কষে দেখি 23.2 | 23. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি | দশম শ্রেণী | WBBSE Board Class 10 Math Solution

 23. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি । কষে দেখি 23.2 | Exercise 23.2 solution | গণিত প্রকাশ X সমাধান | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali 

কষে দেখি  23.2 সমাধান

---

1. আমাদের বাড়ির জানালায় একটি মই ভূমির সঙ্গে 60° কোণে রাখা আছে। মইটি \(2\sqrt3\) মিটার লম্বা হলে আমাদের ওই জানালাটি ভূমি থেকে কত উপরে আছে ছবি এঁকে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, AB হল ভূমি থেকে জানালার দূরত্ব 

AC= মইয়ের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt3\) মিটার 

মইটি ভূমির সঙ্গে 60° কোণ করে আছে 

অর্থাৎ \(\angle ACB=60°\) 

ধরি, AB=x মিটার 

সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই, 

\(sin60°=\frac{AB}{AC}\)  

বা,  \(\frac{\sqrt3}{2}=\frac{x}{2\sqrt3}\) 

বা,  2x=6 

 ∴ x=3

∴ জানালাটি ভূমি থেকে 3 মিটার উপরে আছে। 

2. ABC সমকোণী ত্রিভুজের \(\angle B\) সমকোণ। \(AB=8\sqrt3\) সেমি. এবং BC=8 সেমি. হলে, \(\angle ACB\) ও \(\angle BAC\) এর মান হিসাব করে লিখি। 

সমাধানঃ

ABC সমকোণী ত্রিভুজের \(\angle B\) সমকোণ।

\(AB=8\sqrt3\) সেমি. এবং BC=8 সেমি.

\(\angle ACB\) এর সাপেক্ষে,

\(tan\angle ACB=\frac{AB}{BC}\)

বা, \( tan∠ACB=838\)

বা,  \(tan∠ACB=3\)

বা,  \(tan∠ACB=tan60°\)

∴ \(\angle ACB=60°\)

∴  \(\angle BAC=90°-60°\)

3. ABC সমকোণী ত্রিভুজের \(\angle B=90°,∠A=30°\) এবং AC=20 সেমি.। BC এবং AB বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B=90°, ∠A=30° এবং AC=20 সেমি.

ধরি, BC=x সেমি. এবং AB=y সেমি.

ABC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই, 

\(sin30° = \frac{BC}{AC}\)

বা, \(\frac{1}{2} = \frac{x}{20}\)

বা, \(2x=20\)

∴ x=10

ABC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই, 

\(cos30° = \frac{AB}{AC}\)

বা, \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{y}{20}\)

বা, \(2y=20\sqrt{3}\)

∴ y=10√3

∴ BC=10 সেমি. এবং AB=10√3 সেমি.

4. PQR সমকোণী ত্রিভুজের ∠Q=90°,∠R=45°; যদি PR=3√2 মিটার হয়, তাহলে PQ ও QR বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

PQR সমকোণী ত্রিভুজের ∠Q=90°,∠R=45° এবং PR=3√2 মিটার

ধরি, PQ=x সেমি. এবং RQ=y সেমি.

PQR সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই, 

\(sin45° = \frac{PQ}{PR}\)

বা, \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{x}{3\sqrt{2}}\)

∴ x=3

PQR সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই, 

\(cos45° = \frac{RQ}{PR}\)

বা, \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{y}{3\sqrt{2}}\)

∴ y=3

∴ PQ=3 সেমি. এবং RQ=3 সেমি.

5. মান নির্ণয় করিঃ 

 (i) \(sin^245°-cosec^260°+sec^230°\) 

সমাধানঃ 

 \(sin^245°-cosec^260°+sec^230°\) 

\(=\ \left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2-\left(\frac{2}{\sqrt3}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt3}\right)^2\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}\) 

\(=\ \frac{1}{2}\) 

(ii) \(sec^245°-cot^245°\)

            \(-sin^230°-sin^260°\) 

সমাধানঃ 

 \(sec^245°-cot^245°\)

            \(-sin^230°-sin^260°\)

 \(=\ \left(\sqrt2\right)^2-\left(1\right)^2\)

                \(-\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\)

 \(=\ 2-1-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}\)

 \(=\ 1-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}\)

 \(=\ \frac{4-1-3}{4}\)

 \(=\ \frac{0}{4}\)

 \(=0\) 

 (iii) \(3tan^245°-sin^260°\)

            \(-\frac{1}{3}cot^230°-\frac{1}{8}sec^245°\) 

 সমাধানঃ 

\(3tan^245°-sin^260°\)

            \(-\frac{1}{3}cot^230°-\frac{1}{8}sec^245°\)

 \(=3\times{(1)}^2-\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\)

            \(-\frac{1}{3}\times\left(\sqrt3\right)^2-\frac{1}{8}\times\left(\sqrt2\right)^2\)

 \(=3\times1-\frac{3}{4}-\frac{1}{3}\times3-\frac{1}{8}\times2\)

 \(=3-\frac{3}{4}-1-\frac{1}{4}\)

 \(=\frac{12-3-4-1}{4}\)

 \(=\frac{4}{4}=1\)

(iv) \(\frac{4}{3}cot^230°+3sin^260°\)\(-2cosec^260°-\frac{3}{4}tan^230°\) 

সমাধানঃ

\(\frac{4}{3}cot^230°+3sin^260°\)\(-2cosec^260°-\frac{3}{4}tan^230°\) 

\(=\frac{4}{3}\times\left(\sqrt3\right)^2+3\times\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\)\(-2\times\left(\frac{2}{\sqrt3}\right)^2-\frac{3}{4}\times\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2\) 

\(=\frac{4}{3}\times3+3\times\frac{3}{4}-2\times\frac{4}{3}-\frac{3}{4}\times\frac{1}{3}\) 

\(=4+\frac{9}{4}-\frac{8}{3}-\frac{1}{4}\)

\(=\frac{48+27-32-3}{12}\) 

\(=\frac{40}{12}\) 

\(=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}\) 

(v)\(\ \frac{\frac{1}{3}cos30°}{\frac{1}{2}sin45°}+\frac{tan60°}{cos30°}\) 

সমাধানঃ

\(\ \frac{\frac{1}{3}cos30°}{\frac{1}{2}sin45°}+\frac{tan60°}{cos30°}\) 

\(=\frac{\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{\sqrt2}}+\frac{\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}\) 

\(=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{2}{1}\times\frac{\sqrt2}{1}+\sqrt3\times\frac{2}{\sqrt3}\) 

\(=\frac{\sqrt6}{3}+2\)  

\(=\frac{\sqrt6+6}{3}\) 

(vi) \(cot^230°-2cos^260°\)\(-\frac{3}{4}sec^245°-4sin^230°\) 

সমাধানঃ

\(cot^230°-2cos^260°\)\(-\frac{3}{4}sec^245°-4sin^230°\) 

\(=\left(\sqrt3\right)^2-2\times\left(\frac{1}{2}\right)^2\)\(-\frac{3}{4}\times\left(\sqrt2\right)^2-4\times\left(\frac{1}{2}\right)^2\) 

\(=3-2\times\frac{1}{4}-\frac{3}{4}\times2-4\times\frac{1}{4}\) 

\(=3-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}-1\) 

\(=\frac{6-1-3-2}{2}\) 

\(=\frac{0}{2}=0\) 

(vii) \(sec^260°-cot^230°-\frac{2tan30°cosec60°}{1+tan^230°}\) 

সমাধানঃ

\(sec^260°-cot^230°-\frac{2tan30°cosec60°}{1+tan^230°}\) 

\(={(2)}^2-\left(\sqrt3\right)^2-\frac{2\times\frac{1}{\sqrt3}\times\frac{2}{\sqrt3}}{1+\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2}\) 

\(=4-3-\frac{\frac{4}{3}}{1+\frac{1}{3}}\) 

\(=1-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{3+1}{3}}\) 

\(=1-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}}\) 

\(=1-1=0\) 

(viii) \(\frac{tan60°-tan30°}{1+tan60°tan30°}+cos60°cos30°\)\(+sin60°sin30°\) 

সমাধানঃ

\(\frac{tan60°-tan30°}{1+tan60°tan30°}\)\(+cos60°cos30°+sin60°sin30°\) 

\(=\frac{\sqrt3-\frac{1}{\sqrt3}}{1+\sqrt3\times\frac{1}{\sqrt3}}+\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{1}{2}\) 

\(=\frac{\frac{3-1}{\sqrt3}}{1+1}+\frac{\sqrt3}{4}+\frac{\sqrt3}{4}\) 

\(=\frac{\frac{2}{\sqrt3}}{2}+\frac{\sqrt3+\sqrt3}{4}\) 

\(=\frac{2}{\sqrt3}\times\frac{1}{2}+\frac{2\sqrt3}{4}\) 

\(=\frac{1}{\sqrt3}+\frac{\sqrt3}{2}\) 

\(=\frac{2+3}{2\sqrt3}\)  

\(=\frac{5}{2\sqrt3}\) 

(ix)\(\ \frac{1-sin^230°}{1+sin^245°}×\frac{cos^260°+cos^230°}{cosec^290-cot^290°}\)\(÷(sin60°tan30°)\) 

সমাধানঃ

\(\ \frac{1-sin^230°}{1+sin^245°}×\frac{cos^260°+cos^230°}{cosec^290-cot^290°}\)\(÷(sin60°tan30°)\) 

\(=\ \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}{1+\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2}\times\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}{1^2-0^2}\div\left(\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{1}{\sqrt3}\right)\) 

\(=\ \frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{2}}\times\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}{1-0}\div\frac{1}{2}\) 

\(=\ \frac{\frac{4-1}{4}}{\frac{2+1}{2}}\times\frac{\frac{1+3}{4}}{1}\times\frac{2}{1}\) 

\(=\ \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}}\times\frac{4}{4}\times\frac{2}{1}\) 

\(=\ \frac{3}{4}\times\frac{2}{3}\times\frac{4}{4}\times\frac{2}{1}\) 

\(=\ 1\) 

6. দেখাই যে,

 (i) \(sin^245°+cos^245°=1\) 

সমাধানঃ 

\(sin^245°+cos^245°\)

\(=(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2\) 

 \(=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\) 

 \(=\frac{1+1}{2}\) 

 \(=\frac{2}{2}=1\)  [প্রমাণিত]

(ii)\(cos60°=cos^230°-sin^230°\) সমাধানঃ ডানপক্ষ

\(=cos^230°-sin^230°\) \(=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2\) \(=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\) \(=\frac{3-1}{4}\) \(=\frac{2}{4}\) \(=\frac{1}{2}=cos60°\)= বামপক্ষ ∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত] (iii) \(\sqrt{\frac{2tan30°}{1-tan^230°}}=\sqrt{3}\) সমাধানঃ \(\sqrt{\frac{2tan30°}{1-tan^230°}}\) \(=\frac{2\times\frac{1}{\sqrt3}}{1-\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2}\) \(=\frac{\frac{2}{\sqrt3}}{1-\frac{1}{3}}\)

\(=\frac{\frac{2}{\sqrt3}}{\frac{3-1}{3}}\)

\(=\frac{\frac{2}{\sqrt3}}{\frac{2}{3}}\)

\(=\frac{2}{\sqrt3}\times\frac{3}{2}=\sqrt3\)  [প্রমাণিত] (iv) \(\sqrt{\frac{1+cos30°}{1-cos30°}}=sec60°+tan60°\)  সমাধানঃ বামপক্ষ

\(\sqrt{\frac{1+cos30°}{1-cos30°}}\)  \(=\ \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{1-\frac{\sqrt3}{2}}}\) \(=\ \sqrt{\frac{\frac{2+\sqrt3}{2}}{\frac{2-\sqrt3}{2}}}\) \(=\ \sqrt{\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}}\) \(=\ \sqrt{\frac{\left(2+\sqrt3\right)\left(2+\sqrt3\right)}{\left(2-\sqrt3\right)\left(2+\sqrt3\right)}}\) \(=\ \sqrt{\frac{\left(2+\sqrt3\right)^2}{\left(2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2}}\)

\(=\ \sqrt{\frac{\left(2+\sqrt3\right)^2}{4-3}}=2+\sqrt{3}\)

ডানপক্ষ = \(sec60°+tan60°=2+\sqrt{3}\) ∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত] (v) \(\frac{2tan^230°}{1-tan^230°}+sec^245°-cot^245°=sec60°\) সমাধানঃ \(\frac{2tan^230°}{1-tan^230°}+sec^245°-cot^245°\) \(=\frac{2\times\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2}{1-\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2}+\left(\sqrt2\right)^2-\left(1\right)^2\) \(=\frac{2\times\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}+2-1\) \(=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3-1}{3}}+1\) \(=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}+1\) \(=1+1\) \(=2=sec60°\) [প্রমাণিত] (vi) \(tan^2\frac{\pi}{4}sin\frac{\pi}{3}tan\frac{\pi}{6}tan^2\frac{\pi}{3}=1\frac{1}{2}\) সমাধানঃ \(tan^2\frac{\pi}{4}sin\frac{\pi}{3}tan\frac{\pi}{6}tan^2\frac{\pi}{3}\) \(=\left(1\right)^2\times\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{1}{\sqrt3}\times\left(\sqrt3\right)^2\) \(=1\times\frac{1}{2}\times3\) \(=\frac{3}{2}\) \(=1\frac{1}{2}\) [প্রমাণিত] (vii) \(\ sin\frac{\pi}{3}tan\frac{\pi}{6}+sin\frac{\pi}{2}cos\frac{\pi}{3}=2sin^2\frac{\pi}{4}\) সমাধানঃ বামপক্ষ

\(\ sin\frac{\pi}{3}tan\frac{\pi}{6}+sin\frac{\pi}{2}cos\frac{\pi}{3}\) \(=\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{1}{\sqrt3}+1\times\frac{1}{2}\) \(=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\) \(=\frac{1+1}{2}\) \(=\frac{2}{2}=1\) ডানপক্ষ \(=2sin^2\frac{π}{4}=2×(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=2×\frac{1}{2}=1\) ∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

7. (i) \(xsin45°cos45°tan60°\)\(=tan^245°-cos60°\)

হলে, x এর মান নির্নয় করি। সমাধানঃ \(xsin45°cos45°tan60°\)\(=tan^245°-cos60°\) বা, \(x×\frac{1}{\sqrt{2}}×\frac{1}{\sqrt{2}}×\sqrt{3}=1^2-\frac{1}{2} \)

বা, \(x×\frac{\sqrt{3}}{2}=1-\frac{1}{2} \)

বা, \(x×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2} \)

∴ \(x=\frac{1}{\sqrt3}\) (ii) \(xsin60°cos^230°\)\(=\frac{tan^245°sec60°}{cosec60°}\)

হলে, x এর মান নির্ণয় করি। সমাধানঃ \(xsin60°cos^230°=\frac{tan^245°sec60°}{cosec60°}\) বা, \(x\times\frac{\sqrt3}{2}\times\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac{\left(1\right)^2\times2}{\frac{2}{\sqrt3}}\) বা, \(x\times\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{3}{4}=2\times\frac{\sqrt3}{2}\) বা, \(x=2\times\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{2}{\sqrt3}\times\frac{4}{3}\) বা, \(x=\frac{8}{3}\) ∴ \(x=2\frac{2}{3}\) (iii) \(x^2=sin^230°+4cot^245°-sec^260°\)

হলে, x এর মান নির্নয় করি। সমাধানঃ \(x^2=sin^230°+4cot^245°-sec^260°\) বা, \(x^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2+4\times\left(1\right)^2-\left(2\right)^2\) বা, \(x^2=\frac{1}{4}+4-4\) বা, \(x^2=\frac{1}{4}\) ∴ \(x=\pm\frac{1}{2}\) 8. \(xtan30°+ycot60°=0\) এবং \(2x-ytan45°=1\)

হলে, x ও y এর মান হিসাব করে লিখি। সমাধানঃ \(xtan30°+ycot60°=0\) বা, \(x\times\frac{1}{\sqrt3}+y\times\frac{1}{\sqrt3}=0\) বা, \(\frac{1}{\sqrt3}(x+y)=0\) বা, \(x+y=0\) (1) \(2x-ytan45°=1\) বা, \(2x-y\times1=1\) বা, \(2x-y=1\) (2) (1) নং ও (2) নং সমীকরণদ্বয় যোগ করে পাই, \(x+y+2x-y=0+1\) বা, \(3x=1\) ∴ \(x=\frac{1}{3}\) (1) নং সমীকরণে \(x=\frac{1}{3}\) বসিয়ে পাই, \(\frac{1}{3}+y=0\)

∴ \(y=-\frac{1}{3}\) ∴ \(x=\frac{1}{3}\) এবং \(y=-\frac{1}{3}\)

9. যদি A=B=45° হয়, তবে যাচাই করি যে, (i) sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB (ii) cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB সমাধানঃ

(i)

বামপক্ষ

=sin(A+B) =sin(45°+45°) =sin90°=1

ডানপক্ষ

=sinAcosB+cosAsinB =sin45°cos45°+cos45°sin45°

\(=\frac{1}{\sqrt2}\times\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\times\frac{1}{\sqrt2}\) \(=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\) \(=\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1\) .

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

(ii)

বামপক্ষ

=cos(A+B) =cos(45°+45°) =cos90°=0 ডানপক্ষ

=cosAcosB-sinAsinB =cos45°cos45°-sin45°sin45°

\(=\frac{1}{\sqrt2}\times\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}\times\frac{1}{\sqrt2}\) \(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\) =0 .

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

10. (i) ABC সমবাহু ত্রিভুজের BD একটি মধ্যমা।

প্রমাণ করি যে, tan∠ABD=cot∠BAD

সমাধানঃ

ABC সমবাহু ত্রিভুজের BD মধ্যমা। ∴ \(BD\bot AC\) এবং \(\angle ABD=\angle CBD\) ADB সমকোণী ত্রিভুজ এবং \(\angle BAD=60°\) [ ∵ ABC সমবাহু ত্রিভুজ ] ∴ \(\angle ABD=30°\) ∴ \(tan\angle ABD=tan30°=\frac{1}{\sqrt{3}}\) এবং \(cot\angle BAD=cot60°=\frac{1}{\sqrt{3}}\) ∴ \(tan\angle ABD=cot\angle BAD\) [প্রমাণিত]

(ii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=AC এবং \(\angle BAC=90°\); \(\angle BAC\) এর সমদ্বিখন্ডক BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, \(\frac{sec\angle A C D}{sin\angle C A D}=cosec^2\angle CAD\) সমাধানঃ

ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=AC ∴ \(\angle ABC=\angle ACB=\frac{180°-90°}{2}=45°\) ∴ \(\angle ACD=45°\) যেহেতু, AD, \(\angle BAC\) এর সমদ্বিখণ্ডক ∴ \(\angle CAD=\frac{90°}{2}=45°\) বামপক্ষ

=\(\frac{sec\angle A C D}{sin\angle C A D}\)

\(=\frac{sec45°}{sin45°}\)

\(=\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2\) ডানপক্ষ

=\(cosec^2\angle CAD\)

\(=cosec^245°\)

\(=(\sqrt{2})^2=2\) ∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

11. \(\theta\)(0°≤θ≤90°) এর কোন মান/মানগুলির জন্য \(2cos^2\theta-3cos\theta+1=0\) সত্য হবে নির্ণয় করি। সমাধানঃ \(2cos^2\theta-3cos\theta+1=0\) বা, \(2cos^2\theta-2cos\theta-cos\theta+1=0\) বা, \(2cos\theta\left(cos\theta-1\right)-1(cos\theta-1)=0\) বা, \(\left(cos\theta-1\right)(2cos\theta-1)=0\) হয়, \(cos\theta-1=0\) অথবা, \(2cos\theta-1=0\) বা, \(cos\theta=1\) বা, \(2cos\theta=1\) বা, \(cos\theta=cos0°\) বা, \(cos\theta=\frac{1}{2}\) ∴ \(\theta=0°\) বা, \(cos\theta=cos60°\) ∴ \(\theta=60°\) ∴ \(\theta=0°\) বা \(\theta=60°\) মানের জন্য
\(2cos^2\theta-3cos\theta+1=0\) হবে।