1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা
বুঝে লিখি।
(i) x2+7x+2=0
উত্তরঃ
বহুপদী
সংখ্যামালাটির
x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2
তাই ইহা
একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
(ii) 7x5-x(x+2)
উত্তরঃ
বহুপদী সংখ্যামালাটির x এর সর্বোচ্চ ঘাত 5
তাই ইহা একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(iii) 2x(x+5)+1
উত্তরঃ
2x(x+5)+1=2x2+10x+1
বহুপদী সংখ্যামালাটির x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2
তাই ইহা একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
(iv) 2x-1
উত্তরঃ
বহুপদী সংখ্যামালাটির x এর সর্বোচ্চ ঘাত 1
তাই ইহা একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি
ax2+bx+c=0, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং
a≠0, আকারে লেখা যায় তা লিখি।
উত্তরঃ
\(x-1+{1\over x}=0, \)
বা, \({{x^2-x+1}\over x}=0,\)
বা, \(x^2-x+1=0\)
এই সমীকরণটিকে ax2+bx+c=0
(যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a≠0) আকারে লেখা যায়।
(ii) \(x+{3 \over a}=x^2, (x\ne 0)\)
উত্তরঃ
\(x+{3 \over a}=x^2, (x\ne 0)\)
বা, \(3x^2=4-x\)
বা, \(3x^2+x-4=0\)
এই সমীকরণটিকে ax2+bx+c=0 (যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a≠0) আকারে লেখা যায়।
(iii) x2-6√x+2=0
উত্তরঃ
এই সমীকরণটিকে ax2+bx+c=0 (যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a≠0) আকারে লেখা যায় না।
(iv) \((x-2)^2=x^2-4x+4\)
উত্তরঃ
ইহা একটি অভেদ।
তাই এই সমীকরণটিকে ax2+bx+c=0 (যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a≠0) আকারে লেখা যায় না।
3. x6-x3-2=0
সমীকরণটি
চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করো।
উত্তরঃ
x6-x3-2=0
বা, (x3)2-x3-2=0
এই সমীকরণটি x3 এর
সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ
অর্থাৎ সমীকরণটি x চলের ঘাত
3 এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
4.(i) (a-2)x2+3x+5=0 সমীকরণটি a এর কোন মানের জন্যে দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না নির্ণয়
করি।
উত্তরঃ
(a-2)x2+3x+5=0 সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না যদি x2 এর সহগ 0 হয়।
অর্থাৎ a-2=0 বা, a = 2 হলে (a-2)x2+3x+5=0
সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।
(ii) \({x \over{4-x}}={1 \over 3x}\) কে ax2+bx+c=0,
(a≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে
x-এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি।
উত্তরঃ
\({x \over{4-x}}={1 \over 3x}\)
বা, 3x2=4-x
বা, 3x2+x-4=0
∴ প্রদত্ত সমীকরণকে দ্বিঘাত সমীকরণে আকারে প্রকাশ করলে x
(iii) 3x2+7x+23=(x+4)(x+3)+2 কে ax2+bx+c=0, (a≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি।
উত্তরঃ
3x2+7x+23=(x+4)(x+3)+2
বা, 3x2+7x+23=x2+4x+3x+12+2
বা, 3x2+7x+23=x2+7x+14
বা, 3x2+7x+23-x2-7x-14=0
বা, 2x2+0.x+9=0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে দ্বিঘাত সমীকরণে আকারে প্রকাশ করলে হবে 2x2+0.x+9=0
(iv) (x+2)3=x(x2-1) সমীকরণটিকে ax2+bx+c=0, (a≠0)
দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং x2, x ও x0 এর সহগ লিখি।
উত্তরঃ
(x+2)3=x(x2-1)
বা, x3+3.x2.2+3.x.22+23=x3-x
বা, x3+6x2+12x+8-x3+x=0
বা, 6x2+13x+8=0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে দ্বিঘাত সমীকরণে আকারে
প্রকাশ করলে হবে 6x2+13x+8=0
x2 এর সহগ 6
x এর সহগ 13
x0 এর সহগ 8
5. নীচের বিবৃতিগুলি
থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) 42-কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত
করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
উত্তরঃ
ধরি, একটি অংশ x
∴ অপর অংশটি হল x2
শর্তানুসারে,
x2+x=42
বা, x2+x-42=0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2+x-42=0
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক
অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143
উত্তরঃ
ধরি, দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যাগুলি হল (2x-1) এবং (2x+1)
শর্তানুসারে,
(2x-1)(2x+1)=143
বা, (2x)2-12=143
বা, 4x2-1-143=0
বা, 4x2-144=0
বা, 4(x2-36)=0
বা, x2-36=0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2-36=0
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313
উত্তরঃ
ধরি, দুটি ক্রমিক সংখ্যা হল x এবং x+1
শর্তানুসারে,
x2+(x+1)2=313
বা, x2+x2+2x+1-313=0
বা, 2x2+2x-312=0
বা, 2(x2+x-156)=0
বা, x2+x-156=0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2+x-156=0
6. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশী।
উত্তরঃ
ধরি, আয়তকার
ক্ষেত্রের প্রস্থ
= x মিটার
∴ আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (x+3) মিটার
∴ আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{x^2+(x+3)^2}\) মিটার
শর্তানুসারে,
\(\sqrt{x^2+(x+3)^2}\)=15
বা, x2+x2+6x+9= 152
বা, 2x2+6x+9= 225
বা, 2x2+6x+9- 225=0
বা, 2x2+6x- 216=0
বা, 2(x2+3x- 108)=0
বা, x2+3x- 108=0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল
x2+3x- 108=0
(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কিগ্রা. চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশী পেতেন, তবে তার
কিগ্রা. প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো।
উত্তরঃ
ধরি, তিনি 80 টাকায় x কিগ্রা. চিনি ক্রয় করেছিলেন।
∴ প্রতি কিগ্রা. চিনির মূল্য = \({80 \over x}\)
যদি
ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা.
চিনি বেশী পেতেন তাহলে
প্রতি কিগ্রা চিনির মূল্য হতো =
\({80 \over (x+4)}\)
শর্তানুসারে,
\({80 \over x}-{80 \over (x+4)} = 1\)
বা, \({80(x+4)-80x \over x(x+4)} = 1\)
বা, \({80x+320-80x \over {x^2+4x}} = 1\)
বা, x2+4x=320
বা, x2+4x-320=0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল
x2+4x-320=0
(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি.। একটি ট্রেন
প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল।
ট্রেনটির
গতিবেগ ঘন্টায়
5 কিমি.বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে
2 ঘন্টা কম সময় লাগত।
উত্তরঃ
ধরি, ট্রেনটির
গতিবেগ x কিমি./ঘন্টা
300 কিমি. যেতে ট্রেনটির সময় লাগবে \({300 \over x}\) ঘন্টা
ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি.বেশি হলে 300 কিমি. যেতে ট্রেনটির সময় লাগত \({300 \over {x+5}}\) ঘন্টা
শর্তানুসারে,
\({300 \over x}-{300 \over (x+5)} = 2\)
বা, \({300(x+5)-300x \over x(x+5)} = 1\)
বা, \({300x+1500-300x \over {x^2+5x}} = 1\)
বা, x2+5x=1500
বা, x2+4x-1500=0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল
x2+4x-1500=0
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত
টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তাঁর লাভ হল।
উত্তরঃ
ধরি, তিনি ঘড়িটি x টাকায় ক্রয় করেছিলেন।
∴ তার লাভ হয়
x%
∴ ঘড়িটির বিক্রয়মূল্য = \(x+x\times{x\over 100} \) টাকা
শর্তানুসারে,
\(x+x\times{x\over 100}=336 \)
বা, \(x+{x^2\over 100}=336 \)
বা, \({{100x+x^2}\over 100}=336 \)
বা, 100x+x2=33600
বা, x2+100x-33600=0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল
x2+100x-33600=0
(v) স্রোতের বেগ ঘন্টায় 2 কিমি. হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে
21 কিমি. গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘন্টা সময় লাগে।
উত্তরঃ
ধরি, স্থির জলে নৌকার গতিবেগ = x কিমি./ঘন্টা
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার গতিবেগ = (x+2) কিমি./ঘন্টা
এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতিবেগ =(x-2) কিমি./ঘন্টা
∴ স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি যায় \({21 \over {x+2}}\) ঘন্টায়
এবং স্রোতের প্রতিকূলে 21 কিমি যায় \({21 \over {x-2}}\) ঘন্টায়
শর্তানুসারে,
\({21 \over {x+2}}+{21 \over (x-2)} = 10\)
বা, \({{21(x-2)+21(x+2)} \over {(x+2)(x-2)}} = 10\)
বা, \({{21x-42+21x+42)} \over {x^2-4}} = 10\)
বা, 10(x2-4)=42x
বা, 10x2-40-42x=0
বা, 2(5x2-21x-20)=0
বা, 5x2-21x-20=0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল
5x2-21x-20=0
(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিস্কার করতে
মহিম অপেক্ষা মজিদের
3 ঘন্টা বেশি সময় লাগে।
তারা
উভয়ে একসঙ্গে কাজটি
2 ঘন্টায় শেষ করতে পারে।
উত্তরঃ
ধরি, মহিম কাজটি করে x ঘণ্টায়
∴ মজিদ কাজটি করে
(x+3) ঘন্টায়
মহিম 1
ঘন্টায় করে কাজটির \({1 \over x}\)
মজিদ 1
ঘন্টায় করে কাজটির \({1 \over {x+3}}\)অংশ
দুজনে একত্রে 1 ঘন্টায় করে \(({1 \over x}+{1 \over {x+3}})\) অংশ
দুজনে একত্রে 2
ঘন্টায় করে \(2({1 \over x}+{1 \over {x+3}})\) অংশ
শর্তানুসারে,
\(2({1 \over x}+{1 \over {x+3}})=1\)
বা, \({{(x+3)+x} \over {x(x+3)}} = {1 \over 2}\)
বা, \({{2x+3} \over {x^2+3x}} = {1 \over 2}\)
বা, x2+3x=2(2x+3)
বা, x2+3x=4x+6
বা, x2+3x-4x-6=0
বা, x2-x-6=0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল
x2-x-6=0
(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক
স্থানীয় অঙ্ক দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্ব্য়ের গুণফল
সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।
উত্তরঃ
ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্কটি হল x
একক স্থানীয় অঙ্কটি হবে (x+6)
∴ সংখ্যাটি হল 10.x+(x+6)
শর্তানুসারে,
10.x+(x+6)=x(x+6)
বা, 10x+x+6=x2+6x
বা, x2+6x=10x+x+6
বা, x2+6x-10x-x-6=0
বা, x2-5x-6=0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল
x2-5x-6=0
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও
40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান
চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গমিটার।
উত্তরঃ
আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল
= 45×40 বর্গমিটার
= 1800 বর্গমিটার
ধরি, রাস্তাটি x মিটার চওড়া
রাস্তাসহ আয়তকার মাঠের দৈর্ঘ্য = (45+2x) মিটার
রাস্তাসহ আয়তকার মাঠের প্রস্থ = (40+2x) মিটার
∴ রাস্তাসহ আয়তকার মাঠের ক্ষেত্রফল
= (45+2x)(40+2x) বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল
= {(45+2x)(40+2x)-1800} বর্গমিটার
শর্তানুসারে,
(45+2x)(40+2x)-1800=450
বা, 1800+90x+80x+4x2-1800=450
বা, 4x2+170x-450=0
বা, 2(2x2+85x-225)=0
বা, 2x2+85x-225=0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল
2x2+85x-225=0
0 Comments