তরঃ
রাশি দুটিকে একই এককে আনতে পারি তাহলে আমরা রাশি দুটির মধ্যে অনুপাত নির্ণয় করতে পারব।

2. (iii) একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত কী ধরনের অনুপাত হবে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, একটি অনুপাত x:y
∴ x:y অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত y:x
x:y ও y:x অনুপাত দুটির মিশ্র অনুপাত
= x×y:y×x
=xy:xy
=1:1

ইহা একটি সাম্যানুপাত 
∴ একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত সাম্যানুপাত হবে।

2. (iv) \(\frac{a}{b}:c\), \(\frac{b}{c}:a\) এবং \(\frac{c}{a}:b\) -এর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করি। 

সমাধানঃ
\(\frac{a}{b}:c\), \(\frac{b}{c}:a\) এবং \(\frac{c}{a}:b\) -এর মিশ্র অনুপাত
= \(\frac{a}{b}\times\frac{b}{c}\times\frac{c}{a}:c\times a\times b\)
= 1:abc

2. (v) x²:yz এবং কোন অনুপাতের মিশ্র অনুপাত xy:z² হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, নির্ণেয় অনুপাত p:q
∴ x²:yz এবং p:q অনুপাতের মিশ্র অনুপাত 
= x²×p : yz×q
= px² : qyz
শর্তানুসারে,
\(\frac{px^2}{qyz}=\frac{xy}{z^2}\)
বা, \(\frac{p}{q}=\frac{xy}{z^2}\times\frac{yz}{x^2}\)
বা, \(\frac{p}{q}=\frac{y^2}{zx}\)

∴ নির্ণেয় অনুপাত \(y^2:zx\)

2. (vi) \(x^2:\frac{yz}{x}\), \(y^2:\frac{zx}{y}\), \(z^2:\frac{yx}{z}\) অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
\(x^2:\frac{yz}{x}, y^2:\frac{zx}{y}, z^2:\frac{yx}{z}\) অনুপাতগুলির ব্যস্ত 
অনুপাত গুলি হল \(\frac{yz}{x}:x^2, \frac{zx}{y}:y^2, \frac{yx}{z}:z^2\)
∴ \(x^2:\frac{yz}{x}, y^2:\frac{zx}{y}, z^2:\frac{yx}{z}\) অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাতগুলির
যৌগিক অনুপাত
= \(\frac{yz}{x}\times\frac{zx}{y}\times\frac{yx}{z}{:x}^2\times y^2\times z^2\) 
= \(xyz:(xyz)^2\)
= 1:xyz

3. নিম্নলিখিতগুলির মিশ্র অনুপাত বা যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি।

(i) 4:5, 5:7 ও 9:11

সমাধানঃ
4:5, 5:7 ও 9:11 এর মিশ্র অনুপাত
= 4×5×9 : 5×7×11
= 36 : 77 

(ii) (x+y):(x-y) , (x²+y²):(x+y)² এবং (x²-y²)²:(x⁴-y⁴)

সমাধানঃ

(x+y):(x-y), (x²+y²):(x+y)²এবং (x²-y²)²:(x⁴-y⁴)

অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত

= (x+y)(x²+y²)(x²-y²)²: (x-y)(x+y) ²(x⁴-y⁴)

= (x²+y²)(x²-y²)²:(x-y)(x+y)(x²-y²)(x²+y²)

= (x²-y²)²: (x²-y²) (x²-y²)

= 1:1

4. (i) A:B=6:7 এবং B:C=8:7 হলে, A:C নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
A:B=6:7 এবং B:C=8:7
\(\frac{A}{B}=\frac{6}{7}\) এবং \(\frac{B}{C}=\frac{8}{7}\)
∴ \(\frac{A}{B}\times\frac{B}{C}=\frac{6}{7}\times\frac{8}{7}\)
বা, \(\frac{A}{C}=\frac{48}{49}\)
∴ A:C=48:49

 

4. (ii) A:B=2:3, B:C=4:5 এবং C:D=6:7 হলে, A:D নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
A:B=2:3, B:C=4:5 এবং C:D=6:7
\(\frac{A}{B}=\frac{2}{3}, \frac{B}{C}=\frac{4}{5}\) এবং \(\frac{C}{D}=\frac{6}{7}\)
∴ \(\frac{A}{B}\times\frac{B}{C}\times\frac{C}{D}=\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\times\frac{6}{7}\)
বা, \(\frac{A}{D}=\frac{16}{35}\)
∴ A:D=16:35

4. (iii) যদি A:B=3:4 এবং B:C=2:3 হয়, তাহলে A:B:C নির্ণয় করি। 

সমাধানঃ
A:B=3:4 এবং B:C=2:3
\(\frac{A}{B}=\frac{3}{4}\) এবং \(\frac{B}{C}=\frac{2}{3}=\frac{2\times2}{3\times2}=\frac{4}{6}\)
∴ A:B=3:4 এবং B:C=4:6
∴ A:B:C=3:4:6

4. (iv) x:y=2:3 এবং y:z=4:7 হলে, x:y:z নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
x:y=2:3 এবং y:z=4:7
\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}=\frac{2\times4}{3\times4}=\frac{8}{12}\) 
এবং \(\frac{y}{z}=\frac{4}{7}=\frac{4\times3}{7\times3}=\frac{12}{21}\)
∴ x:y=8:12 এবং y:z=12:21
∴ x:y:z=8:12:21

5. (i) x:y=3:4 হলে, (3y-x):(2x+y) কত হবে নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
ধরি, x=3p এবং y=4p 
[যেখানে p একটি বাস্তব সংখ্যা এবং p≠0]
∴ (3y-x):(2x+y)
        = \(\frac{3y-x}{2x+y}\)
= \(\frac{3\times4p-3p}{2\times3p+4p}\)
= \(\frac{12p-3p}{6p+4p}\)
= \(\frac{9p}{10p}=\frac{9}{10}\) = 9:10
∴ (4y-x):(2x+y)=9:10
      

5. (ii) a:b=8:7 হলে, দেখাই যে (7a-3b):(11a-9b)=7:5

সমাধানঃ
 ধরি, a=8k এবং b=7k
[যেখানে k একটি বাস্তব সংখ্যা এবং k≠0]
∴ (7a-3b):(11a-9b)
= \(\frac{7a-3b}{11a-9b}\)
= \(\frac{7.8k-3.7k}{11.8k-9.7k}\)
= \(\frac{56k-21k}{88k-63k}\)
= \(\frac{35k}{25k} = \frac{7}{5}\) = 7:5
∴ (7a-3b):(11a-9b)=7:5 [প্রমাণিত]

5. (iii) p:q=5:7 এবং p-q=-4 হলে,  3p+4q এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
ধরি, p=5k এবং q=7k
  [যেখানে k একটি বাস্তব সংখ্যা এবং k≠0]
p-q=-4
বা, 5k-7k=-4
বা, -2k=-4
বা, 2k=4
∴ k=2
∴ p=5×2 = 10 এবং q=7×2 = 14
∴ 3p+4q = 3×10+4×14
= 30+56
= 86

6. (i) (5x-3y):(2x+4y)=11:12 হলে, x:y নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
(5x-3y):(2x+4y)=11:12
বা, \(\frac{5x-3y}{2x+4y}=\frac{11}{12}\)
বা, 12(5x-3y)=11(2x+4y)
বা, 60x-36y=22x+44y
বা, 60x-22x=44y+36y
বা, 38x=80y
বা, \(\frac{x}{y}=\frac{80}{38}\)
বা, \(\frac{x}{y}=\frac{40}{19}\)
∴ x:y=40:19

6. (ii) (3a+7b):(5a-3b)=5:3 হলে, a:b নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
(3a+7b):(5a-3b)=5:3
বা, \(\frac{3a+7b}{5a-3b}=\frac{5}{3}\)
বা, 5(5a-3b)=3(3a+7b)
বা, 25a-15b=9a+21b
বা, 25a-9a=21b+15b
বা, 16a=36b
বা, \(\frac{a}{b}=\frac{36}{16}\)
বা, \(\frac{a}{b}=\frac{9}{4}\)
∴ a:b=9:4

7. (i) (7x-5y) : (3x+4y) = 7 : 11 হলে, দেখাই যে (3x-2y) : (3x+4y) = 137 : 473

সমাধানঃ
(7x-5y):(3x+4y)=7:11
বা,\(\frac{7x-5y}{3x+4y}=\frac{7}{11}\)
বা, 11(7x-5y)=7(3x+4y)
বা, 77x-55y=21x+28y
বা, 77x-21x=28y+55y
বা, 56x=83y
বা, \(\frac{x}{y}=\frac{83}{56}\)
∴ x:y=83:56
ধরি, x=83k এবং y=56k
[যেখানে k একটি বাস্তব সংখ্যা এবং k≠0]
∴ \(\frac{3x-2y}{3x+4y}\) 
= \(\frac{3\times83k-2\times56k}{3\times83k+4\times56k}\)
= \(\frac{249k-112k}{249k+224k}\)
= \(\frac{137k}{473k} = \frac{137}{473}\)
∴ (3x-2y):(3x+4y)=137:473 [প্রমাণিত]

7. (ii) (10x+3y):(5x+2y)=9:5 হলে, দেখাই যে (2x+y):(x+2y)=11:13

সমাধানঃ
(10x+3y):(5x+2y)=9:5
বা, \(\frac{10x+3y}{5x+2y}=\frac{9}{5}\)
বা, 5(10x+3y)=9(5x+2y)
বা, 50x+15y=45x+18y
বা, 50x-45x=18y-15y
বা, 5x=3y
বা, \(\frac{x}{y}=\frac{3}{5}\)
∴ x:y=3:5
ধরি, x=3k এবং y=5k
[যেখানে k একটি বাস্তব সংখ্যা এবং k≠0]
∴ \(\frac{2x+y}{x+2y}\) 
= \(\frac{2\times3k+5k}{3k+2\times5k}\)
= \(\frac{6k+5k}{3k+10k}\)
= \(\frac{11k}{13k} = \frac{11}{13}\)

∴ (2x+y):(x+2y)=11:13 [প্রমাণিত]

8. (i) 2:5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে কত যোগ করলে অনুপাতটি 6:11 হবে নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
ধরি, 2:5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে k যোগ করলে অনুপাতটি 6:11 হবে।
সুতরাং,
\(\frac{2+k}{5+k}=\frac{6}{11}\)
বা, 11(2+k)=6(5+k)
বা, 22+11k=30+6k
বা, 11k-6k=30-22
বা, 5k=8
∴ k=\(\frac{8}{5}\)
∴ 2:5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে \(\frac{8}{5}\) যোগ করলে অনুপাতটি 6:11 হবে।

8. (ii) a:b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে কত বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m:n হবে নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
ধরি, a:b অনুপাতের উভয়পদ থেকে k বিয়োগ করলে অনুপাতটি m:n হবে।
সুতরাং,
\(\frac{a-k}{b-k}=\frac{m}{n}\)
বা, n(a-k) = m(b-k)
বা, an-nk=mb-mk
বা, mk-nk=mb-an
বা, k(m-n)=mb-an
∴ k=\(\frac{mb-an}{m-n}\)
∴ a:b অনুপাতের উভয়পদ থেকে \(\frac{mb-an}{m-n}\) বিয়োগ করলে অনুপাতটি m:n হবে।

8. (iii) কোন সংখ্যা 4:7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তরপদ থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন অনুপাতটির মান 2:3 ও 5:4 এর যৌগিক অনুপাত হবে।

সমাধানঃ
2:3 ও 5:4 এর যৌগিক অনুপাত 
= 2×5:3×4 = 5:6
ধরি, নির্ণেয় সংখ্যাটি হল k
সুতরাং, 
\(\frac{4+k}{7-k}=\frac{5}{6}\)
বা, 6(4+k)=5(7-k)
বা, 24+6k=35-5k
বা, 6k+5k=35-24
বা, 11k=11
∴ k=1
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হল 1