20. জ্যামিতিক প্রমাণ | কষে দেখি 20.1 | Exercise 20.1 | Ganit Prabha Class VIII math solution | WBBSE Class 8 Math Solution in Bengali
গণিত প্রভা VIII কষে দেখি 20.1 সমাধান
1. ∆ABC এর BC বাহুর উপর D যেকোনো একটি বিন্দু।
প্রমাণ করি যে, AB+BC+CA>2AD
প্রদত্তঃ ∆ABC এর BC বাহুর উপর D যেকোনো একটি বিন্দু।
প্রামাণ্যঃ AB+BC+CA>2AD
প্রমাণঃ
∆ABD থেকে পাই, AB+BD>AD (1)
∆ADC থেকে পাই, DC+AC>AD (2)
(1) নং ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
AB+BD+DC+AC>AD+AD
বা, AB+(BD+DC) +AC>2AD
∴ AB+BC+CA>2AD [প্রমাণিত]
2. ∆ABC এর ভিতরে O যেকোনো একটি বিন্দু।
প্রমাণ করি যে,
(i) AB+AC>OB+OC
(ii) AB+BC+AC>OA+OB+OC
প্রদত্তঃ ∆ABC এর ভিতরে O যেকোনো একটি বিন্দু।
প্রামাণ্যঃ
(i) AB+AC>OB+OC
(ii) AB+BC+AC>OA+OB+OC
প্রমাণঃ
∆ABD থেকে পাই,
AB+AD>BD
বা, AB+AD>BO+OD (1)
∆OCD থেকে পাই,
OD+DC>OC (2)
(1) নং ও (2) নং যোগ করে পাই,
AB+AD+OD+DC>BO+OD+OC
বা, AB+(AD+DC)>BO+OC
∴ AB+AC>BO+OC [(i)নং প্রমাণিত] (3)
অনুরূপে প্রমাণ করতে পারি যে,
AB+BC>OA+OC (4)
AC+BC>OA+OB (5)
(3)+(4)+(5) করে পাই,
2(AB+BC+AC)>2(OA+OB+OC)
∴ AB+BC+AC>OA+OB+OC [(ii)নং প্রমাণিত]
3. প্রমাণ করি যে, একটি চতুর্ভুজের পরিসীমা যেকোনো কর্ণের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুন অপেক্ষা বৃহত্তর।
প্রদত্তঃ ABCD একটি চতুর্ভুজ। AC চতুর্ভুজের যেকোনো একটি কর্ণ।
প্রামাণ্যঃ AB+BC+CD+DA>2AC
প্রমাণঃ
∆ABC থেকে পাই,
AB+BC>AC (1)
∆ADC থেকে পাই,
DA+DC>AC (2)
(1) নং ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
AB+BC+DA+DC>AC+AC
∴ AB+BC+CD+DA>2AC [প্রমাণিত]
4. ∆ABC এর ভিতরে P যেকোনো একটি বিন্দু।
প্রমাণ করি যে,
(i) AP+BP>AB
(ii) AB+BC+AC<2(AP+BP+CP)
প্রদত্তঃ ∆ABC এর ভিতরে P যেকোনো একটি বিন্দু।
প্রামাণ্যঃ
(i) AP+BP>AB
(ii) AB+BC+AC>2(AP+BP+CP)
প্রমাণঃ
∆ABP থেকে পাই,
AP+BP>AB [(i)নং প্রমাণিত] (1)
∆BCP থেকে পাই,
BP+CP>BC (2)
∆ACP থেকে পাই,
CP+AP>AC (3)
(1) +(2) +(3) করে পাই,
AP+BP+BP+CP+AP>AB+BC+AC
বা, 2(AP+BP+CP)>AB+BC+AC
∴ AB+BC+AC>2(AP+BP+CP) [(ii)নং প্রমাণিত]
5. প্রমাণ করি যে, একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ত্রিভুজটির মধ্যমা তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টির চেয়ে বড়ো।
প্রদত্তঃ ABC ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি হল AD, BE ও CF
প্রামাণ্যঃ AB+BC+CA>AD+BE+CF
অঙ্কনঃ AD কে G পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যাতে AD=DG হয়। C, E যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ
∆ADB এবং ∆CDG এর মধ্যে
BD=CD [যেহেতু, D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু]
\(\angle ADB=\) বিপ্রতীপ \(\angle CDG\)
AD=DG [অঙ্কনানুসারে]
∴ ∆ADB≅∆CDG [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
∴ AB=CG [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
∆ACG থেকে পাই,
AC+CG>AG
বা, AC+AB>AD+DG [∵ AB=CG]
বা, AB+AC>AD+AD
∴ AB+AC>2AD (1)
একইরকমভাবে,
AB+BC>2BE (2)
এবং BC+AC>2CF (3)
(1)+(2)+(3) করে পাই,
AB+BC+AB+BC+BC+AC>2AD+2BE+2CF
বা, 2(AB+BC+AC)>2(AD+BE+CF)
∴ AB+BC+CA>AD+BE+CF [প্রমাণিত]
6. প্রমাণ করি যে, একটি চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি চতুর্ভুজের যেকোনো দুটি বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টির চেয়ে বড়ো।
প্রদত্তঃ ABCD একটি চতুর্ভুজ। AC ও BD হল চতুর্ভুজটির দুটি কর্ণ। কর্ণদুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্যঃ AC+BD>AD+BC
এবং AC+BD>AB+DC
প্রমাণঃ
∆AOD থেকে পাই,
OA+OD>AD (1)
∆AOB থেকে পাই,
OA+OB>AB (2)
∆BOC থেকে পাই,
OB+OC>BC (3)
∆COD থেকে পাই,
OC+OD>CD (4)
(1)+(3) করে পাই,
OA+OD+OB+OC>AD+BC
বা, (OA+OC) + (OD+OB)>AD+BC
∴ AC+BD>AD+BC
(2)+(4) করে পাই,
OA+OB+OC+OD>AB+CD
বা, (OA+OC) +(OD+OB)>AB+CD
∴ AC+BD>AB+CD
∴ AC+BD>AD+BC এবং AC+BD>AB+CD [প্রমাণিত]
7. প্রমাণ করি যে, যেকোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি চতুর্ভুজটির অর্ধপরিসীমার চেয়ে বড়ো।
প্রদত্তঃ ABCD একটি চতুর্ভুজ। AC ও BD হল চতুর্ভুজটির দুটি কর্ণ। কর্ণদুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্যঃ
\(AC+BD>\frac{1}{2}(AB+BC+CD+AD)\)
প্রমাণঃ
∆AOD থেকে পাই,
OA+OD>AD (1)
∆AOB থেকে পাই,
OA+OB>AB (2)
∆BOC থেকে পাই,
OB+OC>BC (3)
∆COD থেকে পাই,
OC+OD>CD (4)
(1)+(2)+(3)+(4) করে পাই,
\(2(OA+OB+OC+OD)\)\(>AB+BC+CD+AD\)
বা, \((OA+OC)+(OB+OD)\)\(>\ \frac{1}{2}(AB+BC+CD+AD)\)
∴ \(AC+BD>\frac{1}{2}(AB+BC+CD+AD)\) [প্রমাণিত]
8. প্রমাণ করি যে, যেকোনো চতুর্ভুজের অন্তঃস্থ কোনো বিন্দু (কোনো কর্ণের উপর নয়) থেকে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির সংযোজক সরলরেখাংশের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি চতুর্ভুজটির কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টির চেয়ে বড়ো। এবার দেখি যে চতুর্ভুজের ভিতর বিন্দুটির কোনো অবস্থানের জন্য চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির সংযোজক সরলরেখাংশের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি ক্ষুদ্রতম হবে।
প্রদত্তঃ ধরি, ABCD একটি চতুর্ভুজ। চতুর্ভুজের ভিতর P যেকোনো একটি বিন্দু (কর্ণের উপর নয়)। AC ও BD কর্ণ পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্যঃ AP+BP+CP+DP>AC+BD
প্রমাণঃ
∆APC থেকে পাই,
AP+CP>AC (1)
∆BPD থেকে পাই,
BP+DP>BD (2)
(1) নং ও (2) নং যোগ করে পাই,
AP+CP+BP+DP>AC+BD [প্রমাণিত]
বা, AP+CP+BP+DP>AO+CO+BO+DO
বা, AP+CP+BP+DP>AO+BO+CO+DO
P বিন্দু থেকে শীর্ষবিন্দুগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি
> O বিন্দু থেকে শীর্ষবিন্দুগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি
অর্থাৎ, P বিন্দুর অবস্থান যদি O বিন্দুতে হতো তাহলে শীর্ষবিন্দুগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি ক্ষুদ্রতম হবে।
0 Comments