1. একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ ||কষে দেখি 1.4|| WBBSE Math Solution

 

1. (i) 4x²+(2x-1)(2x+1)=4x(2x-1) এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করা সম্ভব কিনা বুঝে লিখি।

  4x²+(2x-1)(2x+1)=4x(2x-1) (1)

বা, 4x²+(2x²)-(1)²=8x²-4x

বা, 4x²+4x²-1-8x²+4x=0

বা, 4x-1=0

ইহা একটি রৈখিক সমীকরণ। 

তাই 4x²+(2x-1)(2x+1)=4x(2x-1) এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করা সম্ভব নয়। 

(ii) শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা কোন ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে পারি বুঝে লিখি। 

উত্তরঃ

    শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান করতে পারি।

(iii) 5x²+2x-7=0 এই সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে \(x={{k\pm12}\over 10}\) পাওয়া গেলে k এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

5x²+2x-7=0-----------(1)

(1) নং সমীকরণকে ax²+bx+c=0[a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a=5, b=2 এবং c=-7 

∴ শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

\(x={{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}\over 2a}\)

\(={{-2\pm\sqrt{(-2)^2-4\times5\times(-7)}}\over {2\times5}}\)

\(={{-2\pm\sqrt{4+140}}\over 10}\)

\(={{-2\pm\sqrt{144}}\over 10}\)

\(={{-2\pm12}\over 10}\)

\(x={{-2\pm12}\over 10}\) কে \(x={{k\pm12}\over 10}\) -এর সঙ্গে তুলনা করে পাই, k=-2

∴ k=-2

2.নীচের দ্বিঘাত সমীকরণগুলির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি।

(i) 3x²+11x-4=0

উত্তরঃ 

3x²+11x-4=0-----------(1)

(1) নং সমীকরণকে ax²+bx+c=0[a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a=3, b=11 এবং c=-4 

∴ b²-4ac

= (11)²-4×3×(-4)

= 121+48

= 169>0

∴ (1)নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

∴ শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

\(x={{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}\over 2a}\)

\(={{-11\pm\sqrt{11^2-4\times3\times(-4)}}\over {2\times3}}\)

\(={{-11\pm\sqrt{121+48}}\over 6}\)

\(={{-11\pm\sqrt{169}}\over 6}\)

\(={{-11\pm13}\over 6}\)

হয় \(x={{-11+13}\over 6}={2 \over 6}={1\over3}\)

অথবা, \(x={{-11-13}\over 6}={-24 \over 6}=-4\)

∴ 3x²+11x-4=0 সমীকরণের বীজদ্বয় \({1 \over 3}\) এবং 4

(ii) (x-2)(x+4)+9=0

উত্তরঃ

(x-2)(x+4)+9=0

বা, x²-2x+4x-8+9=0

বা, x²+2x+1=0----------(1)

(1) নং সমীকরণকে ax²+bx+c=0[a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a=1, b=2 এবং c=1

∴ b²-4ac

= (2)²-4×1×1

= 4-4

= 0

∴ (1)নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

∴ শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

\(x={{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}\over 2a}\)

\(={{-2\pm\sqrt{2^2-4\times1\times1}}\over {2\times1}}\)

\(={{-2\pm\sqrt{4-4}}\over 2}\)

\(={{-2\pm\sqrt{0}}\over 2}\)

\(={{-2\pm0}\over 2}\)

হয় \(x={{-2+0}\over 2}={-2 \over 2}=-1\)

অথবা, \(x={{-2-0}\over 6}={-2 \over 2}=-1\)

∴ (x-2)(x+4)+9=0 সমীকরণের বীজদ্বয়-1 এবং -1

(iii) (4x-3)²-2(x+3)=0

উত্তরঃ 

(4x-3)²-2(x+3)=0

বা, 16x²-24x+9-2x-6=0

বা, 16x²-26x+3=0 -------------------(1)

(1) নং সমীকরণকে ax²+bx+c=0[a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a=16, b=-26 এবং c=3 

∴ b²-4ac

= (-26)²-4×16×3

= 676-192

= 484>0

∴ (1)নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

∴ শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

\(x={{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}\over 2a}\)

\(={{-(-26)\pm\sqrt{(-26)^2-4\times16\times3}}\over {2\times16}}\)

\(={{26\pm\sqrt{676-192}}\over 32}\)

\(={{26\pm\sqrt{484}}\over 32}\)

\(={{26\pm22}\over 32}\)

হয় \(x={{26+22}\over 32}={48 \over 32}={3\over2}\)

অথবা, \(x={{26-22}\over 32}={-4 \over 32}={1 \over 8}\)

∴ (4x-3)²-2(x+3)=0 সমীকরণের বীজদ্বয় \({3\over2}\) এবং \({1\over 8}\)

(iv) 3x²+2x-1=0

উত্তরঃ 

3x²+2x-1=0-----------(1)

(1) নং সমীকরণকে ax²+bx+c=0[a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a=3, b=2 এবং c=-1 

∴ b²-4ac

= (2)²-4×3×(-1)

= 4+12

= 16>0

∴ (1)নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

∴ শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

\(x={{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}\over 2a}\)

\(={{-2\pm\sqrt{2^2-4\times3\times(-1)}}\over {2\times3}}\)

\(={{-2\pm\sqrt{4+12}}\over 6}\)

\(={{-2\pm\sqrt{16}}\over 6}\)

\(={{-2\pm4}\over 6}\)

হয় \(x={{-2+4}\over 6}={2 \over 6}={1\over3}\)

অথবা, \(x={{-2-4}\over 6}={-6 \over 6}=-1\)

∴ 3x²+2x-1=0 সমীকরণের বীজদ্বয় \({1 \over 3}\) এবং -1

(v) 3x²+2x+1=0

উত্তরঃ 

3x²+2x+1=0-----------(1)

(1) নং সমীকরণকে ax²+bx+c=0[a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a=3, b=2 এবং c=1 

∴ b²-4ac

= (2)²-4×3×1

= 4-12

= -8<0

∴ (1)নং দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই।

(vi) 10x²-x-3=0

উত্তরঃ 

10x²-x-3=0-----------(1)

(1) নং সমীকরণকে ax²+bx+c=0[a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a=10, b=-1 এবং c=-3 

∴ b²-4ac

= (-1)²-4×10×(-3)

= 1 + 120

= 121 >0

∴ (1)নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

∴ শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

\(x={{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}\over 2a}\)

\(={{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\times10\times(-3)}}\over {2\times10}}\)

\(={{1\pm\sqrt{1+120}}\over 20}\)

\(={{1\pm\sqrt{121}}\over 20}\)

\(={{1\pm11}\over 20}\)

হয় \(x={{1+11}\over 20}={12 \over 20}={3\over5}\)

অথবা, \(x={{1-11}\over 6}={-10 \over 20}=-{1\over2}\)

∴ 10x²-x-3=0 সমীকরণের বীজদ্বয় \({3 \over 5}\) এবং \(-{1 \over 2}\)

(vii) 10x²-x+3=0

উত্তরঃ 

10x²-x+3=0-----------(1)

(1) নং সমীকরণকে ax²+bx+c=0[a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a=10, b=-1 এবং c=3 

∴ b²-4ac

= (-1)²-4×10×3

= 1 - 120

= - 119 <0

∴ (1)নং দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই।

(viii) 25x²-30x+7=0

উত্তরঃ 

25x²-30x+7=0-----------(1)

(1) নং সমীকরণকে ax²+bx+c=0[a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a=25, b=-30 এবং c=7

∴ b²-4ac

= (-30)²-4×25×7

= 900-700

= 200>0

∴ (1)নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

∴ শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

\(x={{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}\over 2a}\)

\(={{-(-30)\pm\sqrt{(-30)^2-4\times25\times7}}\over {2\times25}}\)

\(={{30\pm\sqrt{900-700}}\over 50}\)

\(={{30\pm\sqrt{200}}\over 50}\)

\(={{30\pm10\sqrt{2}}\over 50}\)

হয় \(x={{30+10\sqrt{2}}\over 50}={10(3+\sqrt{2}) \over 50}={{3+\sqrt{2}}\over5}\)

অথবা, \(x={{30-10\sqrt{2}}\over 50}={10(3-\sqrt{2}) \over 50}={{3-\sqrt{2}}\over5}\)

∴ 25x²-30x+7=0 সমীকরণের বীজদ্বয় \({{3+\sqrt{2}}\over5}\) এবং \({{3-\sqrt{2}}\over5}\)

(ix) (4x-2)²+6x=25

উত্তরঃ

(4x-2)²+6x=25

বা, 16x²-16x+4+6x=25

বা, 16x²-10x+4-25=0

বা, 16x²-10x-21=0-----------(1)

(1) নং সমীকরণকে ax²+bx+c=0[a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a=16, b=-10 এবং c=-21 

∴ b²-4ac

= (-10)²-4×16×(-21)

= 100 + 1344

= 1444 >0

∴ (1)নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

∴ শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

\(x={{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}\over 2a}\)

\(={{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\times16\times(-21)}}\over {2\times16}}\)

\(={{10\pm\sqrt{100+1344}}\over 32}\)

\(={{10\pm\sqrt{1444}}\over 32}\)

\(={{10\pm38}\over 32}\)

হয় \(x={{10+38}\over 32}={48 \over 32}={3\over2}\)

অথবা, \(x={{10-38}\over 6}={-28 \over 32}=-{7\over8}\)

∴ (4x-2)²+6x=25 সমীকরণের বীজদ্বয় \({3 \over 2}\) এবং \(-{7 \over 8}\)

3.নিম্নলিখিত গাণিতিক সমষ্যাগুলি একচল্বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণে প্রকাশ করি এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে বা উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করি।

(i) সাথী একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতম বাহুর দ্বিগুন অপেক্ষা 6 সেমি. বেশি। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অতিভুজের দৈর্ঘ্যের থেকে 2 সেমি. কম হয়, তবে সাথীর আঁকা সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর তিনটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

ধরি, সমকোণী ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি.

∴ ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য (2x+6)সেমি.

এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য (2x+6-2) সেমি. = (2x+4) সেমি.

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,

(লম্ব)²+(ভূমি)²=(অতিভুজ)²

বা, (2x+4)²+x²=(2x+6)²

বা, 4x²+16x+16+x²=4x²+24x+36

বা, 4x²+16x+16+x²-4x²-24x-36=0

বা, x²-8x-20=0  

বা, x²-10x+2x-20=0

বা, x(x-10)+2(x-10)=0

বা, (x-10)(x+2)=0

হয় x-10=0    বা, x=10                          

অথবা, x+2=0   বা, x=-2     

কিন্তু, ত্রিভুজের বাহু কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না। ∴x=10

∴ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি.

অতিভুজ (2×10+6)সেমি. = 26 সেমি. এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য (2×10+4)সেমি. = 24 সেমি.

(ii) যদি দুই অঙ্কের একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে উহার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুন করলে 189 হয় এবং দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের দ্বিগুন হয়, তবে এককের ঘরের অঙ্কটি নির্ণয় করি।

উত্তরঃ 

ধরি, এককের ঘরের অঙ্কটি x

∴       দশকের ঘরের অঙ্কটি 2x

∴ সংখ্যাটি হল 10×2x+x = 21x

শর্তানুসারে,

21x.x=189

বা, 21x²-189=0

বা, 21(x²-9)=0

বা, x²-3²=0

বা, (x+3)(x-3)=0

হয় x+3=0     বা, x=-3   

অথবা, x-3=0    বা, x=3

যেহেতু, সংখ্যাটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা ∴x=3

∴       এককের ঘরের অঙ্কটি 3

(iii) সালমার গতিবেগ অণিকের গতিবেগের থেকে 1মি./সেকেন্ড বেশি। 180 মিটার দৌড়াতে গিয়ে সালমা অণিকের থেকে 2 সেকেন্ড আগে পৌঁছায়। অণিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে কত মিটার হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ 

ধরি, অণিকের গতিবেগ x মি./সেকেন্ড

∴ সালমার গতিবেগ (x+1) মি./সেকেন্ড

 180 মিটার যেতে অণিকের সময় লাগে \({180 \over x}\) সেকেন্ড

180 মিটার যেতে সালমার সময় লাগে  \({180 \over {x+1}}\)  সেকেন্ড 

শর্তানুসারে,

 \({180 \over x}-{180 \over {x+1}}=2\)

বা,\({{180x+180-180x} \over x(x+1)}=2\)

বা, 2x(x+1)=180

 বা, 2x²+2x-180=0

বা, 2(x²+x-90)=0

বা, x²+x-90=0

বা, x²+10x-9x-90=0

বা, x(x+10)-9(x+10)=0

বা, (x+10)(x-9)=0

হয় x+10=0      বা, x=-10      

অথবা, x-9=0    বা, x=9

যেহেতু, গতিবেগ কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না। ∴x=9

∴ অণিকের গতিবেগ 9 মি./সেকেন্ড। 

(iv) আমাদের পাড়ায় একটি বর্গাক্ষেত্রাকার পার্ক আছে। ওই পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের থেকে 5 মিটার বেশি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ও ওই পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে 3 মি. কম প্রস্থবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল ওই বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুন অপেক্ষা 78  বর্গমিটার কম হলে বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ 

ধরি, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার

বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল x² বর্গমিটার

আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের দৈর্ঘ্য (x+5) মিটার 

এবং প্রস্থ (x-3) মিটার

আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল (x+5)(x-3) বর্গমিটার

শর্তানুসারে,

(x+5)(x-3)=2x²-78

বা, x²+5x-3x-15=2x²-78

বা, x²+5x-3x-15-2x²+78=0

বা, -x²+2x+63=0

বা, -( x²-2x-63)=0

বা, x²-9x+7x-63=0

বা, x(x-9)+7(x-9)=0

বা, (x-9)(x+7)=0

হয় x-9=0   বা, x=9       

অথবা x+7=0 বা, x=-7

যেহেতু, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না ∴ x=9

∴    বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য 9 মিটার ।

    

(v) আমাদের গ্রামে প্রলয়বাবু তাঁর আয়তক্ষাত্রাকার জমিতে লাগানোর জন্য মোট 350টি লঙ্কার চারা কিনলেন। সারি ধরে চারাগাছ লাগাতে গিয়ে দেখলেন যে, প্রতিটি সারিতে সারির সংখ্যা থেকে 24টি বেশী গাছ লাগালে আরও 10টি গাছ অতিরিক্ত থাকে। সারির সংখ্যা হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

ধরি, সারির সংখ্যা x টি

প্রতি সারিতে চারাগাছ লাগানো হবে (x+24)টি

∴ x টি সারিতে মোট চারাগাছের সংখ্যা x(x+24)টি

শর্তানুসারে,

x(x+24)+10=350

বা, x²+24x+10-350=0

বা, x²+24x-340=0

বা, x²+34x-10x-340=0

বা, x(x+34)-10(x+34)=0

বা, (x+34)(x-10)=0

হয় x+34=0    বা, x=-34

অথবা x-10=0    বা, x=10

যেহেতু, সারির সংখ্যা কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না। ∴ x=10

∴       সারির সংখ্যা 10 টি

 

(vi) জোসেফ এবং কুন্তল একটি কারখানায় কাজ করে। জোসেফ একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের চেয়ে 5 মিনিট কম সময় নেয়। 6 ঘণ্টা কাজ করে জোসেফ, কুন্তলের চেয়ে 6টি জিনিস বেশি তৈরি করে। কুন্তল ওই সময়ে কয়টি জিনিস তৈরি করে হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

ধরি, একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের সময় লাগে x মিনিট

∴ একটি জিনিস তৈরি করতে জোসেফের সময় লাগে (x-5) মিনিট 

[6 ঘন্টা = 360 মিনিট]

360 মিনিটে কুন্তল তৈরি করে \({360 \over x}\) টি জিনিস

360 মিনিটে জোসেফ তৈরি করে  \({360 \over {x-5}}\)  টি জিনিস

শর্তানুসারে,

 \({360 \over {x-5}}-{360 \over x}=6\)

বা,\({{360x+1800-360x} \over x(x-5)}=6\)

বা, 6x(x-5)=1800

বা, 6x²-30x-1800=0

বা, 5(x²-5x-300)=0

বা, x²-20x+15x-300=0

বা, x(x-20)+15(x-20)=0

বা, (x-20)(x+15)=0

হয় x-20=0  বা, x=20

অথবা x+15=0    বা, x=-15

যেহেতু সময় কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না ∴       x=20

∴ 6 ঘন্টা =360 মিনিটে কুন্তল তৈরি করে \({360 \over 20}\) টি = 18 টি জিনিস

(vii) স্থির জলে একটি নৌকার গতিবেগ 8 কিমি/ঘণ্টা। নৌকাটি 5 ঘণ্টায় স্রোতের অনুকূলে 15কিমি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে 22কিমি. গেলে, স্রোতের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি।

উত্তরঃ

ধরি, স্রোতের বেগ x কিমি./ঘন্টা

∴ স্রোতের অনুকুলে নৌকার গতিবেগ (8+x) কিমি./ঘন্টা

এবং স্রোতের প্রতিকুলে নৌকার গতিবেগ (8-x) কিমি./ঘন্টা

স্রোতের অনুকুলে 15কিমি. যেতে সময় লাগবে \({15 \over {8+x}}\) ঘন্টা

স্রোতের প্রতিকুলে 20কিমি. যেতে সময় লাগবে \({22 \over {8-x}}\)  ঘন্টা

শর্তানুসারে, 

 \({15 \over {8+x}}+{22 \over {8-x}}=5\) 

 বা, \({{120-15x+176-22x} \over (8+x)(8-x)}=5\)

 বা, \({{296+7x} \over {64-x^2}}=5\)

 বা, 296+7x=5(64-x²)

বা, 296+7x=320-5x²

বা, 5x²+7x+296-320=0

বা, 5x²+7x-24=0

বা, 5x²+15x-8x-24=0

বা, 5x(x+3)-8(x+3)=0

বা, (x+3)(5x-8)=0

হয় x+3=0   ∴ x=-3

অথবা 5x-8=0      ∴      \(x={8 \over 5}\)

যেহেতু, গতিবেগ কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না

∴       \(x={8 \over 5}\)

∴ স্রোতের বেগ =  \({8 \over 5}\)কিমি/ঘন্টা = \(x=1{3 \over 5}\)  কিমি/ঘন্টা

(viii) একটি সুপারফাস্ট ট্রেন একটি এক্সপ্রেস ট্রেনের থেকে ঘণ্টায় 15কিমি. বেশি বেগে যায়। একইসঙ্গে একটি স্টেশন থেকে ছেড়ে 180 কিমি. দূরে অন্য একটি স্টেশনে সুপারফাস্ট ট্রেনটি 1 ঘন্টা আগে পৌছাল। সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিমি. ছিল নির্ণয় করি।

উত্তরঃ

ধরি, এক্সপ্রেস ট্রেনের গতিবেগ x কিমি./ঘন্টা

∴ সুপারফাস্ট ট্রেনের গতিবেগ (x+15) কিমি./ঘন্টা

180 কিমি. যেতে এক্সপ্রেস ট্রেনের সময় লাগে \({180 \over x}\)  ঘন্টা

শর্তানুসারে,

 \({180 \over x}-{180 \over {x+15}}=1\)   

বা, \({{180x+2700-180x} \over x(x+15)}=1\)

বা, \({{2700} \over {x^2+15x}}=1\)

 বা, x²+15x=2700

বা, x²+15x-2700=0

বা, x²+60x-45x-2700=0

বা, x(x+60)-45(x+60)=0

বা, (x+60)(x-45)=0

হয় x+60=0    বা, x=-60

অথবা x-45=0    বা, x=45

যেহেতু গতিবেগ কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না ∴ x=45

∴ সুপারফাস্ট ট্রেনের গতিবেগ (45+15) কিমি./ঘন্টা = 60 কিমি./ঘন্টা

 

(ix) রেহানা বাজারে গিয়ে দেখল প্রতি কিগ্রা. মাছের যা দাম, ডালের দাম তা থেকে প্রতি কিগ্রা. 20 টাকা কম এবং চালের দাম প্রতি কিগ্রা. 40 টাকা কম। রেহানা 240 টাকার মাছ ও 240 টাকার ডাল কিনে মোট যে পরিমাণ মাছ ও ডাল পেল তা 280 টাকায় চাল কেনার পরিমানের সমান। রেহানা প্রতি কিগ্রা. মাছ কী দামে কিনেছিল হিসাব করি।

উত্তরঃ

ধরি, প্রতি কিগ্রা. মাছের দাম x টাকা

∴ প্রতি কিগ্রা. ডালের দাম (x-20) টাকা

এবং প্রতি কিগ্রা. চালের দাম (x-40) টাকা

240 টাকায় মাছ পাওয়া যায় \({240 \over x}\) কিগ্রা.

240 টাকায় ডাল পাওয়া যায় \({240 \over {x-20}}\) কিগ্রা.

280 টাকায় চাল পাওয়া যায় \({280 \over {x-40}}\)  কিগ্রা.

শর্তানুসারে, 

বা, \({240 \over x}+{240 \over {x-20}}={280 \over {x-40}}\)

বা, \(240 ({1 \over x}+{1 \over {x-20}})={280 \over {x-40}}\) 

বা,\({{x-20+x} \over x(x-20)}={280 \over {240(x-40)}}\)
বা,\({{2x-20} \over x(x-20)}={7 \over {6(x-40)}}\)

বা, 6(x-40)(2x-20) =7x(x-20)

বা, 12x²-480x-120x+4800=7x²-140x

বা, 12x²-480x-120x+4800-7x²+140x=0

বা, 5x²-460x+4800=0

 বা, 5(x²-92x+960)=0

বা, x²-80x-12x+960=0

বা, x(x-80)-12(x-80)=0

বা, (x-80)(x-12)=0

হয় x-80=0        বা, x=80

অথবা x-12=0   বা, x=12

x=12 হলে চালের দাম এবং ডালের দাম ঋণাত্মক হয়ে যাবে

∴ x=80

∴ রেহানা প্রতি কিগ্রা. মাছ 80 টাকা দামে কিনেছিল।