3. বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য || কষে দেখি 3.2 || WBBSE Class 10 Maths Solution

WBBSE Class 10 Maths Solution. 

 3. বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems Related to Circles)

    কষে দেখি 3.2

1. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং AB একটি জ্যা এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি.। O বিন্দু থেকে AB জ্যা এর দূরত্ব হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB একটি জ্যা।
O বিন্দু থেকে AB জ্যা এর উপর OM লম্ব
অঙ্কন করলাম যা AB কে M বিন্দুতে ছেদ
করেছে।
∴         AM= AB       
[∵ ব্যাস নয় এরূপ জ্যা এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করলে তা ওই জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে। ]
∴ AM = ×8 সেমি. = 4 সেমি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. ∴ OA=5 সেমি.
AMO সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
OA²=AM²+OM²[পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে]
বা, 5²=4²+OM²
বা, 25=16- OM²
বা, OM²= 25-16       
বা, OM²=3²                                                      
∴         OM=3
∴         O বিন্দু থেকে AB জ্যা এর দূরত্ব 3 সেমি.

2. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 26 সেমি.। O বিন্দু থেকে PQ জ্যা এর দূরত্ব 5 সেমি.। PQ জ্যা এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের O বিন্দু থেকে PQ
জ্যা এর দূরত্ব OM=5 সেমি.
O, P যুক্ত করলাম।
বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য =  সেমি. = 13 সেমি.
∴         OP=13 সেমি.
OMP সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
OP²=PM²+OM²[পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে]
বা, PM²=OP²-OM²
বা, PM²= (13²-5²)
বা, PM =  = 12
যেহেতু, ব্যাস নয় এরূপ জ্যা এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করলে তা ওই জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴         M, PQ বাহুর মধ্যবিন্দু         
সুতরাং, PQ=2PM=2×12সেমি. = 24 সেমি.

3.    O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের PQ জ্যা এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি. এবং O বিন্দু থেকে PQ এর দূরত্ব 2.1 সেমি.। বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের PQ জ্যা।∴ PQ=4 সেমি.
O বিন্দু থেকে PQ জ্যা এর উপর লম্ব অঙ্কন
করলাম যা PQ কে M বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ OM=2.1 সেমি.
∵ ব্যাস নয় এরূপ জ্যা এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করলে তা ওই জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে। 
∴ PM = \(\frac{1}{2}\)PQ= \(\frac{1}{2}\)×4 সেমি. = 2 সেমি.
OMP সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
OP²=PM²+OM²[পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে]
বা, OP²= (2²+2.1²)
∴ OP = \(\sqrt{4+4.41}\) = \(\sqrt{8.41}\)=2.9
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = 2.9 সেমি.
∴ বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2×2.9 সেমি. = 5.8 সেমি.

4. O কেন্দ্রীয় বৃত্তে 6 সেমি. ও 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি জ্যা। যদি ছোটো দৈর্ঘ্যের জ্যাটির বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 4 সেমি. হয়, তাহলে অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দুরত্ব কত তা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD ও AB জ্যা দুটির

দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সেমি. এবং 8 সেমি.

এবং O বিন্দু থেকে CD ও AB বাহুর উপর

লম্ব যথাক্রমে ON এবং OM।O, D এবং O, B যুক্ত করা হল।

 ∴ DN=\(\frac{1}{2}\)CD এবং BM=\(\frac{1}{2}\)AB

[∵ ব্যাস নয় এরূপ জ্যা এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করলে তা ওই জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে। ]
∴DN= \(\frac{1}{2}\)×6 সেমি. = 3 সেমি. 
এবং BM= \(\frac{1}{2}\)×8 সেমি. = 4 সেমি.  
ছোটো দৈর্ঘ্যের জ্যাটির বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 4 সেমি.
∴ ON = 4 সেমি.  
OND সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই, OD²=ON²+DN²

^{∴ OD=\(\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}\)=5 সেমি.}

∴বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য  5 সেমি. ∴    OB = 4 সেমি. 

OMB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই, OB²=OM²+BM²

∴ OM=\(\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt9\)=3 সেমি.

∴ অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 3 সেমি.

 

5.    যদি কোনো বৃত্তের একটি জ্যা এর দৈর্ঘ্য 48 সেমি. এবং কেন্দ্র থেকে ওই জ্যা এর দূরত্ব 7 সেমি. হয়, তবে ওই বৃত্তের কেন্দ্র  থেকে যে জ্যা এর দূরত্ব 20 সেমি., সেই জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত হবে তা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD জ্যা এর 

দৈর্ঘ্য 48 সেমি. এবং O বিন্দু থেকে CD জ্যা 

এর উপর লম্ব ON=7 সেমি.

মনে করি, O বিন্দু থেকে AB জ্যা এর উপর লম্ব OM=20সেমি.

O, B এবং O, D যুক্ত করা হল।

∴ DN=\(\frac{1}{2}\)CD এবং BM=\(\frac{1}{2}\)AB

[∵ ব্যাস নয় এরূপ জ্যা এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করলে তা ওই জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে। ]

∴DN=\(\frac{1}{2}\)×48 সেমি. = 24 সেমি. 

OND সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই, OD²=ON²+DN²

∴ OD=\(\sqrt{7^2+{24}^2}=\sqrt{625}=25\) সেমি.

∴বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 25 সেমি. ∴ OB = 25 সেমি.  

OMB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই, OB²=OM²+BM²

∴ BM=\(\sqrt{{25}^2-{20}^2}=\sqrt{225}\)=15 সেমি.

যেহেতু, BM=\(\frac{1}{2}\)AB ∴ AB=2×15 সেমি. = 30 সেমি.

∴ ওই বৃত্তের কেন্দ্র থেকে যে জ্যা এর দূরত্ব 20 সেমি., সেই জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 30 সেমি.

6. পাশের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ছবিতে OP⊥AB; AB=6 সেমি. এবং PC=2সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি.

O, A যুক্ত করা হল। ∴ OA=OC=r সেমি.

যেহেতু, PC=2সেমি. ∴ OP=OC-PC = (r-2) সেমি.

যেহেতু, OP⊥AB

∴ AP=\(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)×6 সেমি. = 3 সেমি.

APO সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,

OA²=AP²+OP²

বা, r²=3²+(r-2)²

বা, r²=9+r²-4r+4

বা, 4r=13

বা, r=\(\frac{13}{4}\)

∴         r=3.25

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.25 সেমি.

7. একটি সরলরেখা দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে A ও B বিন্দুতে এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে AC=DB.

বিশেষ নির্বচনঃ একটি সরলরেখা O কেন্দ্রীয় বৃওদুটির একটিকে A ও B বিন্দুতে

এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, AC=DB

অঙ্কনঃ

O বিন্দু থেকে AB বাহুর উপর লম্ব অঙ্কন করলাম

 যা AB কে  M বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণঃ

যেহেতু, বৃত্তের কোনো জ্যা এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব

অঙ্কন করা হলে, ওই লম্ব জ্যা টিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

∴         M, AB এবং CD এর মধ্যবিন্দু।

∴         AM=BM এবং CM=DM

যেহেতু, AM=BM

বা, AC+CM=BD+DM

∴         AC=BD [যেহেতু, CM=DM]

                        [প্রমাণিত]

8. প্রমাণ করি, কোনো বৃত্তের দুটি পরস্পরছেদি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করতে পারে না, যদি না উভয়েই বৃত্তের ব্যাস হয়।

প্রদত্তঃ ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পরকে এমনভাবে ছেদ

করেছে যাতে M, AB বাহুর মধ্যবিন্দু হয়।

প্রমাণ করতে হবে যে, P, CD এর মধ্যবিন্দু নয়।

অঙ্কনঃ O, M যুক্ত করা হল।

প্রমাণঃ

যেহেতু, M, AB বাহুর মধ্যবিন্দু এবং OM বৃত্তের কেন্দ্রগামী একটি সরলরেখা 

∴    OM⊥AB

যেহেতু, AB ও CD পরস্পরকে M বিন্দুতে ছেদ করেছে। তাই ওই M বিন্দুতে OM

একসঙ্গে AB ও CD উভয়ের উপর লম্ব হতে পারে না। ∴ OP, CD এর উপর লম্ব নয়।

 আমরা জানি, কোনো বৃত্তের কেন্দ্রগামী সরলরেখা জ্যা এর উপর লম্ব হলে তবে ওই লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

কিন্তু এখানে OP, CD এর উপর লম্ব নয়।

∴         P, CD এর মধ্যবিন্দু নয়। [প্রমাণিত]

9.  X ও Y কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। XY এর মধ্যবিন্দু S এর সঙ্গে A বিন্দু যোগ করলাম এবং A বিন্দু দিয়ে SA-এর উপর লম্ব অঙ্কন করলাম যা বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে, PA=AQ.

বিশেষ নির্বচনঃ

 X ও Y কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে।

XY এর মধ্যবিন্দু S এর সঙ্গে A বিন্দু যোগ করলাম এবং A বিন্দু দিয়ে SA-এর উপর লম্ব অঙ্কন করলাম যা বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল।

প্রমাণ করতে হবে যে, PA=AQ

অঙ্কনঃ X ও Y বিন্দু দিয়ে PQ এর উপর যথাক্রমে 

XM ও YN লম্ব অঙ্কন করা হল।

প্রমাণঃ 

যেহেতু, XM, SA এবং YN সরলরেখা তিনটি PQ এর

উপর লম্ব। ∴ XM∥SA∥YN

যেহেতু, XM ও YN যথাক্রমে X ও Y কেন্দ্রীয় বৃত্তদুটির জ্যা PA ও AQ এর উপর লম্ব ∴ AM=\(\frac{1}{2}\)PA এবং AN=\(\frac{1}{2}\)AQ

যেহেতু, S, XY এর মধ্যবিন্দু। ∴ SX=SY

সুতরাং, XM, SA এবং YN সমান্তরাল সরলরেখা তিনটি XY থেকে সমান দুটি অংশে খন্ডিত করে। 

∴ এই সরলরেখা তিনটি PQ থেকেও সমান দুটি অংশে খন্ডিত করবে। সুতরাং, AM=AN

বা, \(\frac{1}{2}PA\)=\(\frac{1}{2}AQ\)

∴ PA=AQ [প্রমাণিত]

10. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের 10 সেমি. ও 24 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি সমান্তরাল জ্যা AB ও CD কেন্দ্রের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। যদি AB ও CD জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব 17 সেমি. হয়, তবে হিসাব করে বৃত্তের ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য লিখি।

সমাধানঃ

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের 10 সেমি. ও 24 সেমি. 

দৈর্ঘ্যের দুটি সমান্তরাল জ্যা CD ও AB 

কেন্দ্রের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। 

O বিন্দু থেকে AB ও CD জ্যা দুটি উপর লম্ব 

যথাক্রমে OM এবং ON। 

∴ DN=\(\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10\) সেমি. = 5 সেমি.  

এবং BM=\(\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24\) সেমি. = 12 সেমি.  

AB ও CD জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব 17 সেমি. 

∴ OM+ON=17সেমি. 

ধরি, OM=x সেমি. ∴ ON=(17-x)সেমি.

OND সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই, 

OD²=ON²+DN²=(17-x)²+5²

OMB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,

OB²=OM²+BM²=x²+12²

যেহেতু, OB=OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

∴         x²+12²=(17-x)²+5²

বা,     x²+144=289-34x+x²+25

বা,     34x=289+25-144

বা,     x=\(\frac{170}{34}\)

∴     x=5

      OB²=x²+12²=5²+144=25+144=169

∴ OB=\(\sqrt{169}\) = 13 

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি.

11.দুটি বৃত্তের কেন্দ্র P এবং Q; বৃত্ত দুটি A এবং B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু দিয়ে PQ সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, CD=2PQ

প্রদত্তঃ P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে।

A বিন্দু দিয়ে PQ সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D 

বিন্দুতে ছেদ করে। অর্থাৎ, PQ||CD

প্রমাণ করতে হবে যে: PA=AQ

অঙ্কনঃ P ও Q বিন্দু থেকে যথাক্রমে CD এর উপর যথাক্রমে PX ও PY লম্ব অঙ্কন করলাম। 

প্রমাণঃ যেহেতু, PQ||CD ∴ PQ||XY

আবার, PX⊥CD এবং QY⊥CD ∴ PX||QY

PQYX চতুর্ভুজের PQ||XY, PX||QY এবং ∠XPQ=90°

∴ PQYX চতুর্ভজটি একটি সামান্তরিক ।

∵     PX⊥CD এবং QY⊥CD 

সুতরাং, AX=\(\frac{1}{2}\)AC এবং AY=\(\frac{1}{2}\)AD

[যেহেতু, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা এর উপর লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।]

XY=AX+AY

= \(\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AD\)

=  \(\frac{1}{2}(AC+AD)\)

= \(\frac{1}{2}CD\)

বা, CD=2XY=2PQ[যেহেতু, PQYX আয়তক্ষেত্রের XY=PQ]

 ∴ CD=2PQ [প্রমাণিত]

12. একটি বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুটি সমান। প্রমাণ করি যে, ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।

বিশেষ নির্বচনঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুটি সমান। 
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক O বিন্দুগামী।
অঙ্কনঃ B ও C যুক্ত করা হল। ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক BC কে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণঃ ∆ABP এবং ∆ACP এর মধ্যে
AB=AC [প্রদত্ত]
∠BAP=∠CAP [∵AP, ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক] 
AP সাধারণ বাহু 
∴ ∆ABP≅∆ACP [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
∴ ∠BPA=∠CPA এবং BP=CP 
যেহেতু, ∠BPA+∠CPA=180°
∴ ∠BPA=∠CPA=90°
∴ P, BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং AP⊥BC
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC জ্যা এবং P, BC এর মধ্যবিন্দু এবং AP⊥BC 
∴ AP, O বিন্দুর উপর দিয়ে অবস্থিত।  
সুতরাং, ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক O বিন্দুগামী। [প্রমাণিত]

13. একটি বৃত্তের দুটি পরস্পরছেদী জ্যা-এর অন্তর্ভূত কোণের সমদ্বিখন্ডক যদি কেন্দ্রগামী হয়, তাহলে প্রমান করি যে, জ্যা দুটি সমান।

বিশেষ নির্বচনঃ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পরকে M বিন্দুতে ছেদ করেছে।
 OM, ∠AMC এর সমদ্বিখণ্ডক 
প্রমাণ করতে হবে যে: AB=CD
অঙ্কনঃ O বিন্দু থেকে AB ও CD এর উপর যথাক্রমে OP ও OQ লম্ব অঙ্কন করলাম।
O, A এবং O, C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ ∆OPM এবং ∆OQM এর মধ্যে
∠OMP=∠OMQ [∵OM, ∠AMC এর সমদ্বিখণ্ডক]
∠OPM=∠OQM [উভয়েই সমকোণ]
OM সাধারণ বাহু
∴ ∆OPM ≅ ∆OQM [সর্বসমতার A-A-S শর্তানুসারে]
 ∴ OP=OQ [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
∆OPA এবং ∆OQCএর মধ্যে
OP=OQ
∠OPA=∠OQC [উভয়েই সমকোণ]
OC=OA [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ্য]
∴ ∆OPA ≅ ∆OQC [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
∴ AP=CQ
যেহেতু, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা এর উপর লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ AP=\(\frac{1}{2}\)AB এবং CQ=\(\frac{1}{2}\)CD
∴ \(\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD\)
∴ AB=CD [প্রমাণিত]

14. প্রমাণ করি, একটি বৃত্তে দুটি জ্যা এর মধ্যে যে জ্যাটি কেন্দ্রের নিকতটবর্তী সেটির দৈর্ঘ্য অপর জ্যা-টির দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।

বিশেষ নির্বচনঃ
ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা যাদের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব যথাক্রমে
OM এবং ON এবং OM>ON 
প্রমাণ করতে হবে যে, CD>AB
অঙ্কনঃ O, B এবং O, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ

যেহেতু, OM⊥AB ∴ BM=\(\frac{1}{2}\)AB
এবং ON⊥CD ∴ DN=\(\frac{1}{2}\)CD

OMB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,

OB²=OM²+BM²

OND সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,

OD²=ON²+DN²

যেহেতু, OB=OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

∴         OM²+BM²= ON²+DN²

বা, BM²<DN² [∵OM>ON    ∴         OM²>ON²]

বা, BM<DN

বা, \(\frac{1}{2}AB<\frac{1}{2}CD\)

∴         AB<CD [প্রমাণিত]

15. একটি বৃত্তের ভিতর যে-কোনো বিন্দু দিয়ে ক্ষুদ্রতম জ্যা কোনটি হবে তা প্রমাণ করে লিখি।

বিশেষ নির্বচনঃ

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের মধ্যে P একটি বিন্দু। AB ও CD জ্যা দুটি উভয়েই P বিন্দুগামী।   

P, AB বাহুর মধ্যবিন্দু।

অঙ্কনঃ CD⊥OQ অঙ্কন করলাম।

প্রমাণঃ  

OQP সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,

OP>OQ  

আবার, যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্র থেকে নিকটবর্তী জ্যা এর দূরত্ব বৃহত্তম হয়।

∴ CD>AB

∴ AB জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব ক্ষুদ্রতম

অর্থাৎ, কোনো বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত জ্যা ক্ষুদ্রতম তখন হবে যখন বিন্দুটি জ্যা এর মধ্যবিন্দু হবে।