কষে দেখি 5.2 | 5. অনুপাত ও সমানুপাত | Class 10 MATH Solution

5. অনুপাত ও সমানুপাত | কষে দেখি 5.2 | দশম শ্রেণী  | WBBSE Class 10 Mathematics Solution 

 

1. নিম্নলিখিত সমানুপাতে x-এর মান নির্ণয় করি।
(i) 10:35::x:42
সমাধানঃ
10:35::x:42
বা, \(\frac{10}{35}=\frac{x}{42}\)
বা, 35x=420
বা, x=\(\frac{420}{35}\)
∴ x=12

(ii) x:50::3:2 
সমাধানঃ
x:50::3:2
বা, \(\frac{x}{50}=\frac{3}{2}\)
বা, 2x=150
বা, \(x=\frac{150}{2}\)

∴ x=75

2. নিম্নলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করিঃ 

(i) \(\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}\)
সমাধানঃ
মনে করি, চতুর্থ সমানুপাতী x
সুতরাং, \(\frac{1}{3}:\frac{1}{4}::\frac{1}{5}:x\)

বা, \(\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{5}}{x}\)

বা, \(\frac{1}{3}\times x=\frac{1}{5}\times\frac{1}{4}\)

বা, \(x=\frac{1}{5}\times\frac{1}{4}\times3\)

∴ \(x=\frac{3}{20}\)

∴ নির্ণেয় চতুর্থ সমানুপাতী \(\frac{3}{20}\)

(ii) 9.6 কিগ্রা., 7.6 কিগ্রা., 28.8 কিগ্রা.

সমাধানঃ 
মনে করি, চতুর্থ সমানুপাতী x

সুতরাং, 9.6:7.6::28.8:x

বা, \(\frac{9.6}{7.6}=\frac{28.8}{x}\)

বা, \(x\times9.6=28.8\times7.6\)

বা, \(x=\frac{28.8\times7.6}{9.6}\)

বা, \(x=\frac{288\times76\times10}{96\times10\times10}\)

বা, \(x=\frac{228}{10}\)

∴ x=22.8

∴ চতুর্থ সমানুপাতীটি হল 22.8 কিগ্রা.

(iii)x²y, y²z, z²x

সমাধানঃ
মনে করি, চতুর্থ সমানুপাতী p
সুতরাং, x²y:y²z::z²x:p

বা, \(\frac{x^2y}{y^2z}=\frac{z^2x}{p}\)

বা, \(p\times x^2y=z^2x\times y^2z\)

বা, \(p=\frac{z^2x\times y^2z}{x^2y}\)

∴ \(p=\frac{yz^3}{x}\)

∴ নির্ণেয় চতুর্থ সমানুপাতী \(\frac{yz^3}{x}\)

(iv) (p-q), (p²-q²), p²-2pq+q²

সমাধানঃ

মনে করি, চতুর্থ সমানুপাতী

সুতরাং, (p-q):(p²-q²)::p²-pq+q²:x

বা, \(\frac{p-q}{p^2-q^2}=\frac{p^2-pq+q^2}{x}\)

বা, \(\frac{p-q}{(p+q)(p-q)}=\frac{p^2-pq+q^2}{x}\)

বা, \(\frac{1}{(p+q)}=\frac{p^2-pq+q^2}{x}\)

বা, \(x=(p+q)(p^2-pq+q^2)\)

∴ \(x=p^3+q^3\)

∴ নির্ণেয় চতুর্থ সমানুপাতী \(p^3+q^3\)

3. নিম্নলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করিঃ

(i) 5, 10

সমাধানঃ

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী x

∴ 5, 10 ও x ক্রমিক সমানুপাতী

সুতরাং, \(\frac{5}{10}=\frac{10}{x}\)

বা, 5x=100

বা, x=\(\frac{100}{5}\)

∴ x=20

∴ নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতী 20

(ii) 0.24, 0.6

সমাধানঃ

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী x

∴ 0.24, 0.6 ও x তৃতীয় সমানুপাতী

সুতরাং, \(\frac{0.24}{0.6}=\frac{0.6}{x}\)

বা, \(x\times0.24=0.6\times0.6\)

বা, x=\(\frac{0.6\times0.6}{0.24}\)

বা, x=\(\frac{6\times6\times100}{24\times10\times10}\)

বা, x=\(\frac{3}{2}\)

∴ x=1.5

∴ নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতী 1.5

(iii) p³q², q²r

সমাধানঃ

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী x

∴ p³q², q²r ও x তৃতীয় সমানুপাতী

সুতরাং, \(\frac{p^3q^2}{q^2r}=\frac{q^2r}{x}\)

বা, \(x\times p^3q^2=q^2r\times q^2r\)

বা, \(x=\frac{q^2r\times q^2r}{p^3q^2}\)

∴ \(x=\frac{q^2r^2}{p^3}\)

∴ নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতী \(\frac{q^2r^2}{p^3}\)

(iv) (x-y)², (x²-y²)²

সমাধানঃ

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী p

∴ (x-y)², (x²-y²)² ও p ক্রমিক সমানুপাতী 

সুতরাং, \(\frac{(x-y)^2}{(x^2-y^2)^2}=\frac{(x^2-y^2)^2}{p}\)

বা, \(p\times(x-y)^2=(x^2-y^2)^2\times(x^2-y^2)^2\)

বা, \(p=\frac{(x^2-y^2)^4}{(x-y)^2}\)

বা, \(p=\frac{(x+y)^4(x-y)^4}{(x-y)^2}\)

∴ \(p=(x+y)^4(x-y)^2\)

4. নিম্নলিখিত ধনাত্মক সংখ্যাগুচ্ছগুলির মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করিঃ

(i) 5 এবং 80

সমাধানঃ

ধরি, 5 এবং 80 এর মধ্যসমানুপাতী x

সুতরাং, \(\frac{5}{x}=\frac{x}{80}\)

বা, \(x^2=400\)

বা, \(x=\sqrt{400}\)

∴ x=20

∴ নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতী 20

(ii) 8.1 এবং 2.5

সমাধানঃ

ধরি, 8.1 এবং 2.5 এর মধ্যসমানুপাতী x

সুতরাং, \(\frac{8.1}{x}=\frac{x}{2.5}\)

বা, \(x^2=8.1\times2.5\)

বা, \(x=\sqrt{\frac{81\times25}{10\times10}}\)

বা, \(x=\frac{9\times5}{10}\)

∴ x=4.5

∴ নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতী 4.5

(iii) x³y এবং xy³

সমাধানঃ

ধরি, x³y এবং xy³ এর মধ্যসমানুপাতী p

সুতরাং, \(\frac{x^3y}{p}=\frac{p}{xy^3}\)

বা, \(p^2=x^3y\times xy^3\)

বা, \(p=\sqrt{x^4y^4}\)

বা, \(p=x^2y^2\)

∴ \(p=x^2y^2\)

∴ নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতী \(x^2y^2\)

(iv) (x-y)², (x+y)²

সমাধানঃ

ধরি, (x-y)², (x+y)² এর মধ্যসমানুপাতী p

সুতরাং, \(\frac{(x-y)^2}{p}=\frac{p}{(x+y)^2}\)

বা, \(p^2=(x-y)^2\times(x+y)^2\)

বা, \(p=\sqrt{(x-y)^2\times(x+y)^2}\)

বা, \(p=(x-y)(x+y)\)

∴ \(p=x^2-y^2\)

∴ নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতী \(x^2{-y}^2\)

5. যদি a:b এবং c:d এই অনুপাত দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলি কী সম্পর্ক প্রকাশ করে লিখি।

সমাধানঃ

যদি a:b এবং c:d অনুপাত দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলিও বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করবে।

6. তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে কটি ক্রমিক সমুপাত গঠন করা যাবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে 2 টি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে

ধরি, a, b, c তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা 

সুতরাং, a:b::b:c

∴ \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) 

আবার, \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) 

বা, \(\frac{c}{b}=\frac{b}{a}\)

∴ c:b::b:a

∴ a, b, c তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা হলে যে দুটি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে সেগুলি হল

a:b::b:c এবং c:b::b:a

7. 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার প্রথমটি 2 এবং দ্বিতীয়টি 6 হলে, পঞ্চমটি নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি, তৃতীয়, চতুর্থ ও পঞ্চম সমানুপাতী গুলি হল a, b ও c

∴ \(\frac{2}{6}=\frac{6}{a}=\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) 

প্রথম ও দ্বিতীয় অনুপাত থেকে পাই,

\(\frac{2}{6}=\frac{6}{a}\)

∴ \(a=\frac{6\times6}{2} = 18\)

দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুপাত থেকে পাই,

\(\frac{6}{a}=\frac{a}{b}\)

বা, \(\frac{6}{18}=\frac{18}{b}\)

∴ \(b=\frac{18\times18}{6} = 54\)

তৃতীয় ও চতুর্থ অনুপাত থেকে পাই,

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)

বা, \(\frac{18}{54}=\frac{54}{c}\)

∴ \(c=\frac{54\times54}{18} = 162\)

∴পঞ্চম সমানুপাতীটি হল 162

8. 6, 15, 20 ও 43 -এর প্রত্যেকটির সঙ্গে কত জোগ করলে জোগফলগুলি সমানুপাতী হবে হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি, সংখ্যাগুলির সঙ্গে x যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে

∴ (6+x):(15+x)::(20+x):(43+x)

বা, \(\frac{6+x}{15+x}=\frac{20+x}{43+x}\)

বা, (6+x)(43+x)=(15+x)(20+x)

বা, 258+6x+43x+x²=300+20x+15x+x²

বা, 258+49x=300+35x

বা, 49x-35x=300-258

বা, 14x=42

বা, x=\(\frac{42}{14}\)

∴ x=3

∴ 6, 15, 20 ও 43 –এর প্রত্যেকটির সঙ্গে 3 যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে। 

9. 23, 30, 57 এবং 78 -এর প্রত্যেকটি থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

ধরি, সংখ্যাগুলির সঙ্গে x বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে

∴ (23-x):(30-x)::(57-x):(78-x)

বা, \(\frac{23-x}{30-x}=\frac{57-x}{78-x}\)

বা, (23-x)(78-x)=(30-x)(57-x)

বা, 1794-23x-78x+x²=1710-30x-57x+x²

বা, 1794-101x=1710-87x

বা, -101x-87x=1710-1794

বা, -14x=-84

বা, 14x=84

বা, x=\(\frac{84}{14}\)

∴ x=6

∴ 23, 30, 57 এবং 78 –এর প্রত্যেকটি থেকে 6 বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে। 

10. p, q, r, s -এর প্রত্যেকটির থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি। 

সমাধানঃ 

ধরি, সংখ্যাগুলির সঙ্গে x বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে

∴ (p-x):(q-x)::(r-x):(s-x)

বা, \(\frac{p-x}{q-x}=\frac{r-x}{s-x}\)

বা, (p-x)(s-x)=(q-x)(r-x)

বা, \(ps-px-sx+x^2=qr-qx-rx+x^2\)

বা,  ps-px-sx=qr-qx-rx

বা, qx+rx-px-sx=qr-ps

বা, x(q+r-p-s)=qr-ps

∴ x=\(\frac{qr-ps}{(q+r-p-s)}\)

∴ p, q, r, s –এর প্রত্যেকটি থেকে \(\frac{qr-ps}{(q+r-p-s)}\) বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে ।