4. বহুপদী সংখ্যামালার গুণ ও ভাগ | কষে দেখি 4.1 | Exercise 4.1 | Ganit Prabha Class VIII math solution | WBBSE Class 8 Math Solution in Bengali
গণিত প্রভা VIII কষে দেখি 4.1 সমাধান 👇
1.
সমাধানঃ
(a) প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগানিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=(x^2-3x+5)(5x+9)\)
\(=5x^3-15x^2+25x+9x^2-27x+45\)
\(=5x^3-6x^2-2x+45\)
x=1 বসিয়ে পাই,
\(5x^3-6x^2-2x+45\)
\(=\ {5.1}^3-{6.1}^2-2.1+45\)
=5-6-2+45
=42
(b) প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগানিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=(x^2+12-7y)(2x-y)\)
\(=2x^3+24x-14xy-x^2y-12y+7y^2\)
\(=2x^3-x^2y+24x-12y-14xy+7y^2\)
x=-2 ও y=2 বসিয়ে পাই,
\(2x^3-x^2y+24x-12y-14xy+7y^2\)
\(=2.\left(-2\right)^3-\left(-2\right)^2.2+24.(-2)\)
\(-12.2-14.(-2).2+{7.2}^2\)
=2.(-8)-4.2-48-24+56+7.4
=16-8-48-24+56+28
=-12
(c) প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগানিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=(8p^3-3p-2p^2)(4p^2-5)\)
\(=32p^5-12p^3-8p^4-40p^3+15p+10p^2\)
\(=32p^5-8p^4-52p^3+10p^2+15p\)
p=-2 বসিয়ে পাই,
\(32p^5-8p^4-52p^3+10p^2+15p\)
\(=32\left(-2\right)^5-8\left(-2\right)^4-52\left(-2\right)^3+10\left(-2\right)^2+15(-2)\)
\(=32.(-32)-8.16-52.(-8)+10.4-30\)
=-1024-128+416+40-30
=-726
(d) প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগানিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=(6a+5b+2)(\ a-b+6)\)
\(=6a^2+5ab+2a-6ab-5b^2-2b+36a+30b+12\)
\(=6a^2-ab+38a+28b-5b^2+12\)
a=0 ও b=-1 বসিয়ে পাই,
\(6a^2-ab+38a+28b-5b^2+12\)
\(={6.0}^2-0.(-1)+38.0+28.(-1)-5\left(-1\right)^2+12\)
\(=0-0+0-28-5.1+12\)\
\(=-28-5+12=\ -21\)
(e) প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগানিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=(p^3-p^2q^2+q^3b)(p^2+pq+q^2)\)
\(=p^5-p^4q^2+p^2q^3+p^4q-p^3q^3+pq^4\)
\(+p^3q^2-p^2q^4+q^5\)
p=2 ও q=-2 বসিয়ে পাই,
\(p^5-p^4q^2+p^2q^3+p^4q-p^3q^3+pq^4\)
\(+p^3q^2-p^2q^4+q^5\)
\(=2^5-2^4.\left(-2\right)^2+2^2.\left(-2\right)^3+2^4.(-2)-2^3.\left(-2\right)^3\)
\(+2.\left(-2\right)^4+23.\left(-2\right)^2-22.\left(-2\right)^4+\left(-2\right)^5\)
= 32 - 16.4 + 4.(-8) + 16.(-2) - 8.(-8)
+ 2.16 + 8.4 - 4.16 + (-32)
= 32 - 64 - 32 - 32 + 64 + 32 + 32 - 64 - 32
= -64
(f) প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগানিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\((x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)(x+y+z)\)
\(=x^3+xy^2+xz^2-x^2y-xyz-x^2z\)
\(+x^2y+y^3+yz^2-xy^2-y^2z-xyz\)
\(+x^2z+y^2z+z^3-xyz-yz^2-xz^2\)
\(=x^3+y^3+z^3-3xyz\)
x=1, y=0 ও z=-1 বসিয়ে পাই,
\(x^3+y^3+z^3-3xyz\)
\(=1^3+0^3+\left(-1\right)^3-3.1.0.(-1)\)
= 1 + 0 - 1 - 0
= 0
(g) আমি ধরলাম প্রথম সংখ্যমালা \(=2x^2\ +x+1\)
এবং দ্বিতীয় সংখ্যামালা =x+1
[তোমরা নিজেদের মতো আলাদা আলাদা সংখ্যামালা ধরে গুনফল নির্ণয় করতে পারো]
প্রথম ও দ্বিতীয় বীজগানিতিক সংখ্যামালার গুনফল
\(=(2x^2+x+1)(x+1)\)
\(=2x^3+x^2+x+2x^2+x+1\)
\(=2x^3+3x^2+2x+1\)
সংখ্যামালাদুটির মধ্যে শুধু একটি চলরাশি আছে সেটি হল x
চলরাশিটিতে যেকোনো অখন্ড সংখ্যা -1 বসিয়ে পাই
[এখানে -1 ছাড়াও অন্য যেকোনো অখন্ড সংখ্যা ধরলে হবে]
অর্থাৎ x=-1 বসিয়ে পাই,
\(2x^3+3x^2+2x\ +1\)
\(=2.\left(-1\right)^3+3.\left(-1\right)^2+2.(-1)+1\)
\(=2.\left(-1\right)+3.1-2+1\)
= -2 + 3 - 2 + 1
= 0
2. ধারাবাহিক গুণ করে গুনফল খুঁজি (পরপর গুন করি)
(i) \((x^5+1), (3-x^4), (4+x^3+x^6)\)
সমাধানঃ
\((x^5+1)\times\ (3-x^4)\ \times\ \left(4+x^3+x^6\right)\)
\(=\left(3x^5+3-x^9-x^4\right)\ \times\left(4+x^3+x^6\right)\)
\(=12x^5+12-4x^9-4x^4+3x^8+3x^3-x^{12}\)
\(-x^7+3x^{11}+3x^6-x^{15}-x^{10}\)
\(=-x^{15}-x^{12}+3x^{11}-x^{10}-4x^9+3x^8-x^7\)
\(+3x^6+12x^5-4x^4+3x^3+12\)
(ii) \(\left(2a^3-3b^5\right),\ \left(2a^3+3b^5\right),\ \left(2a^4-3a^2b^2+b^4\right)\)
সমাধানঃ
\(\left(2a^3-3b^5\right)\times\left(2a^3+3b^5\right)\times\left(2a^4-3a^2b^2+b^4\right)\)
\(=(4a^6-6a^3b^5+6a^3b^5-9b^{10})\)
\(\times\left(2a^4-3a^2b^2+b^4\right)\)
\(=(4a^6-9b^{10})\times\left(2a^4-3a^2b^2+b^4\right)\)
\(=8a^{10}-12a^8b^2+4a^6b^4-18a^4b^{10}\)
\(+27a^2b^{12}-9b^{14}\)
(iii) \((ax+by),\ (ax-by),\ \left(a^4x^4+a^2b^2x^2y^2+b^4y^4\right)\)
সমাধানঃ
\((ax+by)\times(ax-by)\times\left(a^4x^4+a^2b^2x^2y^2+b^4y^4\right)\)
\(=\left(a^2x^2-abxy+abxy-b^2y^2\right)\)
\(\times\left(a^4x^4+a^2b^2x^2y^2+b^4y^4\right)\)
\(=\left(a^2x^2-b^2y^2\right)\ \times\left(a^4x^4+a^2b^2x^2y^2+b^4y^4\right)\)
\(=a^6x^6+a^4b^2x^4y^2+a^2b^4x^2y^4-a^4b^2x^4y^2\)
\(-a^2d^4x^2y^4-b^6y^6\)
\(=a^6x^6-b^6y^6\)
(iv) \((a+b+c),\ (a-b+c),\ (a+b-c)\)
সমাধানঃ
\((a+b+c)\times(a-b+c)\times(a+b-c)\)
\(=\left(a^2-ab+ac+ab-b^2+bc+ac-bc+c^2\right)\)
\(\times(a+b-c)\)
\(=(a^2+2ac-b^2+c^2)\times(a+b-c)\)
\(=a^3+2a^2c-ab^2+ac^2+a^2b+2abc-b^3\)
\(+bc^2-a^2c-2ac^2+b^2c-c^3\)
\(=a^3-b^3-c^3+2abc-ac^2-ab^2+a^2c\)
\(+a^2b+c^2b+b^2c\)
(v) \(\left(\frac{2p^2}{q^2}+\frac{5q^2}{p^2}\right),\left(\frac{2p^2}{q^2}-\frac{5q^2}{p^2}\right)\)
সমাধানঃ
\(\left(\frac{2p^2}{q^2}+\frac{5q^2}{p^2}\right)\times\left(\frac{2p^2}{q^2}-\frac{5q^2}{p^2}\right)\)
\(=\frac{4p^4}{q^4}+\frac{10p^2q^2}{p^2q^2}-\frac{10p^2q^2}{p^2q^2}-\frac{25p^4}{q^4}\)
\(=\frac{4p^4}{q^4}-\frac{25p^4}{q^4}\)
(vi) \(\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}\right),\ \ \left(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right),\ \left(\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2}\right)\)
সমাধানঃ
\(\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}\right)\times\left(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)\times\left(\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2}\right)\)
\(=\left(\frac{x^2y^2}{y^2z^2}+\frac{y^4}{z^4}+\frac{x^2z^2}{x^2y^2}+\frac{y^2z^2}{x^2z^2}\right)\times\left(\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2}\right)\)
\(=\left(\frac{x^2}{z^2}+\frac{y^4}{z^4}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)\times\left(\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2}\right)\)
\(=\left(\frac{x^2}{z^2}\times\frac{z^2}{x^2}\right)+\left(\frac{y^4}{z^4}\times\frac{z^2}{x^2}\right)+\left(\frac{z^2}{y^2}\times\frac{z^2}{x^2}\right)\)
\(+\left(\frac{y^2}{x^2}\times\frac{z^2}{x^2}\right)\)
\(=\left(\frac{x^2}{z^2}\times\frac{x^2}{y^2}\right)+\left(\frac{y^4}{z^4}\times\frac{x^2}{y^2}\right)+\left(\frac{z^2}{y^2}\times\frac{x^2}{y^2}\right)\)
\(+\left(\frac{y^2}{x^2}\times\frac{x^2}{y^2}\right)\)
\(=1+\frac{y^4}{x^2z^2}+\frac{z^4}{x^2y^2}+\frac{y^2z^2}{x^4}+\frac{x^4}{y^2z^2}+\frac{x^2y^2}{z^4}+\frac{x^2z^2}{y^4}+1\)
\(=2+\frac{y^4}{x^2z^2}+\frac{z^4}{x^2y^2}+\frac{y^2z^2}{x^4}+\frac{x^4}{y^2z^2}+\frac{x^2y^2}{z^4}+\frac{x^2z^2}{y^4}\)
3. সরল করি
(i) \((x+y)(x^2-xy+y^2)+\ (x-y)(x^2+xy+y^2)\)
সমাধানঃ
\((x+y)(x^2-xy+y^2)+(x-y)(x^2+xy+y^2)\)
\(=\left(x^3-x^2y+xy^2+x^2y-xy^2+y^3\right)\)
\(+(x^3+x^2y+xy^2-x^2y-xy^2-y^3)\)
\(=\ (x^3+y^3)+(x^3-y^3)\)
(ii) \(a^2(b^2-c^2)+b^2(c^2-a^2)+c^2\left(a^2-b^2\right)\)
সমাধানঃ
\(a^2(b^2-c^2)+b^2(c^2-a^2)+c^2(a^2-b^2)\)
\(=\ a^2b^2-a^2c^2+b^2c^2-a^2b^2+a^2c^2-b^2c^2\)
= 0
4.
(i) \(a=x^2+xy+y^2,\ b=y^2+yz+z^2,\)
\(c=z^2+zx+x^2\) হলে \((x-y)a+(y-z)b+(z-x)c\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(a=x^2+xy+y^2,\ b=y^2+yz+z^2,\)
\(\ c=z^2+zx+x^2\)
∴ \((x-y)a+(y-z)b+(z-x)c\)
\(=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(+\left(y-z\right)\left(y^2+yz+z^2\right)\)
\(+\left(z-x\right)\left(z^2+zx+x^2\right)\)
\(=\left(x^3+x^2y+xy^2-x^2y-x^2y-y^3\right)\)
\(+\ (y^3+y^2z+yz^2-y^2z-yz^2-z^3)\)
\(+\left(z^3+z^2x+zx^2-z^2x-zx^2-x^3\right)\)
\(=\left(x^3-y^3\right)+\left(y^3-z^3\right)+(z^3-x^3)\)
\(=x^3-y^3+y^3-z^3+z^3-x^3=0\)
4. (ii) \(a=lx+my+n,\ b=mx+ny+l,\)
\(c=nx+ly+m\) হলে
\(a(m+n)+b(n+l)+c(l+m)\) কী হয় দেখি।
সমাধানঃ
\(a=lx+my+n,\ b=mx+ny+l,\)
\(c=nx+ly+m\)
∴ \(a(m+n)+b(n+l)+c(l+m)\)
\(=\left(lx+my+n\right)\left(m+n\right)\)
\(+\left(mx+ny+l\right)\left(n+l\right)\)
\(+(nx+ly+m)(\ l+m)\)
\(=\ (mlx+m^2y+mn+nlx+mny+n^2)\)
\(+(mnx+n^2y+nl+mlx+nly+l^2)\)
\(+(nlx+l^2y+ml+mnx+mly+m^2)\ \)
\(=\ mlx+m^2y+mn+nlx+mny+n^2\)
\(+mnx+n^2y+nl+mlx+nly+l^2\)
\(+nlx+l^2y+ml+mnx+mly+m^2\)
\(=\ m^2y+mny+n^2y+nly+\ l^2y+mly\)
\(+2mlx+2mnx+2nlx+n^2+l^2+m^2\)
\(=y\left(m^2+n^2+\ l^2+mn+nl+ml\right)\)
\(+2x(ml+mn+nl)+m^2+n^2+\ l^2\)
0 Comments