9. দ্বিঘাত করণী | Exercise 9.2 all solution | Ganit Prakash Class X math solution | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali |
কষে দেখি 9.2 সমাধান
1. (a) \(3^\frac{1}{2}\) ও \(\sqrt3\) –এর গুনফল নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(3^\frac{1}{2}\) ও \(\sqrt3\) –এর গুনফল
সমাধানঃ
\(3^\frac{1}{2}\) ও \(\sqrt3\) –এর গুনফল
= \(3^\frac{1}{2} × \sqrt3\)
= \(\sqrt3× \sqrt3\)
= 3
1. (b) \(2\sqrt2\) –কে কত দিয়ে গুন করলে 4 পাব লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, \(2\sqrt2\) –কে x দিয়ে গুন করলে 4 পাব।
শর্তানুসারে,
\(2\sqrt2×x=4\)
বা, \(x=\frac{4}{2\sqrt2}\)
বা, \(x=\frac{2}{\sqrt2}\)
বা, \(x=\frac{2\sqrt2}{\sqrt2\times\sqrt2}\)
বা, \(x=\frac{2\sqrt2}{2}\)
= \(\sqrt3× \sqrt3\)
= 3
1. (b) \(2\sqrt2\) –কে কত দিয়ে গুন করলে 4 পাব লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, \(2\sqrt2\) –কে x দিয়ে গুন করলে 4 পাব।
শর্তানুসারে,
\(2\sqrt2×x=4\)
বা, \(x=\frac{4}{2\sqrt2}\)
বা, \(x=\frac{2}{\sqrt2}\)
বা, \(x=\frac{2\sqrt2}{\sqrt2\times\sqrt2}\)
বা, \(x=\frac{2\sqrt2}{2}\)
∴ \(x=\sqrt2\)
∴ \(2\sqrt2\) কে x দিয়ে গুন করলে 4 পাব।
∴ \(2\sqrt2\) কে x দিয়ে গুন করলে 4 পাব।
1. (c) \(3\sqrt5\) এবং \(5\sqrt3\) –এর গুনফল নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(3\sqrt5\) এবং \(5\sqrt3\) –এর গুনফল
= \(3\sqrt5×5\sqrt3\)
= \(3×5×\sqrt{5\times3}\)
= \(15\sqrt{15}\)
= \(3\sqrt5×5\sqrt3\)
= \(3×5×\sqrt{5\times3}\)
= \(15\sqrt{15}\)
1. (d) \(\sqrt6\times\sqrt{15}=x\sqrt{10}\) হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(\sqrt6\times\sqrt{15}=x\sqrt{10}\)
বা, \(x\sqrt{10}=\sqrt6\times\sqrt{15}\)
বা, \(x=\frac{\sqrt6\times\sqrt{15}}{\sqrt{10}}\)
বা, \(x=\frac{\sqrt2\times\sqrt3\times\sqrt3\times\sqrt5}{\sqrt2\times\sqrt5}\)
বা, \(x=\sqrt3\times\sqrt3\)
বা, \(x\sqrt{10}=\sqrt6\times\sqrt{15}\)
বা, \(x=\frac{\sqrt6\times\sqrt{15}}{\sqrt{10}}\)
বা, \(x=\frac{\sqrt2\times\sqrt3\times\sqrt3\times\sqrt5}{\sqrt2\times\sqrt5}\)
বা, \(x=\sqrt3\times\sqrt3\)
∴ x=3
1. (e) \(\left(\sqrt5+\sqrt3\right)\left(\sqrt5-\sqrt3\right)=25-x^2\) একটি সমীকরণ হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(\left(\sqrt5+\sqrt3\right)\left(\sqrt5-\sqrt3\right)=25-x^2\)
বা, \(\left(\sqrt5\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2=25-x^2\)
বা, \(5-3-25+x^2=0\)
বা, \(x^2=23\)
∴ \(x=\pm\sqrt{23}\)
2. গুনফল নির্ণয় করিঃ
(a) \(\sqrt7\times\sqrt{14}\)
সমাধানঃ
1. (e) \(\left(\sqrt5+\sqrt3\right)\left(\sqrt5-\sqrt3\right)=25-x^2\) একটি সমীকরণ হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(\left(\sqrt5+\sqrt3\right)\left(\sqrt5-\sqrt3\right)=25-x^2\)
বা, \(\left(\sqrt5\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2=25-x^2\)
বা, \(5-3-25+x^2=0\)
বা, \(x^2=23\)
∴ \(x=\pm\sqrt{23}\)
2. গুনফল নির্ণয় করিঃ
(a) \(\sqrt7\times\sqrt{14}\)
সমাধানঃ
\(\sqrt7\times\sqrt{14}\)
=\(\sqrt7\times\sqrt7\times\sqrt2\)
= \(7\sqrt2\)
(b) \(\sqrt{12}\times2\sqrt3\)
সমাধানঃ
=\(\sqrt7\times\sqrt7\times\sqrt2\)
= \(7\sqrt2\)
(b) \(\sqrt{12}\times2\sqrt3\)
সমাধানঃ
\(\sqrt{12}\times2\sqrt3\)
= \(\sqrt{4\times3}\times2\sqrt3\)
= \(2\sqrt3\times2\sqrt3\)
= 2×2×3
= 12
(c) \(\sqrt5\times\sqrt{15}\times\sqrt3\)
সমাধানঃ
= \(\sqrt{4\times3}\times2\sqrt3\)
= \(2\sqrt3\times2\sqrt3\)
= 2×2×3
= 12
(c) \(\sqrt5\times\sqrt{15}\times\sqrt3\)
সমাধানঃ
\(\sqrt5\times\sqrt{15}\times\sqrt3\)
= \(\sqrt5\times\sqrt5\times\sqrt3\times\sqrt3\)
= 5×3 = 15
(d) \(\sqrt2\left(3+\sqrt5\right)\)
সমাধানঃ
= \(\sqrt5\times\sqrt5\times\sqrt3\times\sqrt3\)
= 5×3 = 15
(d) \(\sqrt2\left(3+\sqrt5\right)\)
সমাধানঃ
\(\sqrt2\left(3+\sqrt5\right)\)
= \(3\sqrt2+\sqrt2\times\sqrt5\)
= \(3\sqrt2+\sqrt{10}\)
(e) \(\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\left(\sqrt2-\sqrt3\right)\)
সমাধানঃ
= \(3\sqrt2+\sqrt2\times\sqrt5\)
= \(3\sqrt2+\sqrt{10}\)
(e) \(\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\left(\sqrt2-\sqrt3\right)\)
সমাধানঃ
\(\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\left(\sqrt2-\sqrt3\right)\)
=\(\left\{\left(\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2\right\}\)
=\(\left(2-3\right)\)
= -1
(f) \(\left(2\sqrt3+3\sqrt2\right)\left(4\sqrt2+\sqrt5\right)\)
সমাধানঃ
\(\left(2\sqrt3+3\sqrt2\right)\left(4\sqrt2+\sqrt5\right)\)
(g) \(\left(\sqrt3+1\right)\left(\sqrt3-1\right)\left(2-\sqrt3\right)\left(4+2\sqrt3\right)\)
সমাধানঃ
\(\left(\sqrt3+1\right)\left(\sqrt3-1\right)\left(2-\sqrt3\right)\left(4+2\sqrt3\right)\)
= \({\{(\sqrt3)^2-(1)^2}\}{\{8-4\sqrt3+4\sqrt3-2\times3}\}\)
= \((3-1)(8-6)\)
= 2×2
= 4
3. (a) \(\sqrt5\) –এর করণী নিরসক উৎপাদক \(\sqrt x\) হলে, x-এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে তা হিসাব করে লিখি। [যেখানে x একটি পূর্ণসংখ্যা]
সমাধানঃ
\(\sqrt5\) এর করণী নিরসক উৎপাদক হল \(\sqrt x\)
সুতরাং, \(\sqrt x=\sqrt5\)
∴ x=5
∴ x এর ক্ষুদ্রতম মান 5
3. (b) \(3\sqrt2\div3\) –এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
=\(\left\{\left(\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2\right\}\)
=\(\left(2-3\right)\)
= -1
(f) \(\left(2\sqrt3+3\sqrt2\right)\left(4\sqrt2+\sqrt5\right)\)
সমাধানঃ
\(\left(2\sqrt3+3\sqrt2\right)\left(4\sqrt2+\sqrt5\right)\)
= \((2\sqrt3\times4\sqrt2)+(3\sqrt2\times4\sqrt2)+(2\sqrt3\times\sqrt5)+(3\sqrt2\times\sqrt5)\)
= \(8\sqrt6+(12\times2)\ +\ 2\sqrt{15}+3\sqrt{10}\)
= \(8\sqrt6+24+2\sqrt{15}+3\sqrt{10}\)
(g) \(\left(\sqrt3+1\right)\left(\sqrt3-1\right)\left(2-\sqrt3\right)\left(4+2\sqrt3\right)\)
সমাধানঃ
\(\left(\sqrt3+1\right)\left(\sqrt3-1\right)\left(2-\sqrt3\right)\left(4+2\sqrt3\right)\)
= \({\{(\sqrt3)^2-(1)^2}\}{\{8-4\sqrt3+4\sqrt3-2\times3}\}\)
= \((3-1)(8-6)\)
= 2×2
= 4
3. (a) \(\sqrt5\) –এর করণী নিরসক উৎপাদক \(\sqrt x\) হলে, x-এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে তা হিসাব করে লিখি। [যেখানে x একটি পূর্ণসংখ্যা]
সমাধানঃ
\(\sqrt5\) এর করণী নিরসক উৎপাদক হল \(\sqrt x\)
সুতরাং, \(\sqrt x=\sqrt5\)
∴ x=5
∴ x এর ক্ষুদ্রতম মান 5
3. (b) \(3\sqrt2\div3\) –এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(3\sqrt2\div3\)
= \(\frac{3\sqrt2}{3}\)
=\(\sqrt2\)
3. (c) \(7÷\sqrt{48}\) –এর হরের করণী নিরসন করতে হরকে নূন্যতম কত দিয়ে গুণ করতে হবে তা লিখি।
সমাধানঃ
= \(\frac{3\sqrt2}{3}\)
=\(\sqrt2\)
3. (c) \(7÷\sqrt{48}\) –এর হরের করণী নিরসন করতে হরকে নূন্যতম কত দিয়ে গুণ করতে হবে তা লিখি।
সমাধানঃ
\(7÷\sqrt{48}\)
= \(\frac{7}{\sqrt{48}}\)
= \(\frac{7}{\sqrt{16\times3}}\)
= \(\frac{7}{4\sqrt3}\)
যেহেতু, \(\sqrt3\) এর করণী নিরসক উৎপাদক \(\sqrt3\)
∴ \(7÷\sqrt{48}\) –এর হরের করণী নিরসন করতে হরকে
নূন্যতম \(\sqrt3\) দিয়ে গুণ করতে হবে।
= \(\frac{7}{\sqrt{48}}\)
= \(\frac{7}{\sqrt{16\times3}}\)
= \(\frac{7}{4\sqrt3}\)
যেহেতু, \(\sqrt3\) এর করণী নিরসক উৎপাদক \(\sqrt3\)
∴ \(7÷\sqrt{48}\) –এর হরের করণী নিরসন করতে হরকে
নূন্যতম \(\sqrt3\) দিয়ে গুণ করতে হবে।
3. (d) \((\sqrt5+2)\) –এর করণী নিরসক উৎপাদক নির্ণয় করি যা করণীটির অনুবন্ধী করণী।
সমাধানঃ
\((\sqrt5+2)\) এর অনুবন্ধী করণী হল \((-\sqrt5+2)\) বা, \((2-\sqrt5)\)
এবং \((2-\sqrt5)\) হল \((\sqrt5+2)\) এর করণী নিরসক উৎপাদক
3. (e) \((\sqrt5+\sqrt2)÷\ \sqrt7=\frac{1}{7}(\sqrt{35}+a)\) হলে, a-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\((\sqrt5+\sqrt2)÷\ \sqrt7=\frac{1}{7}(\sqrt{35}+a)\)
বা, \(\frac{(\sqrt5+\sqrt2)\ }{\sqrt7}=\frac{\sqrt{35}+a}{7}\)
বা, \(\sqrt7\left(\sqrt{35}+a\right)=7(\sqrt5+\sqrt2)\)
বা, \(\sqrt{7\times7\times5}+a\sqrt7=7\sqrt5+7\sqrt2\)
বা, \(7\sqrt5+a\sqrt7=7\sqrt5+7\sqrt2\)
বা, \(a\sqrt7=7\sqrt2\)
বা, \(a=\frac{7\sqrt2}{\sqrt7}\)
বা, \(a=\frac{7\sqrt2\times\sqrt7}{\sqrt7\times\sqrt7}\)
বা, \(a=\frac{7\sqrt{14}}{7}\)
বা, \(\frac{(\sqrt5+\sqrt2)\ }{\sqrt7}=\frac{\sqrt{35}+a}{7}\)
বা, \(\sqrt7\left(\sqrt{35}+a\right)=7(\sqrt5+\sqrt2)\)
বা, \(\sqrt{7\times7\times5}+a\sqrt7=7\sqrt5+7\sqrt2\)
বা, \(7\sqrt5+a\sqrt7=7\sqrt5+7\sqrt2\)
বা, \(a\sqrt7=7\sqrt2\)
বা, \(a=\frac{7\sqrt2}{\sqrt7}\)
বা, \(a=\frac{7\sqrt2\times\sqrt7}{\sqrt7\times\sqrt7}\)
বা, \(a=\frac{7\sqrt{14}}{7}\)
∴ \(a=\sqrt{14}\)
3. (f) \(\frac{5}{\sqrt3-2}\) –এর হরের একটি করণী নিরসক উৎপাদক লিখি যা অনুবন্ধী করণী নয়।
সমাধানঃ
\(\frac{5}{\sqrt3-2}\) এর হরের একটি করণী নিরসক উৎপাদক দুটি হল
\(\sqrt3+2\) এবং \(-\sqrt3-2\)
আবার, \(\sqrt3-2\) এর অনুবন্ধী করণী হল \(-\sqrt3-2\)
∴ \(\frac{5}{\sqrt3-2}\) এর হরের একটি করণী নিরসক উৎপাদক
হল \(\sqrt3+2\) যা অনুবন্ধী করণী নয়।
4. \(\left(9-4\sqrt5\right) ও \left(-2-\sqrt7\right)\) মিশ্র দ্বিঘাত করণীদ্বয়ের অনুবন্ধী করণীদ্বয় লিখি।
সমাধানঃ
\(\left(9-4\sqrt5\right)\) এর অনুবন্ধী করণী হল \(\left(9+4\sqrt5\right)\)
এবং \(\left(-2-\sqrt7\right)\) এর অনুবন্ধী করণী হল \(\left(-2+\sqrt7\right)\)
5. নীচের মিশ্র দ্বিঘাত করণীর 2টি করে করণী নিরসক উৎপাদক লিখিঃ
(i) \(\left(\sqrt5+\sqrt2\right)\)
সমাধানঃ
\(\left(\sqrt5+\sqrt2\right)\) এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক
হল \(\left(\sqrt5-\sqrt2\right)\) এবং \(\left(\sqrt2-\sqrt5\right)\)
(ii) \(13+\sqrt6\)
সমাধানঃ
\(13+\sqrt6\) এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক
হল \(13-\sqrt6\) এবং \(\sqrt6-13\)
(iii) \(\sqrt8-3\)
সমাধানঃ
\(\sqrt8-3\) এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক
হল \(\sqrt8+3\) এবং \(-\sqrt8-3\)
(iv) \(\sqrt{17}-\sqrt{13}\)
সমাধানঃ
\(\sqrt{17}-\sqrt{13}\) এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক
হল \(\sqrt{17}+\sqrt{13}\) এবং \(-\sqrt{17}-\sqrt{13}\)
এবং \(\left(-2-\sqrt7\right)\) এর অনুবন্ধী করণী হল \(\left(-2+\sqrt7\right)\)
5. নীচের মিশ্র দ্বিঘাত করণীর 2টি করে করণী নিরসক উৎপাদক লিখিঃ
(i) \(\left(\sqrt5+\sqrt2\right)\)
সমাধানঃ
\(\left(\sqrt5+\sqrt2\right)\) এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক
হল \(\left(\sqrt5-\sqrt2\right)\) এবং \(\left(\sqrt2-\sqrt5\right)\)
(ii) \(13+\sqrt6\)
সমাধানঃ
\(13+\sqrt6\) এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক
হল \(13-\sqrt6\) এবং \(\sqrt6-13\)
(iii) \(\sqrt8-3\)
সমাধানঃ
\(\sqrt8-3\) এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক
হল \(\sqrt8+3\) এবং \(-\sqrt8-3\)
(iv) \(\sqrt{17}-\sqrt{13}\)
সমাধানঃ
\(\sqrt{17}-\sqrt{13}\) এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক
হল \(\sqrt{17}+\sqrt{13}\) এবং \(-\sqrt{17}-\sqrt{13}\)
6. হরের করণী নিরসন করিঃ
(i) \(\frac{2\sqrt3+3\sqrt2}{\sqrt6}\)
সমাধানঃ
\(\frac{2\sqrt3+3\sqrt2}{\sqrt6}\)
= \(\frac{\left(2\sqrt3+3\sqrt2\right)\sqrt6}{\sqrt6.\sqrt6}\)
= \(\frac{2\sqrt{3\times6}+3\sqrt{2\times6}}{6}\)
= \(\frac{2\sqrt{3\times3\times2}+3\sqrt{2\times2\times3}}{6}\)
= \(\frac{2\sqrt{3\times3\times2}+3\sqrt{2\times2\times3}}{6}\)
= \(\frac{2\times3\sqrt2+3\times2\sqrt3}{6}\)
= \(\frac{6(\sqrt2+\sqrt3)}{6}\)
= \(\frac{\left(2\sqrt3+3\sqrt2\right)\sqrt6}{\sqrt6.\sqrt6}\)
= \(\frac{2\sqrt{3\times6}+3\sqrt{2\times6}}{6}\)
= \(\frac{2\sqrt{3\times3\times2}+3\sqrt{2\times2\times3}}{6}\)
= \(\frac{2\sqrt{3\times3\times2}+3\sqrt{2\times2\times3}}{6}\)
= \(\frac{2\times3\sqrt2+3\times2\sqrt3}{6}\)
= \(\frac{6(\sqrt2+\sqrt3)}{6}\)
= \(\sqrt2+\sqrt3\)
(ii) \(\frac{\sqrt2-1+\sqrt6}{\sqrt5}\)
সমাধানঃ
(ii) \(\frac{\sqrt2-1+\sqrt6}{\sqrt5}\)
সমাধানঃ
\(\frac{\sqrt2-1+\sqrt6}{\sqrt5}\)
= \(\frac{\left(\sqrt2-1+\sqrt6\right).\sqrt5}{\sqrt5.\sqrt5}\)
= \(\frac{\sqrt{2\times5}-\sqrt5+\sqrt{6\times5}}{5}\)
= \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt5+\sqrt{30}}{5}\)
(iii) \(\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\)
সমাধানঃ
= \(\frac{\left(\sqrt2-1+\sqrt6\right).\sqrt5}{\sqrt5.\sqrt5}\)
= \(\frac{\sqrt{2\times5}-\sqrt5+\sqrt{6\times5}}{5}\)
= \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt5+\sqrt{30}}{5}\)
(iii) \(\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\)
সমাধানঃ
\(\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\)
= \(\frac{\left(\sqrt3+1\right)\left(\sqrt3+1\right)}{\left(\sqrt3-1\right)\left(\sqrt3+1\right)}\)
= \(\frac{\left(\sqrt3+1\right)^2}{\left(\sqrt3\right)^2-\left(1\right)^2}\)
= \(\frac{\left(\sqrt3\right)^2+2.\sqrt3.1+1^2}{3-1}\)
= \(\frac{3+2\sqrt3+1}{2}\)
= \(\frac{4+2\sqrt3}{2}\)
= \(\frac{2(2+\sqrt3)}{2}\)
= \(\frac{\left(\sqrt3+1\right)\left(\sqrt3+1\right)}{\left(\sqrt3-1\right)\left(\sqrt3+1\right)}\)
= \(\frac{\left(\sqrt3+1\right)^2}{\left(\sqrt3\right)^2-\left(1\right)^2}\)
= \(\frac{\left(\sqrt3\right)^2+2.\sqrt3.1+1^2}{3-1}\)
= \(\frac{3+2\sqrt3+1}{2}\)
= \(\frac{4+2\sqrt3}{2}\)
= \(\frac{2(2+\sqrt3)}{2}\)
= \(2+\sqrt3\)
(iv) \(\frac{3+\sqrt5}{\sqrt7-\sqrt3}\)
সমাধানঃ
(iv) \(\frac{3+\sqrt5}{\sqrt7-\sqrt3}\)
সমাধানঃ
\(\frac{3+\sqrt5}{\sqrt7-\sqrt3}\)
= \(\frac{\left(3+\sqrt5\right)\left(\sqrt7+\sqrt3\right)}{\left(\sqrt7-\sqrt3\right)\left(\sqrt7+\sqrt3\right)}\)
= \(\frac{3\sqrt7+\sqrt{35}+3\sqrt3+\sqrt{15}}{\left(\sqrt7\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2}\)
= \(\frac{3\sqrt7+\sqrt{35}+3\sqrt3+\sqrt{15}}{7-3}\)
= \(\frac{3\sqrt7+\sqrt{35}+3\sqrt3+\sqrt{15}}{4}\)
(v) \(\frac{3\sqrt2+1}{2\sqrt5-1}\)
সমাধানঃ
= \(\frac{\left(3+\sqrt5\right)\left(\sqrt7+\sqrt3\right)}{\left(\sqrt7-\sqrt3\right)\left(\sqrt7+\sqrt3\right)}\)
= \(\frac{3\sqrt7+\sqrt{35}+3\sqrt3+\sqrt{15}}{\left(\sqrt7\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2}\)
= \(\frac{3\sqrt7+\sqrt{35}+3\sqrt3+\sqrt{15}}{7-3}\)
= \(\frac{3\sqrt7+\sqrt{35}+3\sqrt3+\sqrt{15}}{4}\)
(v) \(\frac{3\sqrt2+1}{2\sqrt5-1}\)
সমাধানঃ
\(\frac{3\sqrt2+1}{2\sqrt5-1}\)
= \(\frac{\left(3\sqrt2+1\right)\left(2\sqrt5+1\right)}{\left(2\sqrt5-1\right)\left(2\sqrt5+1\right)}\)
= \(\frac{6\sqrt{10}+2\sqrt5+3\sqrt2+1}{\left(2\sqrt5\right)^2-\left(1\right)^2}\)
= \(\frac{6\sqrt{10}+2\sqrt5+3\sqrt2+1}{20-1}\)
= \(\frac{6\sqrt{10}+2\sqrt5+3\sqrt2+1}{19}\)
(vi) \(\frac{3\sqrt2+2\sqrt3}{3\sqrt2-2\sqrt3}\)
সমাধানঃ
= \(\frac{\left(3\sqrt2+1\right)\left(2\sqrt5+1\right)}{\left(2\sqrt5-1\right)\left(2\sqrt5+1\right)}\)
= \(\frac{6\sqrt{10}+2\sqrt5+3\sqrt2+1}{\left(2\sqrt5\right)^2-\left(1\right)^2}\)
= \(\frac{6\sqrt{10}+2\sqrt5+3\sqrt2+1}{20-1}\)
= \(\frac{6\sqrt{10}+2\sqrt5+3\sqrt2+1}{19}\)
(vi) \(\frac{3\sqrt2+2\sqrt3}{3\sqrt2-2\sqrt3}\)
সমাধানঃ
\(\frac{3\sqrt2+2\sqrt3}{3\sqrt2-2\sqrt3}\)
= \(\frac{\left(3\sqrt2+2\sqrt3\right)\left(3\sqrt2+2\sqrt3\right)}{\left(3\sqrt2-2\sqrt3\right)\left(3\sqrt2+2\sqrt3\right)}\)
= \(\frac{\left(3\sqrt2+2\sqrt3\right)^2}{\left(3\sqrt2\right)^2-\left(2\sqrt3\right)^2}\)
= \(\frac{\left(3\sqrt2\right)^2+2.3\sqrt2.2\sqrt3+\left(2\sqrt3\right)^2}{18-12}\)
= \(\frac{18+12\sqrt6+12}{18-12}\)
= \(\frac{30+12\sqrt6}{6}\)
= \(\frac{6(5+2\sqrt6)}{6}\)
= \(\frac{\left(3\sqrt2+2\sqrt3\right)\left(3\sqrt2+2\sqrt3\right)}{\left(3\sqrt2-2\sqrt3\right)\left(3\sqrt2+2\sqrt3\right)}\)
= \(\frac{\left(3\sqrt2+2\sqrt3\right)^2}{\left(3\sqrt2\right)^2-\left(2\sqrt3\right)^2}\)
= \(\frac{\left(3\sqrt2\right)^2+2.3\sqrt2.2\sqrt3+\left(2\sqrt3\right)^2}{18-12}\)
= \(\frac{18+12\sqrt6+12}{18-12}\)
= \(\frac{30+12\sqrt6}{6}\)
= \(\frac{6(5+2\sqrt6)}{6}\)
= \(5+2\sqrt6\)
7. প্রথমটিকে দ্বিতীয়টি দিয়ে ভাগ করে ভাজককে মূলদ সংখ্যায় পরিণত করি।
(i) \(3\sqrt2+\sqrt5, \sqrt2+1\)
সমাধানঃ
7. প্রথমটিকে দ্বিতীয়টি দিয়ে ভাগ করে ভাজককে মূলদ সংখ্যায় পরিণত করি।
(i) \(3\sqrt2+\sqrt5, \sqrt2+1\)
সমাধানঃ
\(\frac{3\sqrt2+\sqrt5}{\sqrt2+1}\)
= \(\frac{\left(3\sqrt2+\sqrt5\right)\left(\sqrt2-1\right)}{\left(\sqrt2+1\right)\left(\sqrt2-1\right)}\)
= \(\frac{3.2+\sqrt{10}-3\sqrt2-\sqrt5}{\left(\sqrt2\right)^2-\left(1\right)^2}\)
= \(\frac{6+\sqrt{10}-3\sqrt2-\sqrt5}{2-1}\)
= \(6+\sqrt{10}-3\sqrt2-\sqrt5\)
(ii) \(2\sqrt3-\sqrt2, \sqrt2-\sqrt3\)
সমাধানঃ
= \(\frac{\left(3\sqrt2+\sqrt5\right)\left(\sqrt2-1\right)}{\left(\sqrt2+1\right)\left(\sqrt2-1\right)}\)
= \(\frac{3.2+\sqrt{10}-3\sqrt2-\sqrt5}{\left(\sqrt2\right)^2-\left(1\right)^2}\)
= \(\frac{6+\sqrt{10}-3\sqrt2-\sqrt5}{2-1}\)
= \(6+\sqrt{10}-3\sqrt2-\sqrt5\)
(ii) \(2\sqrt3-\sqrt2, \sqrt2-\sqrt3\)
সমাধানঃ
\(\frac{2\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt2-\sqrt3}\)
= \(\frac{\left(2\sqrt3-\sqrt2\right)\left(\sqrt2+\sqrt3\right)}{\left(\sqrt2-\sqrt3\right)\left(\sqrt2+\sqrt3\right)}\)
= \(\frac{2\sqrt6-2+2.3-\sqrt6}{\left(\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2}\)
= \(\frac{2\sqrt6-2+6-\sqrt6}{2-3}\)
= \(\frac{\sqrt6+4}{-1}\)
= \(-(\sqrt6+4)\)
(iii) \(3+\sqrt6, \sqrt3+\sqrt2\)
সমাধানঃ
= \(\frac{\left(2\sqrt3-\sqrt2\right)\left(\sqrt2+\sqrt3\right)}{\left(\sqrt2-\sqrt3\right)\left(\sqrt2+\sqrt3\right)}\)
= \(\frac{2\sqrt6-2+2.3-\sqrt6}{\left(\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2}\)
= \(\frac{2\sqrt6-2+6-\sqrt6}{2-3}\)
= \(\frac{\sqrt6+4}{-1}\)
= \(-(\sqrt6+4)\)
(iii) \(3+\sqrt6, \sqrt3+\sqrt2\)
সমাধানঃ
\(\frac{3+\sqrt6}{\sqrt3+\sqrt2}\)
= \(\frac{\left(3+\sqrt6\right)\left(\sqrt3-\sqrt2\right)}{\left(\sqrt3+\sqrt2\right)\left(\sqrt3-\sqrt2\right)}\)
= \(\frac{3\sqrt3+\sqrt{6\times3}-3\sqrt2-\sqrt{6\times2}}{\left(\sqrt3\right)^2-\left(\sqrt2\right)^2}\)
= \(\frac{3\sqrt3+\sqrt{2\times3\times3}-3\sqrt2-\sqrt{3\times2\times2}}{3-2}\)
= \(\frac{3\sqrt3+3\sqrt2-3\sqrt2-2\sqrt3}{1}\)
= \(\sqrt3\)
8. মান নির্ণয় করিঃ
(i) \(\frac{2\sqrt5+1}{\sqrt5+1}-\frac{4\sqrt5-1}{\sqrt5-1}\)
সমাধানঃ
= \(\frac{\left(3+\sqrt6\right)\left(\sqrt3-\sqrt2\right)}{\left(\sqrt3+\sqrt2\right)\left(\sqrt3-\sqrt2\right)}\)
= \(\frac{3\sqrt3+\sqrt{6\times3}-3\sqrt2-\sqrt{6\times2}}{\left(\sqrt3\right)^2-\left(\sqrt2\right)^2}\)
= \(\frac{3\sqrt3+\sqrt{2\times3\times3}-3\sqrt2-\sqrt{3\times2\times2}}{3-2}\)
= \(\frac{3\sqrt3+3\sqrt2-3\sqrt2-2\sqrt3}{1}\)
= \(\sqrt3\)
8. মান নির্ণয় করিঃ
(i) \(\frac{2\sqrt5+1}{\sqrt5+1}-\frac{4\sqrt5-1}{\sqrt5-1}\)
সমাধানঃ
\(\frac{2\sqrt5+1}{\sqrt5+1}-\frac{4\sqrt5-1}{\sqrt5-1}\)
= \(\frac{\left(2\sqrt5+1\right)\left(\sqrt5-1\right)-\left(4\sqrt5-1\right)\left(\sqrt5+1\right)}{\left(\sqrt5+1\right)\left(\sqrt5-1\right)}\)
= \(\frac{\left(2\times5+\sqrt5-2\sqrt5-1\right)-\left(4\times5-\sqrt5+4\sqrt5-1\right)}{\left(\sqrt5\right)^2-\left(1\right)^2}\)
= \(\frac{\left(10-\sqrt5-1\right)-\left(20+3\sqrt5-1\right)}{5-1}\)
= \(\frac{10-\sqrt5-1-20-3\sqrt5+1}{4}\)
= \(\frac{-10-4\sqrt5}{4}\)
= \(\frac{-2(5+2\sqrt5)}{4}\)
= \(\frac{\left(2\sqrt5+1\right)\left(\sqrt5-1\right)-\left(4\sqrt5-1\right)\left(\sqrt5+1\right)}{\left(\sqrt5+1\right)\left(\sqrt5-1\right)}\)
= \(\frac{\left(2\times5+\sqrt5-2\sqrt5-1\right)-\left(4\times5-\sqrt5+4\sqrt5-1\right)}{\left(\sqrt5\right)^2-\left(1\right)^2}\)
= \(\frac{\left(10-\sqrt5-1\right)-\left(20+3\sqrt5-1\right)}{5-1}\)
= \(\frac{10-\sqrt5-1-20-3\sqrt5+1}{4}\)
= \(\frac{-10-4\sqrt5}{4}\)
= \(\frac{-2(5+2\sqrt5)}{4}\)
= \(-\frac{(5+2\sqrt5)}{2}\)
(ii) \(\frac{8+3\sqrt2}{3+\sqrt5}-\frac{8-3\sqrt2}{3-\sqrt5}\)
সমাধানঃ
\(\frac{8+3\sqrt2}{3+\sqrt5}-\frac{8-3\sqrt2}{3-\sqrt5}\)
= \(\frac{\left(8+3\sqrt2\right)\left(3-\sqrt5\right)-\left(8-3\sqrt2\right)\left(3+\sqrt5\right)}{\left(3+\sqrt5\right)\left(3-\sqrt5\right)}\)
= \(\frac{\left(24+9\sqrt2-8\sqrt5-3\sqrt{10}\right)-\left(24-9\sqrt2+8\sqrt5-3\sqrt{10}\right)}{\left(3\right)^2-\left(\sqrt5\right)^2}\)
= \(\frac{24+9\sqrt2-8\sqrt5-3\sqrt{10}-24+9\sqrt2-8\sqrt5+3\sqrt{10}}{9-5}\)
= \(\frac{18\sqrt2-16\sqrt5}{4}\)
= \(\frac{2(9\sqrt2-8\sqrt5)}{4}\)
= \(\frac{(9\sqrt2-8\sqrt5)}{2}\)
= \(\frac{\left(8+3\sqrt2\right)\left(3-\sqrt5\right)-\left(8-3\sqrt2\right)\left(3+\sqrt5\right)}{\left(3+\sqrt5\right)\left(3-\sqrt5\right)}\)
= \(\frac{\left(24+9\sqrt2-8\sqrt5-3\sqrt{10}\right)-\left(24-9\sqrt2+8\sqrt5-3\sqrt{10}\right)}{\left(3\right)^2-\left(\sqrt5\right)^2}\)
= \(\frac{24+9\sqrt2-8\sqrt5-3\sqrt{10}-24+9\sqrt2-8\sqrt5+3\sqrt{10}}{9-5}\)
= \(\frac{18\sqrt2-16\sqrt5}{4}\)
= \(\frac{2(9\sqrt2-8\sqrt5)}{4}\)
= \(\frac{(9\sqrt2-8\sqrt5)}{2}\)
0 Comments