1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি。
(i) x² + 7x + 2 = 0
উত্তরঃ
বহুপদী সংখ্যামালাটির x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2
তাই ইহা একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা。
(ii) 7x⁵ - x(x + 2)
উত্তরঃ
বহুপদী সংখ্যামালাটির x এর সর্বোচ্চ ঘাত 5
তাই ইহা একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়。
(iii) 2x(x + 5) + 1
উত্তরঃ
2x(x + 5) + 1 = 2x² + 10x + 1
বহুপদী সংখ্যামালাটির x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2
তাই ইহা একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা。
(iv) 2x - 1
উত্তরঃ
বহুপদী সংখ্যামালাটির x এর সর্বোচ্চ ঘাত 1
তাই ইহা একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়。
2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি ax² + bx + c = 0, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a≠0, আকারে লেখা যায় তা লিখি。
(i) \(x - 1 + {1 \over x} = 0, (x \neq 0)\)
উত্তরঃ
\(x - 1 + {1 \over x} = 0\)
বা, \({{x² - x + 1} \over x} = 0\)
বা, x² - x + 1 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 (যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a≠0) আকারে লেখা যায়।
(ii) \(x + {3 \over a} = x², (x \neq 0)\)
উত্তরঃ
\(x + {3 \over a} = x², (x \neq 0)\)
বা, 3x² = 4 - x
বা, 3x² + x - 4 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 (যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a≠0) আকারে লেখা যায়।
(iii) x² - 6√x + 2 = 0
উত্তরঃ
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 (যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a≠0) আকারে লেখা যায় না।
(iv) (x - 2)² = x² - 4x + 4
উত্তরঃ
ইহা একটি অভেদ।
তাই এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 (যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a≠0) আকারে লেখা যায় না।
3. x⁶ - x³ - 2 = 0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করো。
উত্তরঃ
x⁶ - x³ - 2 = 0
বা, (x³)² - x³ - 2 = 0
এই সমীকরণটি x³ এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ
অর্থাৎ সমীকরণটি x চলের ঘাত 3 এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
4.(i) (a - 2)x² + 3x + 5 = 0 সমীকরণটি a এর কোন মানের জন্যে দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না নির্ণয় করি。
উত্তরঃ
(a - 2)x² + 3x + 5 = 0 সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না যদি x² এর সহগ 0 হয়।
অর্থাৎ a - 2 = 0 বা, a = 2 হলে (a - 2)x² + 3x + 5 = 0 সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।
(ii) \({x \over {4 - x}} = {1 \over 3x}\) কে ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে x-এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি。
উত্তরঃ
\({x \over {4 - x}} = {1 \over 3x}\)
বা, 3x² = 4 - x
বা, 3x² + x - 4 = 0
∴ প্রদত্ত সমীকরণকে দ্বিঘাত সমীকরণে আকারে প্রকাশ করলে x-এর সহগ হবে 1
(iii) 3x² + 7x + 23 = (x + 4)(x + 3) + 2 কে ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি।
উত্তরঃ
3x² + 7x + 23 = (x + 4)(x + 3) + 2
বা, 3x² + 7x + 23 = x² + 4x + 3x + 12 + 2
বা, 3x² + 7x + 23 = x² + 7x + 14
বা, 3x² + 7x + 23 - x² - 7x - 14 = 0
বা, 2x² + 0·x + 9 = 0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে দ্বিঘাত সমীকরণে আকারে প্রকাশ করলে হবে 2x² + 0·x + 9 = 0
(iv) (x + 2)³ = x(x² - 1) সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং x², x ও x⁰ এর সহগ লিখি。
উত্তরঃ
(x + 2)³ = x(x² - 1)
বা, x³ + 3·x²·2 + 3·x·2² + 2³ = x³ - x
বা, x³ + 6x² + 12x + 8 - x³ + x = 0
বা, 6x² + 13x + 8 = 0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে দ্বিঘাত সমীকরণে আকারে প্রকাশ করলে হবে 6x² + 13x + 8 = 0
x² এর সহগ 6
x এর সহগ 13
x⁰ এর সহগ 8
5. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি。
(i) 42-কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত কর যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়。
উত্তরঃ
ধরি, একটি অংশ x
∴ অপর অংশটি হল x²
শর্তানুসারে, x² + x = 42
বা, x² + x - 42 = 0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² + x - 42 = 0
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143
উত্তরঃ
ধরি, দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যাগুলি হল (2x - 1) এবং (2x + 1)
শর্তানুসারে, (2x - 1)(2x + 1) = 143
বা, (2x)² - 1² = 143
বা, 4x² - 1 - 143 = 0
বা, 4x² - 144 = 0
বা, 4(x² - 36) = 0
বা, x² - 36 = 0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² - 36 = 0
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313
উত্তরঃ
ধরি, দুটি ক্রমিক সংখ্যা হল x এবং x + 1
শর্তানুসারে, x² + (x + 1)² = 313
বা, x² + x² + 2x + 1 - 313 = 0
বা, 2x² + 2x - 312 = 0
বা, 2(x² + x - 156) = 0
বা, x² + x - 156 = 0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² + x - 156 = 0
6. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি。
(i) একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশী。
উত্তরঃ
ধরি, আয়তকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
∴ আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (x + 3) মিটার
∴ আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{x^2 + (x + 3)^2}\) মিটার
শর্তানুসারে, \(\sqrt{x^2 + (x + 3)^2}\) = 15
বা, x² + x² + 6x + 9 = 15²
বা, 2x² + 6x + 9 = 225
বা, 2x² + 6x + 9 - 225 = 0
বা, 2x² + 6x - 216 = 0
বা, 2(x² + 3x - 108) = 0
বা, x² + 3x - 108 = 0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² + 3x - 108 = 0
(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কিগ্রা. চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশী পেতেন, তবে তার কিগ্রা. প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো。
উত্তরঃ
ধরি, তিনি 80 টাকায় x কিগ্রা. চিনি ক্রয় করেছিলেন।
∴ প্রতি কিগ্রা. চিনির মূল্য = \({80 \over x}\) টাকা
যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশী পেতেন তাহলে প্রতি কিগ্রা চিনির মূল্য হতো = \({80 \over x + 4}\) টাকা
শর্তানুসারে, \({80 \over x} - {80 \over x + 4} = 1\)
বা, \({80(x + 4) - 80x \over x(x + 4)} = 1\)
বা, \({80x + 320 - 80x \over x^2 + 4x} = 1\)
বা, x² + 4x = 320
বা, x² + 4x - 320 = 0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² + 4x - 320 = 0
(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি.। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি.বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘন্টা কম সময় লাগত。
উত্তরঃ
ধরি, ট্রেনটির গতিবেগ x কিমি./ঘন্টা
300 কিমি. যেতে ট্রেনটির সময় লাগবে \({300 \over x}\) ঘন্টা
ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি.বেশি হলে 300 কিমি. যেতে ট্রেনটির সময় লাগত \({300 \over x + 5}\) ঘন্টা
শর্তানুসারে, \({300 \over x} - {300 \over x + 5} = 2\)
বা, \({300(x + 5) - 300x \over x(x + 5)} = 2\)
বা, \({300x + 1500 - 300x \over x^2 + 5x} = 2\)
বা, 2(x² + 5x) = 1500
বা, x² + 5x = 750
বা, x² + 5x - 750 = 0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² + 5x - 750 = 0
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তাঁর লাভ হল。
উত্তরঃ
ধরি, তিনি ঘড়িটি x টাকায় ক্রয় করেছিলেন।
∴ তার লাভ হয় x%
∴ ঘড়িটির বিক্রয়মূল্য = \(x + x \times {x \over 100}\) টাকা
শর্তানুসারে, \(x + {x^2 \over 100} = 336\)
বা, \({100x + x^2 \over 100} = 336\)
বা, 100x + x² = 33600
বা, x² + 100x - 33600 = 0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² + 100x - 33600 = 0
(v) স্রোতের বেগ ঘন্টায় 2 কিমি. হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘন্টা সময় লাগে。
উত্তরঃ
ধরি, স্থির জলে নৌকার গতিবেগ = x কিমি./ঘন্টা
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার গতিবেগ = (x + 2) কিমি./ঘন্টা
এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতিবেগ = (x - 2) কিমি./ঘন্টা
∴ স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি যায় \({21 \over x + 2}\) ঘন্টায়
এবং স্রোতের প্রতিকূলে 21 কিমি যায় \({21 \over x - 2}\) ঘন্টায়
শর্তানুসারে, \({21 \over x + 2} + {21 \over x - 2} = 10\)
বা, \({21(x - 2) + 21(x + 2) \over (x + 2)(x - 2)} = 10\)
বা, \({21x - 42 + 21x + 42 \over x^2 - 4} = 10\)
বা, 10(x² - 4) = 42x
বা, 10x² - 40 - 42x = 0
বা, 2(5x² - 21x - 20) = 0
বা, 5x² - 21x - 20 = 0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল 5x² - 21x - 20 = 0
(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিস্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘন্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘন্টায় শেষ করতে পারে。
উত্তরঃ
ধরি, মহিম কাজটি করে x ঘণ্টায়
∴ মজিদ কাজটি করে (x + 3) ঘন্টায়
মহিম 1 ঘন্টায় করে কাজটির \({1 \over x}\) অংশ
মজিদ 1 ঘন্টায় করে কাজটির \({1 \over x + 3}\) অংশ
দুজনে একত্রে 1 ঘন্টায় করে \({1 \over x} + {1 \over x + 3}\) অংশ
দুজনে একত্রে 2 ঘন্টায় করে \(2({1 \over x} + {1 \over x + 3})\) অংশ
শর্তানুসারে, \(2({1 \over x} + {1 \over x + 3}) = 1\)
বা, \({(x + 3) + x \over x(x + 3)} = {1 \over 2}\)
বা, \({2x + 3 \over x^2 + 3x} = {1 \over 2}\)
বা, x² + 3x = 2(2x + 3)
বা, x² + 3x = 4x + 6
বা, x² + 3x - 4x - 6 = 0
বা, x² - x - 6 = 0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² - x - 6 = 0
(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্ব্য়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম。
উত্তরঃ
ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্কটি হল x
একক স্থানীয় অঙ্কটি হবে (x + 6)
∴ সংখ্যাটি হল 10x + (x + 6)
শর্তানুসারে, 10x + (x + 6) = x(x + 6) - 12
বা, 11x + 6 = x² + 6x - 12
বা, x² + 6x - 11x - 6 - 12 = 0
বা, x² - 5x - 18 = 0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² - 5x - 18 = 0
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গমিটার。
উত্তরঃ
আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল = 45 × 40 বর্গমিটার = 1800 বর্গমিটার
ধরি, রাস্তাটি x মিটার চওড়া
রাস্তাসহ আয়তকার মাঠের দৈর্ঘ্য = (45 + 2x) মিটার
রাস্তাসহ আয়তকার মাঠের প্রস্থ = (40 + 2x) মিটার
∴ রাস্তারসহ আয়তকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (45 + 2x)(40 + 2x) বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = {(45 + 2x)(40 + 2x) - 1800} বর্গমিটার
শর্তানুসারে, (45 + 2x)(40 + 2x) - 1800 = 450
বা, 1800 + 90x + 80x + 4x² - 1800 = 450
বা, 4x² + 170x - 450 = 0
বা, 2(2x² + 85x - 225) = 0
বা, 2x² + 85x - 225 = 0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল 2x² + 85x - 225 = 0
0 Comments