নবম শ্রেণী গণিত সমাধান | 8. উৎপাদকে বিশ্লেষণ | কষে দেখি 8.5 সমাধান
নবম শ্রেণী কষে দেখি 8.5 সমাধান
1. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করোঃ
(i) \(\left(a+b\right)^2-5a-5b+6\)
সমাধানঃ
\(\left(a+b\right)^2-5a-5b+6\)
\(=\left(a+b\right)^2-5(a+b)+6\)
\(=x^2-5x+6\) [ধরি, a+b=x]
\(=x^2-2x-3x+6\)
\(=x(x-2)-3(x-2)\)
\(=(x-2)\ (x-3)\)
\(=(a+b-2)\ (a+b-3)\)
[x এর মান বসিয়ে পাই]
(ii) \((x+1)(x+2)(3x-1)(3x-4)+12\)
সমাধানঃ
\((x+1)(x+2)(3x-1)(3x-4)+12\)
\(=(x+1)(3x-1)(x+2)(3x-4)+12\)
\(=(3x^2+3x-x-1)(3x^2-4x+6x-8)+12\)
\(=(3x^2+2x-1)(3x^2+2x-8)+12\)
\(=(a-1)(a-8)+12\) [ধরি, \(3x^2+2x=a\)]
\(=a^2-a-8a+8+12\)
\(=a^2-9a+20\)
\(=a^2-4a-5a+20\)
\(=a(a-4)-5(a-4)\)
\(=(a-4)(a-5)\)
\(=(3x^2+2x-4)(3x^2+2x-5)\) [a এর মান বসিয়ে পাই]
\(=(3x^2+2x-4)(3x^2+5x-3x-5)\)
\(=(3x^2+2x-4){x(3x+5)-1(3x+5)}\)
\(=(3x^2+2x-4)(3x+5)(x-1)\)
(iii) \(x(x^2-1)(x+2)-8\)
সমাধানঃ
\(x(x^2-1)(x+2)-8\)
\(=x(x+1)(x-1)(x+2)-8\)
\(=(x^2+x)(x^2-x+2x-2)-8\)
\(=(x^2+x)(x^2+x-2)-8\)
\(=a(a-2)-8\) [ধরি, \(x^2+x=a\)]
\(=a^2-2a-8\)
\(=a^2-4a+2a-8\)
\(=a(a-4)+2(a-4)\)
\(=(a-4)(a+2)\)
\(=(x^2+x-4)(x^2+x+2)\)
[a এর মান বসিয়ে পাই]
(iv) \(7\left(a^2+b^2\right)^2-15(a^4-b^4)+8\left(a^2-b^2\right)^2\)
সমাধানঃ
\(\ 7\left(a^2+b^2\right)^2-15(a^4-b^4)+8\left(a^2-b^2\right)^2\)
\(=7\left(a^2+b^2\right)^2-15(a^2+b^2)(a^2-b^2)+8\left(a^2-b^2\right)^2\)
\(=7x^2-15xy+8y^2\)
[ধরি, \(a^2+b^2=x\) এবং \(a^2+b^2=y\)]
\(=7x^2-7xy-8xy+8y^2\)
\(=7x(x-y)-8y(x-y)\)
\(=(x-y)(7x-8y)\)
x ও y এর মান বসিয়ে পাই,
\(=\{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)\}\{7(a^2+b^2)-8(a^2-b^2)\}\)
\(=(a^2+b^2-a^2+b^2)(\ 7a^2+7b^2-8a^2+8b^2)\)
\(=2b^2(15b^2-a^2)\)
(v) \(\left(x^2-1\right)^2+8x\ (x^2+1)+19x^2\)
সমাধানঃ
\(\left(x^2-1\right)^2+8x\ (x^2+1)+19x^2\)
\(=\left(x^2\ +1\right)^2-4x^2+8x(x^2+1)+19x^2\)
\(=y^2+8xy+15x^2\) [ধরি, \(x^2+1=y\)]
\(=y^2+5xy+3xy+15x^2\)
\(=y(y+5x)+3x(y+5x)\)
\(=(y+5x)(y+3x)\)
\(=(x^2+1+5x)(\ x^2+1+3x)\) [y এর মান বসিয়ে পাই]
\(=(x^2+5x+1)(\ x^2+3x+1)\)
(vi) \(\left(a-1\right)x^2+x-(a-2)\)
সমাধানঃ
\(\left(a-1\right)x^2+x-(a-2)\)
\(=\left(a-1\right)x^2+[(a-1)-(a-2)]x-(a-2)\)
\(=\left(a-1\right)x^2+(a-1)x-(a-2)x-(a-2)\)
\(=(a-1)x(x+1)-(a-2)(x+1)\)
\(=(x+1){(a-1)x-(a-2)}\)
\(=(x+1)(ax-x-a+2)\)
(vii) \(\left(a-1\right)x^2+a^2xy+\left(a+1\right)y^2\)
সমাধানঃ
\(\left(a-1\right)x^2+a^2xy+\left(a+1\right)y^2\)
\(=\left(a-1\right)x^2+[a^2-1+1]xy+a+1y^2\)
\(=\left(a-1\right)x^2+(a^2-1)xy+xy+\left(a+1\right)y^2\)
\(=\left(a-1\right)x^2+(a+1)(a-1)xy+xy+\left(a+1\right)y^2\)
\(=(a-1)x{x+(a+1)y}+y{x+(a+1)y}\)
\(={x+(a+1)y}{(a-1)x+y}\)
\(=(x+ay+y)(ax-x+y)\)
(viii) \(x^2+qx-p^2+5pq-6q^2\)
সমাধানঃ
\(x^2+qx-p^2+5pq-6q^2\)
\(=x^2-qx-(p^2-5pq+6q^2)\)
\(=x^2-qx-(p^2-3pq-2pq+6q^2)\)
\(=x^2-qx-{p(p-3q)-2q(p-3q)}\)
\(=x^2-qx-(p-3q)(p-2q)\)
\(=x^2-[(p-2q)-(p-3q)]x-(p-3q)(p-2q)\)
\(=x^2-(p-2q)x+(p-3q)x-(p-3q)(p-2q)\)
\(=x\{x-(p-2q)\}+(p-3q)\{x-(p-2q)\}\)
\(={x-(p-2q)}(x+p-3q)\)
\(=(x-p+2q)(x+p-3q)\)
(ix) \(2\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)-\left(a-\frac{1}{a}\right)-7\)
সমাধানঃ
\(2\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)-\left(a-\frac{1}{a}\right)-7\)
\(=2\left\{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+2.a.\frac{1}{a}\right\}-\left(a-\frac{1}{a}\right)-7\)
\(=2\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+4-\left(a-\frac{1}{a}\right)-7\)
\(=2x^2-x-3\)
\(=2x^2+2x-3x-3\)
\(=2x(x+1)-3(x+1)\)
\(=(x+1)(2x-3)\)
\(=\left(a-\frac{1}{a}+1\right)\left(2a-\frac{2}{a}-3\right)\)
\(=\left(a-\frac{1}{a}+1\right)\left(2a-4+1-\frac{2}{a}\right)\)
\(=\left(a-\frac{1}{a}+1\right)\left\{2(a-2)+\frac{1}{a}(a-2)\right\}\)
\(=\left(a-\frac{1}{a}+1\right)(a-2)\left(2+\frac{1}{a}\right)\)
\(=(a-2)\left(2+\frac{1}{a}\right)\left(a-\frac{1}{a}+1\right)\)
(x) \(\left(x^2-x\right)y^2+y-(x^2+x)\)
সমাধানঃ
\(\ \left(x^2-x\right)y^2+y-(x^2+x)\)
\(=x\left(x-1\right)y^2+[x^2-(x^2\ -1)]y-x(x+1)\)
\(=x\left(x-1\right)y^2+x^2y-(x+1)(x-1)y-x(x+1)\)
\(=xy\{(x-1)y+x\}-(x+1)\{(x-1)y-x\}\)
\(=\{(x-1)y-x\}\{xy-(x+1)\}\)
\(=(xy-y-x)(xy-x-1)\)
2. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):
(i) \(a^2-b^2=11\times9\) এবং a ও b ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (a>b) হলে,
(a) a=11, b=9 (b) a=33, b=3
(c) a=10, b=1 (d) a=100, b=1
সমাধানঃ
\(a^2-b^2=11\times9\)
বা, (a+b)(a-b)=(10+1)(10-1)
∴ a=10, b=1
উত্তরঃ (c) a=10, b=1
(ii) যদি \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=1\) হয়, তাহলে \(a^3+b^3\) এর মান
(a) 1 (b) a (c) b (d) 0
সমাধানঃ
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=1\)
বা, \(\frac{a^2+b^2}{\mathrm{ab}}=1\)
বা, \(a^2+b^2=ab\)
বা, \(a^2+b^2-ab=0\)
বা, \(a^2-ab+b^2=0\)
∴ \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
= (a+b)×0=0
উত্তরঃ (d) 0
(iii) \(25^3-75^3+50^3+3\times25\times75\times50\) এর মান
(a) 150 (b) 0 (c) 25 (d) 50
সমাধানঃ
25+(-75)+50=0
∴ \({25}^3+\left(-75\right)^3+{50}^3=3\times25\times(-75)\times50\)
\({25}^3-{75}^3+{50}^3+3\times25\times75\times50\)
\(={25}^3+\left(-75\right)^3+{50}^3+3\times25\times75\times50\)
\(={3\times25\times(-75)\times50}+(3\times25\times75\times50)\)
\(=-(3\times25\times75\times50)+3\times25\times75\times50\)
=0
(iv) a+b+c=0 হলে \(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\) এর মান
(a) 0 (b) 1 (c) -1 (d) 3
সমাধানঃ
\(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\)
\(=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\)
\(=\frac{3abc}{abc}\)
[যেহেতু, a+b+c=0 ∴ \(a^3+b^3+c^3=3abc\)]
\(=3\)
(v) \(x^2-px+12=(x-3)(x-a) একটি অভেদ হলে, a ও p এর মান যথাক্রমে
(a) a=4, p=7 (c) a=4, p=-7
(b) a=7, p=4 (d) a=-4, p=7
সমাধানঃ
\(x^2-px+12=(x-3)(x-a)\)
বা, \(x^2-px+12=\ x^2-3x-ax+3a\)
বা, \(x^2-px+12=\ x^2-(3+a)x+3a\)
∴ p=3+a এবং 12=3a
∴ a=4
∴ p=3+4=7
3. সংক্ষিপ্ত প্রশ্নঃ
(i) \(\frac{\left(b^2-c^2\right)^3+\left(c^2-a^2\right)^3+\left(a^2-b^2\right)^3}{\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3+\left(a-b\right)^3}\) এর সরলতম মান লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, \((b^2-c^2)=p\), \((c^2-a^2)=q\)
এবং \((a^2-b^2)=r\)
∴ \(p+q+r\ =\ b^2-c^2+\ c^2-a^2+\ a^2-b^2=0\)
আবার ধরি, (b-c)=x, (c-a)=y এবং (a-b)=z
∴ x+y+z= b-c+c-a+a-b=0
` \(\frac{\left(b^2-c^2\right)^3+\left(c^2-a^2\right)^3+\left(a^2-b^2\right)^3}{\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3+\left(a-b\right)^3}\)
\(=\frac{p^3+q^3+r^3}{x^3+y^3+z^3}\)
\(=\frac{3pqr}{3xyz}\) [যেহেতু, p+q+r=0 এবং x+y+z=0\)
∴ \(p^3+q^3+r^3=3pqr\)
এবং \(x^3+y^3+z^3=2xyz]\)
\(=\frac{3(b^2-c^2)(c^2-a^2)(a^2-b^2)}{3(b-c)(c-a)(a-b)}\) [x, y, z এবং p, q, r এর মান বসিয়ে পাই]
\(=(a+b)(b+c)(c+a)\)
(ii) \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\) এবং a+b+c\neq0\) হলে,
a,\ b ও c এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
বা, \((a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0\)
বা, \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ =\ 0\)
[যেহেতু, a+b+c\neq0]
বা, \({2a}^2+{2b}^2+{2c}^2-2ab-2bc-2ca = 0
বা, \(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ =\ 0
বা, \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0
∴ a-b=0, b-c=0 এবং c-a=0
বা, a=b বা, b=c বা, c=a
∴ নির্ণেয় সম্পর্কটি হল a=b=c
(iii) \(a^2-b^2=224\) এবং a ও b(a<b) ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে, a ও b এর মান লিখি।
সমাধানঃ
\(a^2-b^2=224\)
বা, \((a+b)(a-b)=(-16)\times(-14)\)
\(a+b=-16\) (1)
এবং a-b=-14\) (2)
(1) নং ও (2) নং যোগ করে পাই
2a=-30
∴ a=-15
(1) নং সমীকরণে a=-15 বসিয়ে পাই
-15+b=-16
∴ b=-1
[***উত্তর আলাদা ও হতে পারে।]
(iv) 3x=a+b+c হলে,
\(\left(x-a\right)^3+\left(x-b\right)^3+\left(x-c\right)^3\ -3(x-a)(x-b)(x-c)\) এর মান কত ?
সমাধানঃ
3x=a+b+c
বা, x+x+x-a-b-c=0
বা, (x-a)+(x-b)+(x-c)=0
∴ \(\left(x-a\right)^3+\left(x-b\right)^3+\left(x-c\right)^3\)
\(=3(x-a)(x-b)(x-c)\)
\(\left(x-a\right)^3+\left(x-b\right)^3+\left(x-c\right)^3-3(x-a)(x-b)(x-c)\)
\(=3(x-a)(x-b)(x-c)-3(x-a)(x-b)(x-c)\ \)
\(=0\)
(v) \(2x^2+px+6=(2x-a)(x-2)\) একটি অভেদ হলে a ও p এর মান কত লিখি।
সমাধানঃ
\(2x^2+px+6=(2x-a)(x-2)\)
বা, \(2x^2+px+6=\ 2x^2-4x-ax+2a\)
বা, \(2x^2+px+6=\ x^2-(4+a)x+2a\)
∴ p=-(4+a) এবং 6=2a
বা, p=-(4+3) ∴ a=3
∴ p=-7
∴ a=4, p=7
0 Comments